XSTK tổng hợp lý thuyết

MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 Sơ lược Lý thuyết xác suất thống kê toán I Chương I: Biến cố xác suất biến cố Biến cố 1.1.Định nghĩa Hiện tượng xảy (hoặc không xảy ra) kết phép thử gọi biến cố 1.2.Phân loại kí hiệu biến cố  Biến cố chắn: Là tượng chắn phải xảy phép thử Kí hiệu U  Biến cố có: Là tượng xảy phép thử Kí hiệu V  Biến cố ngẫu nhiên: Là tượng mà xảy không sau phép thử Kí hiệu A, B, C, D, … Xác suất biến cố 2.1.Định nghĩa  Để đặc trưng cho xảy hay không xảy (một cách khách quan) biến cố, người ta dùng giá trị số thực gọi xác suất biến cố 2.2.Các tính chất: xác suất biến cố A có cách tính chất   P( A)  , P U   , P V   2.3.Nguyên lý xác suất lớn, nguyên lý xác suất nhỏ  Nguyên lý xác suất lớn: + Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố không xảy + Mức xác suất coi nhỏ tùy thuộc vào toán gọi mức ý nghĩa + Nguyên lý XS nhỏ sở phương pháp kiểm định  Nguyên lý xác suất lớn: +Nếu biến cố có xác suất lớn thực tế cho phép thử biến cố xảy + Mức xác suất đủ lớn gọi độ tin cậy + Nguyên lý XS lớn sở phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Các phương pháp xác định xác suất biến cố 3.1.Dùng định nghĩa cổ điển M  Xác suất biến cố A xác định bởi: P( A)  , đó: N tổng số kết cục N đồng khả năng(không gian mẫu) thực phép thử, M số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục mà biến cố A xảy ra) 3.2.Dùng công thức giải tích tổ hợp MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312  Mục đích để hỗ trợ việc đếm kết cục cho thuận tiện hơn, ta sử dụng:  Hoán vị n phần tử: n! số cách xắp xếp ngẫu nhiên n phần tử theo thứ tự  Chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank số cách lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) k phần tử n phần tử theo thứ tự định trước k  Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: An số cách lấy ngẫu nhiên (có hoàn lại) k phần tử n phần tử  Tổ hợp chập k n phần tử: Cnk số cách lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) k phần tử n phần tử 3.3.Dùng sơ đồ Ven (Cụ thể xem giáo trình)  Tùy vào kiện, vẽ phác họa phạm vi biến cố vòng tròn Khu vực vòng tròn giao khu vực biến cố đồng thời xảy  Điền giá trị xác suất, ưu tiên điền phần giao trước, đến cách phần lại 3.4.Định nghĩa thống kê xác suất m  Thực n phép thử thấy biến cố A xuất m lần, tần suất biến cố A f ( A)  n  Bằng thực nghiệm, người ta chứng minh rằng: lim f ( A)  P ( A) n  Định lý cộng 4.1.Biến cố tổng  Biến cố C = A + B xảy có biến cố A, B xảy 4.2.Biến cố xung khắc xác suất tổng biến cố xung khắc  A, B biến cố xung khắc A B xảy phép thử Lúc đó: P( A  B)  P( A)  P( B)    Nhóm n biến cố Ai i  1, n gọi xung khắc đôi biến cố chúng không  n  n thể đồng thời xảy phép thử Lúc đó: P   Ai    P ( Ai )  i 1  i 1 Định lý nhân 5.1.Biến cố tích  Biến cố C = A.B xảy đồng thời biến cố A B xảy 5.2.Biến cố độc lập, biến cố phụ thuộc  Biến cố A độc lập với biến cố B xác suất xảy A không ảnh hưởng tới xác suất xảy B ngược lại Lúc ta có: P( AB)  P( A) P( B)  Nếu xác suất chúng ảnh hưởng nhau, A B hai biến cố phụ thuộc Lúc xác P( AB) suất A tính điều kiện B xảy xác định bởi: P( A / B)  ;  P( B)   P( B) 5.3.Xác suất tổng biến cố không xung