Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân do Đậu Thế Phiệt biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức về bài toán Cauchy, hệ phương trình vi phân, bài toán biên tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
ng.com PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Ngày tháng 12 năm 2016 https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 The motion of a swinging pendulum under certain simplifying assumptions is described by the second-order differential equation d2θ g + sin θ = 0, dt L Ta xét toán dao động lắc đơn L θ where L is the length of the pendulum, g ≈ 32.17 ft/s2 is the gravitational constant of the earth, and θ is the angle the pendulum makes with the vertical If, in addition, we specify xác định phương trình vi phân haiθ(t ) = θ , and its velocity at that the position of the pendulum when thebậc motion begins, 0 point, θ ′ (t0 ) = θ0′ , we have what is called an initial-value problem For small values of θ, the approximation θ ≈ sin θ can be used to simplify this problem to the linear initial-value problem d 2θ g + θ(t sin θ=0 dt L ) = θ , θ (t ) = θ d2θ g + θ = 0, dt L 0 ′ ′ This problem can be solved by a standard differential-equation technique For larger values of θ, the assumption that θ = sin θ is not reasonable so approximation methods must be used A problem of this type is considered in Exercise of Section 5.9 Any textbook on ordinary differential equations details a number of methods for explicitly finding solutions to first-order initial-value problems In practice, however, few of the problems originating from the study of physical phenomena can be solved exactly 259 với L chiều dài lắc, g số hấp dẫn trái đất, θ góc tạo lắc trục thẳng đứng Ta xét vị trí ban đầu lắc bắt đầu dao động θ(t0 ) = θ0 vận tốc ban đầu điểm θ (t0 ) = θ0 , ta có tốn giá trị đầu ng.com Copyright 2010 Cengage Learning All Rights Reserved May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s) Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Với giá trị θ nhỏ, ta xấp xỉ θ ≈ sin θ, tốn trở thành tuyến tính d 2θ g + θ = 0, dt L θ(t0 ) = θ0 , θ (t0 ) = θ0 Bài tốn giải phương pháp quen thuộc Tuy nhiên với giá trị θ lớn, ta giả thiết θ = sin θ Để tìm nghiệm cho tốn này, ta cần sử dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Bài toán Cauchy Ta xét toán giá trị đầu bậc nhất, toán Cauchy, y (t) = f (t, y (t)), y (a) = α a t b, (1) với y = y (t) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a, b], y0 giá trị ban đầu cho trước y (t) t = a ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với tốn Cauchy (1) ta tìm nghiệm số phương trình đơn giản, trường hợp f (x, y ) có dạng nói chung khơng có phương pháp giải Ngồi ra, trường hợp tìm nghiệm toán Cauchy (1) phức tạp người ta dùng Vì vậy, việc tìm phương pháp giải gần tốn Cauchy có vai trò quan trọng thực tế ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Cơng thức Euler Để tìm nghiệm gần toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với b−a h= n Khi điểm nút t0 = a, tk = t0 + kh, k = 0, 1, 2, , n, tn = b Giả sử y (t) nghiệm tốn (1), có đạo hàm đến cấp liên tục đoạn [a, b] Khi với k = 0, 1, 2, , n − theo công thức khai triển Taylor đoạn [tk , tk+1 ], ta có y (tk+1 ) = y (tk ) + y (tk )(tk+1 − tk ) + y (ξk ) (tk+1 − tk )2 , với ξk ∈ (tk , tk+1 ) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Vì y = y (t) nghiệm phương trình (1) h = tk+1 − tk nên ta có y (tk+1 ) = y (tk ) + h.f (tk , yk ) + h2 y (ξk ) Bằng cách bỏ phần dư, ta xấp xỉ yk ≈ y (tk ) với k = 1, 2, n, ta có cơng thức Euler y0 = α yk+1 ≈ yk + hf (tk , yk ), với k = 0, 1, 2, , n − ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 y(t 2) Bài toán Cauchy y(t 1) y(t 0) ϭ α Công thức Euler y(t 1) y(t 0) ϭ α Ý nghĩa hình học phương t ϭ t aϭ bEuler t ϭ a t t pháp t tt e 5.3 y Figure 5.3 Figure 5.4 y yЈ ϭ f (t, y), y(a) ϭ α t1 t2 t ϭ t N aϭ bt t2 t tN ϭ b y(b) wN w1 α t0 ϭ a N y Figure 5.4 yЈ ϭ f (t, y), y(a) ϭ α Slope yЈ(a) ϭ f (a, α)Slope yЈ(a) ϭ f (a, α) w1 α t tN ϭ b y yЈ ϭ f (t, y), y(a)y(b) ϭα wN w2 w1 α t yЈ ϭ f (t, y), y(a) ϭ α w2 w1 α t0 ϭ a t1 t2 t N aϭ bt t ϭ t2 t tN ϭ b t Từ (t0 , y0 ) = (a, α) thuộc đường cong y = y (t), kẻ tiếp tuyến với đường Euler’s method1 wasEuler’s used inmethod the first illustration with h = 0.5 to approximate the solution Example used in the illustration with h = 0.5 cong (cóto hệ số góc làtheyinitial-value (a) =wasfproblem (a, α)) first Đường tiếp tuyến tosẽapproximate cắt t =thetsolution the initial-value problem to y1 giá trị gần y (t ) y′ = y − t + 1, 0′ ≤ t ≤ 2,2 y(0) 0.5 1, = 0≤ Tại (t1 , y1 ), ta kẻ đường thẳng vớiy =hệy −sốt +góc f (tt 1≤, 2,y1 )y(0) cắt= 0.5 t = t2 y2 Use Algorithm 5.1 Use with N 2=) 10 to5.1 determine approximations, and compare these and