Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng

DĐ: 01694 013 498 SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Gửi tặng: Mathvn.com Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳn

DĐ: 01694 013 498

SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Gửi tặng: Mathvn.com

Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước, học sinh và đôi khi là giáo viên sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng, phương pháp đó cũng khá là ngắn gọn và hay nhưng hiện nay chỉ dùng phương pháp đó với hình thức tham khảo, điều đó làm khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài tập, cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy Bài viết này hi vọng sẽ giúp đỡ các em, cũng như các bạn đồng nghiệp không cần sử dụng phương pháp đó vẫn có thể làm bài tập, không những chỉ làm với dạng bài tập đó mà còn

mở rộng sang các dạng khác

Một số dạng cụ thể

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước

Điều kiện cho trước là

- Vuông góc với hai mặt phẳng cho trước

- Song song với hai đường thẳng cho trước

- Vuông góc với một mặt phẳng và song song với một đường thẳng cho trước…

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước

Điều kiện cho trước là

- Vuông góc với một mặt phẳng cho trước

- Song song với một đường thẳng cho trước

- Tạo với một mặt phẳng một góc cho trước…

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước

- Đi qua một điểm không thuộc đường thẳng đã cho

- Song song với một đường thẳng cho trước

- Vuông góc với một mặt phẳng cho trước

- Tiếp xúc với một mặt cầu cho trước

- Tạo với đường thẳng hay mặt phẳng một góc cho trước…

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau

Phương pháp chung cho tất cả các dạng:

Bước 1: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

 mặt phẳng có vtpt n A B C; ; 

Bước 2: Từ điều kiện giả thiết dẫn tới một hệ ba phương trình 4 ẩn là A B C và , , D

DĐ: 01694 013 498

Bước 3: Từ 2 trong 3 phương trình ta rút C và D theo A và B từ đó sẽ dẫn tới hai dạng phương trình là

TH 1:  A B , chọn 0 A,B   C D,  phương trình mặt phẳng cần tìm

2 0

A AB B

  

  quay lại TH 1  phương trình mặt phẳng cần tìm

Để đơn giản, khi giải phương trình   ta có thể chọn luôn B 1  A2  A 0

Chú ý:

- Đối với TH1 khi rơi vào trường hợp đặc biệt là  A0 A0 thì ta chọn B 1 (vì   ) và ngược lại 0

- Thông thường để sử dụng phương pháp này thì bao giờ cũng phải có ba điều kiện thì sẽ tương đương với một

hệ bốn ẩn, ba phương trình và ta làm như trên

- Để giảm độ phức tạp ta sẽ dùng phương pháp “dồn ẩn” như sau

Giả sử A 0 khi đó ta chia hai vế cho A ta được x B y C z D 0

A A A

    Đặt B b,C c,D d

A  A  A 

xbyczd  b c  , thì khi gặp ba điều kiện của giả thiết ta được ba phương trình

ba ẩn, bấm máy tính là xong, tuy nhiên chúng ta phải thử trước nhé, biết đâu A 0 thì sao?

- Vì  2 2 2 

0

A B C  tức là ít nhất một trong ba hệ số A, B và C phải khác 0 nên ta có thể tính A và D theo B

và C hoặc A và C theo B và D hoặc A và B theo C và D hoặc B và C theo A và D điều này không ảnh hưởng gì

tới kết quả của bài toán

- Ở đây Tôi chỉ dụng phương pháp tổng quát, còn các phương pháp khác hiệu quả hơn (xem trong chuyên đề mặt phẳng – đường thẳng – mặt cầu của Tôi), tuy nhiên trong một số trường hợp nếu không dung phương pháp tổng quát (không tính phương pháp chùm) thì làm sao đây…

Bài tập minh họa cho các dạng:

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng   đi

qua điểm M2; 1; 2 , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng   : 2xy3z40

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng   đi qua điểm M2; 1; 2   A.2B.( 1) C.2D0 1 

- Mặt phẳng   song song với trục Oy n j. 0 A.0B.1C.00 2 

- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng   n n   0 A.2B. 1 C.30 3 