khắc: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) 5.4.Nhóm đầy đủ biến cố - Biến cố đối    Nhóm biến cố Hi i  1, n tạo thành nhóm đầy đủ biến cố biến cố khả phép thử, đồng thời thỏa mãn: MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 n  P( H )  P( H )  P( H i i 1 )   P( H n )   Biến cố đối A kí hiệu A , hai biến cố tạo nên nhóm đầy đủ biến cố Lưu ý rằng, biến cố đối xung khắc, biến cố xung khắc chưa đối Hệ định lý cộng định lý nhân 6.1.Công thức Bernoulli  Lược đồ Bernoulli: (+) Có n phép thử độc lập (+) Trong phép thử, biến cố A xảy không với P( A)  p  Lúc xác suất để A xảy k lần xác định công thức: Pk  Cnk p k 1  p  6.2.Công thức xác suất đầy đủ, bayes  nk   Biến cố A xảy với biến cố nhóm đầy đủ Hi i  1, n , lúc đó: n P( A)   P( H i ) P( A / H i )  P( H1 ) P( A / H1 )  P( H ) P( A / H )   P( H n ) P( A / H n ) i 1  Công thức Bayes nhằm đánh giá lại xác suất xảy biến cố nhóm đầy đủ P( H i ) P( A / H i ) biết A xảy ra: P( H i / A)  P( A) Về chất khai triển xác suất có điều kiện nên không cần nhớ được! Một số biến đổi đặc biệt cần nhớ  Với A bất kì, U biến cố có: AU  A ; AV  V ; A  V  A ; A  U  U ; A A  A ; A.A  V ; A  A  U  Với A, B, C bất kì, ta có: (1) P( A  B  C )  P( A)  P( B  C )  P( AB  AC )  P( A)   P( B)  P(C)  P(BC)   P(AB)  P(BC)  P(ACBC)   P  A  P  B   P  C   P  AB   P  BC   P  CA   P  ABC  (2) P( ABC )  P  A( BC )  P( A) P( BC / A)  P  A P  B / A  P  C / AB  (3) P( A / B)  P( A / B)  , P( AB)  P( AB)  P( A) P( B / A)  P( A) P( B / A)  P( A) P( AB) P( A) P( B / A) P( A)  P( AB)    P( B)  P( B) P( B) Gợi ý dạng toán thường gặp 8.1.Dạng 1: Sử dụng túy định nghĩa cổ điển (Khó nhất) 8.2.Dạng 2: Sử dụng trực tiếp định lý cộng định lý nhân 8.3.Dạng 3: Sử dụng công thức Bernoulli 8.4.Dạng 4: Công thức xác suất đầy đủ kết hợp (4) P( A / B)  II Chương II: Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1.1 Định nghĩa  Biến ngẫu nhiên biến số thực, nhận giá trị có cách ngẫu nhiên sau thực phép thử tương ứng 1.2.Phân loại biến ngẫu nhiên  Ngẫu biến rời rạc: nhận giá trị tập hợp rời rạc  Ngẫu biến liên tục: nhận giá trị tập hợp liên tục  Các ngẫu biến thường kí hiệu X, Y, Z, T, W, … Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Là cách thức biểu diễn giá trị ngẫu biến tương ứng với xác suất để ngẫu biến ngận giá trị 2.1.Bảng phân phối xác suất  Bảng phân phối xác suất X có dạng: X x2 x1 Xác suất p2 p1 Trong đó:  x3 … xn p3 … pn  (1) xi i  1, n giá trị có biến ngẫu nhiên, xếp tăng dần từ bên trái  (2) pi  P( X  xi ), i  1, n  n p i 1 i  p1  p2   pn   Một số công thức xác suất cần lưu ý: P( x1  X  x3 )  P  X  x1   P  X  x2   P ( X  x3 ) P( x1  X  x3 )  P  X  x2   P( X  x3 ) ; P( x1  X  x3 )  P( X  x1 )  P  X  x2  P( X  xn )   P  X    ; P( X  x1 )   P  X    2.2.Hàm phân bố xác suất  Định nghĩa: F ( x)  P( X  x) giá trị cho biết mức độ xác suất bên trái số thực x  Tính chất: (1)  F ( x)  F(x) hàm không giảm theo x (2) F ()  P( X  )  , F ()  P  X     (3) P(a  X  b)  P( X  b)  P  X  a   F (b)  F (a ) 2.3.Hàm mật độ xác suất  Định nghĩa: f ( x)  F '( x) => dùng cho ngẫu biến liên tục  Tính chất: (1) f ( x)  (Do F(x) hàm không giảm) b (2) P  a  X  b    f ( x)dx  F  b   F  a  ; a   f ( x)dx   (3) Với ngẫu biến liên tục