Một số kinh nghiệm rèn kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình cho học sinh THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THCS Người thực hiện: Lê Thị Thúy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Quang Trung SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC A/ PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B/ PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở lí luận: II Thực trạng chung học sinh gặp toán “Giải toán cách lập phương trình” III.Các giải pháp vận dụng: Yêu cầu giải toán cách lập phương trình Phân loại toán giải cách lập phương trình Những toán cụ thể hướng dẫn tìm tòi lời giải học sinh thực giải IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm C/ PHẦN KẾT LUẬN A PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Trong chương trình giáo dục phổ thông nước ta nhìn chung tất môn học cho tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt môn toán, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần toán học đại Ngay từ cắp sách đến trường em làm quen với phương trình dạng đơn giản toán tìm x cao lớp 8, lớp dạng toán: “Giải toán cách lập phương trình” dạng toán tương đối khó học sinh Đặc trưng dạng toán đề cho dạng lời văn có đan xen nhiều dạng ngôn ngữ khác ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý, hoá học….Có nhiều toán lại có kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm mối liên hệ đại lượng để dẫn đến lập phương trình Mặt khác, loại toán toán có nội dung gắn liền với thực tế Chính mà việc chọn ẩn thường số liệu có liên quan đến thực tế Do giải học sinh thường mắc sai lầm thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện ẩn, không so sánh, đối chiếu kết với điều kiện ẩn Hoặc học sinh không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc thực tế Mặt khác kĩ phân tích, tổng hợp học sinh trình giải tập yếu Với lý mà học sinh sợ ngại làm loại toán Ngoài ra, trình giảng dạy giáo viên truyền thụ cho học sinh kiến thức theo tinh thần sách giáo khoa mà chưa ý phân loại dạng toán, chưa khái quát cách giải cho dạng Chính giải toán cách lập phương trình đạt kết tốt biết cách diễn đạt mối quan hệ thành mối quan hệ toán học Vì nhiệm vụ người thầy giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải tập Trong trình giảng dạy trường THCS, kinh nghiệm thân qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp trường mạnh dạn viết sáng kiến với suy nghĩ mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy loại toán “Giải toán cách lập phương trình” sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm rèn kỹ giải toán cách lập phương trình cho học sinh THCS” xét phạm vi chương trình lớp lớp II Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm rèn kỹ giải toán cách lập phương trình cho học sinh THCS” để: Giúp cho học sinh có nhìn tổng quát dạng toán giải toán cách lập phương trình, để học sinh sau học xong chương trình toán THCS phải nắm dạng toán này, có cách giải, phân loại dạng toán rèn luyện giải toán cách lập phương trình thành thạo Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích cho học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải toán, tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, không tâm lí ngại ngùng việc giải toán cách lập phương trình Học sinh thấy môn toán gần gũi với thực tiễn sống môn khoa học khác Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh hứng thú học môn toán III Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu “Một số kinh nghiệm rèn kỹ giải toán cách lập phương trình cho học sinh THCS”: + Hướng dẫn định hướng dạng giải toán cách lập phương trình hệ phương trình môn Đại số 8, + Hình thành cách giải phương pháp giải toán cách lập phương trình cho HS IV Phương pháp nghiên cứu: Tôi chọn phương pháp nghiên cứu sau: - Tham khảo tài liệu số soạn mẫu số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS - Tham khảo ý kiến phương pháp dạy đồng nghiệp thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn, dự thăm lớp - Điều tra khảo sát kết học tập học sinh - Thực nghiệm dạy lớp nhiều năm - Đánh giá kết học sinh sau dạy thực nghiệm B PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở lí luận: Như nói phần đầu, loại toán “Giải toán cách lập phương trình” toán có lời văn, với loại toán vấn đề đặt trước hết phải lập phương trình từ kiện mà toán cho thông qua tìm lời giải, sau cách giải phương trình để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu đề Giải toán cách lập phương trình gồm bước giải sau: Bước 1: Lập phương trình: + Chọn ẩn xác định điều kiện cho ẩn + Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn + Tìm mối liên quan số liệu để lập phương trình Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Chọn kết thích hợp trả lời II Thực trạng chung học sinh gặp toán “Giải toán cách lập phương trình” Trong trình giảng dạy toán trường THCS thấy dạng toán giải toán cách lập phương trình dạng toán Dạng toán thiếu kiểm tra chương thi học kỳ môn toán lớp lớp đại đa số em bị điểm có học sinh biết cách giải không đạt điểm tối đa Cụ thể: - Ở bước bước quan trọng có lập phương trình phù hợp với đề có kết toán Đây khâu khó học sinh, khó khăn thường gặp: + Không biết tóm tắt toán để đưa toán từ nội dung thực tế toán mang nội dung toán học Không xác định đại lượng phải tìm, đại lượng cho + Không biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn + Không biết biểu diễn lập luận mối liên hệ ẩn theo kiện toán để lập phương trình Những lí dẫn đến học sinh lập phương trình - Ở bước có nhiều học sinh không giải phương trình học sinh chưa phân dạng phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình, học sinh cách giải phương trình - Đối với bước học sinh thường gặp khó khăn trường hợp sau: + Không trọng khâu thử lại nghiệm phương trình với kiện toán điều kiện ẩn + Không biết biện luận: Chọn câu trả lời, yếu tố có phù hợp với điều kiện thực tế không? Vì nhiệm vụ giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ giải loại tập tránh sai lầm học sinh hay mắc phải Do đó, hướng dẫn học sinh giải loại toán phải dựa quy tắc chung là: Yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phương trình, phân loại toán dựa vào trình tham gia đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng, từ học sinh tìm lời giải cho toán Kết khảo sát trước dạy thực nghiệm: Đối với học sinh gặp dạng toán giải toán cách lập phương trình sau: Điểm Lớp 8A1 8A2 9A1 9A2 Sĩ số 42 45 44 45 Giỏi Khá T.Bình Yếu Kém 3 5 19 16 18 11 16 17 16 19 III.Các giải pháp vận dụng: 1.Yêu cầu giải toán cách lập phương trình: Ở bước bước quan trọng có lập phương trình phù hợp với đề có kết toán Để giải đúng, nhanh toán giải toán cách lập phương trình giáo viên học sinh cần ý: + Đọc kĩ đề tóm tắt toán để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, đại lượng số liệu cho, mô tả hình vẽ cần, chuyển đổi đơn vị cần + Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm làm ẩn, ý điều kiện ẩn cho phù hợp với yêu cầu toán