Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn Rn, ℓ p (p≥1), C0

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Lời cảm ơn Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bước đầu tập dượt nghiên cứu đề tài khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn khoa Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy người trực tiếp hưỡng dẫn bảo tận tình để em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ giải tích, ban chủ nhiệm khoa Tốn – Trường ĐHSP Hà Nội2, thư viện nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để em có hội để hồn thành cơng việc Ngày tháng năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Tốn Lời nói đầu Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỷ XX, xem ngành tốn học trọng điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số, phương trình vi phân… Trong q trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú, bao gồm: - Lý thuyết không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian định chuẩn, khơng gian tơpơ tốn tử tơpơ) - Lý thuyết tốn tử tuyến tính - Lý thuyết tốn cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần phương trình tốn tử - Lý thuyết nội suy tốn tử, giải tích hàm ngẫu nhiên Những phương pháp, kết mẫu mực tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ giải thích khơng gian vec tơ Ngồi cịn ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài:“ Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn ¡ n ,l (p 1),c ” Nghiên cứu đề tài em có hội tìm hiểu sâu ³ n p ¡ ,l (p Từ ³ 1),c khơng gian vô hạn chiều mà cụ thể khơng gian p có thêm kiến thức vấn đề giải tích,sự khác chúng khơng gian khác nhau, xét khía cạnh khác Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn ¡ n Chương 2: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn lp (p 1) ³ Chương 3: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn c0 Do thời gian nghiên cứu lực có hạn nên số vấn đề đặt khoá luận chưa giải triệt để Em mong giúp đỡ đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khố luận hoàn thiện Ngày tháng năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng qt phiến hàm tuyến tính liên tục khơn gian 1.1 Khơng gian tuyến tính ¡ n ¡ (n 1) ³ n Cho tập hợp ¡ n = {x = (x1, x2,….xn)/xi Ỵ ¡ ,i = 1, n } n Với phần tử tuỳ ý x = (xi) Ỵ i =1 n n ¡ ,y= (y) Ỵ i i= ¡ n a Ỵ P (P= ¡ C).Ta định nghĩa hai phép toán sau: Ta gọi tổng phần tử x y kí hiệu x + y phần tử n x + y = (xi + yi )i=1 tích phần tử x a ,kí hiệu a x phần tử n a x = (a xi )i= Định lý 1.1.1 ¡ đóng kín với hai phép toán cộng nhân xác định n Chứng minh: n +) " x = (xi i=) " y = (y )n Ỵ ¡ n ,ta có: i i= n " i = 1, n , xi ẻ Ă , yi ẻ Ă ị xi + yi ẻ Ă , " i= 1, n ị (xi + yi) i= ẻ Ă n ị x + y = (xi+ yi) i= n +) " x = (xi) i= Ỵ ¡ n , a Ỵ P Ta có: n a xi ẻ Ă ,i= 1, n ị a x = ( a xi) i= Ỵ ¡ n Vậy ¡ n đóng kín với phép tốn cộng nhân xác định Định lý 1.1.2 ¡ với hai phép toán cộng nhân xác định lập thành n khơng gian tuyến tính Chứng minh: Ta phép toán định nghĩa thoả mãn tiên đề không gian tuyến tính n " x = (xi )i= " y = (y )n Ỵ ¡ n ,ta có: i i= xi+ yi = yi + xi, " i = 1, n Þ x + y = y + x ( tiên đề thoả mãn) n " x = (xi )i= , " y = (y )n , z = (zi) n Ỵ ¡ n , ta có: i