Giải hệ (1), (2) và (3)  A3,B0,C  2,D  2

Vậy mặt phẳng   có phương trình là : 3 – 2 – 2x z 0

Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm

3; 1; 5

M   đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng   : 3 – 2x y2z70 và   : 5 – 4x y3z 1 0

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

DĐ: 01694 013 498

- Mặt phẳng   đi qua điểm M3; 1; 5   A.3B.( 1) C. 5 D0 1 

- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng   n n   0 A.3B. 2 C.20 2 

- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng   n n   0 A.5B. 4 C.30 3 

Từ (1) và (2) ta được 3 , 6 21

C B A D B A thế vào (3) ta được A2B chọn

Vậy phương trình mặt phẳng   là 2 xy– 2 – 15z  0

Bài 3: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A0;1; 2 và hai đường thẳng

1

2

x t

x y z

z t

 





  



Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A đồng thời song song với d và d’

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng   đi qua điểm M A.0B.1C.2D0 1 

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d n u.d 0 A.2B.1C. 1 0 2 

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d ’ ' 0 1  2 1 0 3 

d

Từ (1) và (2) ta được C 2AB D,  4A3B thế vào (3) ta được A3B chọn

Vậy phương trình mặt phẳng   là x3y5z130

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3 và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc tương

ứng là 45 , 30 0 0

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng 2 2 2

AxByCzD A B C  Gọi n A B C ; ; 

là vtpt của mặt phẳng  P Các vtcp của trục Ox và Oy là i1; 0; 0

và j0;1; 0

Theo giả thiết ta có hệ

0

2 2 2

2 2 2 0

2 2 2

1 sin 45

2 2

2 1 sin 30

2

A













Chọn B 1 ta được A  2,C  1

Vậy phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3 là

2 x1  y2  z3 0; 2 x1  y2  z3 0

DĐ: 01694 013 498

Bài 5: Cho mặt phẳng  P có phương trình xy2z và điểm 0 M2; 3;1  Viết phương trình mặt phẳng

 Q đi qua M vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc 45 0

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng 2 2 2

AxByCzD A B C  Gọi n A B C ; ; 

là vtpt của mặt phẳng  Q Theo giả thiết ta có hệ phương trình

2 2 2

1 2

A













Giải hệ trên ta được n1;1; 0 , n 5; 3; 4 

Vậy phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm M2; 3;1  là

1 0

x y  hoặc 5x23y34z10

Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

x y z

   và điểm

0; 2; 0 

M  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

axbyczd  a b c 

Phẳng phẳng  P đi qua M0; 2;0 d 2bsuy ra P :axbycz2b0

Đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;0) và có một vectơ chỉ phương u  (1;1; 4)

Từ giả thiết ta có

2 2 2

4

n u a b c P

a b

d A P

a b c









 

4

2

a c

a c







  



Với a 4

c  chọn a4,c 1 b  Phương trình mặt phẳng 8  P1 : 4x8y z 160

Với a 2

c   chọna2,c  1 b Phương trình mặt phẳng 2  P2 : 2x2y z 40

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng  Q :xyz0 và cách điểm

1; 2; 1

M  một khoảng bằng 2

Giải:

Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với  2 2 2 

0

Vì (P)  (Q) nên 1.A1.B1.C0 ABC 0C   A B (1)

2 2 2

2

A B C

(2)

DĐ: 01694 013 498

Thay (1) vào (2) , ta được : 2

0

5

B

B







  



TH 1:B0(1) C  A Chọn A1,C   thì 1  P1 :xz0

TH 2: B = 8

5

A

 Chọn A5, B  1 (1) C  thì 3  P2 : 5x8y3z0

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

x y z 

  và điểmM0;3; 2  Viết

phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song  và khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 3

HD:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng  2 2 2 

AxByCzD A B C 

Từ giả thiết ta có hệ

2 2 2

3













8

 



   



TH 1: B 2C chọn C  1,B2A2,D  8

TH 2: B 8Cchọn C 1,B  8 A4,D26

(d( ;  P )d M( , P ), với M(0; 0; 1) )

Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2x2yz– 80; 4 – 8x y z 260

Bài 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  , mặt

phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

axbyczd  a b c 

Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) a x 1b y 1c z 20

Mặt cầu (S) có tâm I1; 2; 2  bán kính R = 2

Mặt phẳng (Q) có VTPT n Q (2;1; 6)

Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên

2 2 2

3

2

b















2

(I)

2

 







 









DĐ: 01694 013 498

Nếu c = 0 thì a = b = 0 (loại) suy ra c 0

TH 1: Chọn c 1 a1,b1 P1 : 2x2y z 60

TH 2: Chọn 1 11, 5

2

c a b   2      

11

2

Chú ý:

Nếu thay đổi giả thiết là (P) đi qua một điểm M, song song với đường thẳng d và tiếp xúc với một mặt cầu thì

cũng làm tương tự

Bài 10: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x y  z 3 0

và  Q :xy  z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R vuông góc với  P và  Q sao cho khoảng cách từ

O đến  R bằng 2

Giải:

Giả sử mặt phẳng  R có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  P n n R P 0 A.1B.1C.10 1 

- Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  Q n n R Q 0 A.1B. 1 C.10 2 

- Khoảng cách 0;    2 2 2 2  3

2

D

Cộng (1) và (2) ta được AC0, chọn A 1 C  1,B0 kết hợp với (3) ta được hai phương trình mặt phẳng cần tìm là  R1 :x z 2 2  và 0  R2 :x z 2 20

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 11: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng   đi

qua hai điểm M1; 0;1 ,  N5; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng   : 2 –x yz– 70

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng   đi qua M1;0;1  A.1B.0C.1D0 1 

- Mặt phẳng   đi qua N5; 2;3  A.5B.2C.3D0 2 

- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng   n n   0 A.2B. 1 C.10 3 

Từ (1) và (2) ta đượcC – 2 – ,A B D AB thể vào (3) ta được –2B 0 chọn A1,B 0C2,D 1 Vậy phương trình mặt phẳng   là x– 2 1z  0

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm

2;1;3 , 1; 2;1

M N  và song song với đường thẳng d có phương trình là:

1

x t

d y t

  









   



Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

DĐ: 01694 013 498

- Mặt phẳng   đi qua M2;1;3 A.2B.1C.3D0 1 

- Mặt phẳng   đi qua N1; 2;1   A.1B. 2 C.1D0 2 

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d n u.d 0 A.1B.2C. 2 0 3 

Từ (1) và (2) ta được 1 3 , 1 7

C   A B D  A B thế vào (3) ta được 2A 5B chọn

Vậy phương trình mặt phẳng   là 5 2 1 19 0 10 4 19 0

x y z   x y z 

Bài 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M  1;1; 0, N0; 0; 2  và I1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ I tới mặt phẳng  P bằng 3

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng  P đi qua M  1;1; 0 A. 1 B.1C.0D0 1 

- Mặt phẳng  P đi quaN0; 0; 2   A.0B.0C.2D0  2

Từ (1) và (2) ta được 1 ,

2

C AB D AB

Nên mặt phẳng  P có phương trình là 1    0

2

AxBy AB z AB 

Theo giả thiết

 

2

2 2

1

7 2

5 1

2

A B A B A B

A B A B

TH 1: A 1

B   chọn A1,B  1 C 1,D2 P :xy z 20

TH 2: 7

5

A

B  chọn A7,B5C1,D2 P : 7x5y z 20

Bài 14: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh

1; 2;1 ,  2;1;3 , 2; 1;1

cách từ C đến mặt phẳng  P bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng  P

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

axbyczd  a b c 

- Mặt phẳng  P đi qua A1; 2;1 a.1b.2c.1d 0 1 

- Mặt phẳng  P đi quaB  2;1;3 a.2b.1c.3d 0 2 

Từ (1) và (2) ta được 3 1 , 5 

c a b d   ab

DĐ: 01694 013 498

Nên mặt phẳng  P có phương trình là 3 1 5  0

axby a b z  ab 

Theo giả thiết d C P , d D P , 

 

