ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN TIN HỌC —OOO— BÀI TẬP MƠ HÌNH TÀI CHÍNH NHĨM Đồn Quyền Vương 1011256 Nguyễn Phương Thảo 1011387 Nguyễn Thị Minh Hằng 1011052 Lê Ngọc Thi Trần Thị Diễm Trang 1011227 Ngày tháng năm 2013 1011198 Bài Giả sử nhà mô giới tin giá trị biến đầu tư X tháng tới có phân phối khoảng [-12,24] Tìm VaR X cho tháng tới mức tin cậy α = 95% Giải X ∼ U(−12, 24) nên x + 12 F (x) = 24 + 12 x ≤ −12 x ∈ (−12, 24) x ≥ 24 với mức tin cậy α=0.95 ta có V aR(x) = −F −1 (1 − α) = −F −1 (0.05) = −(0.05 × 24 + 0.95 × −12) = 10.2 Bài Hàm quantile phân bố F định nghĩa sau F −1 (p) = inf{x : F (x) ≥ p} Chứng minh a) F −1 (F (x)) ≤ x ∀x ∈ R Giải F −1 (F (x)) = inf{y : F (y) ≥ F (x)} Đặt A= {y : F (y) ≥ F (x)} F −1 (F (x)) = inf A Ta có F (x) = F (x) ⇒ x ∈ A ⇒ inf A ≤ x ⇔ F −1 (F (x)) ≤ x b) F F −1 (p) ≥ p (đpcm) ∀p ∈ (0, 1) Giải F F −1 (p) = P X ≤ F −1 (p) = P (X ≤ inf{x : F (x) ≥ p}) Đặt A = {x : F (x) ≥ p}, x0 = inf A F F −1 (p) = P (X ≤ x0 ) = F (x0 ) Vì x0 ∈ A nên F (x0 ) ≥ p ⇒ F F −1 (p) ≥ p (đpcm) c) F (x) ≥ t ⇔ x ≥ F −1 (t) F (x) ≥ t ⇒ x ≥ F −1 (t) Giải Đặt A = {x : F (x) ≥ t}, ta có F (x) ≥ t ⇔ x ∈ A ⇒ x ≥ inf A ⇔ x ≥ F −1 (t) (đpcm) x ≥ F −1 (t) ⇒ F (x) ≥ t Giải x ≥ F −1 (t) ⇔ F (x) ≥ F F −1 (t) Vì F hàm tăng liên tục phải nên không làm đổi dấu bất đẳng thức F (x) ≥ F F −1 (t) ≥ t ⇒ F (x) ≥ t (đpcm) d) F (x) ≥ G(x) ∀x ∈ R ⇔ G−1 (p) ≥ F −1 (p) ∀p ∈ (0, 1) F (x) ≥ G(x) ⇒ G−1 (p) ≥ F −1 (p) Giải Chọn x = G−1 (p), ta có Áp dụng câu 7b F G−1 (p) ≥ G G−1 (p) ≥ p Áp dụng câu 7c F G−1 (p) ≥ p ⇔ G−1 (p) ≥ F −1 (p) (đpcm) G−1 (p) ≥ F −1 (p) ⇒ F (x) ≥ G(x) Giải Chọn p = G(x) G−1 (G(x)) ≥ F −1 (G(x)) Vì F hàm tăng liên tục phải nên không làm đổi dấu bất đẳng thức F G−1 (G(x)) ≥ F F −1 (G(x)) (1) Áp dụng câu 7a ta có x ≥ G−1 (G(x)) ⇔ F (x) ≥ F G−1 (G(x)) (2) Áp dụng câu 7b ta có F F −1 (G(x)) ≥ G(x) (3) từ 1,2,3 ta có F (x) ≥ F G−1 (G(x)) ≥ F F −1 (G(x)) ≥ G(x) ⇔ F (x) ≥ G(x) (đpcm) Hãy suy điều kiện tương đương cho FSD (First order Stochastic Dominance) viết dạng hàm quantile Giải ta có X Y ⇔G≥F Áp dụng câu 7d ta có G ≥ F ⇔ F −1 ≥ G−1 Vậy điều kiện tương đương cho FSD viết dạng hàm quantile X Y ⇔ F −1 ≥ G−1 Bài 2.1 Provide an example to show that the MV rule might not be consistent with expected utility criterion for risk averse decision makers Specifically, find two random variables with distribution function F, G respectively, with EX ≥ EY and σ (X) ≤ σ (Y ), and a utility function u (nondecreasing and concave) such that Eu (X) < Eu (Y ) Giải Cho biến ngẫu nhiên X,Y có phân phối thỏa điều kiện sau X 12 Y P(X) 0.2 0.8 18 P(Y ) 