Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 6: Hệ phương trình Cramer và các ứng dụng trong phân tích kinh tế

Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 6: Hệ phương trình Cramer và các ứng dụng trong phân tích kinh tế trình bày hệ phương trình Cramer; phương pháp ma trận; quy tắc Cramer; ứng dụng trong phân tích kinh tế.

Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Toán cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Hệ phương trình Cramer;  Phương pháp ma trận;  Quy tắc Cramer;  Ứng dụng phân tích kinh tế Mục tiêu  Sinh viên nắm khái niệm tính chất hệ phương trình Cramer  Hiểu áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp: phương pháp ma trận nghịch đảo phương pháp Cramer  Nắm mô hình cân thị trường Áp dụng vào tập  Nắm mơ hình cân kinh tế vĩ mô áp dụng vào tập liên quan 68 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Tình dẫn nhập Xét thị trường hải sản gồm mặt hàng cua tôm Ký hiệu p1 giá 1kg cua, p2 giá 1kg tơm (đơn vị nghìn đồng) Ký hiệu Qs1, Qs2 lượng cua lượng tơm mà người bán lịng bán mức giá p1, p2 Ký hiệu QD1, QD2, lượng cua, lượng tơm mà người mua lịng mua mức giá p1, p2, Cụ thể Qs1, Qs2 , QD1, QD2 cho theo quy tắc sau: QS1 = ─80 + p1, QD1 = 280 – 3p1 + 4p2 QS2 = ─70 + 3p2, QD2 = 130 + 2p1 – p2 Tìm mức giá cua, giá tơm mà người bán vừa bán hết hàng người mua vừa mua hết hàng thị trường TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 69 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế 6.1 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác gọi hệ phương trình Cramer Hệ phương trình Cramer n ẩn số có dạng:  a11x1 +a12 x +  +a1n x n =b1 a x +a x +  +a x =b  21 22 2n n   a n1x1 +a n2 x + +a nn x n =b n (6.1) Ma trận hệ số hệ phương trình (6.1) ma trận vuông cấp n:  a11 a12 a a 22 A=  21    a n1 a n2  a1n   a 2n      a nn  Theo giả thiết hệ phương trình Cramer ma trận A khơng suy biến, tức d = |A| ≠ 6.2 Phương pháp ma trận Hệ phương trình (6.1) viết dạng phương trình ma trận: AX = B (6.2) Trong A ma trận hệ số nói trên, cịn X B ma trận:  x1   b1  x  b  X =  2, B =  2         xn   bn  Ở dạng (6.2) ma trận A B ma trận cho trước, cịn X ma trận phải tìm Ma trận B gọi cột số hạng tự do, X gọi cột ẩn số Do d = |A| ≠ nên ma trận A có ma trận nghịch đảo A–1 Nhân hai vế phương trình (6.2) với A–1 ta hệ thức tương đương: X = A–1B (6.3) Như vậy, hệ phương trình Cramer có nghiệm xác định theo cơng thức (6.3) Ví dụ: Giải hệ phương trình  x1  3x  2x     2x1  x  3x   3x  x  4x  11  (6.4) Ma trận hệ số hệ phương trình là:  2  A =  3  1  70 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Do |A| = 20 ≠ nên hệ phương trình (6.4) hệ Cramer Ma trận nghịch đảo ma trận A là:  10 11  A =  10 7  20  5 10 5 -1 Áp dụng cơng thức (6.3) ta có:  x1   10 11  3  40           -1 20  =  1 X = x2  = A B = 10 7    = 20  20   x   5  20   1 10 5  11 Nghiệm hệ phương trình (6.4) là:  x1 =  x =  x =  6.3 Quy tắc Cramer Định lý sau gọi quy tắc Cramer: Định lý: Nghiệm hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, …, xn xác định theo công thức: d1 d2 dn    x1  , x  ,  , x n   d d d   (6.5) Trong d định thức ma trận hệ số, dj (j = 1, 2, …, n) định thức có cột thứ j cột số hạng tự do, tất cột lại định thức d Phương pháp xác định nghiệm hệ Cramer theo quy tắc gọi phương pháp Cramer hay phương pháp định thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2x  y  3z    3x  4y  2z   5x  2y  z    Giải: Hệ phương trình có ma trận hệ số A cột số hạng tự B sau 3  2 A =  4  , B = 1   1  3    2  Ta có: 2 3 d = A = 4 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 =  55 71 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Thay cột thứ d cột B ta được: d1 = 3 4 2 2 = 9 Thay cột thứ hai d cột B ta được: 2 d2 = 3 2 = 56 Thay cột thứ ba d cột B ta được: 2 d3 = 1 4 = 43 2 Theo quy tắc Cramer ta tìm nghiệm hệ phương trình cho: d d1 d 56 43    , y  , z   x  d 55 d 55 d 55   