TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm

Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức không đổi... i Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận ii Hạng của ma trận dạng bậc thang

ThS Phùng Duy Quang (chủ biên) ThS Nguyễn Dương Nguyễn

TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Nhà xuất bản Sư phạm

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế này được biên soạn tươngứng chương trình Toán cơ sở trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chínhNgân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đạihọc Ngoại thương Hà nội Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinhviên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thứcToán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc dân

Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội

Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấptrang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán họccao cấp khi tiếp cận các bài tập Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toáncao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộsách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốtmôn Toán cơ sở Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng trìnhbày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng kếtquả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp Bên cạnh đó cuốn sách cũng mạnh dạn đưavào khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các

ví dụ áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứngdụng của toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế

Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kếtcấu như sau:

Chương 1 Ma trận và định thức

Chương 2 Không gian véc tơ

Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

Chương 4 Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng

Chương 5 Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng

Phân công biên soạn cuốn sách như sau:

- ThS Phùng Duy Quang chủ biên và biên soạn chương 1, chương 2, chương 3,chương 5 và phần ứng dụng của chương 4

- ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn chương 4

Cuối cùng cuốn sách lần đầu ra mắt bạn đọc nên không thể tránh được các sai sót Cáctác giả mong nhận được những lời góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng hoàn thiệnhơn Mọi góp ý xin gửi về Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại Thương Hà nội

Hà nội, ngày 28 tháng 12 năm 2012

Chủ biên ThS Phùng Duy Quang Trưởng bộ môn Toán, Trưởng khoa Cơ bản

Trường Đại học Ngoại thương

MỤC LỤC

Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 4

§1 Ma trận và các phép toán trên ma trận 4

§2 Định thức của ma trận vuông 11

§3 Ma trận nghịch đảo 22

§4 Hạng của ma trận 28

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉCTƠ 33

§1 Khái niệm về không gian véc tơ 33

§2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ 36

§3 Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ 41

§4 Không gian vectơ con 49

§5 Không gian Euclide thực 53

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 56

§1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 56

§2 Phương pháp giải hệ phương trình 60

§3 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 69

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 83

§1 Hàm một biến số 83

§2 Giới hạn của dãy số 88

§3 Giới hạn của hàm số 90

§4 Hàm số một biến số liên tục 93

§5 Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số 95

§6 Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 101

§7 Tích phân hàm một biến số 108

§8 Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 126

Chương 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 129

§1 Giới hạn và liên tục 129

§2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 137

§3 Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế 143

§4 Cực trị hàm nhiều biến 153

§5 Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế 160

TÀI LIỆU THAM KHẢO 171

Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

§1 Ma trận và các phép toán trên ma trận

1 Các khái niệm

Cho m, n là các số nguyên dương

Định nghĩa 1 Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột Một ma trận có m

dòng và n cột được gọi là ma trận cấp mn Khi cho một ma trận ta viết bảng số bêntrong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông Ma trận cấp mn có dạng tổng quát như sau:

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

7 5 2

A A là một ma trận cấp 2 x 3 với

a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1

Định nghĩa 2.

 Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở

vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

1 4

3 1

2 4 1

1 4

3 1 A

 Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :  [ 0 ] m n

 Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận

A là ma trận dòng

 Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n Một matrận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Khi đó các phần

từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử an1, an 12 ,

… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ

 Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đườngchéo chính bằng 0

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:

n 1

n 22

n 1

n 12

11

a 0

0 0

a a

0 0

a 0

a a

a a A

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:

1

1 n n 2

1 n 1 n

22 21

11

a a

a a

0 a

a a

a a

0 0

0 a

4 1 2

5 2 1

4 1 0

5 2 1

0 1 2

0 0 1 C

 Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng 0

 Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

En

 Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)

 Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)

7 5 2

7 5

6 2 B

7 5

6 2

7 5 2 A

m 7

7 5

6 2

1 7

7 5

6 2 B

a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số

Định nghĩa 3 Cho hai ma trận cùng cấp mn: A  a ij m n; B  b ij m n



Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mn, kí hiệu A + B và được xác địnhnhư sau: A B a ij b iim n

2 1 2 B

; 1 1 0

4 2 1

14 7 4 3

1 2

2 1 2 ).

