Tiết 39: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Viết ph ơng trình mặt phẳng qua M0 và đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng P và Q... I.Lý thuyết :•Nắm vững bài toán cơ bản về viết ph ơng trình mặt phẳng.. Phải biết một điểm của

Ng êi thùc hiÖn: NguyÔn ThÞ V©n

tiÕt 39: ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

BÀI GIẢNG MÔN TOÁN

n ( A;B )

∆ Trong hệ tọa độ Oxy

Định lý:Trong hệ tọa độ Oxy

đều có ph ơng trình dạng:

Ax +By + C = 0,A2+ B2 ≠

Và ng ợc lại mọi ph ơng trình

ax +Bx +C = 0, với A2 +B2 ≠ 0

đều là ph trinh một mặt phẳng

Vấn đề véc tơ pháp tuyến trong hệ Oxyz

∆

Tại sao đ ờng thẳng trong không gian không thể chọn đ ợc một véc tơ pháp tuyến?

Tại sao đ ờng thẳng trong không gian không thể chọn đ ợc một véc tơ pháp tuyến?

P

n ( A;B;C )

Mặt phẳng trong không gian có thể chọn đ ợc một véc tơ pháp tuyến?

Mặt phẳng trong không gian có thể chọn đ ợc một véc tơ pháp tuyến?

Định lý:Trong hệ tọa độ Oxyz mọi

mặt phẳng đều có ph ơng trình dạng:

Ax +By + Cz + D = 0,A2+ B2+ C2 ≠ 0

Và ng ợc lại mọi ph ơng trình

Ax +By +Cz + D = 0,

với A2 +B2+C2 ≠ 0đều là ph trinh một

mặt phẳng

véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

ph ơng trình tổng quát của mặt phẳng

Tiết 39

n ( A;B;C ) là véc tơ pháp tuyến của mp (P)

n  (P)

P

  A2+ B2 + C2 ≠ 0

Các véc tơ k n cũng là véc tơ pháp tuyến

Nghe ghi tú

m tắt :

2.Ph ơng trình tổng quát của mặt phẳng

a.Định lý:Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x;y;z) Thỏa mãn một ph ơng trình dạng: Ax +By + Cz + D= 0 (*),

với A2 + B2+C2 ≠0

Và ng ợc lại:

Tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn ph ơng trình (*) là một

Trong hệ tọa độ Oxyz

• M(x0 ;y0;z0)

n ( A;B;C )

P



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

 A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0

 Ax + By+ C z - Ax0 – B y0 – C z0 = 0

•

M (x ;y;z)

M (x ;y;z)  (P) )  n  M

0M

Đặt bằng D

Ng ợc lại

Ax +B y + Cz + D = 0 (*) Chọn M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*) Có: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = 0 (**) A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0

=>

=> n( A;B;C )  M0M Mmp qua M0 vuông góc với n

 Ax + By+ C z + D = 0

A2+B2+C2 ≠ 0

M (x ;y;z) thỏa mãn pt

Trong hệ tọa độ Oxyz



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

A2+B2+C2 ≠ 0

Ph ơng trình

Ng ợc lại

Ng ợc lại

Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0

Với: A2+B2+C2 ≠ 0

Chọn đ ợc: M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*)

Và một véc tơ pháp tuyến

n ( A;B;C )

Bài 1:

Viết ph ơng trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Trong hệ toạ độ Oxyz cho A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4)

Bài giải



(P) thỏa mãn Qua I ?

1Vtpt n =?

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB



(P) thỏa mãn Qua I (2;-2;2)

1Vtpt AB (6;-10;4)

Ph ơng trình (P):

3x-5y +2z – 20 = 0

Trong hệ tọa độ Oxyz



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

A2+B2+C2 ≠ 0

Ph ơng trình

Bài 2 : Viết ph ơng trình mặt phẳng

Bài giải

Đi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)

Đi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)

Vtpt n = [AB;AC]

AB = ( 1; 2 ; 0)

AC = ( 1; 0 ; -5) Vtpt n = [AB;AC] = (-10 ; 5 ; -2)

(ABC) qua A(-1; 0; 0 )

