MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y 3 - x 3 = 91 (1) Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x 2 + xy + y 2 ) = 91 (*) Vì x 2 + xy + y 2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x 2 + xy + y 2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : y - x = 91 và x 2 + xy + y 2 = 1 ; (I) y - x = 1 và x 2 + xy + y 2 = 91 ; (II) y - x = 3 và x 2 + xy + y 2 = 7 ; (III) y - x = 7 và x 2 + xy + y 2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn Nếu các ẩn x, y, z, . có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ . để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho. Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z = xyz (2). Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1/x + 1/y + 1/z = 2 (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : 2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. Thay x = 1 vào (3) ta có : 1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 => y = 1 => 1/z = 0 (vô lí) hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình. Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x 2 - 2y 2 = 5 (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 4k 2 +4k + 1 - 2y 2 = 5 tương đương 2(k 2 + k - 1) = y 2 => y 2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k 2 + k - 1) = 4t 2 tương đương k(k + 1) = 2t 2 + 1 (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t 2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2000 (5) Lời giải : Ta có x 3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x 3 - x chia hết cho 3. Tương tự y 3 - y và z 3 - z cũng chia hết cho 3. Onthionline.net Chuyên đề: Phương trình với nghiệm nguyên Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên: Phương pháp phát tính chất chia hết ẩn Phương pháp tách giá trị nguyên Phương pháp tìm nghiệm riêng Phương pháp đưa phương trình ước số Phương pháp xét số dư vế Phương pháp dùng bất đẳng thức Phương pháp thử trực tiếp Phương pháp vận dụng vai trò bình đẳng ẩn Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ 10.Phương pháp loại trừ 11.Phương pháp xuống thang 12.Phương pháp phản chứng Ngoài nhiều phương pháp khác Khi giải phương trình tìm nghiệm nguyên, phương trình bậc hai ẩn, ta dùng ba phương pháp đầu Đối với phương trình khác, ta phải vận dụng khéo léo phương pháp tuỳ theo đặc điểm phương trình Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 06/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 11/10/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 1 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <1> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm phơng trình nghiệm nguyên - Hiểu và giải đợc một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (145 phút) A - Lí thuyết I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: Cho a, b z (b 0), tồn tại q, r Z sao cho a = bq + r với 0 r < b - Nếu r = 0 a b - Nếu r 0 a / b 2. Một số tính chất: a, b, c, d Z - Nếu a 0 thì a a và 0 a - Nếu a b và b c a c - Nếu a b và b a a = b - Nếu a b và a c a BCNN(a ; b) - Nếu a b và a c với (b , c) = 1 a (bc) - Nếu a b ac b 3. Một số định lí thờng dùng. - Nếu a c và b c (a b) c Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu - Nếu a c và b d ab cd - Nếu a b a n b n ( n nguyên dơng) *) Một số hệ quả áp dụng: + a, b z và n nguyên dơng ta có (a n b n ) (a b) + a, b z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a n b n ) (a + b) + a, b z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a n + b n ) (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dơng Z + = {1; 2; 3 ; . . . } + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; . . . } + Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . } III. Nhắc lại về phơng trình nghiệm nguyên: Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . . Z . B - Bài tập vận dụng I. Dạng phơng trình ẩn đơn giản 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b - Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *) Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc số của 3 m {1; 2; 3} c - Bài tập tơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m 2 2)x + 36 = 0 d - Bài tập phát triển: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 *) Bài tập 1: Tìm n N để phơng trình (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 06/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 11/10/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 1 