Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm phương trình vi phân, phương trình vi phân đầy đủ, bậc của phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, Điều kiện phụ để giải phương trình vi,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 1: Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: tiết Nội dung học phần Vai trị Phương trình vi phân Khoa học Tại Phương trình vi phân lại xảy Khoa học Kỹ thuật? Tại phải quan tâm đến Phương trình vi phân Chúng nói lên điều tượng vật lý? Kiến thức vũ trụ vật chất bắt nguồn từ việc quan sát thay đổi, từ đại lượng tuyệt đối, ví dụ: - Các lực không xác định trực tiếp mà cách đo chuyển vị thay đổi chiều dài lò xo - Động lực hệ thống suy từ quan sát thay đổi vị trí - Khoảng cách xác định cách đo thay đổi góc, độ dài cường độ ánh sáng Định luật thứ hai Newton chuyển động, F = m.a, chứa gia tốc, tốc độ thay đổi vận tốc, mà lại tốc độ thay đổi vị trí Tốc độ thay đổi đạo hàm, vận tốc đạo hàm thứ chuyển vị gia tốc đạo hàm thứ hai Các đạo hàm vốn có cơng thức Newton định luật chuyển động Tốc độ thay đổi thước đo tức thời thay đổi đơn vị thời gian Đây đạo hàm, giá trị giới hạn tỷ lệ thay đổi đại lượng chia cho độ dài khoảng thời gian mà thay đổi diễn Điều quan trọng tránh nhầm lẫn khái niệm: số lượng thay đổi với tốc độ diễn thay đổi Không nên nhầm lẫn số lượng thay đổi với tốc độ thay đổi số lượng: Nếu biết tốc độ thay đổi, nghĩa là, biết đạo hàm, giá trị gần lượng thay đổi khoảng thời gian định vi phân Ví dụ, dọc theo trục cố định, x(t) đo độ dịch chuyển vật từ điểm gốc cố định O, x’ vận tốc vi phân dx = x'.dt xấp xỉ độ dịch chuyển xảy khoảng thời gian dt Sự thay đổi vị trí xấp xỉ vi phân dx, tốc độ thay đổi vị trí đạo hàm dx/dt Đạo hàm xuất kỹ thuật khoa học, nhờ định luật bảo toàn định luật cân Trong trường hợp bình thường, lượng vật chất hệ thống kín khơng đổi Nếu lượng vật chất hệ thống thay đổi, phải vật chất vào rời khỏi hệ thống Trên thực tế, thay đổi thành phần hệ thống phải tính đến việc đưa thành phần qua ranh giới hệ thống Việc áp dụng định luật bảo toàn thường liên quan đến đạo hàm tốc độ thay đổi Tốc độ thay đổi đại lượng bảo toàn cân với tốc độ qua ranh giới hệ Thông thường, đường biên xác định tốc độ dịng vào tốc độ dịng Phương trình vi phân viết để mơ hình hóa hệ thống giới thực Nếu mơ hình hợp lệ, chứa thơng tin hệ thống vật lý kỹ thuật toán học phương trình vi phân trở thành cơng cụ mà thơng tin trích xuất từ mơ hình Sự thành thạo kỹ thuật cần thúc đẩy mong muốn hiểu, thiết kế kiểm soát hệ thống vật lý Mục đích phương trình vi phân lời giải, mà thông tin có lời giải Như thấy, đơi việc trích xuất thơng tin trực tiếp từ phương trình vi phân dễ dàng từ lời giải Và giải pháp không cần phải công thức xác Đơi giải pháp số đủ, đơi biểu thức phân tích gần Phân loại đạo hàm (vi phân) Đạo hàm Đạo hàm dv dt v hàm biến độc lập t Đạo hàm riêng u y u hàm biến độc lập (x,y,z,t,…) Phân loại phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường d v  6tv  dt Gồm hay nhiều đạo hàm hàm ẩn số theo biến độc lập Phương trình đạo hàm riêng u u  0 y x 2 Gồm nhiều đạo hàm toàn phần hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập Khái niệm phương trình vi phân - Phương trình vi phân (PTVP) phương trình mà chứa đạo hàm hàm số chưa biết Nghiệm PTVP hàm số mà thỏa mãn PTVP - PTVP mà có biến số gọi Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equation - ODE) x biến độc lập; y biến phụ thuộc dy    Phương trình có chứa x, y, dy/dx (1) f x , y ,     PTVP thường bậc phương trình chứa dx   hàm x, hàm y dy/dx