BD HS giỏi : Phương trình với nghiệm nguyên

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 06/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 11/10/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 1 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <1> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm phơng trình nghiệm nguyên - Hiểu và giải đợc một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (145 phút) A - Lí thuyết I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: Cho a, b z (b 0), tồn tại q, r Z sao cho a = bq + r với 0 r < b - Nếu r = 0 a b - Nếu r 0 a / b 2. Một số tính chất: a, b, c, d Z - Nếu a 0 thì a a và 0 a - Nếu a b và b c a c - Nếu a b và b a a = b - Nếu a b và a c a BCNN(a ; b) - Nếu a b và a c với (b , c) = 1 a (bc) - Nếu a b ac b 3. Một số định lí thờng dùng. - Nếu a c và b c (a b) c Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu - N ế u a c v à b d ab cd - Nếu a b a n b n ( n nguyên dơng) *) Một số hệ quả áp dụng: + a, b z và n nguyên dơng ta có (a n b n ) (a b) + a, b z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a n b n ) (a + b) + a, b z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a n + b n ) (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + D ấ u hi ệ u chia h ế t cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: S ố c ó ch ữ s ố t ậ n c ù ng l à 0; 2; 4; 6; 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dơng Z + = {1; 2; 3 ; . . . } + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; . . . } + Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . } III. Nhắc lại về phơng trình nghiệm nguyên: Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . . Z . B - Bài tập vận dụng I. Dạng phơng trình ẩn đơn giản 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b - Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *) Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc số của 3 m {1; 2; 3} c - Bài tập tơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m 2 2)x + 36 = 0 d - Bài tập phát triển: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 * ) B à i t ậ p 1: T ì m n N để phơng trình (4n + 3)x - 8n = 193 c ó nghiệm tự nhiên. *) Hớng dẫn: (4n + 3)x - 8n = 193 (4n + 3)x = 193 + 8n x = 3 4 187 3 4 68 3 4 8193 + + + + = + + n n n n n x = 2 + 3 4 187 + n Để x N thì 3 4 187 + n N 4n + 3 là ớc số của 187 4n + 3 {1; 17; 187} n {2; 46} *) Bài tập 2: Tìm n N để phơng trình (n - 1)x - n 3 + n 2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên. *) Hớng dẫn: (n - 1)x n 3 + n 2 - 2 = 0 (n - 1)x = n 3 - n 2 + 2 x = 1 2 1 2 2 23 += + n n n nn Để x N thì 1 2 n N n - 1 là ớc số của 2 n {2; 3} 2. Giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c Z) a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b -Ví dụ : *) Ví dụ 1 : Giải phơng trình nghiệm nguyên 2x 2 - x - 3 = 0 *) Hớng dẫn: 2x 2 x 3 = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 = = 2 3 1 x x Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = -1. *) Ví dụ 2: Tìm n N để phơng trình nx 2 + (2n - 3)x - 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên. *) Hớng dẫn: nx 2 + (2n 3)x 6 = 0 (x + 2)(nx 3) = 0 = = n x x 3 2 - Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên thì x = Z n 3 - Vì n N n = 1 hoặc n = 3 *) Ví dụ 3: Tìm a Z để phơng trình (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6. *) Hớng dẫn: (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu (x 10)[(a + 1)x 20] = 0 + = = 1 20 10 a x x Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì > + + 6 1 20 1 20 a Z a a = 0 hoặc a = 1. 3 - Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao. a - Cách giải: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa phơng trình về dạng phơng trình tích. b - Ví dụ: *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0 *) Hớng dẫn: - Đa phơng trình về dạng (x 1)(x 2)(x 3) = 0 - Phơng trình có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3. *) Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 *) Hớng dẫn: - Đa phơng trình về dạng (x 5)(x 2 2x + 5) = 0 - Nhận xét: x 2 2x + 5 = (x 1) 2 + 4 > 0 với mọi x phơng trình chỉ có nghiệm nguyên x = 5. *) Ví dụ 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên x 3 + (x + 1) 3 + (x + 2) 3 = (x + 3) 3 *) Hớng dẫn: - Đặt y = x 3 x = y + 3 (y + 3) 3 + (y + 4) 3 + (y + 5) 3 = (y + 6) 3 2y 3 + 18y 2 + 42y = 0 2y(y 2 + 9y + 21) = 0 - Vì y 2 + 9y + 21 = (y + 2 9 ) 2 + 4 3 > 0 y = 0 x = 3 *) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6 7 3 2 22 2 2 12 2 2 2 2 = + + ++ + + + ++ x x xx x x xx *) Hớng dẫn: - Đặt y = 22 2 ++ xx = (x + 1) 2 + 1 1 ta đợc phơng trình nghiệm nguyên đối với y là: 6 7 1 1 = + + y y y y 5y 2 -7y 6 = 0 y = 2 hoặc y = - 5 3 (loại) - Với y = 2 x 2 + 2x + 2 = 2 x = 0 hoặc x = - 2 IV. Củng cố Củng cố Củng cố Củng cố - - Luyện tập Luyện tậpLuyện tập Luyện tập (30 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Hớng dẫn: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 <=> 4x 2 + 8x + 4 = 42 - 6y 2 <=> (2x + 2) 2 = 6(7 - y 2 ) V ì (2x + 2) 2 0 => 7 - y 2 0 => 7 y 2 m à y Z => y = 2;1;0 + V ớ i y = 1 => (2 x + 2) 2 = 6(7 - 1) <=> 2x 2 + 4x - 16 = 0 => x 1 = 4; x 2 = -2. + Với y = 2 =>2x 2 + 4x - 7 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) + Với y = 0 =>2x 2 + 4x - 19 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) V ậ y c ặ p nghi ệ m (x, y) c ủ a ph ơ ng tr ì nh l à : (4; 1); (4; - 1); ( - 2; 1); ( - 2; - 1). Bài 2: Tỡm tt c cỏc cp hai s nguyờn ( ; ) x y tha món 4 3 2 1 x x y + = Hớng dẫn: +) N u 0 x = thay v o ph ng tr ỡ nh ta c 1 y = +) Nu 2 1 3 x y = = vụ nghim +) Nu 2 1 1 1 x y y = = = +) Nu 2 x ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1 y x x x x y x x = + < < + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 4 2 y x x x x x x x x = + = + = (do 2 x ) 3 y = +) N u 2 x , t 2 t x = . Khi ú ta c ú 2 4 3 1 y t t = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1 y t t t t y t t = + + + < < + + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 4 3 2 2 2 4 4 4 4 4 2 y t t t t t t t t = + + + = + + = (do 2 t ) 5 y = K t lu n ( ; ) (0;1);(0; 1);(1;1);(1; 1 );(2;3);(2; 3);( 2;5);( 2 ) ; 5 x y = Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Hớng dẫn: Với x 2; y 2 Ta có : x 2 y 2 4x 2 x 2 y 2 4y 2 x 2 y 2 2(x 2 +y 2 ) = x 2 +y 2 +x 2 +y 2 x 2 +y 2 +2 xy >x 2 +y 2 +xy +) Với x= 2 phơng trình không có nghiệm nguyên +) Với y= 2 Thử x=0 => y=0 Thử x=1=> y=-1 Thử x=-1 => y=1 Kết luận: Hệ có nghiệm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1). Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và 1980 x y+ = Hớng dẫn: Ta có: 1980 35.55 6 55 6 55 x y= = + = do đó ; x y phải là số vô tỉ dạng: 55; 55 a b . Ta có: 55 55 6 55 a b+ = ;a,b N Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4 (4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0 (1) Nếu: 0 0 0 6 1980 1980 x a x b y y = = = = = = (2) Nếu: 55 1 55 5 1375 5 55 x a x b y y = = = = = = (3) Nếu: 2 55 2 220 4 880 4 55 x a x b y y = = = = = = (4) Nếu: 3 55 3 495 3 495 3 55 x a x b y y = = = = = = (5)Nếu: 4 55 4 880 2 220 2 55 x a x b y y = = = = = = (6) Nếu: 5 55 5 1375 1 55 55 x a x b y y = = = = = = (7) Nếu: 6 55 6 1980 0 0 0 = = = = = = x a x b y y Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 3 2 4 3 0 x y xy x y + + + = Hớng dẫn: a) 2 2 3 5 1 x x y x + + = + (xác định với mọi x R ) ( ) 2 