Phương Pháp Tính - Phương Trình Phi Tuyến 1. Đặt vấn đề 2. Khoảng cách ly nghiệm 3. Phương pháp chia đôi 4. Phương pháp lặp đơn 5. Phương pháp Newton
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2017 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN PHƯƠNG PHÁP NEWTON TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Mục đích chương tìm nghiệm gần phương trình (1) f (x) = với f (x) hàm liên tục khoảng đóng hay mở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản Với n = 3, cơng thức tìm nghiệm phức tạp Còn với n khơng có cơng thức tìm nghiệm Mặt khác, f (x) = phương trình siêu việt, ví dụ: cos x − 5x = khơng có cơng thức tìm nghiệm Những hệ số phương trình (1) ta biết cách gần TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Đặt vấn đề Khi việc xác định xác nghiệm phương trình (1) khơng có ý nghĩa Do việc tìm phương pháp giải gần phương trình (1) đánh giá mức độ xác nghiệm gần tìm có vai trò quan trọng TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Khoảng cách ly nghiệm Định nghĩa KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM Nghiệm phương trình (1) giá trị x cho f (x) = Giả sử thêm phương trình (1) có nghiệm thực lập, nghĩa với nghiệm thực phương trình (1) tồn miền lân cận không chứa nghiệm thực khác phương trình (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Khoảng cách ly nghiệm Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 2.1 Khoảng đóng [a, b] (hoặc khoảng mở (a, b)) mà tồn nghiệm phương trình (1) gọi khoảng cách ly nghiệm Việc tính nghiệm thực gần phương trình (1) tiến hành theo bước sau: Tìm tất khoảng cách ly nghiệm phương trình (1) Trong khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần phương trình phương pháp với sai số cho trước TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Khoảng cách ly nghiệm Định lý KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu hàm số f (x) liên tục (a, b) f (a).f (b) < 0, f (x) tồn giữ dấu khơng đổi (a, b) (a, b) có nghiệm thực x phương trình (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Khoảng cách ly nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định lý PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 / 96 Khoảng cách ly nghiệm Phương pháp tìm khoảng cách ly nghiệm VÍ DỤ 2.1 Tìm khoảng cách ly nghiệm phương trình f (x) = x3 − 6x + = Giải x −∞ -3 -2 -1 +∞ f (x) −∞ -7 -3 -2 11 +∞ Phương trình có nghiệm nằm khoảng [−3, −2]; [0, 1]; [2, 3] Vì phương trình bậc có tối đa nghiệm nên đoạn chứa nghiệm Vậy chúng khoảng cách ly nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 10 / 96 Phương pháp Newton Ưu nhược điểm phương pháp Newton Ta xây dựng dãy (xn) theo công thức xn−1 − 3xn−1 + f (xn−1 ) = xn−1 − xn = xn−1 − f (xn−1 ) −3 3xn−1 Ta có |f (x)| min{|f (0)|, |f (0.5)|} = = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau |x − xn | TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) |f (xn )| |xn3 − 3xn + 1| = = ∆x n m 9/4 PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 82 / 96 Phương pháp Newton Ưu nhược điểm phương pháp Newton Bấm máy Tính xn X − 3X + |Y − 3Y + 1| : :X =Y Y =X− 3X − 9/4 CALC X = ⇒ Y = x1, ∆x1 =⇒ x2 , ∆x2 =⇒ x3 , ∆x3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 83 / 96 Phương pháp Newton n Ưu nhược điểm phương pháp Newton xn ∆x n 1/3 = 0.3333333333 0.0165 25/72 = 0.3472222222 8.6924 × 10−5 0.3472963532 2.5 × 10−9 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 84 / 96 Phương pháp Newton Bài tập BÀI TẬP 5.1 Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần phương trình f (x) = ex + 2−x + cos x − = khoảng cách ly nghiệm [1, 2] với độ xác 10−5 Giải Ta có f (1) < 0, f (2) > 0, f (x) = ex − 2−x ln − sin x > 0, ∀x ∈ [1, 2] f (x) = ex + 2−x ln2 (2) − cos x > 0, ∀x ∈ [1, 2] nên chọn x0 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 85 / 96 Phương pháp Newton Bài tập Ta xây dựng dãy (xn ) theo công thức exn−1 + 2−xn−1 + cos xn−1 − f (xn−1 ) = xn−1 − x · xn = xn−1 − f (xn−1 ) e n−1 − 2−xn−1 ln − sin xn−1 Ta có |f (x)| min{|f (1)|, |f (2)|} = 0.688 = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau |x − xn | |f (xn )| |exn + 2−xn + cos xn − 6| = = ∆x n m 0.688 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 86 / 96 Phương pháp Newton n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Bài tập xn ∆x n 1.850521336 0.1283 1.829751202 2.19 × 10−3 1.829383715 6.7 × 10−7 PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 87 / 96 Phương pháp Newton Bài tập BÀI TẬP 5.2 Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần phương trình f (x) = ln(x − 1) + cos(x − 1) = khoảng cách ly nghiệm [1.3, 2] với độ xác 10−5 Giải Ta có f (1.3) < 0, f (2) > 0, − sin(x − 1) > 0, ∀x ∈ [1.3, 2] x−1 f (x) = − − cos(x − 1) < 0, ∀x ∈ [1.3, 2] (x − 1)2 nên chọn x0 = 1.3 f (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 88 / 96 Phương pháp Newton Bài tập Ta xây dựng dãy (xn ) theo công thức xn = xn−1 − ln(xn−1 − 1) + cos(xn−1 − 1) f (xn−1 ) = xn−1 − · f (xn−1 ) − sin(x − 1) n−1 x −1 n−1 Ta có |f (x)| min{|f (1.3)|, |f (2)|} = 0.158 = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau |x − xn | |f (xn )| | ln(xn−1 − 1) + cos(xn−1 − 1)| = = ∆x n m 0.158 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 89 / 96 Phương pháp Newton n Bài tập xn ∆x n 1.3 1.38184714 0.21998 1.397320733 5.76 × 10−3 1.397748164 4.199 × 10−6 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 90 / 96 Phương pháp Newton Bài tập BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP 5.3 Cho phương trình f (x) = 4x3 − 6x2 + 14x − = Với x0 = 0.3 nghiệm gần x1 theo phương pháp Newton 0.3198 0.3200 0.3202 0.3204 Các câu sai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 91 / 96 Phương pháp Newton Bài tập x1 = x0 − f (x0 ) f (x0 ) Bấm máy 4X − 6X + 14X − X− 12X − 12X + 14 CALC X = 0.3 = ⇒ x1 ≈ 0.3202 ⇒ Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 92 / 96 Phương pháp Newton Bài tập BÀI TẬP 5.4 Cho phương trình f (x) = 2x3 + 6x2 + 7x + = khoảng cách ly nghiệm [−1.9, −1.8] Trong phương pháp Newton, chọn x0 theo điều kiện Fourier, sai số nghiệm gần x1 tính theo cơng thức sai số tổng qt 0.0041 0.0043 0.0045 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 0.0047 Các câu sai PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 93 / 96 Phương pháp Newton Bài tập f (−1.9) < 0, f (−1.8) > 0, f (x) = 12x + 12 < 0, ∀x ∈ [−1.9, −1.8] nên chọn x0 = −1.9 Tìm min{|f (−1.9)|, |f (−1.8)|} d Bấm máy Shift- − chọn X = −1.9 dx X = −1.8 So sánh |f (−1.9)|, |f (−1.8)| Ta có |f (x)| = |6x2 +12x+7| min{|f (−1.9)|, |f (−1.8)|} = 4.84 = m Shift-STO-M TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 94 / 96 Phương pháp Newton x1 = x0 − Bài tập f (x0 ) f (x0 ) 2X + 6X + 7X + Bấm máy X − CALC 6X + 12X + X=-1.9=⇒ x1 Shift-STO-A Tính f (x1) Bấm máy 2X + 6X + 7X + CALC X=A=⇒ f (x1) Shift-STO-B Sai số x1 theo công thức sai số tổng quát |f (x1 )| |B| |x1 − x0| = ≈ 0.00406 Làm tròn m M lên ⇒ Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 95 / 96 Phương pháp Newton Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TP HCM — 2017 96 / 96