bài tập mô hình tài chính 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa: Tốn-Tin học Bài tập MƠ HÌNH TÀI CHÍNH Giảng viên: TRẦN DUY HIẾN Nhóm: 22 Vy Văn Nghĩa 1011130 Nguyễn Công Thắng 1011191 Võ Quốc Phú 1011357 Nguyễn Trung Thành 1011386 TPHCM – 2013 10.2 Let and Let and a Verify that the price of a European call is $16.196 Ta có ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ( ) )( ) ( ) ) b Suppose you observe a call price of the $17 What is the arbitrage? Để tránh rủi ro nên mua 0.7 shares + mượn $53.804 bán option => Intial cash: Stock price after year Written call 0.7 purchased shares Repay loan Payoff $80 $0 $56 -$56 $0 $130 -$45.5 $91 -$45.5 $0 c Suppose you observe a call price of the $15.5 What is the arbitrage? We short 0.7 shares and invest $53.804 of the proceeds in Treasury bills Initial cash: Stock price after year $80 $0 -$56 $56 $0 Purchased call 0.7 short shares Investment Payoff $130 $45.5 -$91 $45.5 $0 10.6 Let and Let and Contruct the binomial tree for a European put option At each node provide the premium, , and B Ta có: { { { { { { Mơ hình nhị thức $169 $0 $130 $0 $100 $7.689 = -0.3088 B= 38.567 $104 $0 $80 $15.4396 = -0.775 B=77.439 $64 $31 10.10 Let a Verify that the binomial option price for an American call option is $18.283 Verify that there is never early exercise; hence, a European call would have the same price Ta có: ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) Tại thời điểm 3: ( ) ( ) ( , ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( ) ) ( , ) ( Tại thời điểm 2: ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Tại thời điểm 1: ( ) ( ) Ta có nhị thức với quyền chọn mua: $182.032 $87.032 $149.084 $56.22 $122.1 $32.971 $100 $18.282 $128.809 $33.809 $105.494 $15.044 $80 $6.694 $91.147 $0 $74.649 $0 $64.497 $0 From the above calculation you can see that the exercise value greater the roll back value” Hence the American call option is never exercise early, the American and European call have the same “18.282” If stock doesn’t pay dividend, then an American call and European call on this stock are worth the same b Show that the binomial price for a European put option is $5.979 Verify that put-call parity is satisfied ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) $182.032 $0 Ta có nhị thức với quyền chọn bán $149.084 $0 $122.1 $1.077 $128.809 $0 $105.494 $2.047 $100 $5.978 $80 $10.214 $91.147 $3.853 $74.649 $17.604 $64.497 $30.053 Verify that put-call parity is satisfied { c Verify that the price of an American put is $6.678 Tại thời điểm 3: ( ) ( , ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ( ) , ) Tại thời điểm 2: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Tại thời điểm 1: ( ) ( ) $182.032 $0 Ta có nhị thức với American put: $149.084 $0 $122.1 $1.077 $128.809 $0 $105.494 $2.037 $100 $6.677 $80 $11.67 $91.147 $3.853 $74.649 $20.351 $64.497 $30.053 10.12 Let a Contruct the binomial tree for the stock What are u and d? ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) Quyền chọn bán kiểu Châu Âu C Cu C C Cdd Ta có: ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( => Giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu là:$2.502 ) 10.18 Suppose the S&P 500 futures price is 1000, a What are the prices of Eupropean calls and puts for K=$1000? Why you find the prices to be equal? ( ) √ ( ) √ √ √ *Quyền chọn mua kiểu Mỹ ( ) Tính tốn cụ thể Ta có mơ hình nhị phân thời kì ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) { } { ( { } ) ( } Mơ hình nhị phân thời kì ( ( ) ) ) { } { } ( ) ( ) { } { } Mơ hình nhị phân thời kì ( ) ( ) { } { } => Giá quyền chọn mua kiểu Mỹ là:124.335 Quyền chọn mua kiểu châu Âu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) => Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu $122.954 Tại thời điểm ban đầu: ( ) ( ) Mơ hình nhị phân $1413.7 $407.14 $1189 $228.29 $1000 $122.594 $999.949 $84.96 $841 $38.168 $707.281 $0 Tính quyền chọn bán kiểu Mỹ: ( { ) } ( { ) } ( { { } ) } ( { ) } ( { ) } Mơ hình nhị phân thời kì ( { ) } { } Quyền chọn bán kiểu Mỹ $124.335 Mơ hình nhị phân thời kì Tính quyền chọn bán kiểu Châu Âu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =>Giá quyền chọn bán kiểu châu Âu $122.954 $1413.72 $0 $1189 $0 $1000 $122.954 $999.949 $84.96 $841 $84.96 $707.281 $287.938 Nhận xét : American call option= American put option Euorpean call option= Euorpean put option Tại thời điểm ban đầu: ( ) ( ) 12.3 Let a Compute the Black-Scholes call price for year to maturity and for a variety of very long times to maturity What happens to the option price as T ? Tính d1: ( ) ( ) ( ) ( √ ( ) √ ) Tính d2: √ √ ( ) ( ) ( ) =7.8966 Tính tương tự T=10, T=100,… ta có kết sau: T 10 100 1000 10000 100000 Nhận xét: Khi Call option 7.896 56.237 99.9631 100 100 100 giá quyền chọn mua tiến tới S=100 b Set Repeat (a) Now what happens to option price? What accounts for the difference? Với Ta có: ( ) ( ) ( ) ( √ ( √ ) √ √ ( ) ) ( ) ( ) Tính tương tự T=10, T=100,… ta có kết sau: T 10 100 1000 10000 100000 Nhận xét: Với Call option 7.896 55.37 90.45 36.788 0.0045 Khi giá quyền chọn mua tiến tới 12.6 Suppose XYZ is a nondividend-paying stock Suppose a What is the price of a 105-strike call option with year to expiration? Tính : ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( √ ) √ √ ( ) ( ) ( ) =16.327 b What is the 1-year forward price for the stock? Giá cổ phiếu sau năm: ( ) ( ) c What is the price of a 1-year 105-strike option, where the underlying asset is a futures contract maturing at the same time as the option? Giá thực giá sau năm: ( ) ( ) Tính d1: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) √ ( ( ) √ ) ( √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ) =16.32737 Nhận thấy call option câu a với câu c giá trị 12.7 Suppose a Compute the Black-Scholes price of a call ( ) ( √ √ √ √ ( ) ( ) ) ( ) b Compute the Black-Scholes price of a call for which How does your answer compare to that for (a)? The call premium is b is the same as the call premium in a This is because the call and put premium can be rewritten as: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) √ ) √ √ From the above equation, you see that instead of using and , we can replace with , replace with , and set This is also give us the correct option premium 12.9 Assume and the stock is to pay a single dividend of $2 tomorrow, with no dividends thereafter a Suppose S=$50 What is the price of a European call option? Consider and otherwise identical American call What is its price? When a stock pays discrete dividend, we’ll use equation ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) √ √ √ √ ( ) ( ) So the European call premium is Nếu tối ưu thực quyền chọn mua kiểu Mỹ, thời điểm tốt để thực trước trả cổ tức Bởi cổ tức trả vào ngày mai, thời điểm tốt để thực hơm Giá thị thực EV = 50 – 40 = 10, nhỏ giá quyền chọn mua kiểu châu Âu 10.258 Vì khơng tối ưu thực quyền chọn mua kiểu Mỹ Một số người nghĩ tối ưu thực quyền chọn mua kiểu Mỹ Nếu thực quyền chọn mua hôm nay, nhận cổ phiếu, trả cổ tức Vì tổng giá trị thực 12 Lập luận hoàn toàn sai lầm Nếu thực quyền chọn mua hôm sở hữu cổ phiếu, nhận $2 cổ tức vào ngày mai Tuy nhiên, sau cổ tức trả, giá cổ phiếu giảm lượng với mức cổ tức trả $2 (vì $2) Vì vậy, giá trị thực 10, 12 Và khơng tối ưu thực quyền chọn mua kiểu Mỹ b Repeat, only suppose S=$60 ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) √ √ The exercise value is Hence it’s optimal to early exercise the American put at c Under what circumstance would you not exercise the option today? Sẽ tối ưu để thực quyền chọn mua kiểu Mỹ thời điểm , giá trị thực quyền chọn mua kiểu Mỹ lớn giá quyền chọn kiểu Châu Âu Sẽ không tối ưu để thực quyền chọn mua kiểu Mỹ thời điểm , giá trị thực quyền chọn mua kiểu Mỹ nhỏ giá quyền chọn kiểu Châu Âu Tuy nhiên, cổ phiếu khơng trả cổ tức khơng tối ưu thực sớm quyền chọn mua Mỹ ... điểm 1: ( ) ( ) $18 2.032 $0 Ta có nhị thức với American put: $14 9.084 $0 $12 2 .1 $1. 077 $12 8.809 $0 $10 5.494 $2.037 $10 0 $6.677 $80 $11 .67 $ 91. 147 $3.853 $74.649 $20.3 51 $64.497 $30.053 10 .12 Let... ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) $18 2.032 $0 Ta có nhị thức với quyền chọn bán $14 9.084 $0 $12 2 .1 $1. 077 $12 8.809 $0 $10 5.494 $2.047 $10 0 $5.978 $80 $10 . 214 $ 91. 147 $3.853 $74.649 $17 .604 $64.497 $30.053... ( ) Tại thời điểm 1: ( ) ( ) Ta có nhị thức với quyền chọn mua: $18 2.032 $87.032 $14 9.084 $56.22 $12 2 .1 $32.9 71 $10 0 $18 .282 $12 8.809 $33.809 $10 5.494 $15 .044 $80 $6.694 $ 91. 147 $0 $74.649 $0