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <1> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm phơng trình nghiệm nguyên - Hiểu và giải đợc một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (145 phút) A - Lí thuyết I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: Cho a, b z (b 0), tồn tại q, r Z sao cho a = bq + r với 0 r < b - Nếu r = 0 a b - Nếu r 0 a / b 2. Một số tính chất: a, b, c, d Z - Nếu a 0 thì a a và 0 a - Nếu a b và b c a c - Nếu a b và b a a = b - Nếu a b và a c a BCNN(a ; b) - Nếu a b và a c với (b , c) = 1 a (bc) - Nếu a b ac b 3. Một số định lí thờng dùng. - Nếu a c và b c (a b) c Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu - N ế u a c v à b d ab cd - Nếu a b a n b n ( n nguyên dơng) *) Một số hệ quả áp dụng: + a, b z và n nguyên dơng ta có (a n b n ) (a b) + a, b z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a n b n ) (a + b) + a, b z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a n + b n ) (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + D ấ u hi ệ u chia h ế t cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: S ố c ó ch ữ s ố t ậ n c ù ng l à 0; 2; 4; 6; 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dơng Z + = {1; 2; 3 ; . . . } + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; . . . } + Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . } III. Nhắc lại về phơng trình nghiệm nguyên: Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . . Z . B - Bài tập vận dụng I. Dạng phơng trình ẩn đơn giản 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b - Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *) Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc số của 3 m {1; 2; 3} c - Bài tập tơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m 2 2)x + 36 = 0 d - Bài tập phát triển: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 * ) B à i t ậ p www.vnmath.com www.vnmath.com 1 Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 2 Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 4 Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế. 5 Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng 5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức 6 Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . 8 Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương 11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn 14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng 15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng 15 Phương pháp 9: Hạ bậc 16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên 18 Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn 19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn 19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. 21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên 23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức 24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ 25 Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ 26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên 28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago 28 Dạng 10: Phương trình Pel 30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. 32 Phần 3: Bài tập áp dụng 33 Phụ lục 48 Lời cảm ơn 52 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 3 Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên. Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 4 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 5 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) 22 1998xy b) 22 1999xy Giải: a) Dễ chứng minh 22 , x y chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên 22 x y chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) 22 , x y chia cho 4 có số dư 0, 1 nên 22 x y chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2 92 x yy Giải Biến đổi phương trình: 92(1)xyy Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên ( 1)yy chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: 3 1 y k, 1 3 2yk với k nguyên Khi đó: 9 2 (3 1)(3 2)xkk 9 9 ( 1)xkk (1)xkk Thử lại, (1)xkk , 31yk thỏa mãn phương trình đã cho. Đáp số (1) 31 xkk yk với k là số nguyên tùy ý 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số V× sù nghiƯp gi¸o dơc N¨m häc 2010 - 2011 Ngµy so¹n : 15/12/10 Ngµy d¹y : 12/10 Chđ ®Ị 11 Bi Ph¬ng tr×nh víi nghiƯm nguyªn Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶I ph¬ng tr×nh víi nghiƯm nguyªn A/Mơc