Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính - Đậu Thế Phiệt

123 142 0
Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính - Đậu Thế Phiệt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, hệ phương trình tương đương, phương pháp Gauss-Jordan, phương pháp nhân tử LU, những phương pháp lặp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử Đậu Thế Phiệt Ngày tháng năm 2016 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 1/1 Đặt vấn đề Đặt vấn đề Trong chương này, học số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính  a11 x1 + a12 x2 + + a1i xi + + a1n xn = b1      ai1 x1 + ai2 x2 + + aii xi + + ain xn = bi (1)      an1 x1 + an2 x2 + + ani xi + + ann xn = bn thường xuất toán kỹ thuật ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 2/1 Đặt vấn đề Ta xét hệ gồm n phương trình n ẩn số, A = (aij ) ∈ Mn (K ) detA = Do hệ có nghiệm X = A−1 B ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 3/1 Đặt vấn đề Ta xét hệ gồm n phương trình n ẩn số, A = (aij ) ∈ Mn (K ) detA = Do hệ có nghiệm X = A−1 B Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A−1 đơi khó khăn gấp nhiều lần so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 3/1 Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình  a11 x1 + a12 x2 + + a1j xj + + a1n xn      ai1 x1 + ai2 x2 + + aij xj + + ain xn      an1 x1 + an2 x2 + + anj xj + + ann xn ng.com n ẩn = = = b1 bi bn https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 4/1 Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương Nếu thực phép biến đổi sơ cấp sau hệ (1): Đổi chỗ phương trình hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại ẩn Nhân vào phương trình hệ số λ = 0(hi → λhi ) Cộng vào phương trình hệ phương trình khác nhân với số (hi → hi + λhj ) ta hệ phương trình tương đương với hệ (1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 5/1 Phương pháp Gauss         a11 a21 an1 c11 a12 a22 an2 c12 c22 ng.com a1n a2n ann c1n c2n cnn Hệ phương trình tương đương  b1 BĐ sơ cấp hàng b2  − −−−−−−−−−−−−−−→  bn  d1 d2   với cii = 0, i = 1, 2, , n  dn https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 6/1 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) hệ (1) Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng biến đổi ma trận mở rộng ma trận bậc thang Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 7/1 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) hệ (1) Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng biến đổi ma trận mở rộng ma trận bậc thang Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang Ta giải hệ phương trình ngược từ lên, tìm biến xn sau xn−1 , , x1 ta nghiệm ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 7/1 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình    x1  2x1 3x    4x1 ng.com + 2x2 + x2 + 2x2 + 3x2 + 3x3 + 2x3 + x3 + 2x3 + 4x4 + 3x4 + 2x4 + x4 = = = = 18 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 8/1 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Nội dung phương pháp Đưa hệ (1) dạng tương đương X = TX + C Chọn véctơ xấp xỉ ban (0) đầu X(0) (thường ta chọn   X = C.) Trong c1 t11 t12 t1n  c2   t21 t22 t2n     T =   C =   cn tn1 tn2 tnn Từ hệ phương trình (2) ta (D − L)X = UX + B ⇒ X = (D − L)−1 UX + (D − L)−1 B ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 83 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Đặt Tg = (D − L)−1 U, Cg = (D − L)−1 B ta cơng thức lặp Gauss-Seidel có dạng X (m) = Tg X (m−1) + Cg , ng.com m = 1, 2, https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 84 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Dạng tường minh công thức lặp Gauss-Seidel (m) x1 = c1 + nj=2 t1j xjm−1 , (m) (m) x2 = c2 + t21 x1 + nj=3 t2j xjm−1 , (m) (m) xi = ci + i−1 + nj=i+1 tij xjm−1 , j=1 tij xj (m) (m) n−1 xn = cn + j=1 tnj xj , (m = 1, 2, ) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 85 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Phương pháp Gauss-Seidel xem biến dạng phương pháp lặp Jacobi, khác phương pháp Jacobi chỗ: tính thành phần thứ i véctơ lặp X (m) ta sử dụng thành phần (m) (m) (m) x1 , x2 , , xi−1 vừa tính ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 86 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Sự hội tụ phương pháp Gauss-Seidel Điều kiện hội tụ phương pháp Gauss-Seidel hoàn tồn giống với phương pháp Jacobi Cơng thức đánh giá sai số nghiệm gần ||Tg || ||X (m) − X (m−1) || − ||Tg || ||X (m) − X || ||X (m) − X || ng.com ||Tg ||m ||X (1) − X (0) || − ||Tg || https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 87 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Ví dụ Bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tìm nghiệm gần hệ phương trình với sai số 10−4 , chọn chuẩn vơ  4x1 + 0.24x2 − 0.08x3 =  0.09x1 + 3x2 − 0.15x3 =  0.04x1 − 0.08x2 + 4x3 = 20 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 88 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Giải Ta thấy |0.24| + | − 0.08| < |4|; |0.09| + | − 0.15| < |3|; |0.04| + | − 0.08| < |4| nên ma trận hệ số A hệ ma trận đường chéo trội nghiệm ngặt Đưa hệ dạng X (m) = Tg X (m−1) + Cg , m = 1, 2,  (m) (m−1) (m−1)  + 0.08x3 ) = 41 (8 − 0.24x2  x1 (m) (m−1) (m) ) x2 = (9 − 0.09x1 + 0.15x3   (m) (m) (m) x3 = (20 − 0.04x1 + 0.08x2 ) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 89 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Tg = (D − L)−1 U =  −1   0 −0.24 0.08  0.09   0 0.15  = 0.04 0.08 0   −0.06 0.02  1.8.10−3 0.0494  5.64.10−4 −1.188.10−3 Khi cơng thức lặp có dạng X (m) = Tg X (m−1) + Cg , m = 1, 2,   (0)  Chọn X =  tính X (1) , X (2) , 5https://fb.com/tailieudientucntt ng.com Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 90 / Những phương pháp lặp (1) = c1 + t12 x2 + t13 x3 , (1) = c2 + t21 x1 + t23 x3 , (1) = c3 + t31 x1 + t32 x2 x1 x2 x3 ng.com Phương pháp Gauss-Seidel (0) (0) (1) (0) (1) (1) https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 91 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Bấm máy A = (8 − 0.24B + 0.08C ) ÷ : B = (9 − 0.09A + 0.15C ) ÷ : C = (20 − 0.04A + 0.08B) ÷ CALC B=3, C=5 (khơng nhập A) (3) (3) (3) Nhấn tiếp dấu ”=” nghiệm x1 , x2 , x3 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 92 / Những phương pháp lặp m (m) x1 1.92 1.9093489 1.909199 ng.com (m) x2 3.1924 3.194952 3.1949643 Phương pháp Gauss-Seidel (m) x3 5.044648 5.0448056 5.0448073 https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 93 / Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel (3) Đánh giá sai số ||X (3) − X (2) ||∞ = max |xi i=1,2,3 (2) − xi | = max{| − 1.499.10−4 |, |0.123.10−4 |, |0.017.10−4 |} = 1.499.10−4 ||Tg ||∞ = max{|0| + | − 0.06| + |0.02|, |0| + |1.8.10−3 | + |0.0494|, |0| + |5.64.10−4 | + | − 1.188.10−3 |} = max{0.08, 0.0512, 1.744.10−3 } = 0.08 ||X (3) − X ||∞ ||Tg || ||X (3) − X (2)||∞ = − ||Tg || 0.08 1.499.10−4 ≈ 0.1303.10−4 < 10−4 − 0.08 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 94 / Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 15x1 − 6x2 = Với x (0) = [0.3, 0.2]T , véctơ −5x1 + 8x2 = tính theo phương pháp Gauss-Seidel Cho hệ phương trình x (3) 0.753 1.099 0.755 1.097 0.757 1.095 0.759 1.093 ng.com Các câu sai https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 95 / Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm A = (5 + 6B) ÷ 15 B = (5 + 5A) ÷ CALC B=0.2 (khơng nhập A) (3) (3) Nhấn tiếp dấu ”=” nghiệm x1 , x2 0.755 Vậy x (3) = ⇒ Câu 1.096875 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 96 / Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm THANK YOU FOR ATTENTION ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 97 / ... hệ phương trình (1) Do cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 3/1 Phương pháp Gauss Hệ. .. https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 4/1 Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương Nếu thực phép biến đổi sơ cấp sau hệ (1): Đổi chỗ phương trình hệ (hi ↔... Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Đậu Thế Phiệt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày tháng năm 2016 7/1 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Phương

Ngày đăng: 13/01/2020, 10:46

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan