CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Tìm nghiệm gần đúng của một phương trình phi tuyến bất kì là một công việc khá là dễ dàng đối với nhiều loại máy tính bỏ túi hiện đại ngày nay. Nhưng bạn tự hỏi tại sao máy tính có thể làm được điều này? Thực ra đó là nhờ những thuật toán tìm nghiệm mà người ta đã lập trình từ trước. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số phương pháp như vậy! 1-Phương pháp chia đôi khoảng chứa nghiệm. a) Nội dung phương pháp: Giả sử ( )f x là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và ( ). ( ) 0f a f b < thì khi đó phương trình ( ) 0f x = có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a; b). Nếu 0 2 a b f + = ÷ thì 2 a b x + = là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = . Nếu 0 2 a b f + ≠ ÷ thì pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ; 2 a b a + ÷ hoặc ; 2 a b b + ÷ . Gọi khoảng mới chứa nghiệm là ( ) 1 1 ;a b (với ( ) ( ) 1 1 . 0f a f b < ). Lại chia đôi khoảng nghiệm và tính ( ) 1 f x với 1 1 1 2 a b x + = . Cứ tiếp tục quá trình trên đi đến bước thứ n nào đó mà 0 2 n n a b f + = ÷ , tức 2 n n a b x + = là nghiệm của phương trình ( ) 0f x = . Và ta được một dãy các đoạn thẳng lồng nhau có tính chất : • 1 2 1 2 1 n n n a a a a b b b b b − < < < < < < < < < < • ( ) ( ) . 0 i i f a f b < với 1,2, ,i n∀ = • 2 n n n b a b a − − = . b) Chứng minh: Ta có: dãy {a n } là dãy đơn điệu tăng bị chặn trên bởi b và dãy {b n } là dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới bởi a. Do 2 n n n b a b a − − = nên ( ) lim lim 0 lim lim lim 2 2 n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + − − = = ⇒ = = = ÷ ÷ . Do tính liên tục của hàm số ( )f x , giới hạn trong biểu thức ( ) ( ) . 0 n n f a f b < ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 lim . lim 0 0 n n n n f x f a f b f x →+∞ →+∞ = ≤ ⇒ = hay x là nghiệm của pt ( ) 0f x = . 2-Phương pháp lặp: a) Nội dung phương pháp: Giả sử pt ( ) 0f x = có nghiệm trong khoảng (a; b). Ta tiến hành giải bằng phương pháp lặp gồm các bươc sau đây: B1: Đưa phương trình ( ) 0f x = về phương trình ( )x g x= . B2: Chọn ( ) 0 ;x a b∈ làm nghiệm ban đầu. B3: Nếu '( ) 1g x < với ( ) ;x a b∀ ∈ thì dãy lặp ( ) 1n n x g x − = hội tụ tại x là nghiệm của phương trình ( ) 0f x = . b) Chứng minh: Giả sử ( ) 0 ;x a b∈ bất kì và x là nghiệm của phương trình ( ) 0f x = trong khoảng ( ) ;a b , khi ấy ta có: ( ) x g x= . Mặt khác vì ( ) 1 0 x g x= nên ( ) ( ) 1 0 x x g x g x− = − . Theo định lý Lagrange thì ( ) 0 ;c x x∃ ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) 1 0 0 '( )x x g x g x g c x x− = − = − . Suy ra : ( ) ( ) 1 0 0 '( ) '( ) 1x x g c x x q x x g c q− = − ≤ − ≤ < . 1 Tương tự, ta có: 2 2 1 0 x x q x x q x x− ≤ − = − 3 3 2 0 x x q x x q x x− ≤ − = − 1 0 n n n x x q x x q x x − − ≤ − = − Vì 0 1 lim 0 0. n n n q q x x →+∞ < < ⇒ = ⇒ − = hay n x x= là nghiệm của phương trình. 3-Phương pháp dây cung: a) Nội dung phương pháp: Giả sử (a; b) là khoảng li nghiệm. Ta thay cung của đường cong ( ) y f x= trên đoạn [a; b] bằng dây trương cung ấy và coi giao điểm dây cung bởi trục hoành là nghiệm xấp xỉ của phương trình ( ) 0f x = . Ta tìm nghiệm bằng cách lặp lại quy trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n n n n f x b x x x f b f x + − = − − với ( ) 0 ;x a b∈ . Ta có ngiệm của phương trình là 1 n n x x x + = = = b) Chứng minh: Áp dụng định lý trung bình Lagrange, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) n n n f x f x f x f c x x= − = − với ( ) ( ) ; ; n c x x a b∈ ⊂ . Vì ( ) 0f x = và 0 '( )m f x< < nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) n n n n n n f x f x f x f x f c x x m x x x x m = − = − ≥ − ⇒ − ≤ ( Dấu "=" n x x⇔ = ) Suy ra n x x− hội tụ. 4) Phương pháp tiếp tuyến ( Phương pháp Newton) a) Nội dung phương pháp: Giả sử (a; b) là khoảng li nghiệm. Ta thay cung của đồ thị ( )y f x= trên đoạn [a; b] bằng tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ;A a f a hoặc điểm ( ) ( ) ;B b f b . Khi đó các giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của phương trình ( ) 0f x = . Để tìm nghiệm, ta tiến hành thực hiện dãy lặp sau: ( ) ( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = − với ( ) 0 ;x a b∈ . Khi đó nghiệm của phương trình là: 1 n n x x x + = = = b) Chứng minh: Phương trình tiếp tuyến tại ( ) ( ) ;A a f a có dạng: ( ) '( )( ) (1)y f a f a x a− = − . Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành chính là nghiệm của pt (1) khi cho y = 0, tức là : ( ) '( ). ( ) ( ) 0 ( ) '( ) '( ) '( ) f a a f a f a f a f a x a x a f a f a − − = − ⇒ = = − . Tương tự với tiếp tuyến tại ( ) ( ) ;B b f b , ta có: ( ) '( ) f b x b f b = − . Vậy với 1 điểm ( ) 0 ;x a b∈ , ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 2 1 1 0 1 ; ; ; (*) '( ) '( ) '( ) n n n n f x f x f x x x x x x x f x f x f x + = − = − = − Vì hàm số bị chặn nên đạt giá trị giới hạn tại n x hay % lim . n n x x →+∞ = . Lấy giới hạn hai vế của (*), ta được : % % % ( ) % ( ) % ( ) 0 ' f x x x f x f x = − ⇒ = hay % x x= là nghiệm của nghiệm của phương trình. Ứng dụng phương pháp: Thí dụ: Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình 5 35 32 17 0 (*)x x+ − = . Lời giải: 2 Cách 1: Sử dụng phương pháp lặp. Đặt 5 ( ) 35 32 17f x x x= + − , có 4 '( ) 175 32 0,f x x x= + > ∀ nên ( ) f x đồng biến trên ¡ . Mặt khác ( ) ( ) 0 17 ; 0,5 0.09375f f= − ≈ ( ) 0pt f x⇒ = có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng ( ) 0; 0,5 . Từ phương trình (*) ( ) 5 1 17 35 32 x x⇔ = − . Đặt ( ) ( ) ( ) 5 4 1 1 ( ) 17 35 '( ) . 175 1 , 0; 0,5 32 32 g x x g x x x= − ⇒ = − < ∀ ∈ . ⇒ Dãy lặp ( ) 1n n x g x + = hội tụ. Cho 0 0.25x = và tiến hành lặp ta đi đến kết quả là : 0,497811736x ≈ . Cách 2: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Ta tiến hành thực hiện dãy lặp: ( ) 1 '( ) n n n n f x x x f x + = − hay 5 1 4 35 32 17 175 32 n n x x x x x + + − = − + với 0 0,25x = , ta cũng đi đến nghiệm 0,497811736x ≈ . Một số bài tập dành cho các bạn tự luyện: Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình 5 2 2 osx +1=0x c− . Bài 2: Tìm các nghiệm của phương trình trong khoảng (-2; 2) phương trình 2 sin 1 0x x+ − = . Bài 3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau: 2 3 5 11 x x x x + + = . Tên: Mai Xuân Việt Lớp 12A – Trường THPT số II Mộ Đức, tỉnh Quảng Ngãi. Địa chỉ: Đội II - thôn Dương Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh Quảng Ngãi. Điện thoại : 0552243693. Di động : 01678336358. Email: xuanviet15@gmail.com. 3 . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Tìm nghiệm gần đúng của một phương trình phi tuyến bất kì là một công việc khá là dễ dàng đối. đi đến nghiệm 0,497811736x ≈ . Một số bài tập dành cho các bạn tự luyện: Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình 5 2 2 osx +1=0x c− . Bài 2: Tìm các nghiệm của phương trình. vế của (*), ta được : % % % ( ) % ( ) % ( ) 0 ' f x x x f x f x = − ⇒ = hay % x x= là nghiệm của nghiệm của phương trình. Ứng dụng phương pháp: Thí dụ: Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương