Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế được biên soạn bởi tác giả Tôn Thất Tú có nội dung nhằm cung cấp cho các em sinh viên kiến thức Toán học được ứng dụng trong kinh tế gồm: hệ phương trình, hàm số một biến, phép tính đạo hàm, phương trình vi phân, phương trình sai phân,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.
lOMoARcPSD|16911414 TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Tơn Thất Tú Đà Nẵng, 2019 Tơn Thất Tú 1/65 HỌC PHẦN: TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (45 tiết) Học phần gồm chương: • • • • • • • • Chương Chương Chương Chương Chương Chương Chương Chương 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: Ma trận Hệ phương trình Hàm số biến, dãy số, chuỗi số Phép tính đạo hàm vi phân Hàm số nhiều biến Phép tính tích phân Phương trình vi phân Phương trình sai phân Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy (2010) Toán cao cấp cho nhà kinh tế: Phần - Đại số tuyến tính NXB ĐH Kinh tế quốc dân Lê Đình Thúy (2010) Tốn cao cấp cho nhà kinh tế: Phần - Giải tích tốn học NXB ĐH Kinh tế quốc dân Tơn Thất Tú 2/65 Chương 1: Ma trận Các khái niệm Ma trận cấp m × n bảng số hình chữ nhật gồm m hàng n Ma trận có m hàng n cột ký hiệu sau: • Dạng tường minh: a11 a12 a11 a12 a1n a21 a22 a21 a22 a2n A= A = am1 am2 am1 am2 amn cột a1n a2n amn ã Dng rỳt gn: A = (aij )mìn hoc A = [aij ]m×n - Hai ma trận gọi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng Tơn Thất Tú 3/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Một số tên gọi - Tên ma trận: ta thường dùng in hoa A, B, để đặt tên ma trận - Phần tử: phần tử hàng i cột j aij - Cấp (hoặc Cỡ) ma trận là: m × n Ví dụ Cho ma trận " A= # A ma trận cấp × Một số phần tử là: a11 = 1, a12 = 2, a23 = Tôn Thất Tú 4/65 Các ma trận đặc biệt Ma trận hàng Ma trận hàng ma trận cấp × n, tức ma trận có hàng n cột i h A = a11 a12 a1n Ma trận cột Ma trận cột ma trận cấp m × 1, tức ma trận có m hàng cột a11 a A = 21 am1 Tôn Thất Tú 5/65 Ma trận không Ma trận khơng ma trận có tất phần 0 0 O= 0 Ma trận khơng cấp m × n kí hiệu Om×n tử Ví dụ O2×3 " 0 = 0 # Tôn Thất Tú 6/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Ma trận vuông Ma trận vuông ma trận có cấp n × n, a11 a21 A= an1 tức ma trận có số hàng số cột a12 a1n a22 a2n an2 ann Sau ta xét số dạng đặc biệt ma trận vuông Tôn Thất Tú 7/65 Một số tên gọi ma trận vuông - Các phần tử a11 , a22 , , ann lập thành đường chéo - Các phần tử an1 , a(n−1)2 , , a1n lập thành đường chéo phụ - Ma trận vng cấp n × n cịn gọi tắt cấp n Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm đường chéo a11 a12 a1n a22 a2n A= 0 ann Tôn Thất Tú 8/65 Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm đường chéo a11 a22 a A = 21 an1 an2 ann Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo ma trận vng có a11 A= phần tử nằm ngồi đường chéo a22 ann Tôn Thất Tú 9/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị ma trận vng có phần tử nằm đường chéo phần tử cịn lại Kí hiệu En (hoặc In ) En = 0 Ví dụ E2 = " 0 # 0 E3 = 0 Tơn Thất Tú 10/65 Phép tốn tuyến tính ma trận Phép cộng ma trận Cho ma trận cấp: A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n Khi đó, ta có A + B = [aij + bij ]m×n - Viết tường minh Tôn Thất Tú a11 a12 a22 a A + B = 21 am1 am2 a11 + b11 a21 + b21 = am1 + bm1 b11 b12 a1n a2n b21 b22 + bm1 bm2 amn a12 + b12 a22 + b22 am2 + bm2 b1n b2n bmn a1n + b1n a2n + b2n amn + bmn 11/65 Phép nhân số với ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n , λ ∈ R Khi đó, ta có: λA = [λaij ]m×n - Viết tường minh a11 a12 a21 a22 λA = λ am1 am2 λa11 λa12 a1n a2n λa21 λa22 = λam1 λam2 amn λa1n λa2n λamn Tôn Thất Tú 12/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Phép trừ ma trận Cho ma trận cấp: A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n Khi đó, ta có A − B = [aij − bij ]m×n - Viết tường minh a11 a12 a22 a A − B = 21 am1 am2 a11 − b11 a21 − b21 = am1 − bm1 a1n b11 b12 a2n b21 b22 − amn bm1 bm2 a12 − b12 a22 − b22 am2 − bm2 b1n b2n bmn a1n − b1n a2n − b2n amn − bmn Tôn Thất Tú 13/65 Một số tính chất phép tốn nói Cho A, B, C ma trận cấp, λ, γ số Ta có tính chất sau: 1.A − B = A + (−1)B 2.A + B = B + A 3.