tiªu Häc xong bi häc nµy HS cÇn ph¶i ®¹t ®ỵc : KiÕn thøc - Häc sinh ®ỵc «n l¹i vỊ quan hƯ chia hÕt; kh¸i niƯm ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn - HiĨu vµ gi¶i ®ỵc mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh víi nghiƯm nguyªn KÜ n¨ng - RÌn kÜ n¨ng ¸p dơng, tr×nh bµy Th¸i ®é - Häc sinh tÝch cùc, chđ ®éng gi¶i bµi tËp B/Chn bÞ cđa thÇy vµ trß - GV: - HS: C/TiÕn tr×nh bµi d¹y chøc – sÜ sè II KiĨm tra bµi cò III Bµi míi I Tỉ A - LÝ thut I Nh¾c l¹i vỊ phÐp chia hÕt §Þnh nghÜa phÐp chia hÕt: Cho a, b ∈ z (b ≠ 0), tån t¹i q, r ∈ Z cho a = bq + r víi ≤ r < b - NÕu r = ⇒ a M b / b - NÕu r ≠ ⇒ a M Mét sè tÝnh chÊt: ∀ a, b, c, d ∈ Z - NÕu a ≠ th× a M a vµ M a - NÕu a M b vµ b M c ⇒ a M c - NÕu a M b vµ b M a ⇒ a = ± b - NÕu a M b vµ a M c ⇒ a M BCNN(a ; b) - NÕu a M b vµ a M c víi (b , c) = ⇒ a M (bc) - NÕu a M b ⇒ ac M b Mét sè ®Þnh lÝ thêng dïng Gi¸o ¸n Båi dìng HSG §¹i sè Trêng THCS Hång H ng - NÕu a M c vµ b M c ⇒ (a ± b) M c - NÕu a M c vµ b M d ⇒ ab M cd - NÕu a M b ⇒ an M bn ( n nguyªn d¬ng) *) Mét sè hƯ qu¶ ¸p dơng: + ∀ a, b ∈ z vµ n nguyªn d¬ng ta cã (an – bn) M (a – b) + ∀ a, b ∈ z vµ n ch½n (n nguyªn d¬ng) ta cã (an – bn) M (a + b) + ∀ a, b ∈ z vµ n lỴ (n nguyªn d¬ng) ta cã (an + bn) M (a + b) C¸c dÊu hiƯu chia hÕt + DÊu hiƯu chia hÕt cho 2: Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; + DÊu hiƯu chia hÕt cho 3: Sè cã tỉng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho + DÊu hiƯu chia hÕt cho 4: Sè cã ch÷ sè ci hỵp thµnh sè chia hÕt cho + DÊu hiƯu chia hÕt cho 5: Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ hc + DÊu hiƯu chia hÕt cho 8: Sè cã ch÷ sè ci hỵp thµnh sè chia hÕt cho + DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: Sè cã tỉng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho + DÊu hiƯu chia hÕt cho Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 10: Sè cã hiƯu cđa tỉng c¸c ch÷ sè hµng ch½n + DÊu hiƯu chia hÕt cho vµ tỉng c¸c ch÷ sè hµng lỴ chia hÕt cho 11: 11 II Nh¾c l¹i vỊ tËp hỵp sè nguyªn: + TËp hỵp sè nguyªn d¬ng Z+ = {1; 2; ; } + TËp hỵp sè nguyªn ©m Z- = {-1; -2; -3; } + TËp hỵp sè nguyªn Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } III Nh¾c l¹i vỊ ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn: ♣ Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn F(x, y, z, ) = lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm (x, y, z, ) ®ã x, y, z, ∈ Z B - Bµi tËp vËn dơng I D¹ng ph¬ng tr×nh Èn ®¬n gi¶n - Ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn d¹ng ax + b = a - C¸ch gi¶i:( Qua bíc) + Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiƯm + T×m nghiƯm nguyªn (x ∈ Z) b - VÝ dơ : T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh mx + = cã nghiƯm nguyªn *) Híng dÉn : m ≠ - §Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nguyªn th× x = − m ∈ Z ⇒ m lµ íc sè cđa ⇒ m ∈ {±1; ±2; ±3} c - Bµi tËp t¬ng tù: T×m m ®Ĩ c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm nguyªn: Giá o viên: Phạ m Văn Hiệu V× sù nghiƯp gi¸o dơc N¨m häc 2010 - 2011 a) (2m – 1)x – 10 = b) (m2 – 2)x + 36 = d - Bµi tËp ph¸t triĨn: *) Bµi tËp 1: T×m n ∈ N ®Ĩ ph¬ng tr×nh (4n + 3)x - 8n = 193 cã nghiƯm tù nhiªn *) Híng dÉn: (4n + 3)x - 8n = 193 ⇔ (4n + 3)x = 193 + 8n 193 + 8n 8n + 187 187 ⇔x = + = + 4n + 4n + 4n + 4n + 187 ∈ N ⇒ 4n + lµ íc sè cđa 187 §Ĩ x ∈ N th× 4n + ⇒ 4n + ∈ {1; 17; 187} ⇒ n ∈ {2; 46} *) Bµi tËp 2: T×m n ∈ N ®Ĩ ph¬ng tr×nh (n - 1)x - n3 + n2 - = cã ⇔x = nghiƯm tù nhiªn *) Híng dÉn: (n - 1)x – n3 + n2 - = ⇔ (n - 1)x = n3 - n2 + ⇔ x = §Ĩ x ∈ N th× ⇒ n ∈ {2; 3} n3 − n2 + 2 = n2 + n −1 n −1 ∈ N ⇒ n - lµ íc sè cđa n −1 Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn d¹ng ax2 + bx + c = (a, b, c ∈ Z) a - C¸ch gi¶i:( Qua bíc) + Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiƯm + T×m nghiƯm nguyªn (x ∈ Z) b -VÝ dơ : *) VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn 2x2 - x - = *) Híng dÉn: x = −1 2x2 – x – = ⇔ (x + 1)(2x – 3) = ⇔ x= VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nguyªn lµ x = -1 *) VÝ dơ 2: T×m n ∈ N ®Ĩ ph¬ng tr×nh nx2 + (2n - 3)x - = cã nghiƯm nguyªn x = −2 *) Híng dÉn: nx + (2n – 3)x – = ⇔ (x + 2)(nx – 3) = ⇔ x= n - §Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nguyªn th× x = ∈Z n - V× n ∈ N ⇒ n = hc n = *) VÝ dơ 3: T×m a ∈ Z ®Ĩ ph¬ng tr×nh (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = cã hai nghiƯm nguyªn lín h¬n *) Híng dÉn: Gi¸o ¸n Båi dìng