X thì: P( X  a)  nên: P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b) x (4) F ( x)   f ( x)dx  MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 3.1.Kì vọng E ( X )  Là giá trị trung bình X, phản ánh xu hướng trung tâm phân phối xác suất  Xác định bởi: (1) Ngẫu biến rời rạc: E ( X )   pi xi  p1 x1  p2 x2  p3 x3   pn xn  (2) Ngẫu biến liên tục: E ( X )   xf ( x)dx   Tính chất:  E (C )  C ; E (CX )  CE ( X ) với C số  E (aX  bY )  aE ( X )  bE (Y ) : a, b số; X Y ngẫu biến  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Độc quy luật phân phối xác suất X không ảnh hưởng tới quy luật phân phối Y 3.2.Phương sai V ( X )  Là trung bình tổng bình phương sai lệch X E ( X ) Nó đặc trưng cho phân tán (biến động, đồng hay ổn định) phân phối xác suất  Xác định bởi: V  X   E  X  E  X     E  X   E  X    2 (1) Ngẫu biến rời rạc: V ( X )  p1 x1  p2 x2  p3 x32   pn xn2  E ( X )  (2) Ngẫu biến liên tục: V ( X )  x f ( x)dx  E ( X )   Tính chất:  V (C )  ; V (CX )  C 2V ( X ) với C số  V (aX  bY )  a 2V ( X )  b 2V (Y ) X độc lập Y  Phương sai có đơn vị đo BÌNH PHƯƠNG đơn vị biến ngẫu nhiên (X) 3.3.Độ lệch chuẩn   V ( X ) ý nghĩa giống hệt phương sai, khác đơn vị đo 3.4.Mốt m0 : giá trị có xác suất lớn (có khả xảy cao nhất) phân phối 3.5.Hệ số biến thiên, hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng (Ít gặp, xem giáo trình) Gợi ý dạng tập thường gặp 4.1.Dạng 1: Bài toán lập bảng 4.2.Dạng 2: Bài toán xử lý thông tin từ bảng (1) Tính kì vọng, phương sai, mốt nêu ý nghĩa (2) Tính giá trị xác suất (3) Dạng toán định kinh tế kì vọng phương sai (rủi ro) (4) Các dạng khác III Chương III: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Không-Một phân phối Nhị Thức MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 1.1.Phân phối Không-Một X ~ A( p)  Giả thiết: lược đồ Bernoulli Khi lược đồ thỏa mãn, gọi X số lần biến cố A xảy  Các tham số đặc trưng: (1) Kì vọng: E ( X )  p ; (2) Phương sai: V ( X )  p(1  p) 1.2.Phân phối Nhị Thức X ~ B  n; p   Giả thiết: lược đồ Bernoulli  Các tham số đặc trưng: (1) Kì vọng: E ( X )  np (2) Phương sai: V ( X )  np(1  p) np  p   m0  np  p (3) Mốt:  Chú ý: Về chất, biến ngẫu nhiên phân phối Nhị Thức tổng n biến ngẫu nhiên phân phối Không-Một p(1  p) X  Tần suất f  phân phối B( n; p) , với: E ( f )  p , V ( f )  n n Phân phối lũy thừa X ~ E    0 x  2.1.Hàm mật độ f ( x )     x x   e 1 2.2.Các tham số đặc trưng: E ( X )  ; V ( X )    Phân phối Chuẩn X ~ N (  ; ) phân phối chuẩn hóa U ~ N  0;1 3.1.Hàm mật độ phân phối chuẩn (SGT) 3.2.Các tham số đặc trưng E  X    ; V  X    3.3.Hàm phân bố chuẩn hóa  Nếu biến ngẫu nhiên X ~ N (  ; ) ta chuẩn hóa cách đặt: X  U  Lúc đó:  X   EX   X    V  X   V  X  E U   E   ; V (U )  V   1    2 2       U phân phối chuẩn hóa Kí hiệu: U ~ N  0;1  Hàm phân bố chuẩn hóa   u  hàm   u  có liên hệ:  u   u u u   0    u  du     u  du     u  du  0,5     u  du  0,5  0 u  Trong   u  hàm mật độ chuẩn hóa,   u  có tính chất quan trọng: (1)   u     u  MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 (2)   u   0,5 với u  3.4.Các công thức phải nhớ: b  a  (1) P(a  X  b)      0         a  b  (2) P( X  a)  0,5     P( X  b)  0,5             (3) P X  E  X     2     3.5.