1 3 5 0 (**) y x x y + = 1: y = pt (**) có nghiệm 4 3 x = 1: y để pt (**) có nghiệm thì: 2 9 4( 1)( 5) 4 24 11 0 y y y y = = + ( ) ( ) 2 25 5 5 5 1 11 3 0 3 3 1 4 2 2 2 2 2 y y y y y Vậy tập giá trị của y là 1 11 ; 2 2 , do đó 11 1 ; 2 2 Max y Min y = = Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 b) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0 x y xy x y x y x y y + + + = + + + = (***) Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 2 4 3 4 8 y y y y y = + = + là số chính phơng. ( ) ( ) 2 2 2 2 4 8 2 12 y y k k y k + = + = Z ( 2 )( 2 ) 12 ( ) y k y k a + + + = Ta có: Tổng ( ) 2 ( 2 ) 2( 2) y k y k k + + + + = + là số chẵn, nên ( ) 2 ; ( 2 ) y k y k + + + cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau: 2 2 2 6 2 6 2 2 ; ; ; ; 2 6 2 2 2 2 2 6 y k y k y k y k y k y k y k y k + = + = + = + = + + = + + = + + = + + = Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2 y k y k y k y k = = = = = = = = Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z + + = Hớng dẫn: Với điều kiện: xyz 0 Ta có: yz zx xy 3 x y z + + = , ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2x y 2y z 2z x 6xyz + + = ( ) , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y + + + + + = 2 2 2 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz ( ) 2 xy xz + ( ) 2 xz yz + ( ) 2 yz xy = ( ) ( ) ( ) 2xyz 1 x 1 y 1 z + + ( ) , 3 Nhận xét: Từ ( ) 2 xyz 0 > , vì vậy ( ) 3 3 x y z 0 > .Phơng trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 > suy ra các nghiệm nguyên của phơng trình ( ) 1 là: ( ) x, y, z = ( ) 1,1,1 , ( ) 1, 1,1 , ( ) 1, 1, 1 , ( ) 1,1, 1 D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 09/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 14/10/11 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 2 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <2> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Tiếp tục nghiên cứu một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày, nâng cao kĩ năng giải phơng trình Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (98 phút) II - D ạ ng ph ơ ng tr ì nh nghi ệ m nguy ê n nhi ề u ẩ n. (tiếp) 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c Z) - Nếu (a , b) = 1 thì phơng trình sẽ có nghiệm nguyên - Nếu (a , b) = d > 1 và c lại chia hết d thì phơng trình không có nghiệm nguyên. * ) Cách giải: Biểu diễn ẩn (có hệ số mà giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn) này theo ẩn kia, sau đó tách phần nguyên *) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29 *) Hớng dẫn: 3x + 4y = 29 3x = 29 4y x = 3 2 9 3 429 y y y += x,y Z 3 2 y Z 2 y = 3t (t Z) = += ty tx 32 74 Vậy dạng tổng quát nghiệm nguyên của phơng trình là: { x 4t 7 y 3t 2 = + = + với t Z *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 7y = 15 *) Hớng dẫn: - Nhận xét ƯCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t Z) - Ta có : 5x - 35t = 15 x = 7t + 3. Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 - Vậy nghiệm của phơng trình là = += ty tx 5 37 (t Z) *) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 3y = 15 *) Hớng dẫn: - Nhận xét: ƯCLN(3 ;15) = 3. Nên ta đặt x = 3t (t Z) => y = 8t - 5 - Để x, y nguyên dơng thì t > 5 8 , với t nguyên => t Z + - Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là { x 3t (t Z ) y 8t 1 + = = *) Ví dụ 4: Tìmnghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 27y = 38 Ta có: x = 27y 38 y 2 3y 4 3. 