0.8 0.2 Xét quy luật MV X ≥M V Y ⇔ EX ≥ EY VarX ≤ VarY ta có EX = 0.2 × + 0.8 × 12 = 10 EY = 0.8 × + 0.2 × 18 = 10 VarX = E X − (E(X))2 = 16 VarY = E Y − (E(Y ))2 = 16 Vậy EX = EY VarX = VarY Xét tiêu chuẩn SSD X Y ⇔ Eu(X) ≥ Eu(Y ) ∀u ∈ U2 Xét hàm không giảm lõm u(x) = log x, ta có Eu(X) = log × 0.2 + log 12 × 0.8 ≈ 0.924 Eu(Y ) = log × 0.8 + log 18 × 0.2 ≈ 0.973 Nên Eu(X) < Eu(Y ) trái với tiêu chuẩn SSD Bài 2.3 Let X, Y be two random variables taking values in an interval [a, b] Show that (a) If X Y then X Y ⇔ F (x) ≤ G(x) ⇔ G(x) − F (x) ≥ Y Giải X x Y (đpcm) −∞ R (b) If X G(x) − F (x)dx ∀x ∈ R ⇔ X G(x) − F (x)dx ≥ ⇔ ⇔ Y then EX ≥ EY Giải X Y ⇔ Eu (X) ≥ Eu (Y ) ∀u ∈ U2 Chọn u0 (X) = X, u0 (Y ) = Y Ta có u0 ∈ U2 Nên Eu0 (X) ≥ Eu0 (Y ) ⇔ EX ≥ EY (d) If X (đpcm) Y and EX = EY , then Var (X) ≤ Var (Y ) Giải X Y ⇔ Eu(X) ≥ Eu(Y ) ∀u ∈ U2 Chọn u0 (X) = −X , u0 (X) = −2 < nên u0 hàm lõm, giả định b < nên u0 tăng đoạn [a, b], u0 ∈ U2 Áp dụng 2.3c ta có Eu0 (X) ≥ Eu0 (Y ) ⇔ E −X ≥ E −Y ⇔ E X ≤ E Y E(X) = E(Y ), nên E X − (E(X))2 ≤ E Y − (E(Y ))2 ⇔ Var(X) ≤ Var(Y ) (đpcm) Bài 3.9 Let h : [0, 1] → [0, 1] such that h(0) = 0, h(1) = and nondecreasing Let µ = h◦P (a) Let ∞ µ (X > t) dt − Cµ (X) = [1 − µ (X > t)] dt −∞ Show that FX−1 (1 − α)dh(α) Cµ (X) = Giải (b) For α ∈ (0, 1), let hα = I(1−α,1] (x) Verify that FX−1 (1 − t)dhα (t) V aRα (X) = FX−1 (α) = Giải ta có F −1 F −1 dt dt = (α) = {t:t1−α} {t:F (t) t) dt ∞ ∞ h0 P(X > t)dt = (1) µ(X > t)dt Theo câu a ta có ∞ FX−1 (1 − t)dhα (t) = µ(X > t)dt − ∞ = [1 − µ(X > t)]dt −∞ 0 [µ(X > t) − 1]dt µ(X > t)dt + −∞ Xét 0 [µ(X > t) − 1]dt = −∞ h (P(X > t)) − dt −∞ h (1 − F (t)) − h(1) dt = −∞ h (1 − F (t) − 1) dt = (*) −∞ = h (−F (t)) dt −∞ 0 −h (F (t)) dt = = −∞ −h (P(X < t)) dt −∞ Ta thấy t ∈ (−∞, 0), P(0) = ⇒ h(0) = 0 [µ(X > t) − 1]dt = Vậy Vậy (∗) = ⇒ −∞ ∞ FX−1 (1 − t)dhα (t) = [µ(X > t) − 1]dt Từ 1,2 ta có FX−1 (α) = FX−1 (1 − t)dhα (t) x (c) For α ∈ (0, 1), let hα = min{1, } Verify that 1−α FX−1 (1 − t)dhα (t) = 1−α Giải FX−1 (t)dt α (2) .. .Bài Giả sử nhà mô giới tin giá trị biến đầu tư X tháng tới có phân phối khoảng [- 12, 24] Tìm VaR X cho tháng tới mức tin cậy α = 95% Giải X ∼ U(− 12, 24 ) nên x + 12 F (x) = 24 + 12. .. + 12 F (x) = 24 + 12 x ≤ − 12 x ∈ (− 12, 24 ) x ≥ 24 với mức tin cậy α=0.95 ta có V aR(x) = −F −1 (1 − α) = −F −1 (0.05) = −(0.05 × 24 + 0.95 × − 12) = 10 .2 Bài Hàm quantile phân bố F định nghĩa... X 12 Y P(X) 0 .2 0.8 18 P(Y ) 0.8 0 .2 Xét quy luật MV X ≥M V Y ⇔ EX ≥ EY VarX ≤ VarY ta có EX = 0 .2 × + 0.8 × 12 = 10 EY = 0.8 × + 0 .2 × 18 = 10 VarX = E X − (E(X) )2 = 16 VarY = E Y − (E(Y ))2