Định lý giới hạn trung tâm     Giả sử có số lượng lớn biến ngẫu nhiên X i i  1, n phân phối độc lập theo quy luật với trung bình m phương sai  , tổng chúng, Y   X i  X i  Y  , phân phối xấp xỉ quy luật chuẩn, với tham số: E Y    E  X i   n.m V Y    V  X i   n 3.6.Điều kiện hội tụ quy luật chuẩn quy luật Nhị Thức  Biến ngẫu nhiên X ~ B  n; p  phân phối xấp xỉ quy luật chuẩn thỏa mãn điều kiện sau: n   (1)  p 1 p  0,3  1 p  p n  (2) Nếu n lớn  n  100  _theo định lý giới hạn trung tâm Ta biết, biến ngẫu nhiên phân phối B(n;p) tổng n biến ngẫu nhiên phân phối A(p)  Lúc đó, ta sử dụng công thức sau để tính xác suất:  x  np    P  X  x  0   np 1  p   np 1  p     x  m  np   x  np   P  x  X  x  m   0   0    np(1  p)   np(1  p)      Phân phối Student, phân phối Khi-Bình phương phân phối Fisher  Giá trị tới hạn Giả sử có biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật G Giá trị tới hạn mức  quy luật G, kí hiệu x , giá trị thỏa mãn: P  X  x    (1) Khi-Bình phương: 2( n ) xác định cách tra bảng phụ lục Trong n số bậc tự do,  mức giá trị tới hạn 2(6) Ví dụ: tra giá trị  0,95 , nhìn vào cột   0,95 dòng n  Do dòng n = nên 2(6) 2(5)  0,95  1,145 dùng dòng gần với n  Ta  0,95 MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 (2) Student: t( n) giá trị tới hạn student n bậc tự mức  Tính chất: t1(n)  t( n ) Cách tra hoàn toàn tương tự tra 2(n) (9) Ví dụ cần tra t0,95 , nhìn vào bảng ta không thấy cột   0,95 nên ta dùng công thức phía (9) (10) (9) (9) (9)  t1(9) để tra: t0,95  0,95  t0,05 Tra bảng ta thấy t0,05  t0,05  1,812 nên t0,95  1,812 (3) Fisher: f( n1 ;n2 ) giá trị tới hạn fisher n1, n2 bậc tự mức  Tính chất: f( n1 ;n2 )  f Cách tra: giống cách tra giá trị tới hạn phía 1 (25;40) (24;39) Ví dụ: cần tra f 0,95  f 0,95  (39;24)   0,53 f 0,05 1,90 ( n2 ; n1 ) 1 Gợi ý dạng toán thường gặp 5.1.Dạng 1: Các toán phân phối Nhị Thức MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 (1) Chứng biến ngẫu nhiên phân phối Nhị Thức (2) Tìm trung bình, phương sai, mốt (3) Tính cách giá trị xác suất 5.2.Dạng 2: Các toán phân phối chuẩn (1) Tìm tham số   dựa vào xác giá trị xác suất (2) Tìm giá trị xác suất dựa vào công thức 5.3.Dạng 3: Các tổng hợp (1) Phân phối Nhị thức xấp xỉ quy luật chuẩn (2) Phân phối chuẩn kết hợp Nhị thức-xấp xỉ quy luật chuẩn (3) Phân phối chuẩn kết hợp công thức xác suất đầy đủ, công thức Bernoulli (4) Phân phối chuẩn với toán định kinh tế IV Chương IV: Biến ngẫu nhiên chiều quy luật phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên chiều 1.1.Định nghĩa  Biến ngẫu nhiên chiều  X ; Y  hệ hai biến ngẫu nhiên, bao gồm ngẫu biến X ngẫu biến Y xem xét đồng thời (cùng lúc) 1.2.Phân loại:  Nếu X Y rời rạc  X ; Y  ngẫu biến chiều rời rạc 1.3.Các tham số đặc trưng (1) Hiệp phương sai: Cov  X ; Y   E  X  E  X   Y  E  Y     E  XY   E  X  E  Y   Là tham số đo tương quan biến ngẫu nhiên X Y Nếu Cov  X ; Y   ta nói X, Y tương quan thuận chiều ngược lại Nếu Cov  X ; Y   ta nói X Y không tương quan  Lưu ý: Nếu X độc lập Y Cov  X ; Y   X không tương quan Y Nhưng điều ngược lại không xảy ra: X không tương quan Y chưa X Y độc lập  Với X ,Y bất kì: V aX  bY   a 2V  X   b Y   2abCov  X ;Y (2) Hệ số tương quan:  x , y  Cov  X ; Y   x y  