3 ( 1 1 0

4 2 1

3 1

2 / 3 2 / 1 1

0

0 1 3 5

3 1 2

1 E B 2

1 C

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

1

p 22

21

p 12

11

b

b b

b b

b

b b

m 1 m

n 22

21

n 12

11

c

c c

c c

c

c c

trong đó c a b a b a b n a b ;i 1,2, ,m j 1,2, ,p

1 k

kj ik nj

in j

2 2 i j 1 1 i

2 1

4 1 0

Giải :

8 7 2 2 1 4 3 3 1 1 3 1 1 0 3

2 2 4 1 3 2 1 1 1 2 0 1 2 3 1

4 1 0 1 3

2 1 B

0 1 2

0 1 1 2

1 3 2 1

1 7 5 3 1

2 0 3

0 1 1 2

1 3 2 1 0 2 3

0 1 2 B

.

A

Còn B.A không tồn tại

Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận

Tính chất 2 Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.

0 0 B

; 0 0

1 0

0 0 A B

; 0 0

0 1 B

0 0 B

; 0 0

0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 B A

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n Ta xác định

b a

A Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình

0 1 ).

bc ad ( d c

b a ).

d a ( d c

b a d c

b a E ) bc ad ( A ) d a

(

A 2

0 0 bc ad 0

0 bc ad ) d a ( d ) d a ( c

) d a ( b ) d a ( a d

bc c

1 1

2 1 1 0

1 1 1 0

1 1

3 1 1 0

1 1 1 0

2 1

n 1

A n

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An

Định nghĩa 5 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạngi) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di  dj( ci  cj)

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi( kci)

iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hdi  dj( hci  cj)

5 2 1 2

6 4 2 1

A Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:

20 4 2 4

6 4 2 1 4 2 1 1

5 2 1 2

6 4 2 1 A

6 4 2 1

5 2 1 2 4

2 1 1

5 2 1 2

6 4 2 1 A

5 2 1 2

6 4 2 1 4

2 1 1

5 2 1 2

6 4 2 1 A

5 2 0 0

0

5 3 1 1

0

8 6 5 1

1 1 2 0 0

1 8 2 1 0

7 4 3 1 1

1 2 0

2 1 1

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của

A ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là

22 21 13 33 31

23 21 12 33 32

23 22

a a M

; a a

a a M

; a a

a a M

12 11 23 33 31

13 11 22 33 32

13 12

a a M

; a a

a a M

; a a

a a M

12 11 33 23 21

13 11 32 23 22

13 12 31

a a

a a M

; a a

a a M

; a a

a a M

Định nghĩa 1 Cho một ma trận A vuông cấp n: A =

1

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

12 11

a a

a a

22 21

12

a a

a a ) A

Ví dụ 2 Tính định thức D 12 146

Giải: Ta có 1 14 6 2 2

14 2 6 1

Ví dụ 3 Giải phương trình: 0

4 9



Do đó x 215

4

9 25 x 0 9 25 x

23 22 21

13 12 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

A

Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà

mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chínhhoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song vớiđường chéo chính

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặccác phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đườngchéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”sau:

Ví dụ 4.Tính định thức

1 2 2

1 0 2

3 2 1

Ví dụ 5 Giải phương trình 0

1 2 4

1 1 1

1 x x



Giải:

1 2

4

1 1

1

1 x

x

2 2

1 x 0 2 x x







 (với i bất kỳ) (Khai triển định thức theo dòng i)

hoặc det(A) = n a ( 1)i jdet(Mij)

1 i

1 1 1 2009

1 x x 2010

0 0 0 2011

2



Giải: Đặt

1 2 4 2008

1 1 1 2009

1 x x 2010

0 0 0 2011

2

4 

 Khai triển định thức theo dòng 1:

1 2 4

1 1 1

1 x x 2011 1

2 4

1 1 1

1 x x ) 1 (

2011

2 2

1 1

1 x 0 2 x x

2 Tính chất của định thức

A =[aij]n x n với n  det( A )

Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

a a a ai1 i2 ij in  b b b bi1 i2 ij in  c c c c ;ai1 i2 ij in ij bijc ( j 1, n)ij  

Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu

) n , 1 j ( a

k 1k k k

b a

A CMR det(AT) =det(A)

Giải: Ta có det(A) = ac db = ad- bc và det(AT) = ad bc

d b c a



 Suy ra đpcm

Chú ý 1 Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho cácdòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột"

1

in 2

i 1 i

n 12

11

nn 2

1

in 2

i 1 i

n 12

a

a a

a a k a

ka

ka ka

a a



Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa

nhân tử chung ra ngoài dấu định thức

Hệ quả 2 Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức

có hai dòng giống nhau nên nó bằng không

Ví dụ 3 Chứng minh định thức sau chia hết cho 17: 4

Ta có 17 D

9 11 7 6

4 1

1 2

12 2

4 1

7 6 2 12 17 9

11 7

6

4 1

1 2

) 12 (

17 2 17 ) 4 (

17 1 17

7 6

2 12

Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất

Hệ quả 4 Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận trong quá trình tính định thức cấp n:

* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di  dj( ci  cj), phép biến đổi này định thức đổi dấu

* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi( kci), phép biến đổi này định thức tăng lên

' c '

b '

a

c b

' c ' b ' a

c b a

Ví dụ 5 Tính định thức

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

) 3 d ( ) 3 c ( ) 3 b ( ) 3 a (

) 2 d ( ) 2 c ( ) 2 b ( ) 2 a (

) 1 d ( ) 1 c ( ) 1 b ( ) 1 a (

d c

b a

4 d 4 4 c 4 4 b 4 4 a 4

1 d 2 1 c 2 1 b 2 1 a 2

d c

b

d d

4 , 3 ,

2

i

4

i 1

6 6

2 2

2 2

1 d 1 c 2 1 b 2 1 a 2

d c

b

d d

d d

4

3 2 4 2

a c 2

c b 2

b

1 a c

b

1 c b

a c 2

c b 1 c b a

1 b a

1 c b a

1 a c

1 c b a

1 c b

1 c b a

a c 2

c b 1

1 b a

1

1 a c

1

1 c b

1 ).

1 c b a

1

in ij

1 i

n j

1 11

n

a

a

a

a

a





a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)

 Phần bù đại số của a ij

Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử a ij) của A ta được một matrận con (n - 1), kí hiệu là M ij Định thức của M ij được gọi là định thức con cấp n -1tương ứng với phần tử aij của A và A ( 1 ) i j det( Mij)

i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :

ij ij n

1 j

ij j

i ij

n a ( 1 ) det( M ) a A (1)ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:

i ij ij

n 1

j i ij

n 1 j

n 1 i

ik

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về

tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0nhất để khai triển Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về địnhthức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy

Ví dụ 7 Tính định thức a)

0 5 4

2 1 3

1 1 2

3  

4 2 1

2 1 3

1 2 1

1 2 ) 1 (

5 2 1

1 1 ) 1 (

30 0 2 1

1 2 ) 1 )(

1 ( 4 2

1 2 ) 1 (

3 4 2

2 1 ) 1 (

Ví dụ 8 Tính định thức a)

1 2 5 3

3 1 4 2

3 1 3 1

5 0 1 1

4 1 0 0

3 0 1 0

2 0 0 1

8

13 1

6

8 1 4 14 2

8

13 1

6

8 1 4 ) 1 (

1 14 2

8 3

13 1

6 2

8 1 4 1

0 0 0 1

1 1 c

c

c c

5

4

2 1

4 1

5 2

) 1 (

1 30 0

16

5 0 2

8 1 4

2 1 d

d

d d

4

2 1

3 1

4 1 0 0

5 0 1 0

0 0 0 1

4 1 0

5 0 1 9 4 3

4 1 0

5 0 1 ) 1 (

1 9 4 3 2

4 1 0 0

5 0 1 0

0 0 0 1

1 1 4

1 24 4 3

4 1 0

0 0 1

1 1

n 1

n 22

n 1

n 12

11

n

a 0

0 0

a a

0 0

a 0

a a

a a

n 2

1

1 n n 2

n 1 n

22 21

11

n

a a

a a

0 a

a a

0 0

a a

0 0

0 a

nn 22 11 nn

n n 1 n n

n 1

n 22

1 1 11

nn

n n 1 n n

n 1

n 22

n 1

n 12

11

a 0

0

a a

a ) 1 (

a a

0

0 0

a a

0 0

a

0

a a

n 2

1

1 n n 2

n 1 n

22 21

11

a a

a a

0 a

a a

a a

0 0

0 a

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:

Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của

ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

nn 33 22 11 nn

n 22

n 12

11

a

a a a

a

0 0

a 0

a

a a

nn 2

1

22 21 11

a

a a

a

a a

a a

0

0 a



Ví dụ 10 Tính các định thức

a)

0 4 3 2 1

5 0 3 2 1

5 4 0 2 1

5 4 3 0 1

5 4 3 2 1

1

4 3 3 2 1

4 3

2 2 1

4 3

2 1 1

4 3

2 1

4

b a a a

a 1

a b a a a

1

a a

b a a 1

a a

a b a 1

a a

a a

x 0 x x x 1

x x 0 x x 1

x x x 0 x 1

x x x x 0 1

1 1 1 1 1 0

6 

a x x x x x

x a x x x x

x x a x x x

x x x a x x

x x x x a x

x x x x x a

6 



Giải: a)

 Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra 6  0

 Nếu x 0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tửchung (n -1) ra ngoài ta được:

0 x x x x x

x 0 x x x x

x x 0 x x x

x x x 0 x x

x x x x 0 x

x x x x x x

x 5

0 x x x x x

x 0 x x x x

x x 0 x x x

x x x 0 x x

x x x x 0 x

x x x x x 0

x

1

2 2



Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:

3 5

2 2

x 5

x 0 0 0 0 0

0 x 0 0 0 0

0 0 x 0 0 0

0 0 0 x 0 0

0 0 0 0 x 0

x x x x x x

x

x x 1

x a

x x 1

a x 1

x x

x a 1

x x

x x 1

x 5 a

a x

x x x 5 a

x a

x x x 5 a

a x x 5 a

x x

x a x 5 a

x x

x x x 5 a

0 0

0

0 x a

0 0

x a 0 0

0 0

0 x a 0

x x

x x

1

x 5

§3 Ma trận nghịch đảo

Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuôngcấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo

1 Định thức của tích hai ma trận vuông

Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n

Định lý 1 Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận

thành phần: det(AB)= det(A)det(B)

Hệ quả: det(An) = [det(A)]n

Ví dụ 1 Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2 Tính det(AB),

det(A2B); det(2AB); det(A3); det(2A)

Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2 (-2) = -4

det(A2B)= det(A2).det(B) = 22 (-2) = -8

det(2AB) = 23.det(AB) = 8 (-4) = -32

det(A3) = [det(A)]3 = 23 = 8

det(2A) = 23.det(A) = 16

2 Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1 Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n Nếu có ma

trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B đượcgọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu

0 1

01

0140

01.4

10

01

4

10

01.40

01

0 0không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có

E

B

B

    

Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

Định lý 2 Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất

3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

Định lý 3 Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.

1 3 0

3 1 2 A

4 2 5

1 3 0

3 1 2

3 3 1 ) 1 ( A

; 2 4 2 3 1 ) 1 ( A

; 14 4 2 1 3 ) 1

(

31 1

2 21

1 1

3 2 ) 1 ( A

; 7 4 5

3 2 ) 1 ( A

; 5 4 5

1 0 ) 1

(

32 2

2 22

1 2

6 3 0 1 2 ) 1 ( A

; 1 2 5 1 2 ) 1 ( A

; 15 2

5 3 0 ) 1

(

33 3

2 23

3 1

2 7 5

10 2 14 A

11 / 1 22 / 7 22 / 5

11 / 5 11 / 1 11 / 7 6

1 15

2 7 5

10 2 14 22

1 A ) A det(

 ; (Am)- 1 = (A-1)m

ii) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1

iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất

C A X C X

3 1 A

Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được 

3 7

24 54

1 2

3 7 1 2

3 7 1

2

3 7 )

A ( )

A

(

2 2

1 1

Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch

Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo

352

321A

2 4

32 11

3

24.2

1A.)Adet(

5 2 ) 1 ( A

; 13 8

1

3 2 ) 1 ( A

; 40 8 0

3 5 ) 1 (

22 2

1 12

1 1

2 0 1

2 1 ) 1 ( A

; 5 8 1

3 1 ) 1 ( A

; 16 8

0

3 2 ) 1 (

23 2

2 22

1 2

1 5 2

2 1 ) 1 ( A

; 3 3 2

3 1 ) 1 ( A

; 9 3 5

3 2 ) 1 (

33 2

3 32

1 3

3 5 13

9 16 40

3 5 13

9 16 40 A

) A det(

3 5 13

9 16 40

1 5 3 X 4 3

2 1

1 0

0 1 X 8 0 1

3 5 2

3 2 1

2 1

A khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

0112

95

153.2

12

32 12

95

153.43

21

X

1

321

A khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

8 16

25 49 1

1

1 0

0 1 1 2 5

3 5 13

9 16 40 1

1

1 0

0 1 8 0 1

3 5 2

3 2 1

X

1

b) Phương pháp khử Gause-Jordan (Phương pháp biến đổi sơ cấp)

Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E vàđưa E về ma trận A-1 Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơcấp (phương pháp Gauss – Jordan):

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A

được ma trận mới ký hiệu (A|E)

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mới này để đưa dần

khối ma trận A về ma trận đơn vị E, còn khối ma trận E thành ma trận B, tức là (A|E) 

(E|B) Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A

352

321A

0 1 0

0 0 1 8 0 1

3 5 2

3 2 1

Bước 2: Biến đổi sơ cấp

0 1 2

0 0 1 1 0 0

3 1 0

3 2 1 1

0 1

0 1 2

0 0 1 5 2 0

3 1 0

3 2 1 1

0 0

0 1 0

0 0 1

1 3 1

d d d

d d d

3 5 13

9 16 40 1 0 0

0 1 0

0 0 1 1

2 5

3 5 13

3 6 14 1 0

0

0 1

0

0 2

1

1 2 3

3 5 13

9 16 40

A 1

8 6 3 2

4 3 1 1

Xác định các định thức con của A

Giải:

Các định thức con cấp 1 của A chính là các phần tử của A

Các định thức con cấp 2 của A , chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2 và cột 1, 3 là

0 6

8 3

D 24

23   ,

Các định thức con cấp 3, chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2, 3 và cột 1, 3, 4 là

0 12 9

3

8 6

2

4 3

8 3 2

4 1 1

D 134





Định lý 1 Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức

con cấp cao hơn k cũng bằng 0

Định nghĩa 1 Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n  Cấp cao nhất của các địnhthức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)).Nếu r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ sởcủa A

Quy ước: r({  })  0

Chú ý 1 Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất đơn giản sau

i) 0  ( A )  min {m, n}

ii) r(A) = r(AT)

iii) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì

* r(A) = n  A  0 hay A không suy biến

* r(A) < n  A  0 hay A suy biến

8 6 3 2

4 3 1 1 A

Giải:

Ta có định thức con cấp 2: 20

12 2

8 3

3

6 3

2

3 1 1

8 6 2

4 3 1

D 134

0 12 2

3

8 3

2

4 1 1

8 6 3

4 3 1

0 0

0 0

0 0

0 0

a

a a

0 0

a a

a 0

a

a a

a a

n 1

r 2 r 2 22

n 1

r 1 r 1 12

0 0

a 0

a

a a

rr

r 2 22

r 1 12

11 r

12 r

(i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

ii) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của ma trận đó

Định lý 3

(i) Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp mn bất kỳ, ta luôn có:

) B ( ) A ( ) B A

(ii) Với A và B là hai ma trận bất kỳ sao cho AB tồn tại, ta luôn có:

) A ( ) AB (  và ( AB )  ( B ) hay ( AB )  min {r(A), r(B) }

(iii) Nếu A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì

r(A) + r(B)  r(AB) + n

Hệ quả: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có

) AB ( n ) B ( ) A

2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a) Phương pháp định thức

Trước hết, ta chứng minh kết quả:

Định lý 4 Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr Nếu mọiđịnh thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A bằng r

Từ định lý này, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận như sau:

Bước 1: Tìm một định thức con cấp Dk khác 0 cấp k (0  k  minm , n)

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có)

Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k.

Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp

k 2  chứa định thức cấp k 1  khác 0 này (nếu có)

Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A

8 6 3 2

4 3 1 1 A

Giải:

Ta có định thức con cấp 2: 5

3 2

1 1

6 3 2

3 1 1



12 2 3

8 3 2

4 1 1

D đều bằng 0 nên r(A) = 2

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp

Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang B.

Bước 2: Đếm số dòng khác không của B, số đó là hạng của A

4 1 1 2

2 4 3 1 A

Giải:

Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

B 0 0 0 0

0 7 7 0

2 4 3 1 0

5 5 0

0 7 7 0

2 4 3 1 2

1 2 1

4 1 1 2

2 4 3 1 A

2

3 2

2 1 2 1

d d d

d d d

1 3 1 1

3 2 1 1 A

Giải: Ta biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang

Lấy dòng 1 cộng vào dòng 2, dòng 1 nhân với (- 1) cộng vào dòng 3, ta được:

2 5 0 0

3 2 1 1 2 1 3 1

d d d d

Nhân dòng 2 với (- 1) cộng vào dòng 3 ta thu được ma trận dạng bậc thang:

2 5 0 0

3 2 1 1 2 1 3 1

d d d d

Từ ma trận dạng bậc thang, ta có r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m – 5 = 0  m  5

Ví dụ 7 Tìm hạng của ma trận

n

3 0

2 1

2 1

A là ma trận vuông cấp 2 nên An cũng là ma trận vuông cấp 2 Theođịnh lý nhân định thức ta có det(An) = [det(A)]n = 3n 0 Nên r(An) = 2

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉCTƠ

§1 Khái niệm về không gian véc tơ

1 Định nghĩa vectơ n thành phần

Định nghĩa 1 Mỗi bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định (x1, x2, …,

xn) được gọi là một vectơ n thành phần

Vectơ n thành phần thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường như x, y, u, v, …

 Vectơ n thành phần mà tất cả các thành phần đều bằng 0 được gọi là vectơ không,

(iv) -x = (-x1, -x2, …, -xn): x + (-x) =  Vectơ - x được gọi là vectơ đối của vectơ x

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

Từ định nghĩa này ta suy ra các tính chất sau:

Định lý 2 Mọi vectơ n thành phần x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) và mọi , 

R, ta có

(v) (x + y) = x + y

x – y = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn - yn).

3 Định nghĩa không gian vectơ tổng quát

Không gian vectơ n thành phần, ký hiệu n

 là tập hợp tất cả các vectơ n thành phầncùng với hai phép toán: phép cộng giữa hai vectơ n thành phần và phép nhân một số thựcvới một vectơ n thành phần thoả mãn 8 tính chất (4 tính chất ở định lý 3.2 và 4 tính chấtđịnh lý 3.2) gọi là 8 tiên đề của không gian véc tơ

Từ định nghĩa này, ta có thể mở rộng khái niệm không gian véc tơ cho tập hợp E bất

kỳ khác rỗng

Định nghĩa 5 Cho tập E khác rỗng Trên E trang bị hai phép toán : phép cộng hai

phần tử của E, phép nhân một phần tử của E với một phần tử của trường K ( hoặc ,trong giáo trình này chỉ xét trường số thực  ; các kết của của các phép toán đó cũng làphần tử của E) Nếu hai phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ thì E cùngvới hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên trường K

Ví dụ 1 Tập Matm xn(K) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K cùng vớiphép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với 1 số Theo định lý 2.1 ta có các phép toán

đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ Vậy Matmx n(K) là một không gian véc tơvới véc tơ không là ma trận không cấp m x n ; phần tử đối của ma trận A = [aij]m x n là matrận – A = [-aij]m x n

Ví dụ 2 Gọi Pn là tập các đa thức bậc không quá n với hệ số thực

 p p a a x a x a x ; a R ( i 0 , n )

n

2 2 1 o

Khi đó Pn cùng với hai phép toán trên là một không gian véc tơ với phần tử không là

đa thức 0 ; phần tử đối của đa thức p là - p = - ao - a1x - a2x2 - … - anxn

Ví dụ 3 Gọi Qn là tập các đa thức bậc n với hệ số thực

 p p a a x a x a x ; a R ( i 0 , n ); a 0

n

2 2 1 o

n          với hai phép toán xácđịnh như ở ví dụ 3.2.Khi đó Qn với hai phép toán này không phải là không gian véc tơ vì :+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … an-1xn-1 + xn ; q = bo + b1x + b2x2 + …+bn-1xn-1- xn

Để đơn giản, trong giáo trình chỉ xét K =  Do đó ta chỉ cần nói E là không gian véc

tơ Trước hết, ta có một số tính chất đơn giản của không gian véc tơ

Định lý 3 Bất kỳ một không gian véc tơ E nào ta cũng có tính chất sau

i) Nếu  là phần tử trung hoà của E thì phần tử trung hoà là duy nhất

ii) Phần tử đối – x của bất kỳ véc tơ x nào của E cũng đều duy nhất

§2 Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

1 Tổ hợp tuyến tính

Cho {u1, u2, …, um}  E ; E là không gian véc tơ

Định nghĩa 1 Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um là biểu thức

 thì ta nói x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um (hay

x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ u1, u2, …, um)

Một số tính chất đơn giản của tổ hợp tuyến tính

Định lý 1 Trong mọi không gian véc tơ E

i) Véc tơ  là tổ hợp tuyến tính của mọi hệ véc tơ

ii) Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U và mọi véc tơ của U là tổ hợp tuyếntính của hệ véc tơ V = {v1; v2; ; vn} thì x cũng là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơV

j ij

n 1 j

m 1 i ij i j

m 1 i

n 1 j ij i m

1 i

n 1 j j ij

Ví dụ 1 Trong không gian 3

 ; chứng minh rằng véc tơ x = (4; 5; 5) là tổ hợp tuyếntính của hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; -3); u2 =( 2; 1; 1); u3 = (4; 2; 3)}

Giải:

Để chứng tỏ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U, ta cần tìm các hằng số  1 ;  2 ;  3

sao cho x =  1 u 1   2 u 2   3 u 3

) 3

; 2

; 4 ( )

1

; 1

; 2 ( )

3

; 2

; 1 (

1 4 2 14 9 4

3 6 3

4 4 2 5 3 3

5 2

2

4 4

2

3 2 3 2 3 2 1

3 2 3 2 3 2 1

3 2

1

3 2

1

3 2

2 4 2 4 10

5 1 4 2

3 3 2

3 2 1

3 2 3 2

1

Vậy x = -2u1 – u2 + 2u3

Ví dụ 2 Trong không gian n

 , cho hệ véc tơ U = {e1; e2; ; en}

Trong đó ei = (0; 0; ; 0; 1; 0; ; 0) (thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phầnkhác bằng 0; i  1 , n).

Chứng minh rằng mọi véc tơ x của n

 đều tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U

i) Nếu hệ U độc lập tuyến tính  ui ≠ , i = 1, m

ii) Nếu U độc lập tuyến tính và U   U thì hệ U độc lập tuyến tính

Chứng minh

i) Giả sử tồn tại một véc tơ ui   Khi đó phương trình véc tơ

1u1 + 2u2 + …+ iui + … + mum =  có nghiệm

0

; 1

; 0

2

1             

thuộc tuyến tính Mâu thuẫn với giả thiết suy ra đpcm

iii) Không mất tính tổng quát, ta giả sử U’ = {u1; u2; ; uk} (1km)

2

1      

 nên U’ là hệ độc lập tuyến tính

Hệ quả 1 Nếu   U thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 2 Nếu hệ U phụ thuộc tuyến tính và U  Vthì hệ V phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 3 Hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} (m ≥ 2) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉkhi có một vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

Chứng minh

(  ) Giả sử U là hệ phụ thuộc tuyến tính Khi đó, tồn tại các số không đồng thờibằng 0:  1 ;  2 ; ;  msao cho 1u1 + 2u2 + …+ iui + … + mum =  Không mất tínhtổng quát, ta giả sử i  0 nên iui= - 1u1 - 2u2 - …-  i1 u i1   i1 u i1 - … - mum

i

m 1

i i

1 i 1 i i

1 i 2

i

2 1 i

(  ) Suy ra hiển nhiên từ định nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 3 Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu diễn

tuyến tính qua các vectơ còn lại

Hệ quả 4 Nếu hệ {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính thì

hệ {u1, u2, …, um, v} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi v là tổ hợp tuyến tính duynhất của các vectơ u1, u2, …, um

Hệ quả 5 Hệ U có hai véc tơ tỷ lệ nhau là hệ phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4 Trong không gian véc tơ E, cho hai hệ vectơ

U = {u1, u2, …, um }

V = {v1, v2, …, vp}Nếu m > p và mọi vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ V thì

a

k a

k a

0 k

a

k a

k a

0 k

a

k a k

a

m pm 2

2 p 1

1 p

m m 2 2

22 1

21

m m 1 2

12 1

11

(*)

Hệ (*) này có số phương trình nhỏ hơn số ẩn (p < m) nên hệ này có vô số nghiệm Gọi(k1; k2; ; km) là một nghiệm không tầm thường của hệ đó Từ (*) ta có

k1u1 + k2u2 + + kmum = k1(a11v1 + a21v2 + … + ap1vp) + k2(a12v1 + a22v2 + + ap2vp) +

…+ km(a1mv1 + a2mv2 + … + apmvp)

= (a11k1 + a12k2 + … + a1mkm)v1 + (a21k1 + a22k2 + … + a2mkm)v2 + … + (ap1k1 + ap2k2 +

… + apmkm)vp= 0.v1 + 0.v2 + … + 0.vp = 0

Nên hệ véc tơ U là phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 1 Nếu hệ U là độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ V biểu thị tuyến tính qua

U thì m  p

Hệ quả 2 Nếu hệ véc U, V là độc lập tuyến tính; đồng thời mọi véctơ của U là tổ hợp

tuyến tính của hệ V và ngược lại, mọi véc tơ của hệ V là tổ hợp tuyến tính của hệ U thìhai hệ véc tơ đó có số véc tơ bằng nhau

Chứng minh hai hệ quả này đều suy ra từ định lý trên.

Ví dụ 3 Trong không gian R3, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệa) U = {u = (1; 1; -2)}

Ngoài ra cần kết hợp với các tính chất trên để kết luận

a) Hệ U chỉ có một véc tơ khác không nên U là độc lập tuyến tính

b) Hệ U chứa 2 véc tơ tỷ lệ nhau nên U là độc lập tuyến tính

c) Hệ U có chứa véc tơ không nên nó là hệ phụ thuộc tuyến tính

d) Ta có

4 k

5 k

2

0 k

3 k

2 k

0 k

5 k

k

3 2

1

3 2

1

3 2

1

(*)Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1, phương trình 2 nhân với (-2) rồi cộng vớiphương trình 3 thì hệ (*)  hệ 

2 k

0 k

2 k

0 k

5 k

k

3 2

3 2

3 2

0 k 5 k

k

3 2

3 2

3 1

k 2 k

k 7 k

Chọn k3 = 1 thì hệ (*) có nghiệm là k1 = -7, k2 = 2, k3 = 1 Vậy chứng tỏ hệ đã cho làphụ thuộc tuyến tính

e) Giải tương tự d) suy ra hệ U là phụ thuộc tuyến tính

§3 Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ

1 Hạng của một hệ vectơ

a) Hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ

Cho E là không gian véc tơ

Định nghĩa 1 Cho hệ vectơ U  E Hệ con U’  U được gọi là hệ con độc lập tuyếntính cực đại của hệ U nếu

+) U’ là hệ độc lập tuyến tính

+) x U, x là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của U’

Chú ý 1 i) Điều kiện thứ hai trong định nghĩa trên tương đương với điều kiện:

x  U\ U’, hệ U’  {x} là phụ thuộc tuyến tính

ii) Một hệ vectơ có thể: không có hệ con độc lập tuyến tính cực đại nào, hoặc có duynhất một hệ con độc lập tuyến tính cực đại, hoặc có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cựcđại

Ví dụ 1 Trong không gian R3, tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ

U = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}

Giải:

Đầu tiên ta chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của U

Đương nhiên hệ chỉ có một véc tơ luôn là hệ độc lập tuyến tính

Xét hệ U’ = {u1; u2} có hai véc tơ không tỷ lệ nhau nên U’ là độc lập tuyến tính Mặtkhác u3 = u1 + u2 nên U’ {u3} = U là hệ phụ thuộc tuyến tính Do đó, hệ véc tơ U’ là hệcon độc lập tuyến tính cực đại của U

Tương tự, ta cũng có các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U là {u1; u3}; {u2; u3}

Từ ví dụ này ta suy ra cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ

* Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ U  E:

Bước 1: Chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của hệ U, giả sử hệ con đó là U’

Bước 2: Kiểm tra xem hệ U’ có phải là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U haykhông?

- Nếu với x  U\ U’, x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U’ thì U’ là hệ con độclập tuyến tính cực đại của hệ U

- Ngược lại, nếu x  U\U’ mà x không biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U’ thì

hệ U’ không là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U Khi đó, hệ U’  {x} độc lậptuyến tính Ta chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra hệ U’  {x} có là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ

U hay không tương tự như kiểm tra đối với hệ U’ ở bước 2

Cứ tiếp tục quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được hệ con độc lậptuyến tính cực đại của hệ U

Định lý 1 Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U  E thì mọi

vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ của hệ U’

1 i i

i v h v k

p 1 i

i i



Do U’ là độc lậptuyến tính nên ki = hi với mọi i Vậy x là tổ hợp tuyến tính duy nhất của U’

Định lý 2 Số vectơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U  E là bằng

nhau

Chứng minh

Giả sử U1; U2 là hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ U có số véc tơtương ứng là m, p Giả sử m > p Do U2 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nênmọi véc tơ của U1 đều biểu thị tuyến tính qua hệ U2 nên theo định lý 3.7 thì U1 là hệ phụthuộc tuyến tính Điều này trái với giả thiết Suy ra m  p Thay đổi vai trò của m cho p

và U1 cho U2 ta suy ra m = p

b) Hạng của một hệ vectơ

Định nghĩa 2 Số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U  E

được gọi là hạng của hệ vectơ U Ký hiệu là r(U)