Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo)

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo) cung cấp cho học viên các kiến thức về phương trình Bernoulli, phương trình riccati, phương trình vi phân chính xác bậc nhất, các nhân tố tích phân,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 1: Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: tiết Nội dung học Phương trình vi phân bậc I dy  P  x y  Q  x yn Là PTVP bậc I mũ I có dạng: dx (17) - Nếu n=0 (17) trở dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính - Nếu n=1 (17) trở dạng I: Phương trình tách biến - Với n>1, viết lại phương trình (17) dạng: dy P  x   n dy  P  x  y1 n  Q  x  17   n  n1  Q  x   y y dx y dx Đặt z=y1-n (17’) dz dz 1 n 1 dy  n dy  n dy   1  n  y  1  n  y  y dx dx dx  n dx dx dz dz  17 '   P  x z  Q  x   1  n  P  x   z  1  n  Q  x   n dx dx (18) Dạng IV Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau: cos x  y sin x  y cos x dx Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau: y cos y  sin y   x  1 dx x  Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy  x sin y  x cos y dx Phương trình vi phân bậc I Là PTVP bậc I mũ I có dạng: dy  P  x y2  Q  x y  R  x dx (19) - Nếu P(x) = (19) trở dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính - Nếu R(x) = (19) trở dạng V: Phương trình Bernoulli - Nếu R(x) ≠ (19) khơng thể giải phương pháp thông thường Tuy nhiên tìm lời giải hàm u(x) (19) cách hay cách khác, ta đặt ẩn phụ: y  u  x  z  x (20) Từ ta đưa phương trình (19) dạng IV phương trình vi phân tuyến tính từ tìm hàm z(x) Khi nghiệm (19) (20) y  u  x  z  x Phương trình vi phân bậc I dy  P  x y2  Q  x y  R  x dx Là PTVP bậc I mũ I có dạng: (19) dy du dz du dz 1 2u Q  20      19     P  u    Q  u    R  P  u     Qu   R dx dx z dx dx z dx z z z z  z    du dz  2u  Q     Pu  Qu  R   P     (21) dx z dx  z z  z Do u(x) nghiệm (19) nên ta có: du   Pu  Qu  R  dx Suy ra: du dz du dz dz   2u  Q   2u  Q  2u  Q    P      P      z  P         Puz  P  Qz     2uP  Q  z  P dx z dx dx z dx dx  z z  z  z z  z   z z  z dz    2u  x  P  x   Q  x   z   P  x  dx   21  M  x  dz  M  x z  N  x dx N  x Dạng IV:  N x  e  M  x dx  dx  C   M  x dx     e   z  x   y  u  x  M x dx    N x  e  M  x dx  dx  C e       Phương trình vi phân bậc I Là PTVP bậc I mũ I có dạng: dy  P  x y2  Q  x y  R  x dx Tóm lại, bước giải: Tìm nghiệm riêng u(x) mà thoả mãn (19) Đặt:  M  x   2u  x  P  x   Q  x    N  x    P  x  Nghiệm phương trình là: y  u  x  M  x  dx  e  N x  e  M  x dx  dx  C       (22) (19) Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: dy x  y2  y  dx 10 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  x3  xy  e   dx  x ydy    23 Phương trình vi phân bậc I Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 dạng nhất, tức biểu thức M(x,y) N(x,y)đều hàm với x, y bậc, nhân tố tích phân x.M(x,y) + x.N(x,y) ≠ x  M  x, y   y  N  x, y  24 Phương trình vi phân bậc I 25 Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 viết dạng f1(x,y).ydx+f2(x,y).xdy=0, có nghĩa M(x,y)=f1(x,y).y N(x,y)=f2(x,y).x nhân tố tích phân x.M(x,y)–x.N(x,y) ≠ x  M  x, y   y  N  x , y  26 Phương trình vi phân bậc I Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 thoả mãn điều kiện sau:  M  x, y  N  x, y       f  x  hàm số x, N  x, y   y x  f  x  dx  e NTTP  N  x, y  M  x, y       g  y  hàm số y, M  x, y   x y  g  y  dy  e NTTP 27 Phương trình vi phân bậc I Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 viết dạng sau: x a y b  mydx  nxdy   x a1 y b1  m1 ydx  n1 xdy   (27) a, b, a1, b1, m, n, m1, n1 số mn1-m1n≠0, thì: h x y k NTTP, với h k số tính từ việc giải hệ PT sau: a  h 1 b  k 1   m n a  h 1 b  k 1   n1  m1 (28) Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  x  y  dx   y  x  dy  28 Phương trình vi phân bậc I 2 Giải phương trình vi phân sau:  y  yx  dx   xy  x  dy  29 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 2 xy  y dx  x  x y  dy     30 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 2 2 x y  xy  ydx  x    y  xy  1 xdy  31 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: x  xy dx  y dy    32 Phương trình vi phân bậc I 2 x  y  x  dx  xydy  Giải phương trình vi phân sau:  33 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau:  y ln y  dx   x  ln y  dy  34 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 2 xy  y dx  x    y  x  dy  35 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 3 2 x y  y dx  x  xy     dy  36 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: 2 y  x y dx  x     xy  dy  37 ... (19) Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: dy x  y2  y  dx 10 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: dy  e  x y  y  e x dx 11 Phương trình vi phân bậc. .. Dạng IV Phương trình vi phân bậc I dy Gi? ?i phương trình vi phân sau: cos x  y sin x  y cos x dx Phương trình vi phân bậc I dy Gi? ?i phương trình vi phân sau: y cos y  sin y   x  1 dx x  Phương. .. 14 Phương trình vi phân bậc I Gi? ?i phương trình vi phân sau: dy y sin x  dx y  cos x 15 Phương trình vi phân bậc I dy x  x y  xy Gi? ?i phương trình vi phân sau:  dx y  3x y  x y 16 Phương