với thực tế + Xem xét tình xảy đại lượng mà số liệu chưa biết + Khi chọn số chưa biết đại lượng ẩn phải tìm mối liên hệ đại lượng chưa biết đại lượng biết để lập phương trình Mối liên hệ thể so sánh (bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp lần ) + Khi lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ giải dạng phương trình học để tìm nghiệm phương trình + Cần ý so sánh nghiệm tìm phương trình với điều kiện toán với thực tế để trả lời Mặc dù có quy tắc chung để giải loại toán Nhưng trình hướng dẫn học sinh giải loại toán giáo viên nên cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu sau: 1.1 Bài toán không sai sót: Để giải học sinh không sai sót, trước hết người giáo viên phải phân tích cho học sinh hiểu toán hiểu sai đề trả lời sai Học sinh cần hiểu rõ mục đích công việc làm, ý không bỏ qua điều kiện ẩn, đơn vị ẩn 1.2 Lời giải phải có lập luận: Trong trình giải bước phải có lập luận chặt chẽ với Xác định ẩn khéo léo Mối quan hệ ẩn kiện cho phải làm bật lên ý phải tìm Nhờ mối tương quan đại lượng mà lập phương trình.Từ tìm giá trị ẩn 1.3 Lời giải phải mang tính toàn diện: Cần hướng dẫn học sinh hiểu kết toán tìm phải phù hợp với chung, với thực tế trường hợp đặc biệt kết 1.4 Lời giải phải đơn giản: Lời giải việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh hiểu tự làm lại 1.5 Trình bày lời giải phải ngắn gọn khoa học: Khoa học mối quan hệ bước giải toán phải lôgic, chặt chẽ với nhau, bước sau tiếp nối bước trước suy từ bước trước, kiểm nghiệm chứng minh điều biết từ trước 1.6 Lời giải phải rõ ràng: Nghĩa bước giải phải không chồng chéo lên nhau, phủ định lẫn Các bước giải phải thật cụ thể xác 1.7 Những lưu ý khác: - Cần trọng việc đưa toán thực tế toán mang nội dung toán học thông qua việc tóm tắt chuyển đổi đơn vị - Để thuận tiện tạo điều kiện dễ dàng khai thác nội dung toán cần: + Vẽ hình minh họa cần thiết + Lập bảng biểu thị mối liên hệ qua ẩn để lập phương trình Phân loại toán giải cách lập phương trình: 2.1 Dạng toán chuyển động 2.2 Dạng toán liên quan đến số học 2.3 Dạng toán công việc, vòi nước 2.4 Dạng toán suất lao động 2.5 Dạng toán liên quan đến hình học 2.6 Dạng toán có nội dung Vật lý, Hoá học 2.7 Một số toán cổ Những toán cụ thể hướng dẫn tìm tòi lời giải học sinh thực giải: 3.1 Dạng toán chuyển động: a Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Với dạng toán cần khai thác đại lượng: + Vận tốc + Thời gian + Quãng đường Lưu ý phải thống đơn vị - Chọn ẩn điều kiện ràng buộc cho ẩn - Tùy theo nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải sau: Các trường hợp (Hay loại phương tiện) Vận tốc(km/h) Thời gian(h) Quãng đường(km) Theo dự định Theo thực tế Phương trình lập b Bài toán minh họa: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường 10 km Để từ A đến B, ca nô hết 20 phút, ô tô hết Biết vận tốc ca nô vận tốc ô tô 17km/h.Tính vận tốc ca nô? + Hướng dẫn giải: Hướng dẫn học sinh biểu thị đại lượng biết chưa biết vào bảng: Phương tiện Vận tốc(km/h) Ca nô Thời gian(h) x x+17 Ô tô Phương trình lập Quãng đường(km) x 2.(x+ 17) 2.( x + 17) − x = 10 + Lời giải : Cách 1: Gọi vận tốc ca nô x (km/h) (x > 0) Vận tốc ô tô là: x +17 (km/h) Đường sông từ A đến B dài là: x (km) Đường từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km) Theo đề đường sông ngắn đường 10km ta có phương trình: 2.