(A + B) + C = A + (B + C) 4.A + O = O + A = A 5.A + (−A) = O 6.1.A = A 7.λ(A + B) = λA + λB 8.(λ + γ)A = λA + γA 9.(λγ)A = λ(γA) Tơn Thất Tú 14/65 Ví dụ Cho hai ma trận: " # " # −1 A= B= −3 a) Tính A + 2B, 3A − B b) Tìm ma trận X thỏa: 2X + A = B Giải a) Ta có: " # " # " # −2 A + 2B = + = −3 −1 # # " # " " −1 = − 3A − B = −10 −2 −9 Tôn Thất Tú 15/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 b) Thực biến đổi: " # " # " # −1 1 −3/2 −3 = = − X = (B − A) = 1 −3 2 # " Các phép biến đổi ma trận a Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Các phép biến đổi sau thực ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp: • Đổi vị trí hàng cột cho nhau: hi ↔ hj • Nhân số λ 6= vào hàng cột đó: hi → λhi • Cộng vào hàng (cột) với tích số λ 6= với hàng (một cột đó): hi → hi + λhj Tơn Thất Tú 16/65 Ví dụ A = −2 0 −2 h1 ↔h2 A −− −−→ h1 →2h1 A −−−−−→ −2 h2 →h2 +2h1 −−−−−→ 0 A −− Tôn Thất Tú 1 −3 7 −3 14 1 −3 15 −3 17/65 b Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận A cấp m × n Phép chuyển hàng ma trận A thành cột tương ứng để thành ma trận gọi phép chuyển vị ma trận A Ma trận gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT Như vậy: Nếu A có cấp m × n AT có cấp n × m a11 a12 a a22 A = 21 am1 am2 a11 a21 a1n a a2n 12 a22 AT = a1n a2n amn am1 am2 amn Tôn Thất Tú 18/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Ví dụ 1 2 A = 5 8 AT = 3 0 0 0 Một số tính chất Cho A, B ma trận cấp Ta có • (A + B)T = AT + B T • (A − B)T = AT − B T • (λA)T = λAT • (AT )T = A Tơn Thất Tú 19/65 Ví dụ Cho hai ma trận: " # " # A= B= −3 −2 a Tính A + 2B T , 3AT − 2B b Tìm ma trận X thỏa điều kiện: 3(X − A) = 2(X + B T ) c Tìm ma trận X thỏa điều kiện: (X − A)T = 2X T + B Giải a) Ta có: # " # # " # " # " 3 = = + A + 2B T = +2 −4 −1 1 −2 −3 −3 " " # " # " # " # " # −3 −9 −11 −2 = 3A − 2B = − = −2 15 −4 19 T Tôn Thất Tú 20/65 b) Thực khai triển biến đổi: " # " # " # 13 X = 3A + 2B T = + = −9 15 −4 −7 11 c) Ta có: (X − A)T = 2X T + B ⇔ X T − AT = 2X T + B ⇔ X T = −AT − B Lấy chuyển vị vế: # " # " # −5 −2 X = (−A − B) = −A − B = − − = −3 −2 −3 T T T " Tôn Thất Tú 21/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Định thức a Định nghĩa - Cho α = (α1 , , αn ) hoán vị (1, 2, , n) Nếu αi > αj với i < j ta bảo αi αj tạo thành nghịch - Định thức ma trận A = [aij ]n×n , kí hiệu det(A) |A| định nghĩa: X det(A) = (−1)h(α) a1α1 a2α2 anαn , α∈S đó: S: tập tất hốn vị (1, 2, , n) α = (α1 , , αn ) - hoán vị h(α) - số nghịch hốn vị α Tơn Thất Tú 22/65 Cách tính định thức cấp cấp • Cho ma trận vng cấp 1: A = [a11 ]1×1 Lúc đó: det(A) = a11 # " a11 a12 Lúc đó: • Cho ma trận vng cấp 2: A = a21 a22 a −3 Tôn Thất Tú định thức sau: b −3 ... am1 Tôn Thất Tú 5/65 Ma trận khơng Ma trận khơng ma trận có tất phần 0 0 O= 0 Ma trận khơng cấp m × n kí hiệu Om×n tử Ví dụ O2×3 " 0 = 0 # Tôn Thất Tú 6/65 Downloaded... biệt ma trận vuông Tôn Thất Tú 7/65 Một số tên gọi ma trận vuông - Các phần tử a11 , a22 , , ann lập thành đường chéo - Các phần tử an1 , a(n−1)2 , , a1n lập thành đường chéo phụ - Ma trận vng cấp... 0 Tơn Thất Tú 10/65 Phép tốn tuyến tính ma trận Phép cộng ma trận Cho ma trận cấp: A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n Khi đó, ta có A + B = [aij + bij ]m×n - Viết tường minh Tôn Thất Tú a11 a12