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình tuyến tính ẩn số x, y, z, cho biết ma trận mở rộng 2  A     1 Chú ý ba cột đầu ma trận mở rộng A cột ma trận hệ số A, cột cuối cột số hạng tự B, đó: 4 d  = 2, d1 =  31 1 9 2 d  = – 6, d =  21 1 1 Theo quy tắc Cramer ta tìm nghiệm hệ phương trình cho: d d1 31 d 21   =  , y = =  3, z = =  x=  d d d 2  6.4 Ứng dụng phân tích kinh tế 6.4.1 Mơ hình cân thị trường 6.4.1.1 Thị trường loại hàng hóa Khi phân tích hoạt động thị trường hàng hóa, nhà kinh tế học sử dụng hàm cung hàm cầu để biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá hàng hóa (với giả thiết yếu tố khác khơng thay đổi) Dạng tuyến tính hàm cung hàm cầu sau: 72 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Hàm cung: Hàm cầu: Qs = −a0 + a1p, Qd = b0 − b1p,  c11 p1 + c12 p =  c10   c 21 p1 + c 22 p =  c 20 (6.6) Giải hệ phương trình tuyến tính (6.6) ta xác định giá cân hàng hóa, sau thay vào hàm cung hàm cầu ta xác định lượng cân Trong Qs lượng cung, tức lượng hàng hóa mà người bán lòng bán; Qd lượng cầu, tức lượng hàng hóa mà người mua lịng mua; p giá hàng hóa; a0, a1, b0, b1 số dương Mơ hình cân thị trường có dạng:  Q s   a  a 1p  Q s   a  a 1p   Qd  b  b1p  Q d  b  b1p Q  Q  a  a p  b  b p d  s  Giải hệ phương trình ta tìm được: a  b0 Giá cân bằng: p  a1  b1 Lượng cân bằng: Q  Qs  Qd  6.4.1.2 a1b0  a b1 a1  b1 Thị trường nhiều hàng hóa Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá hàng hóa ảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu hàng hóa khác Để cho đơn giản ta xét mơ hình cân thị trường hàng hóa liên quan Ta ký hiệu biến số sau: Qsi lượng cung hàng hóa i, Qdi lượng cầu hàng hóa i, Pi giá hàng hóa i Với giả thiết yếu tố khác không thay đổi, hàm cung hàm cầu tuyến tính có dạng: Hàm cung hàng hóa i: Qsi = ai0 + ailp1 + ai2p2 (i = 1, 2) Hàm cầu hàng hóa i: Qdi = bi0 + bilp1 + bi2p2 (i = 1, 2) Mơ hình cân thị trường hai hàng hóa có dạng sau: Qs1 = a10 + a11p1 + a12 p Q = b + b p + b p 11 12  d1 10 Qs2 = a 20 + a 21p1 + a 22 p  Qd2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p Q s1 = Qd1  Qs2 = Qd2 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 73 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Từ hệ phương trình ta suy hệ phương trình xác định giá cân bằng: a10 + a11p1 + a12 p = b10 + b11p1 + b12 p  a 20 + a 21p1 + a 22 p = b 20 + b 21p1 + b 22 p Đặt cik = aik – bik với (i, k = 0, 1, 2) ta hệ phương trình: c11p1 + c12 p =  c10  c 21p1 + c 22 p =  c 20 (6.6) Giải hệ phương trình tuyến tính (4.1) ta xác định giá cân hàng hóa, sau thay vào hàm cung hàm cầu ta xác định lượng cân Ví dụ 1: Giả sử thị trường gồm mặt hàng hàng hóa hàng hóa 2, với hàm cung hàm cầu sau Hàng hóa 1: Qsl = −2 + 3p1 ; Qdl = 10 – 2p1 + p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 – p2 Hệ phương trình xác định giá cân bằng: 2 + 3p1 = 10  2p1 + p 5p1  p = 12   1 + 2p = 15 + p1  p   p1 + 3p = 16 Giải hệ phương trình ta tìm giá cân mặt hàng: 26 46 ; Hàng hóa 2: p = 7 Thay giá cân vào biểu thức hàm cung ta xác định lượng cân bằng: Hàng hóa 1: p1 = 6.4.2 Hàng hóa 1: Q1 =  + 3p1 = 64 Hàng hóa 2: Q =  + 2p = 85 Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ Ở dạng đơn giản, ta xét mơ hình cân nên kinh tế đóng (khơng có quan hệ kinh tế với nước ngoài) Gọi Y tổng thu nhập quốc dân (Income) E tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) kinh tế, trạng thái cân biểu diễn dạng phương trình: Y=E Trong kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch toàn kinh tế gồm thành phần sau: C: Tiêu dùng (Consumption) hộ gia đình; G: Chi tiêu phủ (Government); I : Chỉ tiêu cho đầu tư nhà sản xuất (Investment) Phương trình cân trường hợp kinh tế đóng là: Y=C+G+I 74 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Ta giả sử đầu tư theo kế hoạch cố định: I = I0 sách tài khóa phủ cố định: G = G0, cịn tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dạng hàm bậc (gọi hàm tiêu