Pt.(ABC) là : 10x – 5y + 2z – 10 = 0

Trong hệ tọa độ Oxyz



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

A2+B2+C2 ≠ 0

Ph ơng trình

Bài 3 : Viết ph ơng trình mặt phẳng

Bài giải

Đi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)

Đi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)

Ph.trình (ABC) :

10 x -5y + 2z -10 = 0

x

= 1

Trong hệ tọa độ Oxyz



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

A2+B2+C2 ≠ 0

Ph ơng trình

Bài 3 : Viết ph ơng trình mặt phẳng

đi qua điểm M0 (3;0 ;-1) và song song với mặt phẳng (Q) có ph ơng trình:

4x -3y +7z +1 = 0

Bài giải

Q

n ( 4;-3; 7 )

P

Mặt phẳng () Qua M0( 3;0;-1) 1vtpt ( 4;-3;7)

=> Ph ơng trình ():

4x – 3y +7z -5 = 0

Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn :

Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2)

 (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0

Kết luận nào sau đây đúng?

a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P)

b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P)

c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P)

ViÕt pt mÆt ph¼ng (P) tháa m·n :

§i qua A(2;-3;1) vµ B ( 0 ; 1 ; -2)

 (Q)_cã pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0)_cã pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0cã pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0

V× (P)  (Q) => (P) cã 1 vtcp u (3;5;-4)

Bµi gi¶i

V× (P) qua A(2;-3;1) vµ B(0;1;-2) Nªn (P) cã mét vtcp kh¸c lµ AB ( -2;4; -3)

=> VÐc t¬ n = [ u ,AB] = (1; 17 ; 22) lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña (P)

=> Ph ¬ng tr×nh (P) lµ x +17y +22 z +27 = 0 (P) Qua A(2;-3;1)

Trong hệ tọa độ Oxyz



(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt n ( A;B ;C)

A2+B2+C2 ≠ 0

Ph ơng trình

* Mặt phẳng (P)  (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0)

nQ = ( A,B,C)  (Q)

uP = ( A,B,C) // (P)

Nếu

Thì mp (P) có 1 vtcp

*) (P) // (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0) chung vtpt

Bài tập 5:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần

l ợt có ph ơng trình:

3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0 Một điểm M0 ( 1;-4;0)

Viết ph ơng trình mặt phẳng() qua M0

và đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài giải:

Vì ()  (P) => () có 1 vtcp u (3;2;-5) Vì ()  (Q) => () có 1 vtcp v (1;-7;6) [u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ 0

Chọn vtpt của () là n (23; 7;23) () qua M0(1;-4 ; 0)

H×nh thøc thø nhÊt :Cho trùc tiÕp

n ( A;B;C )

H×nh thøc thø hai :cho gi¸n tiÕp

• A(x1;y1;z1)

• B(x 2 ;y 2 ;z 2 )

n = AB  (P)

P

TH1:

H×nh thøc thø hai :cho gi¸n tiÕp

u

v

u v

// hoÆc n»m trªn (P) // hoÆc n»m trªn (P)

n = [ u ; v ]

P

TH2:

u vµ v kh«ng cïng ph ¬ng

n = [ u ; v ]

H×nh thøc thø hai :cho gi¸n tiÕp

P Q

(P) // (Q) Ph.tr×nh (Q) :Ax + By +Cz + D1 = 0

nQ = ( A,B,C)  (Q)

nP = ( A,B,C)  (Q)

TH3:

Chó ý:

nQ = ( A,B,C)  (Q)

Q P

nP = ( A,B,C) // (P)

I.Lý thuyết :

•Nắm vững bài toán cơ bản về viết ph ơng trình mặt phẳng (Phải biết một điểm của mặt phẳng

và một Vtpt của mặt phẳng)

•Nắm vững cách xác định một véc tơ chỉ ph ơng của mặt phẳng

•Nắm vững cách xác định một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

I•Bài tập:

Từ 1 đến 8 trang82 và 83 (Sgk)

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy (c«) vµ c¸c em häc sinh

Xin chµo vµ hÑn gÆp l¹i !

10