withcompare the giá trị gần yAlgorithm (t with N = 10 to determine approximations, these with the Example ng.com t exact values given exact by y(t)values = (t + 1)2 − given by0.5e y(t) = (t + 1)2 − 0.5et https://fb.com/tailieudientucntt Solution With N =Solution 10 we have == 0.2, = have 0.2i, w 0.5,ti and Withh N 10tiwe h 0==0.2, = 0.2i, w0 = 0.5, and PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Ví dụ Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy y (x) = y − t + 1, y (0) = 0.5 t 2, với n = 10 Tại điểm nút chia so sánh giá trị gần với giá trị xác, biết nghiệm xác tốn y (t) = (t + 1)2 − 0.5e t ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 / 54 Bài tốn Cauchy Cơng thức Euler Giải 2−0 = 0.2, tk = 0.2k, y0 = 0.5 Với n = 10 h = 10 Cơng thức tính nghiệm gần yk+1 = yk + h(yk − tk2 + 1) với k = 0, 1, , ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 10 / 54 Hệ phương trình vi phân tk 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 ng.com x(tk ) −0.4000 −0.4617 −0.5256 −0.5886 −0.6466 xk −0.4000 −0.4617 −0.5256 −0.5886 −0.6466 Công thức Runge-Kutta bậc bốn x (tk ) −0.60000 −0.6316 −0.6401 −0.6136 −0.5366 yk −0.6000 −0.6316 −0.6401 −0.6136 −0.5366 https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 40 / 54 ng.com Bài toán biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường đòi hỏi điều kiện cho thời điểm ban đầu Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần giá trị y (x0 ) y (x0 ) Tuy nhiên, nhiều toán thực tế cho thấy điều kiện hàm cần tìm cho nhiều thời điểm khác Vấn đề dẫn tới việc tìm nghiệm gần dạng toán thứ hai gọi tốn biên https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 41 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Introduction A common problem in civil engineering concerns the deflection of a beam of rectangular cross section subject to uniform loading while the ends of the beam are supported so that they undergo no deflection Xét toán S S w(x) l x Suppose that l, q, E, S, and I represent, respectively, the length of the beam, the intensity of the uniform load, the modulus of elasticity, the stress at the endpoints, and the central moment of inertia The differential equation approximating the physical situation is of the form ng.com S qx d2w (x) = w(x) + (x − l), dx EI 2EI https://fb.com/tailieudientucntt where w(x) is the deflection a distance x from theVI left beam PHƯƠNG TRÌNH PHÂNend of the Ngày thángSince 12 năm no 2016deflection 42 / 54 ng.com Bài tốn biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Trong phần xét toán biên phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên cho điểm có dạng p(x)y (x) + q(x)y (x) + r (x)y (x) = f (x), y (a) = α, y (b) = β a < x < b, với phương pháp sai phân hữu hạn https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 43 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn ng.com Chọn số tự nhiên n > Chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia x0 = a, xk = x0 + kh, k = 1, 2, , n − 1, xn = b với b−a h= n Tại nút xk , k = 1, 2, , n − bên đoạn [a, b] sử dụng công thức sai phân hướng tâm, ta có y (xk ) ≈ y (xk+1 ) − y (xk−1 ) yk+1 − yk−1 = 2h 2h https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 44 / 54 ng.com Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn y (xk+1 ) − 2y (xk ) + y (xk−1 ) h2 yk+1 − 2yk + yk−1 = h2 y (xk ) ≈ Thay vào phương trình cho ta pk yk+1 − 2yk + yk−1 yk+1 − yk−1 + rk yk = fk , + qk h 2h ∀k = 1, 2, , n − với pk = p(xk ), qk = q(xk ), rk = r (xk ) fk = f (xk ) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 45 / 54 ng.com Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Từ điều kiện biên y0 = α, yn = β sau biến đổi ta thu hệ phương trình yn = β y0 = α, pk qk qk 2pk pk − yk−1 + rk − yk + + yk+1 = fk h 2h h h 2h ∀k = 1, 2, , n − Đây hệ phương trình đại số tuyến tính cấp n − : AY = B với A ma trận 2p1 p1 q1 r − + 2 2h p2 hq2 h 2p p2 q2 − r2 − + 2 A= h 2h h h 2h 2pn−1 0 rn−1 − h2 https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 46 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Y = [y1 , y2 , , yn−1 ]T ng.com B= q1 p1 − α h 2h f2 fn−2 pn−1 qn−1 fn−1 − + β h2 2h f1 − https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 47 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Ma trận A ma trận đường chéo Để giải hệ phương trình ta dùng phương pháp phân rã LU a11 a12 0 a21 a22 a23 0 a32 a33 0 A= 0 an−1,n−1 an−1,n 0 an,n−1 ann ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 48 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Khi phân rã Doolittle cho ta 0 21 L= 32 0 u11 u12 u22 u23 U = 0 u33 0 ng.com , unn https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 49 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ví dụ Ví dụ Xét tốn biên π y − y − 2y = cos x, 0