Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình phi tuyến giới thiệu tới người đọc các vấn đề về phương trình phi tuyến, khoảng cách ly nghiệm, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Bài giảng điện tử Đậu Thế Phiệt Ngày 18 tháng năm 2016 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 1/1 Đặt vấn đề Đặt vấn đề ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 2/1 Đặt vấn đề Đặt vấn đề Mục đích chương tìm nghiệm gần phương trình (1) f (x) = với f (x) hàm liên tục khoảng đóng hay mở ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 2/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), Với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), Với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản Với n = 3, cơng thức tìm nghiệm phức tạp Còn với n khơng có cơng thức tìm nghiệm ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), Với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản Với n = 3, cơng thức tìm nghiệm phức tạp Còn với n khơng có cơng thức tìm nghiệm Mặt khác, f (x) = phương trình siêu việt, ví dụ: cos x − 5x = khơng có cơng thức tìm nghiệm ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), Với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản Với n = 3, cơng thức tìm nghiệm phức tạp Còn với n khơng có cơng thức tìm nghiệm Mặt khác, f (x) = phương trình siêu việt, ví dụ: cos x − 5x = khơng có cơng thức tìm nghiệm Những hệ số phương trình (1) ta biết cách gần ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0, (an = 0), Với n = 1, ta có cơng thức tính nghiệm cách đơn giản Với n = 3, cơng thức tìm nghiệm phức tạp Còn với n khơng có cơng thức tìm nghiệm Mặt khác, f (x) = phương trình siêu việt, ví dụ: cos x − 5x = khơng có cơng thức tìm nghiệm Những hệ số phương trình (1) ta biết cách gần ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 3/1 Khoảng cách ly nghiệm Định nghĩa Khoảng cách ly nghiệm Khi việc xác định xác nghiệm phương trình (1) khơng có ý nghĩa Do việc tìm phương pháp giải gần phương trình (1) đánh giá mức độ xác nghiệm gần tìm có vai trò quan trọng ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 4/1 Phương pháp Newton Ưu nhược điểm phương pháp Newton Ta xây dựng dãy (xn ) theo công thức xn = xn−1 − x − 3xn−1 + f (xn−1 ) = xn−1 − n−1 = f (xn−1 ) 3xn−1 − = 2xn−1 −1 3xn−1 − = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau Ta có |f (x)| min{|f (0)|, |f (0.5)|} = |x − xn | ng.com |f (xn )| |x − 3xn + 1| = n = ∆xn m 9/4 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 79 / Phương pháp Newton Bấm máy Tính xn x− CALC x = ⇒ x1 , CALC Ans ⇒ x2 , CALC Ans ⇒ x3 Sai số Ưu nhược điểm phương pháp Newton x − 3x + 3x − |x − 3x + 1| 9/4 CALC x3 = Ans ⇒ ∆x3 CALC x2 ⇒ ∆x2 , CALC x1 ⇒ ∆x1 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 80 / Phương pháp Newton n xn 1/3 = 0.3333333333 25/72 = 0.3472222222 0.3472963532 ng.com Ưu nhược điểm phương pháp Newton ∆xn 0.0165 8.6924.10−5 2.5.10−9 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 81 / Phương pháp Newton Bài tập Bài tập Bài Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần phương trình f (x) = e x + 2−x + cos x − = khoảng cách ly nghiệm [1, 2] với độ xác 10−5 Giải Ta có f (1) < 0, f (2) > 0, f (x) = e x − 2−x ln − sin x > 0, ∀x ∈ [1, 2] f (x) = e x + 2−x ln2 (2) − cos x > 0, ∀x ∈ [1, 2] nên chọn x0 = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 82 / Phương pháp Newton Bài tập Ta xây dựng dãy (xn ) theo công thức e xn−1 + 2−xn−1 + cos xn−1 − f (xn−1 ) = xn−1 − x xn = xn−1 − f (xn−1 ) e n−1 − 2−xn−1 ln − sin xn−1 Ta có |f (x)| min{|f (1)|, |f (2)|} = 0.688 = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau |x − xn | ng.com |f (xn )| |e xn + 2−xn + cos xn − 6| = = ∆xn m 0.688 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 83 / Phương pháp Newton n xn 1.850521336 1.829751202 1.829383715 ng.com Bài tập ∆xn 0.1283 2.19.10−3 6.7.10−7 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 84 / Phương pháp Newton Bài tập Bài Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần phương trình f (x) = ln(x − 1) + cos(x − 1) = khoảng cách ly nghiệm [1.3, 2] với độ xác 10−5 Giải − sin(x − 1) > 0, ∀x ∈ [1.3, 2] Ta có f (1.3) < 0, f (2) > 0, f (x) = x −1 f (x) = − − cos(x − 1) < 0, ∀x ∈ [1.3, 2] nên chọn x0 = 1.3 (x − 1)2 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 85 / Phương pháp Newton Bài tập Ta xây dựng dãy (xn ) theo công thức xn = xn−1 − ln(xn−1 − 1) + cos(xn−1 − 1) f (xn−1 ) = xn−1 − f (xn−1 ) − sin(x − 1) n−1 x −1 n−1 Ta có |f (x)| min{|f (1.3)|, |f (2)|} = 0.158 = m Do nghiệm gần xn đánh giá sai số so với nghiệm xác x sau |x −xn | |f (xn )| | ln(xn−1 − 1) + cos(xn−1 − 1)| = = ∆xn m 0.158 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 86 / Phương pháp Newton n xn 1.3 1.38184714 1.397320733 1.397748164 ng.com Bài tập ∆xn 0.21998 5.76.10−3 4.199.10−6 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 87 / Phương pháp Newton Bài tập Bài tập trắc nghiệm Cho phương trình f (x) = 4x − 6x + 14x − = Với x0 = 0.3 nghiệm gần x1 theo phương pháp Newton 0.3198 0.3200 0.3202 0.3204 Các câu sai ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 88 / Phương pháp Newton Bài tập x1 = x0 − f (x0 ) f (x0 ) Bấm máy X− 4X − 6X + 14X − 12X − 12X + 14 CALC X = 0.3 = ⇒ x1 ≈ 0.3202 ⇒ Câu ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 89 / Phương pháp Newton Bài tập Cho phương trình f (x) = 2x + 6x + 7x + = khoảng cách ly nghiệm [−1.9, −1.8] Trong phương pháp Newton, chọn x0 theo điều kiện Fourier, sai số nghiệm gần x1 tính theo cơng thức sai số tổng quát 0.0041 0.0043 0.0045 0.0047 Các câu sai ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 90 / Phương pháp Newton Bài tập f (−1.9) < 0, f (−1.8) > 0, f (x) = 12x + 12 < 0, ∀x ∈ [−1.9, −1.8] nên chọn x0 = −1.9 d Tìm min{|f (−1.9)|, |f (−1.8)|} Bấm máy Shift- − chọn X = −1.9 dx X = −1.8 So sánh |f (−1.9)|, |f (−1.8)| Ta có |f (x)| = |6x + 12x + 7| min{|f (−1.9)|, |f (−1.8)|} = 4.84 = m Shift-STO-M ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 91 / Phương pháp Newton Bài tập x1 = x0 − f (x0 ) f (x0 ) 2X + 6X + 7X + CALC X=-1.9=⇒ x1 Shift-STO-A 6X + 12X + Tính f (x1 ) Bấm máy 2X + 6X + 7X + CALC X=A=⇒ f (x1 ) Shift-STO-B Sai số x1 theo công thức sai số tổng quát |D| |f (x1 )| = ≈ 0.00406 Làm tròn lên ⇒ Câu |x1 − x0 | m M Bấm máy X − ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 92 / Phương pháp Newton Bài tập THANK YOU FOR ATTENTION ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 93 / ... ng.com -3 -7 -2 -1 -3 -2 11 +∞ +∞ https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phi t PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 8/1 Khoảng cách ly nghiệm Phương pháp tìm khoảng cách ly nghiệm Phương. .. https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phi t PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18 tháng năm 2016 2/1 Đặt vấn đề Những vấn đề khó khăn giải pt (1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phi t PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN... lg 2x = x −∞ -1 +∞ f (x) +∞ 2.5 -2 -6 -9 -1 0 -7 +∞ Vậy khoảng cách ly nghiệm phương trình cho [−1, 0] [4, 5] ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phi t PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Ngày 18