i= i= (xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n Þ (x + y) +z = x + (y +z) (Tiên đề thoả mãn) Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Ỵ ¡ n , " x = (x ) i=n Ỵ ¡ n , ta có: i +xi = xi " i = 1, n ị q+x=x, " x ẻ Ă ( Tiờn đề thoả mãn) n " x = (x1, x2,… xn) Ỵ ¡ n Ta có: , tồn phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Ỵ ¡ xi + (-xi) = 0, " i = 1, n Þ x + ( - x)= q , " x Î ¡ ( Tiên đề thoả mãn) n " x = (xi) n n i= Ỵ ¡ , " a , b Ỵ ¡ ta có: a ( b xi) = ( a b )xi, " i = 1, n Þ a ( b x) = ( a b )x " x = (xi) n i= ( Tiên đề thoả mãn) Ỵ ¡ n , " a , b Ỵ ¡ ,ta có: ( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n Þ ( a + b )x = a x + b x " x = (xi) n i= Ỵ ¡ n , " y = (yi) (Tiên đề thoả mãn) n i= Ỵ ¡ , " a , b Ỵ ¡ ,ta có: n a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n Þ a (x + y) = a x + a y (Tiên đề thoả mãn) n " x = (xi) n i= Ỵ ¡ n , ta ln có : xi =xi ( đơn vị ¡ ) , " i = 1, n Þ x = x , " x Î ¡ n (Tiên đề thoả mãn) Vậy ¡ n khơng gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng nhân xác định Bổ đề1.1.1 Nếu a,b hai số không âm; p,q cặp số mũ liên hợp 1 ( tức = p< ¥ + 1),1< p q p q ab £ a + a p q p q Dấu “=” sảy Û a = b Chứng minh: Nếu ab = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a > , b > ta xét hàm số: j (t) = t p t- q + với t > p q Ta có: j ' (t) = t p-1 -t -q-1 =t -q-1 p+q (t -1) ' (t) = Û t = ( với t > 0) j Bảng biến thiên : 0 +¥ +¥ + +¥ Hình1.1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên hàm j suy j (t) = j (1) = 0< t< ¥ - q p Do j (t) ³ j (1) = , " t Î (0;+ ¥ ) Chọn t = a b ta p - - a q b + p Û ap b- q ³ 1Û q a p- 1.b1 + p bp- 1.a- q ³ a p + bq ³ ab p q Dấu đẳng thức sảy a q b - p 1 p aq = b p Û =1 Û a =b q Bổ đề 1.1.2 ( Bất đẳng thức Holder) Nếu p,q cặp số mũ liên hợp ( tức n x = (xi) i=n " å i= xi yi æn £ p ççç åè ưx÷ p i= i÷ q ta có n p< +¥ + p , y = (yi) i=n ẻ Ă = 1),1Ê ứữ ổn q ỗỗỗ y è å ưi ÷÷q i= ø÷ Chứng minh: ổn ỗ t A = ỗỗồ ố i= 1 p x ửữ p ữ ổn ; B = ỗỗỗồ è i= i ÷÷ø q ÷ ưq i ÷÷ ø Nếu A.B = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu A > 0, B > 0,theo bổ đề 1.1.1 ta có q xi yi £ xi p + yi p q A.B P.A q.B n å xi yi n å xi p n å yi q ¥ ¥ Ỵ l1, " x = (xn) n= ,y = (yn) " a , b Ỵ ¡ ta có n= ¥ fu ( a x + by) = ¥ å un ( a xn+ b yn) = å una x n + n= = å n= (una xn + u ny n = a unxn + bå unyn å å unbyn ) = a fu(x) + bfu(y) + fu phiếm hàm liên tục: ¥ " x = (xn) n= Ỵ l ta có: ¥ fu(x) = ¥ å un xn £ n= å ¥ un.xn = n= ¥ å sup un xn un x n £ n= å n= ¥ = sup un å xn = u x Þ n n= fu(x) = f (x) £ u x u ¥ Ơ " x = (xn) n= , ẻ l ị fu bị chặn ( hay fu liên tục) f £ u u (1) ¥ Ngược lại, lấy phiếm hàm tuyến tính, liên tục f khơng gian l (f Ỵ l * ) 1 Vi mi n ẻ Ơ * (n) Ơ e = (d ) ta đặt : nk k= í nÕu n ï d ==k ì nk ỵïï n k Ơ Ơ Khi ú: " = (xn) n= , Ỵ l x ta có biểu diễn : x = å xn.e( n n= Do f liên tục nên ta có: N ổƠ ửữ ổ ỗ f (x)= ỗf f ç lim x e( n) ÷÷ ÷ ç x e( n) ữữ= ỗốồ n= n ứữ ốỗNđ Ơ n= n ø÷ ÷ éỉN ứ x ÷= f (e( n) ) æ ( n) N = lim êf ççå x e è ÷ lim ø ÷ú= û ỗỗồ Nđ Ơ ữ ữỳ Nđ Ơ n n ờỗ ốỗ n= ứ n= (n) t: un = f(e ), n = 1,2 ( không phụ thuộc vào x) ¥ x f (e å n= n ( n) ) Ơ ị f(x) = xn.xn n= Mặt khác : u = f (e( n) ) £ n = f , n = 1,2 fn) e( Ơ Ơ ị Dóy u = (un) n= bị chặn, tức u = (un) n= ẻ l v uƠ = sup un = sup f (e n ( n) )£ f n Hơn nữa, từ biểu thức f(x): f(x) = ¥ å un.xn , ta suy f = f(u) n= Đồng thời, từ (1) (2) suy f = u u (3) ¥ Như ta thiết lập ánh xạ l ® l * ; u a fu từ l ¥ lên l * Rõ ràng ánh xạ tuyến tính, liên tục từ đẳng thức (3) ta kết luận phép đẳng cấu tuyến tính từ khơng gian l ¥ lên không gian l * Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian ¥ fu(x) = ¥ å n= un xn ¥ ," x = l là: (xn )n= Ỵ l ,trong u = (un )n= ẻ l Ơ Chng Khụng gian c0 3.1 Khơng gian tuyến tính c0 Cho tập c0 = {x = (xn) ¥ / xn ¡ , lim x n = } n= ẻ nđ Ơ nh lý 3.1.1 c0 với phép tốn sau khơng gian tuyến tính x + y = (xn+yn) ¥ ¥ ¥ n= , " x = (xn) n= , y = ( yn) n= ¥ ¥ x = (a xn) n= , " x = (xn) n= , Ỵ c0 , " l Ỵ ¡ Chứng minh ¥ + Với " x = (xn) n= , y = ( yn) Ơ n= ẻ c0 lim(x + y ) = limx n + limy n = 0, " n Ỵ ¡ n n nđ Ơ ị x + y = ( xn+ yn) nđ Ơ Ơ n= ẻ c0 nđ Ơ ẻ c0 + Với " x = (xn) ¥n= , " l Ỵ ¡ ta có: lim (l x n ) = l nđ Ơ limx n = l = nđ Ơ , " x = (xn) n= " n ẻ Ơ * Ơ , ị l x = (l xn )Ơ n= ẻ c0 Nh vy c0 đóng kín với hai phép tốn xác định Kiểm tra tiên đề: ¥ 1, " x = (xn) n= , y = ( yn) ¥ Î n= c0 ta có: xn + yn = yn + xn , ị x+y =y+x, " nẻ ¥ * " x,y Ỵ c0 ¥ ¥ ¥ " x = (xn) n= , y = ( yn) n= , z = (zn) n= Ỵ c0 ta có: (xn+yn)+ zn = xn+ (yn+ zn) , "nẻ Ơ * ị (x + y) + z = x + (y + z) ¥ " x = (xn) n= Ỵ c0, $ phần tử q= ( 0,0, 0, ) Ỵ c0 Ta có: + xn = xn , " n ẻ Ơ * ị q + x = x , " n ẻ c0 Ơ " x = (xn) n= Ỵ c0 ta có: lim xn = ị lim (-xn) = nđ Ơ nđ Ơ Ơ ị Tn ti phn t x = (-xn) n= Ỵ c0, ta ln có: xn + ( -xn) = " n ẻ Ơ * ị x + (– x) = q ¥ " x = (xn) n= Ỵ c0 , " a b Ỵ ¡ ,ta có: ( a + b ) xn = a xn + byn, Þ ( a + b )x = a xn + bx "nẻ Ơ * Ơ Ơ " x = (xn) n= , y = (yn) n= ẻ c0, ị " n ẻ Ă ta có a (xn+yn) = a xn + a yn, " n ẻ Ơ * a (x+y) = a x + a y ¥ " x = (xn) n= Î c0, với phân tử đơn vị ¡ ta ln có: 1.xn = xn , " n ẻ Ơ * ị 1.x = x Vy c0 l khơng gian tuyến tính với phép cộng dãy số phép nhân số thực với dãy số xác định 3.2 Không gian định chuẩn c0 Định lý 3.2.1 c0 với chuẩn sau không gian định chuẩn x = sup xn , " x = (xn) Ơ , ẻ c0 (1) n= n Chứng minh Dễ dàng thấy công thức (1) cho ánh xạ từ c0 vào ¡ Ta kiểm tra tiên đề chuẩn ¥ " x = (xn) n= Ỵ c0, ta có xn ³ 0, " n ẻ Ơ * ị x = sup xn n Û x= q x = Û sup x = n Û xn = , " n ẻ Ơ * n Ơ " x = (xn) n= Ỵ c0 , " l Ỵ ¡ , sup l xk = l sup xn * " n ẻ Ơ ta cú: ị lx = l x n ¥ ¥ " x = (xn) n= ,y = (yn) n= Ỵ c0 xn + yn £ x + y , " n = 1,2 n n Þ xn + y n £ sup x n + sup yn " n = 1,2 Þ y x+ n £ n x + y Vậy c0 không gian định chuẩn 3.3 Không gian Banach c0 Định lý 3.2.2 Không gianđịnh chuẩn c0 không gian Banach Chứng minh (m) Giả xử: ( x ) ¥ (m) ( với x m= (m) ¥ dãy = (x ) m= c0 Nghĩa * ¥ ," m> 0, $m " e> Ỵ * m , p,n ¥ ta có " Î m m (m+ k) x < e , " m> x(m+ k) - x < e hay sup x m n n (m+ k) Þ xn n m lim x (m) nên tồi (0) Đặt x * * - x n < e " m> m0 " n,p ẻ Ơ (1) , , Suy ra, vi n cố định tuỳ ý dãy (x ( m) ) Ơ = x (0) , n mđ Ơ , " n,pẻ Ơ = (x nẻ Ơ n " * dãy số thực m= n (0) n )¥ n= Vì (1) khơng phụ thuộc n, cho p đ Ơ , ta c: (0) (m) xn - x n £ e , (m) Với m1 > m0, x * " m0 " n Ỵ ¥ (2) m> , Ỵ c0 nên " e> 0, $n0 Þ " n> n0 ta có: (m1 ) (m1 ) xn ( 0) + xn - xn < e + e = e (0) Þ lim x = nờn x(0) ẻ c0 nđ Ơ n * (m1) Î ¥ ,"n n :x ³ n