dy  ax  by  PTVP thường bậc (dy/dx), tuyến tính (đối với y) - Ví dụ 1: dx - Ví dụ 2: dy  a yxb y  dx PTVP thường bậc (dy/dx), phi tuyến (đối với y) Phương trình vi phân đầy đủ - Ví dụ 1: - Ví dụ 2: d y  x   ax  b  y  x   dx d y  x  a  y  x  x  b y  x  dx y(x) hàm ẩn x – biến độc lập 10 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 2 2 x  xy  y dx  y  xy  x     dy  48 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: x x   x y y  1  e  dx  e 1   dy   y   49 Phương trình vi phân bậc I dy ax  by  c Xét PTVP:  dx Ax  By  C (9) a, b, c, A, B, C số Trường hợp 1: Nếu A = – b     Ax  By  C  dy   ax  by  c  dx   By  C  dy  Axdy   ax  c  dx  bydx   By  C  dy   ax  c  dx  Axdy   b  ydx  A   By  C  dy   ax  c  dx  Axdy  Aydx    By  C  dy   ax  c  dx  A  xdy  ydx   d  xy    By  C  dy   ax  c  dx  Ad  xy      By  C  dy    ax  c  dx  A d  xy     x2  y2  B  Cy   a  cx   Axy  K  const   50 51 Phương trình vi phân bậc I dy ax  by  c Xét PTVP:  dx Ax  By  C Trường hợp 2: (9) a, b, c, A, B, C số a b Nếu:   A B bC  Bc  h  Đặt:  aB  bA ;  x  X  h cA  aC  dx  dX dy dY aX  bY k     aB  bA    dx dX AX  BY dy  dY  y  Y  k Đặt Y=v.X, ta có: dY dv v X dX dX PTVP (10) Sau ta Y dY/dX vào (10) Phương trình vi phân bậc I dy ax  by  c Xét PTVP:  dx Ax  By  C Trường hợp 3: Nếu: Đặt: 52 (9) a, b, c, A, B, C số dy KAx  KBy  c K  Ax  By   c a  KA a b  9     K dx Ax  By  C Ax  By  C A B b  KB  dy Ku  c  dx  u  C du Ku  c  A  KB  u  AC  Bc u  Ax  By     A B  dx u C u C  du  A  B dy  dx dx u C  du  dx  A  KB  u  AC  Bc u C   du   dx  x  const  A  KB  u  AC  Bc (11) Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy x  y   dx x  y  53 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy x  y   dx 3x  y  54 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  x  y  1 dy   x  y  1 dx 55 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  x  y   xdx   3x  y   ydy 56 57 Phương trình vi phân bậc I Nếu PTVP có dạng: a0  x  dy  a1  x  y  a2  x  ; a0  x   dx  a2  x   dy  a1  x   dy  P  x y  Q  x 12      y     dx  a0  x   dx  a0  x   P x  Q x  (13) (12) Dạng chuẩn PTVP tuyến tính hay Phương trình Leibnitz tuyến tính P  x  dx dy P  x  dx P  x  dx     e  P  x  y  Q  x  e 13  e dx d   P x dx   Q  x   e  P x dx  y  e  dx  P  x  dx P  x  dx      y e   Q  x  e  dx  C   (14) (14) lời giải PTVP (13) 58 Hạng tử: e  P x dx gọi nhân tố tích phân phương trình (13) Hạng tử: e  P x dx khơng phải nhân tố tích phân phương trình (12) Nhân tố tích phân phương trình (12) là: P  x  dx  e a0  x  Lời giải (12) (13) Trong số trường hợp PTVP viết dạng sau để thuận tiện: dx  P  y x  Q  y dy (15) P  y  dy P  y  dy       Q ye Khi lời giải (15) là: x  e  dy  C   (16) Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy 1  x  dx  xy  59 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy y 5x   0 dx x  x   x  3 60 Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau: cos x  4sin x  y  sin x  dx 61 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  y   dx   arctan y  x  dy 62 ... x3 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau:  x  y dy  a2 dx Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: y cos  x  dx  y xe dy  Phương trình vi phân bậc I. ..  ln C  Đây l? ?i gi? ?i tổng quát, C số 39 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: xdy  ydx   x y dx  2 40 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: ydx ... 46 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: dy x y  dx x  y 47 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: 2 2 x  xy  y dx  y  xy  x     dy  48 Phương