( x + 17) − x = 10 ⇔ 6(x + 17) − 10x = 30 ⇔ 6x + 102− 10x = 30 ⇔ x = 18 (thoả mãn điều kiện) Vậy vận tốc ca nô 18 km/h Cách 2: Gọi quãng đường sông dài x (km) (x > 0) Ta có bảng sau: Phương tiện s (km) t(h) v (km/h) Ca nô x 10 x: ô tô x+10 (x+10):2 Phương trình lập 10 x = 10 x + 10 3x − = 17 10 Ta có phương trình: x + 10 3x − = 17 ⇔ x = 60 (thỏa mãn điều kiện) 10 3.60 = 18 (km/h) Vậy vận tốc ca nô là: 10 Tóm lại: Với dạng toán chuyển động giáo viên cần làm cho học sinh hiểu mối quan hệ đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian đại lượng liên hệ với công thức: S = v.t Trong trình chọn ẩn ẩn quãng đường, vận tốc, hay thời gian điều kiện ẩn dương Cần lưu ý dạng toán chuyển động chia nhiều dạng lưu ý: + Nếu chuyển động quãng đường vận tốc thời gian tỉ lệ nghịch với + Nếu thời gian thực tế đến chậm dự định cách lập phương trình sau: Thời gian dự định với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm thời gian thực tế đường Nếu thời gian thực tế đến nhanh dự định cách lập phương trình làm ngược lại phần + Nếu chuyển động đoạn dường không đổi từ A dến B từ B A thời gian lẫn thời gian thực tế chuyển động + Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau thời gian hai chuyển động gặp lập phương trình: S1 +S = S 3.2 Dạng toán liên quan tới số học: a Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Những lưu ý giải tâp: + Viết chữ số tự nhiên cho dạng tổng lũy thừa 10: anan−1 a1a0 = 10n an + 10n−1an−1 + + 101a1 + 100 a0 + Số phương: Nếu a số phương a = b2( b∈ N ) - Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường sau: Cách trường hợp Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Mối liên hệ Ban đầu Về sau Phương trình lập b Bài toán minh họa: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số thêm chữ số vào hai chữ số số lớn số cho 180 Tìm số cho? * Hướng dẫn giải: Hướng dẫn học sinh biểu thị đại lượng biết chưa biết vào bảng: Chữ số Chữ số Chữ số Các trường hàng hàng hàng Mối liên hệ hợp trăm chục đơn vị Ban đầu x 7–x x(7 – x) = 10x + – x = 9x + Về sau x 7-x x 0(7 − x) = 100x + - x = 99x + Phương trình lập (99x + ) - ( 9x + ) = 180 * Lời giải: Gọi chữ số hàng chục chữ số cho x, điều kiện 0 5) Hướng dẫn học sinh biểu thị đại lượng biết chưa biết vào bảng: Các kiện Đội I Đội II Cả hai đội Số ngày x x-5 1 Phần việc làm ngày x−5 x 1 Phương trình lập + = x x−5 *) Lời giải: Gọi số ngày đội I làm xong công việc là: x (ngày, x > 5) Số ngày đội II làm xong công việc là: x - (ngày) Trong ngày: - Đội I làm được: (công việc) x - Đội II làm được: (công việc) x−5 1 + - Cả hai đội làm được: (công việc) x x −5 Theo đề hai đội làm chung hết ngày xong ngày hai đội làm 1/6 (công việc) Ta có phương trình: 1 + = x x−5 => x2 – 17x + 30 = ⇔ x2 – 2x – 15x + 30 = ⇔ x(x - 2) - 15(x - 2) = ⇔ (x - 2)(x - 15) = ⇔ x = (loại) x = 15 (thoả mãn) Trả lời: Đội I làm riêng hết 15 ngày Đội II làm riêng hết 10 ngày *) Chú ý: Đối với toán quên không đặt điều kiện cho ẩn không so sánh kết với điều kiện ẩn không loại nghiệm phương trình, kết toán sai 3.4 Dạng toán suất lao động: a Hướng dẫn tìm lời giải: + Tiến hành chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn: + Đối với dạng toán diện tích lập bảng sau: Các trường hợp Diện tích Năng suất Thời gian Dự định Thực tế 11 Phương trình lập + Đối với dạng toán thông thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Thời gian thực Mối liên hệ Khối lượng Năng suất (Tổng công việc công việc khối lượng Các trường hợp công việc) Đội Theo dự định Đội Đội Theo thực tế Đội Phương trình lập b Bài toán minh họa: Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ vượt mức 15% , tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? * Hướng dẫn giải: + Chọn ẩn: x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (0 < x < 720, x ∈ Z ) + Lập mối liên hệ ẩn theo bảng sau: Mối liên hệ Tổng khối Năng suất Khối lượng công việc lượng công công việc việc Các trường hợp Tổ x 100% Tháng đầu 720 Tổ 720 - x 100% Tổ x + 15%x 115% Tháng sau 819 Tổ 720 –x +(720 –x)12% 112% Phương trình x+ 15%x+720 – x +(720 –x)12% = 819 lập * Lời giải: Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu x (chi tiết) ĐK: x ∈ Z, < x < 720 Khi tháng đầu tồ sản xuất được: 720 - x (chi tiết) Tháng tổ sản xuất được: x + 15%x (chi tiết) Tháng tổ hai sản xuất được: 720 - x + 12%(720 - x) (chi tiết) Theo ta có phương trình: x+ 15%x+720 – x +(720 –x)12% = 819 ⇔ 15 12 x + (720 − x) = 99 100 100 ⇔ 15x + 8640 - 12x = 9900 ⇔ 3x = 9900 - 8640 ⇔ 3x = 1260 12 ⇔ x = 420 (thỏa mãn) Vậy tháng giêng tổ sản xuất 420 chi tiết máy, tổ hai sản xuất 720 - 420 = 300 chi tiết máy Bài 2: Một đội máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội cày 52 đội cày xong trước thời hạn ngày mà đội cày thêm Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch định * Hướng dẫn giải: Hướng dẫn học sinh chọn ẩn lập bảng sau: Các trường hợp Diện tích Năng suất Dự định x 40 Thực tế x+4 52 x x+4 − =2 40 52 Phương trình lập Thời gian x 40 x+4 52 *) Lời giải: Gọi diện tích ruộng mà đội dự định cày theo kế hoạch là: x (ha, x > 0) Thời gian dự định cày là: x ngày 40 Diện tích thực tế mà đội cày là: x + (ha) Năng suất thực tế là: 52 (ha/ngày) x+4 Do thời gian thực tế cày là: (ngày) 52 Vì thực tế làm xong trước ngày cày thêm nên ta có phương x x+4 − =2 trình: 40 52 ⇔ 13x -10x - 40 = 1040 ⇔ 3x = 1080 ⇔ x = 360 (thoả mãn) Vậy diện tích ruộng mà đội dự định cày là: 360 * Chú ý: - Loại toán tương đối khó, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ chất nội dung toán từ tìm mối liên hệ để lập phương trình giải phương trình loại toán khác - Khi gọi ẩn, điều kiện ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tiễn toán 3.5 Dạng toán liên quan đến hình học: a) Hướng dẫn tìm lời giải: + Chọn ẩn điều kiện cho ẩn + Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau: 13 Các đại lượng Đại lượng Đại lượng Các trường hợp Mối liên hệ đại lượng Ban đầu Về sau Phương trình lập b) Bài toán minh họa: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m, diện tích đất lại để trồng trọt 4256m2 Tính kích thước vườn? * Hướng dẫn giải: - Nhắc lại công thức tính chu vi diện tích hình chữ nhật - Vẽ hình minh họa để tìm lời giải - Chu vi 280(m) độ dài cạnh bao nhiêu? - Sau làm lối độ dài cạnh lại bao nhiêu? - Tìm mối liên hệ hai cạnh để lập phương trình + Gọi độ dài cạnh hình chữ nhật x (m), 4 x2 - 900x + 80000 = Giải phương trình ta được: x1 = 800 (thỏa mãn điều kiện) x2 = 100 ( loại) Vậy khối lượng riêng chất thứ 800kg/m3 Khối lượng riêng chất thứ hai 800 – 200 = 600(kg/m3) 3.7 Dạng toán cổ: * Hướng dẫn tìm lời giải: + Chọn ẩn điều kiện cho ẩn + Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau: Các đại lượng Mối liên hệ Đại lượng Đại lượng đại lượng Các trường hợp Ban đầu Về sau Phương trình lập b Bài toán minh họa: Bài toán “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn” Hỏi có gà, chó? * Hướng dẫn giải: + Gọi số gà x ( < x < 36, x∈ Ν ) + Hướng dẫn học sinh lập mối liên hệ theo bảng sau: Các đại lượng Số Số chân Tổng Các loại Con gà x 2x 36 Con chó 36 - x 4(36 - x) 100 Phương trình lập 2x + 4(36 - x) =100 16 *Lời giải: Gọi số gà x (0