3

b







 Với 2a4b chọn a4,b2c7,d  15 P1 : 4x2y7z150

b a c d    P x z   P x z 

Bài 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểmA0; 1; 2 , 

1; 0;3

B và tiếp xúc với mặt cầu  S có phương trình:(x1)2 (y2)2 (z1)2 2

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

axbyczd  a b c 

- Mặt phẳng  P đi qua A1; 2;1 a.0b. 1 c.2d 0 1 

- Mặt phẳng  P đi quaB  2;1;3 a.1b.0c.3d 0 2 

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1  và có bán kính R  2

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu        

2 2 2

.1 2 1

Từ (1) và (2) ta được c  a b d, 2a3b thể vào (3) và rút gọn ta được 2 2

1

8 3

a b

a b



 



  



TH 1: a 1

b   Chọn a 1,b  1 c0,d   , suy ra phương trình 1  P1 :xy 1 0

TH 2: 8

3

a

b   Chọn a8,b  3 c 5,d 7, suy ra phương trình  P2 : 8x3y5z70

Bài 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0; 1; 2) và N ( 1;1;3) Viết phương trình

mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K0; 0; 2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất

Giải:

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N nên ta có

DĐ: 01694 013 498







Từ (1) và (2) ta được A2BC,DB2C

  P : 2B C x By Cz B 2C 0

Khoảng cách từ K đến mp(P) là:  ,  

B

TH 1: Nếu B 0 thì d K , P 0 (loại)

TH 2: Nếu B 0thì  ,   2 2 1 2 1

2

B

d K P

B

Dấu “=” xảy ra khi B = – C Chọn C = 1 và B = – 1

Vậy phương trình mặt phẳng  P :xy–z30

Chú ý:

Cũng có thể dùng khảo sát hàm số tìm Max với TH 2

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước

Chú ý:

Đối với dạng 3 này ngoài cách chọn hai điểm thuộc một đường thẳng và thuộc mặt phẳng cần tìm ta được phương trình (1) và (2) ta cũng có thể chọn một điểm và áp dụng điều kiện đường thẳng chứa trong mặt phẳng nên n u   0

từ đó ta được phương trình (1) và (2)

Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   :x– yz– 30 và   : 3x y5 – 1z 0 đồng thời song song với mặt phẳng

  :x y2 – 3z 0

Giải:

Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình

   



 

   



Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

Chọn hai điểm M17;0; 4  và M21; 2; 0  

- Mặt phẳng  P đi qua M17;0; 4   A.7B.0C.4D0 1 

- Mặt phẳng  P đi quaM21; 2; 0   A.1B. 2 C.0D0 2 

Từ (1) và (2) ta được 3

2

B A

C   và D2B– A

Nên mặt phẳng  P có vtpt ; ; 3

2

P

n  A B  



DĐ: 01694 013 498

Mặt phẳng   có vtpt n 1;1; 2

, mặt phẳng  P song song với  

 nP

và n

cùng phương 

2 2

3 1

1

A B B



 chọn A1,B  1 C2,D 1 Vậy mặt phẳng  P có phương trình là xy2z  1 0

Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P

a Đi qua điểm M o2;1; 1  và qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q và  R có phương trình lần lượt là:

x yz  và 3 –x yz– 10

b Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3 –x yz– 20 và   :x4 – 5y 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng   : 2 –x z70

Giải:

a Gọi  là giao tuyến của  Q và  R   có phương trình

: – – 4 0



 



Chọn hai điểm 3; 11;0

M  

3 11

; 0;

N 

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng  P đi qua 3; 11;0

M  

      

- Mặt phẳng  P đi qua 3; 0;11

N 

 

- Mặt phẳng  P đi qua M o2;1; 1   A.2B.1C. 1 D0 3 

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A15,B 7,C 7,D 16 P : 15 – 7x y7 – 16z 0

b Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình

:





















0 5 4

0 2 3

y x

z y x

Chọn hai điểm M5; 0; 13  và N1;1; 0 

Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2 

AxByCzD A B C 

- Mặt phẳng  P đi qua M5; 0; 13   A.5B.0C.13D0 1 

- Mặt phẳng  P đi qua N1;1; 0 A.1B.1C.0D0 2 

Từ (1) và (2) ta được 4

13

A B

Nên mặt phẳng  P có vtpt ; ;4

13

P

n  A B  