dùng): C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng người ta có thêm $1 thu nhập, gọi xu hướng tiêu dùng cận biên (marginal propensity to consume), b mức tiêu dùng tối thiểu, tức mức tiêu dùng khơng có thu nhập Mơ hình cân kinh tế vĩ mô trường hợp quy hệ phương trình tuyến tính:  Y=C+I +G   C=aY+b   Y  C=I +G    aY+C = b Giải hệ phương trình ta xác định mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế: b + I + G0 b + a(I0 + G ) ; C=  a  a Y= Trên mơ hình cân kinh tế vĩ mô dạng đơn giản Độ phức tạp mơ hình tăng lên ta tính đến yếu tố khác, chẳng hạn thuế, xuất nhập Nếu tính thuế thu nhập hàm tiêu dùng thay đổi sau: C = aYd + b Trong Yd thu nhập sau thuế, hay cịn gọi thu nhập khả dụng (disponsable income): Yd = Y – T ( T thuế thu nhập) Gọi tỷ lệ thuế thu nhập t ( biểu diễn dạng thập phân), ta có: Yd = Y – tY = (1 − t )Y, C= a(1− t)Y + b Mức thu nhập quốc dân tiêu dùng cân là: Y= b + I0 + G b + a(1  t)(I0 + G ) ;C=  a(1  t)  a(1  t) Ví dụ: Nếu C = 200 + 0,75Y; I0 = 300; G0 = 400 (tính triệu USD) ta tính mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân Y= 200 + 300 + 400 = 3600 (Triệu USD)  0,75 C= 200 + 0.75(300 + 400) = 2900 (Triệu USD)  0,75 Nếu Nhà nước thu thuế thu nhập mức 20% t = 0,2 Khi mức cân sau: TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Y= 200 + 300 + 400 = 2250 (Triệu USD)  0,75.(1  0,2) C= 200 + 0.75(1  0.2)(300 + 400) = 1550 (Triệu USD)  0,75(1  0,2) 75 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Tóm lược cuối  Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác gọi hệ phương trình Cramer  Tính chất: Hệ Cramer ln có nghiệm  Phương pháp ma trận để giải hệ Cramer: Nghiệm tìm theo cơng thức: X = A–1B  Phương pháp định thức: Tìm nghiệm hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, …, d d d   xn theo công thức  x1  , x  , , x n  n  d d d    Mơ hình cân thị trường loại hàng hóa: Q s  Q d Q  s a Giá cân bằng: p  a1   a  a 1p  b  b1p  Qd  b0  b1 Lượng cân bằng: Q  Qs  Qd  a1b0  a b1 a1  b1  Mơ hình cân thị trường hai hàng hóa: Qs1 = a10 + a11p1 + a12 p Q = b + b p + b p 11 12  d1 10 Qs2 = a 20 + a 21p1 + a 22 p  Qd2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p Q s1 = Qd1  Qs2 = Qd2 Chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình tuyến tính hai phương trình, hai ẩn p1, p2 suy giá cân Thay giá cân vào hàm cung hàm cầu hai mặt hàng, tính lượng cân Y = C + I0 + G  Mơ hình cân kinh tế vĩ mô:  C = aY + b Giải hệ phương trình ta xác định mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế: Y= 76 b + I + G0 b + a(I0 + G ) ; C=  a  a TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Câu hỏi ôn tập Thế hệ phương trình Cramer? Có phương pháp giải hệ Cramer? Hãy viết dạng ma trận hệ phương trình Cramer Nêu nội dung phương pháp ma trận nghịch đảo Nêu nội dung phương pháp Cramer Nếu giải hệ Cramer phương pháp khử ẩn liên tiếp hệ kết thúc dạng tam giác hay hình thang? Nêu mơ hình cân thị trường loại hàng hóa cách tìm giá cân Nêu mơ hình cân thị trường hai loại hàng hóa cách tìm giá cân bằng, lượng cân Nêu cách xác định mức thu nhập quốc dân cân mơ hình cân kinh tế vĩ mơ trường hợp khơng có thuế thu nhập 10 Nêu cách xác định mức thu nhập quốc dân cân mơ hình cân kinh tế vĩ mơ trường hợp có thuế thu nhập TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 77 ... TXTOCB02_Bai6_v1.0 014 104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Hàm cung: Hàm cầu: Qs = −a0 + a1p, Qd = b0 − b1p,  c 11 p1 + c12 p =  c10   c 21 p1 + c 22 p =  c 20 (6.6) Giải hệ phương. .. 21p1 + a 22 p  Qd2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p Q s1 = Qd1  Qs2 = Qd2 TXTOCB02_Bai6_v1.0 014 104226 73 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế Từ hệ phương trình ta suy hệ phương. .. 2x1  x  3x   3x  x  4x  11  (6.4) Ma trận hệ số hệ phương trình là:  2  A =  3  ? ?1  70 TXTOCB02_Bai6_v1.0 014 104226 Bài 6: Hệ phương trình Cramer ứng dụng phân tích kinh tế