đo mức độ tương quan tuyến tính X Y Tính chất: 1   x, y  Nếu  x, y  1 X Y tương quan tuyến tính Nếu  x, y  X Y không tương quan Nếu  x , y gần 1 X Y tương quan chặt chẽ ngược lại,  x , y gần X Y tương quan yếu MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 Bảng phân phối xác suất đồng thời 2.1.Cấu tạo bảng phân phối X x2 x1 Y p12 p11 y1 p22 … pi … pm p21 … pi1 … pm1 y2 … yi … ym … xj … xn … p1 j … p1n … p2 j … … … … pij … … … … … pmj … … p2n … pin … pmn Trong đó: x j giá trị có X, yi giá trị có Y Các giá trị xếp tăng dần từ trái qua phải, từ xuống pij  P  X  x j ; Y  yi  m n  p i 1 j 1 ij  p11  p12   pij   pnm  2.2.Một số biến đổi quan trọng (1) p j  P( X  x j )   P  X  x j ; Y  yi   n i 1  P  X  x j ; Y  y1   P  X  x j ; Y  y2    P  X  x j ; Y  yn  (2) P  X  x j / Y  yi   P  X  x j ; Y  yi  P Y  yi   pij pi (3) P  X  Y  x j  yi   P  X  x j 1; Y  yi 1   P  X  x j 1 ; Y  yi     P  X  x j  ;Y  yi 1     P  X  x j  k ; Y  yi  k    P  X  xm ; Y  yn  (4) E ( XY )    pij x j yi   p11.x1 y1  p12 x2 y1   p1m xm y1   p21.x1 y2   pnm xm yn n m i 1 j 1 Bảng phân phối xác suất biên 3.1.Cách lập bảng phân phối xác suất biên  Bảng phân phối xác suất biên theo biến X có dạng: X x1 x2 x3 Xác suất p2 p1 p3 … xm … pm Trong đó, pj xác định từ biến đổi số (1) phần 2.2  Hoàn toàn tương tự bảng phân phối xác suất viên theo biến Y 3.2.Các tham số đặc trưng  E(X), V(X), E(Y), V(Y) tính toán phần biến ngẫu nhiên chiều Phân phối xác suất có điều kiện  Bảng phân phối xác suất biến X điều kiện Y  yi là: X x1 x2 x3 10 … xm MicroLove_404_SĐT: 0986.960.312 … p2 pm p1 p3 Trong đó, pj xác định dựa theo biến đổi số (2) phần 2.2 Từ bảng tính kì vọng có điều kiện E  X / Y  yi  phương sai có Xác suất điều kiện V  X / Y  yi   Hoàn toàn tương tự bảng phân phối biến Y điều kiện X  x j Hàm biến ngẫu nhiên 5.1.Khái niệm: Y  f ( X , X , , X i ) biến ngẫu nhiên tạo biến ngẫu nhiên X i cho trước thông qua quy tắc f Ví dụ: Y  X  X  ; Y  X  X  X  1994 5.2.Một số kết luận quan trọng:  Nếu X , X , X độc lập phân phối N   ;   Y  X  X  X  1994 phân phối chuẩn với:  E (Y )  E  X  X  X  1994   E ( X )  3E  X   5E  X   1994  10   1994  V (Y )  V  X  X  X  1994   22V ( X )  32V  X   52V  X   38  Một tổ hợp tuyến tính biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn phân phối chuẩn  Nếu X ~ B  n1 ; p  độc lập với X ~ B  n2 ; p  X  X  X ~ B  n1  n2 ; p  Gợi ý dạng toán thường gặp 6.1.Bài toán lập bảng (tính xác suất đồng thời, xác suất có điều kiện) 6.2.Tính toán tham số đặc trưng; xét tương quan, độc lập, phụ thuộc ngẫu biến 6.3.Bài toán hàm biến ngẫu nhiên kết hợp với bảng phân phối đồng thời 11 ... vào công thức 5.3.Dạng 3: Các tổng hợp (1) Phân phối Nhị thức xấp xỉ quy luật chuẩn (2) Phân phối chuẩn kết hợp Nhị thức-xấp xỉ quy luật chuẩn (3) Phân phối chuẩn kết hợp công thức xác suất đầy... (Khó nhất) 8.2.Dạng 2: Sử dụng trực tiếp định lý cộng định lý nhân 8.3.Dạng 3: Sử dụng công thức Bernoulli 8.4.Dạng 4: Công thức xác suất đầy đủ kết hợp (4) P( A / B)  II Chương II: Biến ngẫu... chứng minh rằng: lim f ( A)  P ( A) n  Định lý cộng 4.1.Biến cố tổng  Biến cố C = A + B xảy có biến cố A, B xảy 4.2.Biến cố xung khắc xác suất tổng biến cố xung khắc  A, B biến cố xung khắc