8 8 + + = + + Đặt y + 2 = 8t (t Z) => x = 27t - 2 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là x 27t 2 (t Z) y 8t 2 = = Để x > 0, y > 0 t > 1 4 Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x 27t 2 (t Z ) y 8t 2 + = = 2 - Giải phơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết. *) Cách giải: Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 3x 2 + 5y 2 = 345 *) Hớng dẫn: - Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5 - Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dơng) 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 5a 2 + 3b 2 = 23 a 2 5 23 và b 2 3 23 2a và 2b - Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 . - Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dơng là (x = 10; y = 3) 3 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 10x - 3y = 2xy - 20 *) Hớng dẫn: 10x 3y = 2xy 20 y(2x + 3) = 10x + 20 y = 3 2 5 5 3 2 105 + += + + x x x - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ớc của 5 => x =1 y = 6 (thoả mãn) Vậy phơng trình có nghiệm nguyên dơng là (x =1; y = 6) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 10 1 7 x y z + = + Giải: Ta có 10 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 2 3 3 x y z = + + = + + + + Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x = 1; y = 2; z = 3. 4 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp bình đẳng ẩn. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x + y + z = xyz *) Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. Giả sử 0 < x y z xyz = x + y + z 3z xy 3 + Nếu x = y = z z 3 = 3z z 2 = 3 không xảy ra x, y, z không thể bằng nhau. + Từ xy 3 chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT. *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 1 111 =++ zyx *) Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. - Giả sử 0 < x y z xzyx 3111 ++ mà 31 3 x x x {1; 2; 3} + Nếu x = 1 zy 11 + = 1 1 zy 11 + = 0 không xảy ra. + Nếu x = 2 zy 11 + = 2 1 dùng bình đẳng với y và z (y ; z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + Nếu x = 3 chỉ có y = z = 3 Vậy các cặp số sau là nghiệm của phơng trình (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). 5 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp loại trừ. *) Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 12 x + 5 x = 13 x *) Hớng dẫn: - Ta thấy x = 2 là nghiệm của phơng trình vì 12 2 + 5 2 = 13 2 - Biến đổi phơng trình 12 x + 5 y = 13 x 1) 13 5 () 13 12 ( =+ xx . Nếu x > 2 x ) 13 12 ( < 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( < 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( <+ xx không xảy ra. Nếu x < 2 x ) 13 12 ( > 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( > 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( >+ xx không xảy ra. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. [...]... Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x2 4xy +5y2 = 169 Giải: Phơng trình tơng đơng với: (x 2y)2 +y2 =169 =132 + 02 = 122 + 52 Mà y Z+ ; x 2 y = 0 y = 13 x 2y = 5 x 2 y N y = 12 x 2 y = 12 y = 5 Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT:(26; 13), (29; 12), (19; 22), (22; 5) Bài 4: Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình x2 2y2 = 1 Hớng dẫn: Phơng trình tơng đơng với. .. phơng trình có nghiệm (4 ; 2); (2 ; 4); (0 ; - 2); (- 2 ; 0) Cách khác: Nếu y = 1 thì phơng trình vô nghiệm => y 1 x(y - 1) = y + 2 x = 1 + 3 => y - 1 Ư (3) y 1 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + x + 6 = y2 Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với 2 2 4 x 2 + 4 x + 24 = 4 y 2 ( 2 y ) ( 2 x + 1) = 23 (2 y 2 x 1)(2 y + 2 x + 1) = 23 = ( 1)( 23) = 1.23 => phơng trình có các nghiệm nguyên. .. 2012 Trờng THCS Hồng Hng 6 - Giải phơng trình nghiệm nguyên đa về dạng tích *) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng xy - 4x = 35 - 5y *) Hớng dẫn: xy 4x = 35 5y xy 4x + 5y 20 = 15 (x + 5)(y 4) = 15 x + 5 và y 4 là ớc của 15 x = 10 y = 5 Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dơng là *Ví dụ 2 : Giải PT nghiệm nguyên dơng x2 - 6xy + 13y2 = 100 *) Hớng dẫn: x2 6xy + 13y2 = 100 x2 6xy + 9y2... phơng trình đã cho trở thành: xy = x + y + 1 ( x 1)( y 1) = 2 Do (*) nên chỉ có trờng hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2 Nghiệm l : (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3) Bài 6: Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009 - 2010 a Giải phơng trình: 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2 b Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: ... (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y2 chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y = 2 Vậy phơng trình có nghiệm: (3 ; 2) Bài 5: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 - 2012 a) Giải phơng trình sau: x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2 b) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 1 1 1 + + =2 x y z Hớng dẫn: a) Điều kiện x 1 ( x 1 + 1) 2 + ( x 1 1) 2 = 2 x 1 +1+ x 1 1 =... + 1) 6 V y A cú giỏ tr nguyờn Bài 5: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008 - 2009 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : xyz = x + y + z Hớng dẫn: Phơng trình đã cho tơng đơng với 1 1 1 + + = 1 xy yz zx Không mất tính tổng quát, giả sử x y z (*) 1 1 1 3 1 - Nếu z 3 thì + + 2 < 1 (loại) xy yz zx z 3 - Nếu z = 2 thì phơng trình đã cho trở thành: 2xy = x + y + 2 Hay ( 2x 1)( 2y... là số nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1) Hớng dẫn: a) Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKX : x 4; 5; 6; 7 ) 1 1 1 1 + + = 18 ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 1 1 1 1 1 1 1 )+( )+( )= ( x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 1 1 = (x + 4)(x +7) = 54 x+4 x+7 18 (x + 13)(x 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phơng trình l : S = {13; 2} b) Phơng trình đợc biến... số chính phơng x2 + 1 = k 2 k = 1 k = 1 Đặt: hoặc (k + x)(k x) = 1 2 x +1 = t x = 0 x = 0 + Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phơng trình l : (x;y) = {(0;0), (0; 1)} Bài 7: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 - 2011 Tỡm nghi m nguyờn c a phng trỡnh 20 y 2 6 xy = 150 15 x Hớng dẫn: Ta cú : 150 15x = 20y2 6xy 6xy 15x = 20y2... Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dơng là : (x ; y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)} *) Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình xy2 + 3y2 - x = 108 *) Hớng dẫn: xy2 + 3y2 x = 108 xy2 + 3y2 x 3 = 105 (y2 1)(x + 3) = 105 y2 1 là ớc của 105 Tìm đợc các giá trị của y N và suy ra các giá trị của x N Vậy phơng trình có nghiệm tự nhiên là x = 0 ; x = 32... Hớng dẫn về nhà (2 phút) - Xem lại các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của PT : a) 3x + 17y = 159 b) xy - x - y = 2 Hớng dẫn: a) Đặt y = 3t ( t Z ) b) Biến đổi về dạng tích: xy - x - y = 2 (y - 1)(x - 1) = 3 - Do x, y Z nên (x-1), (y-1) Z và x-1, y-1 là ớc của 3 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Năm học 2011 - 2012 Trờng THCS Hồng Hng - Do vai trò của x,y nh nhau . => phơng trình có các nghiệm nguyên (5 ; 6),(5 ; - 6),(- 6 ; 6),(- 6 ; 6) Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 4xy +5y 2 = 169 Giải: Phơng trình tơng đơng với: (x 2y) 2 . phơng trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c Z) a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b -Ví dụ : *) Ví dụ 1 : Giải phơng trình. Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao. a - Cách giải: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa phơng trình về dạng phơng trình tích. b - Ví d : *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình