Phuong trinh voi nghiem nguyen

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 06/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 11/10/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 1 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <1> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm phơng trình nghiệm nguyên - Hiểu và giải đợc một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (145 phút) A - Lí thuyết I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: Cho a, b z (b 0), tồn tại q, r Z sao cho a = bq + r với 0 r < b - Nếu r = 0 a b - Nếu r 0 a / b 2. Một số tính chất: a, b, c, d Z - Nếu a 0 thì a a và 0 a - Nếu a b và b c a c - Nếu a b và b a a = b - Nếu a b và a c a BCNN(a ; b) - Nếu a b và a c với (b , c) = 1 a (bc) - Nếu a b ac b 3. Một số định lí thờng dùng. - Nếu a c và b c (a b) c Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu - Nếu a c và b d ab cd - Nếu a b a n b n ( n nguyên dơng) *) Một số hệ quả áp dụng: + a, b z và n nguyên dơng ta có (a n b n ) (a b) + a, b z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a n b n ) (a + b) + a, b z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a n + b n ) (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dơng Z + = {1; 2; 3 ; . . . } + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; . . . } + Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . } III. Nhắc lại về phơng trình nghiệm nguyên: Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . . Z . B - Bài tập vận dụng I. Dạng phơng trình ẩn đơn giản 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b - Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *) Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc số của 3 m {1; 2; 3} c - Bài tập tơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m 2 2)x + 36 = 0 d - Bài tập phát triển: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 *) Bài tập 1: Tìm n N để phơng trình (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên. *) Hớng dẫn: (4n + 3)x - 8n = 193 (4n + 3)x = 193 + 8n x = 3 4 187 3 4 68 3 4 8193 + + + + = + + n n n n n x = 2 + 3 4 187 + n Để x N thì 3 4 187 + n N 4n + 3 là ớc số của 187 4n + 3 {1; 17; 187} n {2; 46} *) Bài tập 2: Tìm n N để phơng trình (n - 1)x - n 3 + n 2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên. *) Hớng dẫn: (n - 1)x n 3 + n 2 - 2 = 0 (n - 1)x = n 3 - n 2 + 2 x = 1 2 1 2 2 23 += + n n n nn Để x N thì 1 2 n N n - 1 là ớc số của 2 n {2; 3} 2. Giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c Z) a - Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b -Ví dụ : *) Ví dụ 1 : Giải phơng trình nghiệm nguyên 2x 2 - x - 3 = 0 *) Hớng dẫn: 2x 2 x 3 = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 = = 2 3 1 x x Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = -1. *) Ví dụ 2: Tìm n N để phơng trình nx 2 + (2n - 3)x - 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên. *) Hớng dẫn: nx 2 + (2n 3)x 6 = 0 (x + 2)(nx 3) = 0 = = n x x 3 2 - Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên thì x = Z n 3 - Vì n N n = 1 hoặc n = 3 *) Ví dụ 3: Tìm a Z để phơng trình (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6. *) Hớng dẫn: (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu (x 10)[(a + 1)x 20] = 0 + = = 1 20 10 a x x Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì > + + 6 1 20 1 20 a Z a a = 0 hoặc a = 1. 3 - Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao. a - Cách giải: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa phơng trình về dạng phơng trình tích. b - Ví dụ: *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0 *) Hớng dẫn: - Đa phơng trình về dạng (x 1)(x 2)(x 3) = 0 - Phơng trình có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3. *) Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 *) Hớng dẫn: - Đa phơng trình về dạng (x 5)(x 2 2x + 5) = 0 - Nhận xét: x 2 2x + 5 = (x 1) 2 + 4 > 0 với mọi x phơng trình chỉ có nghiệm nguyên x = 5. *) Ví dụ 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên x 3 + (x + 1) 3 + (x + 2) 3 = (x + 3) 3 *) Hớng dẫn: - Đặt y = x 3 x = y + 3 (y + 3) 3 + (y + 4) 3 + (y + 5) 3 = (y + 6) 3 2y 3 + 18y 2 + 42y = 0 2y(y 2 + 9y + 21) = 0 - Vì y 2 + 9y + 21 = (y + 2 9 ) 2 + 4 3 > 0 y = 0 x = 3 *) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6 7 3 2 22 2 2 12 2 2 2 2 = + + ++ + + + ++ x x xx x x xx *) Hớng dẫn: - Đặt y = 22 2 ++ xx = (x + 1) 2 + 1 1 ta đợc phơng trình nghiệm nguyên đối với y là: 6 7 1 1 = + + y y y y 5y 2 -7y 6 = 0 y = 2 hoặc y = - 5 3 (loại) - Với y = 2 x 2 + 2x + 2 = 2 x = 0 hoặc x = - 2 IV. Củng cố Củng cố Củng cố Củng cố - - Luyện tập Luyện tập Luyện tập Luyện tập (30 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 Hớng dẫn: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 <=> 4x 2 + 8x + 4 = 42 - 6y 2 <=> (2x + 2) 2 = 6(7 - y 2 ) Vì (2x + 2) 2 0 => 7 - y 2 0 => 7 y 2 mà y Z => y = 2;1;0 + Với y = 1 => (2x + 2) 2 = 6(7 - 1) <=> 2x 2 + 4x - 16 = 0 => x 1 = 4; x 2 = -2. + Với y = 2 =>2x 2 + 4x - 7 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) + Với y = 0 =>2x 2 + 4x - 19 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). Bài 2: Tỡm tt c cỏc cp hai s nguyờn ( ; ) x y tha món 4 3 2 1 x x y + = Hớng dẫn: +) Nu 0 x = thay vo phng trỡnh ta c 1 y = +) Nu 2 1 3 x y = = vụ nghim +) Nu 2 1 1 1 x y y = = = +) Nu 2 x ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1 y x x x x y x x = + < < + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 4 2 y x x x x x x x x = + = + = (do 2 x ) 3 y = +) Nu 2 x , t 2 t x = . Khi ú ta cú 2 4 3 1 y t t = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1 y t t t t y t t = + + + < < + + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 4 3 2 2 2 4 4 4 4 4 2 y t t t t t t t t = + + + = + + = (do 2 t ) 5 y = Kt lun ( ; ) (0;1);(0; 1);(1;1);(1; 1 );(2;3);(2; 3);( 2;5);( 2 ) ; 5 x y = Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thỏa mn đẳng thức x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Hớng dẫn: Với x 2; y 2 Ta có : x 2 y 2 4x 2 x 2 y 2 4y 2 x 2 y 2 2(x 2 +y 2 ) = x 2 +y 2 +x 2 +y 2 x 2 +y 2 +2 xy >x 2 +y 2 +xy +) Với x= 2 phơng trình không có nghiệm nguyên +) Với y= 2 Thử x=0 => y=0 Thử x=1=> y=-1 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Thử x=-1 => y=1 Kết luận: Hệ có nghiệm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1). IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và 1980 x y+ = Hớng dẫn: Ta có: 1980 35.55 6 55 6 55 x y= = + = do đó ; x y phải là số vô tỉ dạng: 55; 55 a b . Ta có: 55 55 6 55 a b+ = ;a,b N Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4 (4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0 (1) Nếu: 0 0 0 6 1980 1980 x a x b y y = = = = = = (2) Nếu: 55 1 55 5 1375 5 55 x a x b y y = = = = = = (3) Nếu: 2 55 2 220 4 880 4 55 x a x b y y = = = = = = (4) Nếu: 3 55 3 495 3 495 3 55 x a x b y y = = = = = = (5)Nếu: 4 55 4 880 2 220 2 55 x a x b y y = = = = = = (6) Nếu: 5 55 5 1375 1 55 55 x a x b y y = = = = = = (7) Nếu: 6 55 6 1980 0 0 0 = = = = = = x a x b y y Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 3 2 4 3 0 x y xy x y + + + = Hớng dẫn: a) 2 2 3 5 1 x x y x + + = + (xác định với mọi x R ) ( ) 2 1 3 5 0 (**) y x x y + = 1: y = pt (**) có nghiệm 4 3 x = 1: y để pt (**) có nghiệm thì: 2 9 4( 1)( 5) 4 24 11 0 y y y y = = + ( ) ( ) 2 25 5 5 5 1 11 3 0 3 3 1 4 2 2 2 2 2 y y y y y Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Vậy tập giá trị của y là 1 11 ; 2 2 , do đó 11 1 ; 2 2 Max y Min y = = b) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0 x y xy x y x y x y y + + + = + + + = (***) Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 2 4 3 4 8 y y y y y = + = + là số chính phơng. ( ) ( ) 2 2 2 2 4 8 2 12 y y k k y k + = + = Z ( 2 )( 2 ) 12 ( ) y k y k a + + + = Ta có: Tổng ( ) 2 ( 2 ) 2( 2) y k y k k + + + + = + là số chẵn, nên ( ) 2 ; ( 2 ) y k y k + + + cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau: 2 2 2 6 2 6 2 2 ; ; ; ; 2 6 2 2 2 2 2 6 y k y k y k y k y k y k y k y k + = + = + = + = + + = + + = + + = + + = Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2 y k y k y k y k = = = = = = = = Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z + + = Hớng dẫn: Với điều kiện: xyz 0 Ta có: yz zx xy 3 x y z + + = , ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2x y 2y z 2z x 6xyz + + = ( ) , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y + + + + + = 2 2 2 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz ( ) 2 xy xz + ( ) 2 xz yz + ( ) 2 yz xy = ( ) ( ) ( ) 2xyz 1 x 1 y 1 z + + ( ) , 3 Nhận xét: Từ ( ) 2 xyz 0 > , vì vậy ( ) 3 3 x y z 0 > .Phơng trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 > suy ra các nghiệm nguyên của phơng trình ( ) 1 là: ( ) x, y, z = ( ) 1,1,1 , ( ) 1, 1,1 , ( ) 1, 1, 1 , ( ) 1,1, 1 D/Bổ sung ******************************* Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 09/10/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 14/10/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 7 77 7 