Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I như quy luật tăng và giảm, định luật II Newton làm mát vật thể, phản ứng hóa học, mạch điện đơn giản, tìm quỹ đạo trực giao của họ đường cong,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 3: Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: tiết Nội dung học Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Gọi x(t) số lượng đối tượng thời điểm t Giả sử thay đổi số lượng lại tỉ lệ thuận với số lượng thời điểm PTVP mơ tả thay đổi có dạng: dx  K  x (1) dt –Trong K hệ số tỉ lệ, số dx dx K t 1   K  dt     K  dt  ln x  Kt  ln C  x  C  e x x Với điều kiện ban đầu: x(0) = x0, ta có C = x0 Vậy quy luật số lượng x(t) là: x  x0  e K t (2)  (2) thể số lượng đối tượng bất kz thời điểm t Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I x  x0  e K t (2) 1) Nếu K>0, số lượng x tăng trưởng thời gian t tăng (2) PT (2) thể tăng trưởng bất kz thời điểm t Sự tăng trưởng theo hàm mũ Ví dụ: Số lượng vi khuẩn mơi trường ni cấy phát triển theo cấp số nhân điều kiện lý tưởng   t (3) x  x  e 2) Nếu K0, thì: Có nghĩa số lượng x giảm sút thời gian t tăng (3) PT (3) thể sụt giảm bất kz thời điểm t Sự sụt giảm theo hàm mũ Ví dụ: thí nghiệm cho thấy chất phóng xạ bị phân hủy với tốc độ tỷ lệ với lượng chất có mặt bất kz thời điểm Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I x  x0  e K t x  x0  e t Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Trong môi trường nuôi cấy nấm men, chất lên men hoạt động tự tăng gấp đơi giờ, tăng lên theo tỉ lệ 15 với giả thiết số lượng tăng với tốc độ tỉ lệ với nó? Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Nếu 30% chất phóng xạ biến 10 ngày, sau 90% chất biến mất? Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Uranium phân hủy với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng theo thời gian Nếu M1 M2 lượng uranium thời điểm T1 T2, xác định chu kz bán rã uranium Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Ví dụ việc làm mát: - Nếu để tách trà nóng phịng, nguội nhiệt độ khơng khí xung quanh - Nếu kim loại nóng nhúng vào bồn nước, kim loại nguội nhiệt độ nước xung quanh  Định luật Newton việc làm mát Định luật làm mát Newton phát biểu tốc độ thay đổi nhiệt độ T vật thể (nóng) tỷ lệ với chênh lệch T nhiệt độ Ts mơi trường xung quanh (khơng khí, nước, v.v.) Nhiệt độ trung bình xung quanh gọi nhiệt độ môi trường xung quanh PTVP mô tả thay đổi có dạng: dT    T  Ts  (4) dt –Trong λ>0 hệ số tỉ lệ, số Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I 10 dT    T  Ts  (4) dt d T  Ts  dT   dt      dt  ln T  Ts   t  ln C  4  T  Ts T  Ts  T  Ts  ln   C T  Ts   t  t  e  T  Ts  Ce    t  C  Với điều kiện ban đầu: T(t=0) = T0, ta có C = T0 –Ts Vậy quy luật nhiệt độ T(t) là: T  t   Ts  T0  Ts  e  t ;   (5) Khi t∞ e–λt 0, suy T Ts, có nghĩa sau thời gian dài nhiệt độ vật với nhiệt độ mơi trường bên ngồi Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I 33 Trong động lực học chất lỏng, đường dòng đường đẳng (tức đường có vận tốc khơng đổi) quỹ đạo trực giao Vận tốc giảm dọc Đường đẳng theo đường dòng Vận tốc tỷ lệ nghịch với khoảng cách dòng Vận tốc tăng dọc theo đường dịng Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Từ họ đường cong có phương trình F(x,y,c) = (1), c số đó: Tính đạo hàm phương trình theo x triệt tiêu c để thu phương trình chứa x, y, dy/dx Rất cần tận dụng phương trình gốc để triệt tiêu c d dy   F  x, y , c    dx  f x , y ,   0 dx    F  x, y , c     2 Trong (2) thay dy/dx –dx/dy, thu phương trình vi phân mới:  dx  f  x, y ,    dy    3 Giải phương trình vi phân (3) để thu họ đường cong mới: G(x,y,c’) = 34 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong y2 = 4cx, c số 35 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong sau c số x2 y2  1 a b c 36 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong cy2 = x3, c số 37 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I y x 38 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Từ họ đường cong có phương trình F(r,θ,c) = (1), c số đó: Tính đạo hàm phương trình theo θ triệt tiêu c để thu phương trình chứa r, θ, dr/dθ Rất cần tận dụng phương trình gốc để triệt tiêu c d dr  F  r , , c    d   f r ,  ,   d   F  r , , c     0   2 Trong (2) thay dr/dθ –r2dθ/dr, thu phương trình vi phân mới:  d f  r , ,  r dr   0   3 Giải phương trình vi phân (3) để thu họ đường cong mới: G(r,θ,c’) = 39 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong r = c.cosθ, c số 40 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong r = c.(1–cosθ), c số 41 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong sau c số 2c r  cos  42 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I 43 Cho biết vô lăng quay với quy luật: a) Dạng 1: ω=f(θ), tức cho quy luật vận tốc góc ω hàm số phụ thuộc vào góc quay θ b) Dạng 2: ε=f(ω), tức cho quy luật gia tốc góc ε hàm số phụ thuộc vào vận tốc góc ω c) Dạng 3: ε=f(θ), tức cho quy luật gia tốc góc ε hàm số phụ thuộc vào góc quay θ Yêu cầu: Hãy xác định: *) Cho biết: a) Tình 1: Khi góc quay θ đạt giá trị θ0 Tính vận tốc góc ω gia tốc góc ε Tính thời gian t để θ đạt giá trị θ0 b) Tình 2: Khi vận tốc góc ω đạt giá trị ω0 Tính góc quay θ gia tốc góc ε Tính thời gian t để ω đạt giá trị ω0 1) Khi t=0 θ=0, ω=0 2) Đơn vị góc quay: [rad], vịng = 360° = 2π [rad] 3) Đơn vị vận tốc góc: [rad/s], [vòng/phút] = π/30 [rad/s] 4) Đơn vị gia tốc góc: [rad/s2] c) Tình 3: Khi gia tốc góc ε đạt giá trị ε0 Tính góc quay θ vận tốc góc ω Tính thời gian t để ε đạt giá trị ε0 a a s s O O       s vs a  v  s 45 Bánh đà quay với vận tốc góc ω=(0.005θ2) rad/s, θ tính radian Xác định gia tốc góc quay 20 vịng Biết thời điểm ban đầu t=0 bánh đà quay vịng Hãy tính thời gian cần thiết để quay 20 vòng Trục phần ứng S máy hút bụi quay với gia tốc góc ε=4ω3/4 rad/s2, ω tính rad/s Xác định vận tốc góc số vịng quay chổi t=4 s, ω0 = rad/s, θ=0 Bán kính trục chổi 0.25 inch inch Bỏ qua độ dày đai truyền động Đĩa bắt đầu với vận tốc ω0 = rad/s θ = 0, cung cấp gia tốc góc ε = (0.3θ) rad/s2, θ tính radian Xác định độ lớn thành phần pháp tuyến tiếp tuyến gia tốc điểm P vành đĩa θ = vòng, thời gian để quay ... v? ?i giả thiết số lượng tăng v? ?i tốc độ tỉ lệ v? ?i nó? Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Nếu 30% chất phóng xạ biến 10 ngày, sau 90% chất biến mất? Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Uranium phân. .. th? ?i ? ?i? ??m Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I x  x0  e K t x  x0  e t Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Trong m? ?i trường nu? ?i cấy nấm men, chất lên men hoạt động tự tăng gấp đ? ?i giờ,... thu phương trình vi phân m? ?i:  dx  f  x, y ,    dy    3 Gi? ?i phương trình vi phân (3) để thu họ đường cong m? ?i: G(x,y,c’) = 34 Ứng dụng Phương trình vi phân bậc I Tìm quỹ đạo trực giao