Tiết 39: Phương trình tổng quát một mặt phẳng

Sở giáo dục đào tạo hải phòng Trường thpt bán công vĩnh bảo ======***====== Môn: Toán lớp 12 Tiết dạy: 39 phương trình tổng quát mặt phẳng Giáo viên: Vũ Phú Bình Vĩnh Bảo, tháng năm 2005 1.Câu hỏi kiểm tra: Các mệnh đề sau hay sai ? a Tồn mặt phẳng () qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng d cho trước b Có Đ vô số đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước § c NÕu [ a, b ] = th× a, b không phương S d Nếu [ AB, AC ] A,B,C không thẳng hàng Đ e NÕu [ a, b ] c = th× a, b, c cïng ph­¬ng S TiÕt 39 : ph­¬ng trình tổng quát mặt phẳng Véctơ pháp tuyến mặt phẳng: a Định nghĩa: Véctơ n gọi véctơ pháp tuyến mặt phẳng () nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () (Gọi tắt véctơ vuông góc với mặt ph¼ng (α) ) Ký hiƯu: n ⊥ (α) → n Câu hỏi : Một mặt phẳng có véctơ pháp tuyến? Vì sao? n Tiết 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét 1: Nếu nlà véctơ pháp tuyến mặt phẳng () véctơ k n 0) véctơ pháp tuyến mặt phẳng () (k Câu hỏi: Một mặt phẳng có hoàn toàn xác định hay không biết véctơ pháp tuyến n cña nã? k → n α → n TiÕt 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét 2: Một mặt phẳng () hoàn toàn xác định biết điểm thuộc véctơ pháp tuyến n n M0 Tiết 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng → →→ n =[ a , b ] → b α → a b Chó ý: + Trong kh«ng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a b không phương đường thẳng chứa chúng song song nằm mặt phẳng () n =[ a , b ] véctơ pháp tuyến mặt phẳng (), hai véctơ a b gọi cặp véctơ phương mặt phẳng () Tiết 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng M2# M1 # M3 + Nếu mặt phẳng () cho ba điểm M1, M2 M3 không thẳng hàng hai véctơ M1M2 M1M3 cặp véctơ phương mặt n phẳng () = [M1M2, M1M3] véctơ pháp tuyến mặt phẳng () Tiết 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng Ví dụ: Trong không gian với hệ trục oxyz Cho véctơ sau: z → k = (0 ; ; 1) → → k i = (1 ; ; 0) → j → j = (0 ; ; 0) → n = (0 ; ; 5) → i x → m= (0 ; ; 1) HÃy véctơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy y Đáp án Mặt phẳng Oxy có véctơ pháp tuyến cần tìm là: k = (0 ; ; 1) → n = (0 ; ; 5) z k j i x y Phương trình tổng quát mặt phẳng a Bài toán: Cho mặt phẳng () qua điểm M0 = (xo; yo; zo) có véctơ pháp tuyến n = (A; B ; C) Tìm điều kiện cần đủ ®Ĩ ®iĨm M = (x; y ; z) thc mỈt ph¼ng (α) n M# # α M0 n M# # Giải: M0 Điểm M = (x; y; z) (α) vµ chØ M0M ⊥ n ⇔ M0M n = ⇔ A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = ⇔ Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = ⇔ Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 ≠ 0) Víi D = - (Ax0 + By0 + Cz0) b Định lý: Mỗi mặt phẳng tập hợp điểm có toạ độ (x ; y ; z) thoả mÃn phư c Định nghĩa: ơngChú ý: Phương trình dạng+ By++By + Cz + D = 02 + B22 + B22+ C2 (1) d trình dạng: Ax Ax Cz + D = (A (A + C 0) 0) gọi phương trình tổng quát toạ mặt phẳng Ngược lại tập hợp điểm có độ thoả mÃn phương trình (1) #Mặt phẳng () qua điểm M0 = (x0 ; y0 ; z0) có véctơ pháp tuyến mặt phẳng n = (A; B; C) phương trình có dạng: A (x-xo) + B (y-yo) + C (z-zo) = #Mặt phẳng () có phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = n= (A; B; C ) véctơ pháp tuyến Ví dụ: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng () qua điểm M(2; 1;-5) song song với mặt phẳng (): x + 3y + z - = n β M# Giải Mặt phẳng () : x +3y +z – = =>n =(1; 3; 1) lµ métVTPT cña (β) (α) // (β) => n = (1; 3; 1) véctơ pháp tuyến mặt phẳng () Vậy phương trình tổng quát mặt phẳng () (α): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = ⇔ x + 3y + z = Các trường hợp riêng phương trình tổng quát a D = phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ b Nếu A = 0, B 0, C phương trình mặt phẳng có dạng: By + Cz + D = mặt phẳng song song chứa trục Ox z k j i y α x d c NÕu A NÕu A ≠ 0, BC ≠ z≠ 0, D ta đặt phẳng có dạng = 0, B = 0, 0, C phương trình mặt D D D = − ,b = − ,c − Cz + D = 0alà mặt phẳng song=song trùng với mặt phẳng Oxy A B C x + y + z =1 a b ck phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn j y i z x # α x # # y Vi dô 1: Trong kh«ng gian víi hƯ trơc 0xyz cho ®iÓm A (1;2;3), B (-1; 0; 2), C (3; 2; 5) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C Gi¶i: Ta cã AB = (-2;-2;-1) AC = (2; 0; 2) [AB, AC] = (-4; 2; 4) Vậy: Mặt phẳng () nhận n = (-4; 2; 4) véctơ pháp tuyến: => phương trình (): 4(x-1) 2(y -2) – 4(z - 3) = ⇔ 2x – y – 2z + = VÝ dô 2: Trong kh«ng gian víi hƯ trơc 0xyz cho điểm M = (2;-1;1), N (4;3;1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực () đoạn thẳng MN Giải: Gọi I trung điểm MN => I = (3; 1; 1) ta có mặt phẳng () qua điểm I nhận véctơ n = MN = (2; 4; 0) làm véctơ pháp tuyến => phương trình () là: 2(x-3) + 4(y-1) + 0(z-1) = ⇔ x + 2y – = # M # I # N Tổng kết: Nếu mặt phẳng () qua điểm M (x0;y0;z0) có véttơ pháp tuyến n = (A; B; C) có phương trình là: A (x- x0) + B(y-y0) + C(z – z0) = 2.C¸ch xác định véctơ pháp tuyến mặt phẳng: - Dựa vào cặp véctơ phương a, b => n = [ a, b] - Dựa vào mối liên hệ quan hệ song song vuông góc Bài tập nhà: 2, 3, 5, 8: (SGK/ 82-83) Các thầy cô giáo em học sinh  ... riêng phương trình tổng quát a D = phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ b Nếu A = 0, B 0, C phương trình mặt phẳng có dạng: By + Cz + D = mặt phẳng. .. song nằm mặt phẳng () n =[ a , b ] véctơ pháp tuyến mặt phẳng (), hai véctơ a b gọi cặp véctơ phương mặt phẳng () Tiết 39 : phương trình tổng quát mặt phẳng M2# M1 # M3 + Nếu mặt phẳng () cho... (z-zo) = #Mặt phẳng () có phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = n= (A; B; C ) véctơ pháp tuyến Ví dụ: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng () qua điểm M(2; 1;-5) song song với mặt phẳng