max,min - tim nghiem cua phuong trinh

Cho hàm số xác định trên tập Mệnh đề 1: Pt có nghiệm Mệnh đề 2: có nghiệm nghiệm đúng Mệnh đề 3: có nghiệm nghiệm đúng Ta có đôi chút lưu ý về như sau: Hiển nhiên phải là biểu thức chứa tham số rồi! *Nếu là một biểu thức độc lập,khi nhìn đề ta thấy ngay (Đề KA 2008,Bài 1 trên kia)thì ta áp dụng được ngay các mệnh đề trên! Với D là đk của bài toán(không phải khi nào việc tìm D cũng dễ dàng). *Nếu tham số đồng bậc, thì ta lo đi nhóm các nhân tử đồng bậc này với nhau.Nó sẽ có dạng: Nếu chỉ ra h(x) luôn hoặc luôn thì dễ dàng đưa về dạng sử dụng trực tiếp được mệnh đề! (Bài 2 là trường hợp đơn giản của TH này ,do tham số m chỉ có trong 1 hạng tử duy nhất!) Lý thuyết về cơ bản là vậy.Song để vận dụng 1 cách linh hoạt và thành thạo đòi hỏi chúng ta phải nắm thật chắc kĩ năng tìm D(đk,txd, .) và Max,Min của 1 hàm số!(Thông thường,khi đi thi ĐH thì chắc chắn ta sẽ sử dụng được PP đạo hàm,lập bảng biến thiên!) Nói chung,tùy từng bài cụ thể chúng ta sẽ quyết định nên sử dụng PP nào! Một số ví dụ và bài tập! Ví dụ 1:Tìm m để pt sau có nghiệm : Giải:Đặt Suy ra: Ycbt .Trên NB Bài tập tương tự:Tìm m để pt có nghiệm!(khi m là 1 hạng tử độc lập trong biểu thức!) 1/ (khá hay!) 2/ 3/ 4/ 5/ Ví dụ 2: Tìm m để pt sau có nghiệm: Giải: Nhận thấy : Nên Ta có: Ycbt Như vậy,qua vd này ta đã rút m qua 1 vế khi đánh giá biểu thức chứa biến của nó! Trong trường hợp này bt này luôn (+) và vd này không mấy phức tạp!Ta xét tiếp vd sau: Ví dụ 3:Tìm m để pt sau có nghiệm: Giải: ĐK: Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (*),Nên đặt do Lập BBT Ycbt VD4:Tìm m để pt sau có nghiệm: Giải:ĐK: Đặt do Ycbt Ở VD trên m bậc I .Kinh nghiệm cho thấy,ta phải đặt ẩn phụ để bài toán trở nên đơn giản hơn đối với việc xét các biến. Và hiển nhiên khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ mới và viết yêu cầu bài toán đối với ẩn phụ mới! 1/ 2/ 3/ Đây là một số bài tập dành cho phương trình!Bpt trình tương tự. Vd dạng này thì tham số(m) nó là một thừa số của 1 số hạng nào đó trong biểu thức. Ta có một số bài tương tự sau(khi tam số đồn bậc thì vấn đề cũng không khó khăn khi ta đặt nhân tử chung chúng lại!) Một số ví dụ liên quan đến BPT: VD 5: Tìm m để BPT : có nghiệm Giải: pt (*) <=> : Yêu cầu bt Ta có : Ycbt Ở VD này ta đã sử dụng mệnh đề 3 VD 6: m=? để BPT sau: có nghiệm? Giải:Bpt <=> Đặt khi đó : Ycbt có nghiệm với Dễ thấy (hoặc có thể dùng đạo hàm) : ( ycbt) Ở đây ta cũng đã sử dụng mệnh đề 3 VD 7: m=? BPT sau có nghiệm: Nếu như ta nhận xét biểu thức chứa biến ở vế phải >0 rồi thực hiện phép chia để đưa về dạng quen thuộc thì đó sẽ là một thất bại mang tính máy móc!Một chú ý mà không mấy khi ta nghĩ đến(có lẽ do tính đặc biệt của đề toán!) Biến đổi pt về dạng: (ok??) khi đó (*) <=> Đặt ( sử dụng đạo hàm hoặc miền giá trị) Bài toán trở thành: Tìm m để BPT có nghiệm Ycbt Vậy thỏa yêu cầu bài toán! *Ngoài đơn thuần sử dụng các mệnh đề trên thì việc biến đổi đại số 1 cách thông minh và linh hoạt cũng là điều đáng bàn. Nhận xét,đánh giá và khai thác tính đặc biệt của đề cũng là điều mà chúng ta phải rèn luyện!!!! *Đó là những dạng toán mà ta hay sử dụng khi tham số là đồng bậc hoặc nó chỉ chứa trong 1 số hạng độc lập! Còn khi vấn đề không dừng lại ở đó nữa thì sao? Cụ thể,trong các bài toán liên quan đến việc xét tính đồng biến và nghịch biến của 1 hàm số!Thì các Mệnh đề sau là tổng quát hơn! Với là biểu thức sau khi biến đổi toàn bộ về 1 vế Mệnh đề và được sử dụng trong bài toán sau đây: (Đk của t/s để hs luôn ĐB hoặc NB trên 1 miền) Bài toán: Cho hàm số ( là tham số) Tìm để hs ĐB(NB) trên Giải: Yêu cầu bài toán (Hàm ĐB) 1/ tim m de Phuong trinh co nghiem : Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số và y=g(m) cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: 1) Lập bảng biến thiên của hàm số . 2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số . Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì phương trình : có nghiệm Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm Giải: 1)Xét hàm số có tập xác định là D=R. Ta có: thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà đồng biến. Mặt khác: và . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm . 2) ĐK: Xét hàm số với Ta có: . vô nghiệm không đổi dấu trên D, mà Mặt khác: phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: . Giải: 1) Phương trình Xét hàm số với Ta có: . Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện: . Khi đó phương trình (Vì ) Xét hàm số với . Ta có: . Do . Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4] Suy ra phương trình có nghiệm Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên. Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải: Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này Ta có: . Hệ có nghiệm có nghiệm . . Xét hàm số với có . Vậy hệ có nghiệm . Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải: Ta có: . * Nếu vô nghiệm. * Nếu đúng có nghiệm Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có: . Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm . Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: . Giải: Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước Ta có: . Thay vào (1) ta được: (3). Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với đồng biến trên các khoảng và Suy ra hệ có nghiệm . Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số và . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm. Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: Giải: Đặt . Ta có phương trình : . Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt. Giải: Phương trình (do ) Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên . Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một nghiệm . Giải: Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó: Phương trình . Xét hàm số : với Ta có: với nghịch biến. Mà: và Vậy phương trình có đúng một nghiệm . Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt . Giải: Ta có : (do x=0 không là nghiệm phương trình ). Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) . Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn . Xét hàm số với . . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt . Vậy là những giá trị cần tìm. Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành (2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm . * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm ). * Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?. Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm. . . . Giải: 1) Điều kiện: . Phương trình Đặt Ta có phương trình : (1). Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm Xét hàm số với , có . Vậy phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện: Đặt Phương trình đã cho trở thành: (2). Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên của Suy ra (1) có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số với , có Suy ra là hàm đồng biến trên Vậy phương trình có nghiệm . 3) Điều kiện : . Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được: ( * ). Đặt Khi đó ( * ) trở thành: (3). Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(t) với , có: . . Vậy phương trình có nghiệm . Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn: Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t : . Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau: vì . Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình có nghiệm . có nghiệm trên . Giải: 1) Đặt và . Phương trình đã cho trở thành: (3) ( vì ). Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn . Xét hàm số với , ta có: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm . 2) Đặt . Với . Phương trình đã cho trở thành: Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2] Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt Giải: Điều kiện : . (Do ). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt . Đặt và (2) trở thành Từ cách đặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt . Xét hàm số với Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt . Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình có nghiệm trên D . Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta định giá trị của tham số: 1) Bất phương trình có nghiệm trên D 2) Bất phương trình có nghiệm trên D Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Giải: 1) Điều kiện : . Xét hàm số . . Suy ra . Vậy bất phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện : . Bất phương trình . Xét hàm số với . Ta có: và . Vậy bất phương trình có nghiệm . Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm (1) (2). Giải: 1) Đặt . Khi đó bất phương trình trở thành: (3). (1) có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số với , ta có: (do ). Suy ra (3) có nghiệm Vậy là những giá trị cần tìm. 2) Đặt . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: (1). * (2). Xét hàm số với , có có nghiệm . . tham số) Tìm để hs ĐB(NB) trên Giải: Yêu cầu bài toán (Hàm ĐB) 1/ tim m de Phuong trinh co nghiem : Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình. thành thạo đòi hỏi chúng ta phải nắm thật chắc kĩ năng tìm D(đk,txd, .) và Max,Min của 1 hàm số!(Thông thường,khi đi thi ĐH thì chắc chắn ta sẽ sử dụng