Phương Pháp Tính - Hệ Phương Trình Tuyến Tính Đại Học Bách Khoa 1. Đặt vấn đề 2. Phương pháp Gauss 3. Phương pháp nhân tử LU 4. Phương pháp Choleski 5. Chuẩn của vector, Chuẩn của ma trận 6. Những phương pháp lặp
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ phương trình đại số tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + + a1i xi + + a1n xn ai1 x1 + ai2 x2 + + aii xi + + ain xn a x +a x + +a x + +a x n1 n2 ni i nn n = = = b1 bi bn (1) thường xuất toán kỹ thuật TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 Đặt vấn đề Ta xét hệ gồm n phương trình n ẩn số, A = (aij ) ∈ Mn(K ) detA = Do hệ có nghiệm X = A−1B TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Tg = (D − L)−1 U = −1 −0.24 0.08 0 0.15 = 0.09 0 0 0.04 0.08 −0.06 0.02 −3 0.0494 1.8.10 −4 −3 5.64.10 −1.188.10 Khi cơng thức lặp có dạng X (m) = Tg X (m−1) + Cg , m = 1, 2, (0) Chọn X = tính X (1) , X (2) , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 91 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel x1(1) = c1 + t12 x2(0) + t13 x3(0) , x2(1) = c2 + t21 x1(1) + t23 x3(0) , x3(1) = c3 + t31 x1(1) + t32 x2(1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 92 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Bấm máy A = (8 − 0.24B + 0.08C) ÷ : B = (9 − 0.09A + 0.15C) ÷ : C = (20 − 0.04A + 0.08B) ÷ CALC B=3, C=5 (không nhập A) Nhấn tiếp dấu ”=” nghiệm x1(3) , x2(3) , x3(3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 93 / 105 Những phương pháp lặp m x1(m) Phương pháp Gauss-Seidel x2(m) x3(m) 1.92 3.1924 5.044648 1.9093489 3.194952 5.0448056 1.909199 3.1949643 5.0448073 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 94 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Đánh giá sai số ||X (3) − X (2) ||∞ = max |xi(3) − xi(2) | = i=1,2,3 −4 max{| − 1.499.10 |, |0.123.10−4 |, |0.017.10−4 |} = 1.499 × 10−4 ||Tg ||∞ = max{|0|+|−0.06|+|0.02|, |0|+|1.8.10−3 |+|0.0494|, |0| + |5.64.10−4 | + | − 1.188.10−3 |} = max{0.08, 0.0512, 1.744.10−3 } = 0.08 ||X (3) − X ||∞ ||Tg || − ||Tg || · ||X (3) − X (2) ||∞ = 0.08 × 1.499 × 10−4 ≈ 0.1303 × 10−4 < 10−4 − 0.08 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 95 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel BÀI TẬP 6.1 15x1 − 6x2 = Với −5x1 + 8x2 = Cho hệ phương trình x(0) = [0.3, 0.2]T , véctơ x(3) tính theo phương pháp Gauss-Seidel 0.753 1.099 0.755 1.097 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 0.757 1.095 0.759 1.093 Các câu sai HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 96 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel A = (5 + 6B) ÷ 15 : B = (5 + 5A) ÷ CALC B=0.2 (khơng nhập A) Nhấn tiếp dấu ”=” nghiệm x1(3), x2(3) Vậy x(3) = 0.755 ⇒ Câu 1.096875 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 97 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR DẠNG MA TRẬN x(k) = (D − ωL)−1 [(1 − ω)D + ωU]x(k−1) + ω(D − ωL)−1 b (3) Tω = (D − ωL) [(1 − ω)D + ωU], cω = ω(D − ωL) b −1 −1 x(k) = Tω x(k−1) + cω , k = 1, 2, ĐỊNH NGHĨA 6.4 < ω < ⇒ trình gọi phương pháp mức nới lỏng ω > ⇒ trình gọi phương pháp mức nới lỏng (SOR) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 98 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR ĐỊNH LÝ 6.3 Nếu ||Tω|| < dãy x(k) x(k) = Tω x(k−1) + cω , ∞ k=1 xác định k = 1, 2, hội tụ với véc tơ nghiệm gần ban đầu x(0), đến véc tơ x, với x = Tωx + cω, sai số ||x (k) − x|| ||x(k) − x|| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||Tω ||k ||x(1) − x(0) || − ||Tω || ||Tω || ||x(k) − x(k−1) || − ||Tω || HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 99 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR VÍ DỤ 6.4 Cho hệ phương trình Ax = b 4x1 + 0.24x2 − 0.08x3 = 0.09x1 + 3x2 − 0.15x3 = 0.04x − 0.08x + 4x = 20 Sử dụng phương pháp SOR với ω = 1.25, tìm nghiệm gần x(k) với nghiệm gần ban đầu x(0) = (2, 3, 5)T ||x(k) − x||∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||Tω ||∞ ||x(k) − x(k−1) ||∞ < 10−2 − ||Tω ||∞ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 100 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR Tω = (D − ωL)−1 [(1 − ω)D + ωU] = −1 0 0 = 1.25 × 0.09 1.25 × 0.04 1.25 × (−0.08) (1 − 1.25) × 1.25 × (−0.24) 1.25 × 0.08 (1 − 1.25) × 1.25 × 0.15 0 (1 − 1.25) × −0.25 −0.075 0.025 = 0.0094 −0.2472 0.0616 0.0034 −0.0052 −0.2488 cω = ω(D − ωL)−1 b = (2.5, 3.6562, 6.3102)T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 101 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR CASIO Công thức nghiệm lặp phương pháp SOR x(k) = Tω x(k−1) + cω , k = 1, 2, Véc tơ nghiệm gần ban đầu x(0) = (2, 3, 5)T x(1) = Tω x(0) + cω , x(2) = Tω x(1) + cω , x(3) = Tω x(2) + cω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 102 / 105 Những phương pháp lặp k x1(k) Phương pháp SOR x2(k) x3(k) 1.9 3.2412 5.0573 1.9083 3.1842 5.0414 1.9101 3.1974 5.0457 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 103 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR SAI SỐ ||x(3) − x(2) ||∞ = max |xi(3) − xi(2) | = i=1,2,3 max{|0.0018|, |0.0132|, |0.0043|} = 0.0132 ||Tω ||∞ = max{| − 0.25| + | − 0.075| + |0.025|, |0.0094| + | − 0.2472| + |0.0616|, |0.0034| + | − 0.0052| + | − 0.2488|} = max{0.35, 0.3182, 0.2574} = 0.35 ||x(3) − x||∞ ||Tω || · ||x(3) − x(2) ||∞ = − ||Tω || 0.35 × 0.0132 ≈ 0.0071 < 10−2 − 0.35 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 104 / 105 Những phương pháp lặp Phương pháp SOR CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2016 105 / 105