max,min - tim nghiem cua phuong trinh

Trong trường hợp này bt này luôn + và vd này không mấy phức tạp!Ta xét tiếp vd sau: Ví dụ 3:Tìm m để pt sau có nghiệm: Giải: ĐK: Nhận thấy x=0 không là nghiệm của *,Nên đặt do Lập BBT Yc

Cho hàm số xác định trên tập

Mệnh đề 1: Pt có nghiệm

Mệnh đề 2: có nghiệm

nghiệm đúng

Mệnh đề 3: có nghiệm

nghiệm đúng

Ta có đôi chút lưu ý về như sau:

Hiển nhiên phải là biểu thức chứa tham số rồi!

*Nếu là một biểu thức độc lập,khi nhìn đề ta thấy ngay (Đề KA 2008,Bài 1 trên kia)thì ta áp dụng được ngay các mệnh đề trên!

Với D là đk của bài toán(không phải khi nào việc tìm D cũng dễ dàng)

*Nếu tham số đồng bậc, thì ta lo đi nhóm các nhân tử đồng bậc này với nhau.Nó sẽ có dạng:

Nếu chỉ ra h(x) luôn hoặc luôn thì dễ dàng đưa về dạng sử dụng trực tiếp được mệnh đề!

(Bài 2 là trường hợp đơn giản của TH này ,do tham số m chỉ có trong 1 hạng tử duy nhất!)

Lý thuyết về cơ bản là vậy.Song để vận dụng 1 cách linh hoạt và thành thạo đòi hỏi chúng ta phải nắm thật chắc kĩ năng tìm D(đk,txd, )

và Max,Min của 1 hàm số!(Thông thường,khi đi thi ĐH thì chắc chắn ta sẽ sử dụng được PP đạo hàm,lập bảng biến thiên!)

Nói chung,tùy từng bài cụ thể chúng ta sẽ quyết định nên sử dụng PP nào!

Một số ví dụ và bài tập!

Ví dụ 1:Tìm m để pt sau có nghiệm :

Giải:Đặt

Suy ra:

Ycbt

Bài tập tương tự:Tìm m để pt có nghiệm!(khi m là 1 hạng tử độc lập trong biểu thức!)

2/

3/

4/

5/

Ví dụ 2:

Tìm m để pt sau có nghiệm:

Giải: Nhận thấy :

Nên

Ta có:

Ycbt

Như vậy,qua vd này ta đã rút m qua 1 vế khi đánh giá biểu thức chứa biến của nó!

Trong trường hợp này bt này luôn (+) và vd này không mấy phức tạp!Ta xét tiếp vd sau:

Ví dụ 3:Tìm m để pt sau có nghiệm:

Giải: ĐK:

Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (*),Nên

đặt

do

Lập BBT Ycbt

VD4:Tìm m để pt sau có nghiệm:

Giải:ĐK:

Đặt

do

Ycbt

Ở VD trên m bậc I Kinh nghiệm cho thấy,ta phải đặt ẩn phụ để bài toán trở nên đơn giản hơn đối với việc xét các biến.

Và hiển nhiên khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ mới và viết yêu cầu bài toán đối với ẩn phụ mới!

1/

2/

3/

Đây là một số bài tập dành cho phương trình!Bpt trình tương tự.

Vd dạng này thì tham số(m) nó là một thừa số của 1 số hạng nào đó trong biểu thức.

Ta có một số bài tương tự sau(khi tam số đồn bậc thì vấn đề cũng không khó khăn khi ta đặt nhân tử chung chúng lại!)

Một số ví dụ liên quan đến BPT:

Giải: pt (*) <=> :

Yêu cầu bt

Ta có :

Ycbt

Ở VD này ta đã sử dụng mệnh đề 3

Giải:Bpt <=>

Đặt

Dễ thấy (hoặc có thể dùng đạo hàm) :

( ycbt)

Ở đây ta cũng đã sử dụng mệnh đề 3

VD 7: m=? BPT sau có nghiệm:

Nếu như ta nhận xét biểu thức chứa biến ở vế phải >0 rồi thực hiện phép chia để đưa về dạng quen thuộc thì đó sẽ là một thất bại

mang tính máy móc!Một chú ý mà không mấy khi ta nghĩ đến(có lẽ do tính đặc biệt của đề toán!)

khi đó (*) <=>

Đặt

( sử dụng đạo hàm hoặc miền giá trị) Bài toán trở thành: Tìm m để BPT

có nghiệm

Ycbt

Vậy thỏa yêu cầu bài toán!

*Ngoài đơn thuần sử dụng các mệnh đề trên thì việc biến đổi đại số 1 cách thông minh và linh hoạt cũng là điều đáng bàn

Nhận xét,đánh giá và khai thác tính đặc biệt của đề cũng là điều mà chúng ta phải rèn luyện!!!!

*Đó là những dạng toán mà ta hay sử dụng khi tham số là đồng bậc hoặc nó chỉ chứa trong

1 số hạng độc lập!

Còn khi vấn đề không dừng lại ở đó nữa thì sao?

Cụ thể,trong các bài toán liên quan đến việc xét tính đồng biến và nghịch biến của 1 hàm số!Thì các Mệnh đề sau là tổng quát hơn!

Với là biểu thức sau khi biến đổi toàn bộ về 1 vế

Mệnh đề và được sử dụng trong bài toán sau đây: (Đk của t/s để hs luôn ĐB hoặc NB trên

1 miền)

Bài toán: Cho hàm số ( là tham số)

Tìm để hs ĐB(NB) trên

Giải:

1/ tim m de Phuong trinh co nghiem :

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số và y=g(m) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số

Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì phương trình :

có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Giải:

Ta có:

thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn Vậy phương trình vô nghiệm không đổi

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm

2) ĐK:

vô nghiệm

không đổi dấu trên D, mà

Mặt khác:

phương trình có nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

Giải:

1) Phương trình

Ta có:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm

2) Điều kiện:

Khi đó phương trình

Ta có:

Do

Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ

đi giải quyết phương trình này trước

Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia

Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên

Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:

Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này

Ta có:

Hệ có nghiệm có nghiệm

có

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:

* Nếu vô nghiệm.

có nghiệm

Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải:

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

Ta có: Thay vào (1) ta được:

(3)

Hệ có nghiệm có nghiệm Xét hàm số f(y) với

đồng biến trên các khoảng và

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số và

Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

Giải:

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt

Giải:

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một nghiệm

Giải:

Ta thấy để pt có nghiệm thì Khi đó:

Phương trình

Xét hàm số : với

Vậy phương trình có đúng một nghiệm

Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt

Giải:

Ta có : (do x=0 không là nghiệm phương trình )

Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên

miền xác định vừa tìm Cụ thể:

* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành

(2) Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm )

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?

Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

Giải:

1) Điều kiện:

Phương trình

Đặt

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm

2) Điều kiện:

Đặt

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên của

Suy ra (1) có nghiệm có nghiệm

Suy ra là hàm đồng biến trên

3) Điều kiện :

Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được: ( * )

Đặt

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác

định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình

có nghiệm

có nghiệm trên Giải:

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn

Xét hàm số với , ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm

Phương trình đã cho trở thành:

Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm

Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

Giải: Điều kiện :

(Do )

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt

Từ cách đặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình có nghiệm trên D

Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số

trên D, rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta định giá trị của tham số: 1) Bất phương trình có nghiệm trên D

2) Bất phương trình có nghiệm trên D

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

Giải:

1) Điều kiện :

Xét hàm số

2) Điều kiện :

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm

(1)

(2)

Giải:

1) Đặt Khi đó bất phương trình trở thành:

(3)

(1) có nghiệm có nghiệm Xét hàm số với , ta có:

(do )

Suy ra (3) có nghiệm

Vậy là những giá trị cần tìm

2) Đặt Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

(1)

* (3).

Vậy là những giá trị cần tìm

Giải:

Đặt

Xét hàm số trên , ta có:

Ví dụ 4: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Giải: Điều kiện:

Ta có:

Hệ có nghiệm có nghiệm

Ví dụ 5: Tìm tất cả giá trị của tham số a để hệ sau có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện

Giải: Điều kiện :

(3)

Xét hàm số f(t) với , có

( * )

phương trình vô nghiệm

Vậy là những giá trị cần tìm

Chú ý : Để bất phương trình : nghiệm đúng với

Giải:

( * ) Xét hàm số

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với nghiệm đúng với

là những giá trị cần tìm

Giải:

Đặt

Yêu cầu bài toán nghiệm đúng

Xét hàm số với , ta thấy là hàm đồng biến trên

Suy ra

Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi

Giải:

Chia hai vế bất phương trình cho và đặt , ta được:

(1)

Với

Yêu cầu bài toán

Bài tập

ĐS:

3) Tìm a để phương trình có nghiệm ĐS:

nghiệm duy nhất ĐS :

6) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình : nghiệm đúng với mọi giá trị

7) Xác định các giá trị m để bất phương trình : được thỏa mãn với mọi

10) Tìm m để bất phương trình có nghiệm

11) Tìm để bất phương trình: có nghiệm