Phơng trình với nghiệm nguyên Buổi 2 Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên <2> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Tiếp tục nghiên cứu một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày, nâng cao kĩ năng giải phơng trình Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (98 phút) II - Dạng phơng trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. (tiếp) 1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c Z) - Nếu (a , b) = 1 thì phơng trình sẽ có nghiệm nguyên - Nếu (a , b) = d > 1 và c lại chia hết d thì phơng trình không có nghiệm nguyên. * ) Cách giải: Biểu diễn ẩn (có hệ số mà giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn) này theo ẩn kia, sau đó tách phần nguyên *) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29 *) Hớng dẫn: 3x + 4y = 29 3x = 29 4y x = 3 2 9 3 429 y y y += x,y Z 3 2 y Z 2 y = 3t (t Z) = += ty tx 32 74 Vậy dạng tổng quát nghiệm nguyên của phơng trình là: { x 4t 7 y 3t 2 = + = + với t Z *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 7y = 15 *) Hớng dẫn: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 - Nhận xét ƯCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t Z) - Ta có : 5x - 35t = 15 x = 7t + 3. - Vậy nghiệm của phơng trình là = += ty tx 5 37 (t Z) *) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 3y = 15 *) Hớng dẫn: - Nhận xét: ƯCLN(3 ;15) = 3. Nên ta đặt x = 3t (t Z) => y = 8t - 5 - Để x, y nguyên dơng thì t > 5 8 , với t nguyên => t Z + - Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là { x 3t (t Z ) y 8t 1 + = = *) Ví dụ 4: Tìmnghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 27y = 38 Ta có: x = 27y 38 y 2 3y 4 3. 8 8 + + = + + Đặt y + 2 = 8t (t Z) => x = 27t - 2 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là x 27t 2 (t Z) y 8t 2 = = Để x > 0, y > 0 t > 1 4 Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x 27t 2 (t Z ) y 8t 2 + = = 2 - Giải phơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết. *) Cách giải: Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 3x 2 + 5y 2 = 345 *) Hớng dẫn: - Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5 - Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dơng) 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 5a 2 + 3b 2 = 23 a 2 5 23 và b 2 3 23 2a và 2b - Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 . - Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dơng là (x = 10; y = 3) 3 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 10x - 3y = 2xy - 20 *) Hớng dẫn: 10x 3y = 2xy 20 y(2x + 3) = 10x + 20 y = 3 2 5 5 3 2 105 + += + + x x x - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ớc của 5 => x =1 y = 6 (thoả mn) Vậy phơng trình có nghiệm nguyên dơng là (x =1; y = 6) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 10 1 7 x y z + = + Giải: Ta có 10 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 2 3 3 x y z = + + = + + + + Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x = 1; y = 2; z = 3. 4 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp bình đẳng ẩn. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x + y + z = xyz *) Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. Giả sử 0 < x y z xyz = x + y + z 3z xy 3 + Nếu x = y = z z 3 = 3z z 2 = 3 không xảy ra x, y, z không thể bằng nhau. + Từ xy 3 chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT. *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 1 111 =++ zyx *) Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. - Giả sử 0 < x y z xzyx 3111 ++ mà 31 3 x x x {1; 2; 3} + Nếu x = 1 zy 11 + = 1 1 zy 11 + = 0 không xảy ra. + Nếu x = 2 zy 11 + = 2 1 dùng bình đẳng với y và z (y ; z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + Nếu x = 3 chỉ có y = z = 3 Vậy các cặp số sau là nghiệm của phơng trình (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). 5 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp loại trừ. *) Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 12 x + 5 x = 13 x *) Hớng dẫn: - Ta thấy x = 2 là nghiệm của phơng trình vì 12 2 + 5 2 = 13 2 - Biến đổi phơng trình 12 x + 5 y = 13 x 1) 13 5 () 13 12 ( =+ xx . Nếu x > 2 x ) 13 12 ( < 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( < 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( <+ xx không xảy ra. Nếu x < 2 x ) 13 12 ( > 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( > 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( >+ xx không xảy ra. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.