chuong4 (2)

Bai giang c ly thuyờt CHNG 4: TRONG TM VT RN 4.1 Tõm cua hờ lc song song ur uu r uu r Khao sat hờ lc song song (F1 ,F2 Fn ) tac dung lờn võt rn Gia s hờ co hp ur uu r R = F lc, tc la vec t chinh k Hinh 4.1 ur Goi O1 la mụt iờm nao o trờn ng tac dung cua hp lc R Chon hờ truc toa ụ Oxy nh hinh ve, ta c cac ban kinh vect xac inh vi tri cua iờm O la r uuuur ur uuuuu r r = OO1 va vi tri cua cac iờm t cua cac lc thuục hờ la rk = OM k (k = 1,2, ,n) Theo inh ly Varinhụng, tụng hinh hoc cac vect mụmen cua cac lc thuục hờ ur ur ur uu r m (R) = m (F ụi vi iờm O1 ta co: o1 o1 k ) = uuuuur ur r ma vec t O1M k = rk r(k = 1,2, ,n) o theo cụng thc tinh mụ men cua mụt lc ụi vi iờm ta co: ur uu r uuuur r ur r r mo1 (Fk ) = (O1M k Fk ) = (rk r) Fk = ur r r uu r (r F ) r F k k k =0 r (4.1) ur Chon ng tac dung cua hp lc R la truc toa ụ O1 trờn o co vec t n vi la e Tõt ca cac lc cua hờ ờu co thờ biờu thi qua vec t n vi o: uu r r Fk = Fk e(k = 1,2, ,n) (4.2) Bai giang c ly thuyờt uu r Vi Fk la hinh chiờu cua lc Fk lờn truc O1, o uu r r r F = (F e) k k = e( Fk ) (4.3) Thay cac biờu thc (4.2), (4.3) vao ng thc (4.1), ta c: ur r r r (r F e) (r e Fk ) = k k r Lõy vec t n vi e lam tha sụ chung ur r r (rk Fk ) r( Fk ) e = (4.4) r Nờu ta chon iờm O1 co ban kinh vec t r thoa man iờu kiờn ur r (r F ) k k r( Fk ) = ur r Fk rk r= Fk hay (4.5) (4.5) xac inh nhõt mụt iờm, iờm o co vi tri khụng thay ụi trờn võt, quay tõt ca cac lc song song quanh cac iờm t cua chỳng, cho cac ng tac dung cua chỳng thay ụi phng, thi ng tac dung cua hp lc luụn luụn i qua iờm õy iờm co tinh chõt c biờt o goi la tõm hờ lc song song inh nghia: iờm C, ma ng tac dung cua hp lc cua hờ lc song song luụn i qua quay cac lc cua hờ quanh iờm t cua chung theo cung chiờu va cung goc quay, goi la tõm cua hờ lc song song o Ban kinh vec t xac inh vi tri cua tõm C la ur ur Fk rk rC = Fk (4.6) Goi Oxyz la hờ truc toa ụ bõt ky cụ inh ụi vi võt rn, chiờu biờu thc (4.6) xuụng cac truc ta tim c cụng thc xac inh toa ụ tõm C cua hờ lc song song: xC = Fk x k F , yC = k Fk yk F k ,z C = Fk z k F (4.7) k 4.2 nh ngha v cụng thc xỏc nh trng tõm vt rn 4.2.1 Trng tõm vt rn Bai giang c ly thuyờt Cac võt rn trờn mt õt hoc gõn mt õt ờu chiu tac dung cua lc hõp dn cua trai õt, goi la lc cua võt o ụi vi cac võt co kich thc rõt nho vi ban kinh trai õt, thi co thờ xem cac lc tac dung lờn cac phõn tụ cua võt nh cac lc song song va co gia tri khụng ụi ụi vi tng phõn tụ võt xoay uu r Ky hiờu: p k la lc trai õt tac dung lờn phõn tụ Mk cua võt rn (k = 1,2, ur uu r uu r u r ,n); P la hp lc cua hờ lc song song (P1 ,P2 , ,Pn ) o u r Lc P : lc cua võt, tri sụ P: lng cua võt rn, P = pk uu r Khi võt rn quay khụng gian, cac lc song song p k co iờm t cụ inh trờn võt va co ng tac dung luụn thng ng Hinh 4.2 nh ngha Trong tõm cua võt rn la mụt iờm hinh hoc, co vi tri cụ inh ụi vi võt rn o, ma ng tac dung cua hp lc cua cac lc cua cac phõn tụ cua võt luụn luụn i qua, vi moi vi tri cua võt khụng gian 4.2.2 Cụng thc xỏc nh ta ụ trng tõm cua vt rn T cụng thc (4.7) ta co cac cụng thc xac inh toa ụ tõm C nh sau: xC = pk x k P , yC = pk yk P ,z C = pk zk P (4.8) uu r o: xk, yk, zk la toa ụ cua iờm t cua lc p k cua cac phõn tụ cua võt 4.2.3 Trng tõm cua cỏc vt ụng chõt Cụng thc xac inh toa ụ tõm cua võt rn ụng chõt: Bai giang c ly thuyờt a Vt rn ụng chõt: Trong lng Pk cua cac phõn tụ bng: p k = v k (k = 1,2, ,n) , thay vao (4.8) xC = V k xk V , yC = V k yk V ,z C = V k zk V (4.9) Trong o: la lng cua mụt n vi thờ tich Vk la thờ tich cua phõn tụ V la thờ tich cua võt rn b Tõm phng ụng chõt: xC = Trong o: F k xk F , yC = F k yk (4.10) F Fk la diờn tich cua phõn tụ F la diờn tich cua tõm c ng cong ụng chõt: xC = Trong o: l k xk L , yC = l k yk L ,z C = l k zk L (4.11) lk la chiờu dai cua phõn tụ L la chiờu dai cua ng cong 4.3 Cỏc phng phỏp tim trng tõm vt rn 4.3.1 Phng phỏp ụi xng Nờu võt ụng chõt co mt ụi xng, truc ụi xng hoc tõm ụi xng thi tõm cua võt phai nm trờn mt phng ụi xng, truc ụi xng hoc nm tai tõm ụi xng o Vi du: Thanh thng, vanh tron, mt tron, mt hinh ch nhõt, hinh cõu ụng chõt ờu co tõm tai tõm ụi xng cac võt o 4.3.2 Phng phỏp phõn chia Muốn tìm trọng tâm hình phẳng phức tạp ta chia hình thành hình đơn giản biết trọng tâm diện tích áp dụng công thức để xác định toạ độ trọng tâm Vi du: Xac inh tõm hinh phng sau: Bai giai: Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.3 Chia hinh phng lam hinh n gian co diờn tich va toa ụ tõm nh sau: F1 = b d ; x1 = d/2 ; y1 = b/2 F2 = d.(a-d) ; x2 = (a-d)/2 ; y2 = d/2 Diờn tich cua toan hinh la: F = F1+ F2 = b.d + d(a-d) Toa ụ tõm cua hinh: x1F1 + x F2 F y F + y F2 yc = 1 F xc = Cn c vao cac toa ụ a tinh ta xac inh c toa ụ tõm C 4.3.3 Phng phỏp khụi lng õm (phng phỏp bu) Khi võt bi khoet nhiờu lụ co hinh thu khac ma tõm cua cac lụ khoet co thờ tim c, thi ta co thờ ap dung phng phap phõn chia trờn, vi iờu kiờn la cac lụ khoet i co khụi lng mang dõu õm Thi du Xac inh vi tri cua tõm cua ban tron ban kinh R1 = 20cm co lụ khuyờt tron ban kinh R2 = 10cm, khoang cach O1O2 = 5cm Bai giang c ly thuyờt y x O1 O2 Hinh 4.4 Bi giai Trong tõm cua ban nm trờn ng O1O2 vi la truc ụi xng Dng cac truc toa ụ xac inh toa ụ yc ta bu thờm diờn tich ban tron tr ban kin, sau o lõy diờn tich tr i diờn tich cua mt tron khuyờt Khi o F1 = R 12 = 3,14.202 = 1256cm , y1 = F2 = R 22 = 3,14.102 = 314cm , y = F = F1 F2 = 1256 314 = 942cm Thay cac gia tri va tim c vao (5.4), ta c yc = y1F1 y F2 5.314 = = 1,67cm F 942 4.3.4 Phng phỏp tich phõn Nờu khụng thờ chia võt mụt sụ phõn hu han vi cac tõm a biờt, õu tiờn ta chia võt cac thờ tich be vk (k = 1,2,n) ụi vi cac thờ tich nay, cac cụng thc (4.9) co dang: xC = x k v k V , yC = y k v k V ,z C = z k v k V Tim gii han cua cac tụng tich phõn trờn cho vk 0, tc la thu cac thờ tich o vờ iờm, ta c cụng thc xac inh toa ụ tõm cua cac võt ụng chõt di dang tich phõn: Bai giang c ly thuyờt xC = 1 xdv, y C = ydv,z C = zdv V (v) V (v) V (v) (4.12) - Tng t, toa ụ tõm cua tõm phng ụng chõt co dang: xC = 1 xdF, y C = ydF F (s) F (s) (4.13) - ụi vi ng cong ụng chõt: xC = 1 xdl, y = ydl,z = C C zdl L (L) L (L) L (L) (4.14) Thi du Tim tõm cua khụi ban cõu ụng chõt, co ban kinh R Bi giai Hinh 4.5 Khụi ban cõu ụng chõt co truc ụi xng Oz, võy tõm C cua võt phai nm trờn truc oz, ta chi cõn tim toa ụ zc theo cụng thc (4.12): tinh tich phõn trờn, ta dung toa ụ tru (r, , z) Ta xet yờu tụ thờ tich dv: dv = rd.dr.dz R R r2 0 dv = d rdr v r2 r4 R 2 zdz = (R r )rdr = R ữ0 = R 2 4 R Võy toa ụ tõm cua khụi ban cõu ụng chõt la: Bai giang c ly thuyờt x c = 0, yc = 0,z c = 1 R = R R 4.3.5 Phng phỏp ỏp dung cỏc nh ly Guynanh a nh ly Guynanh Diờn tich cua mt tron xoay sinh mụt ng cong phng AB quay quanh truc oy, nm mt phng cha ng cong va khụng ct ng cong o, bng chiờu dai L cua ng cong AB nhõn vi chu vi cua ng tron tõm C cua ng cong AB vach ra: F = 2x c L (4.15) Hinh 4.6 Thi du Tim tõm cua cung tron ụng chõt ban kinh R, vi goc tõm la Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.7 Bai giai Chon hờ truc toa ụ nh hinh ve, cung tron co truc ox la truc ụi xng, o tõm C phai nm trờn truc ox Cho cung AB quay quanh truc oy, ta c mt i cõu Ap dung cụng thc (10.4), ta c Fụi cõu = 2x c L Trong o Fụi cõu = 2Rh = 2R.2R sin L = R.2 Thay vao biờu thc trờn, giai c toa ụ cua tõm xc = R sin b nh ly Guynanh Thờ tich cua mụt võt tron xoay sinh mụt hinh phng quay xung quanh truc oy, cung nm mt phng cha hinh phng va khụng ct hinh phng õy, bng diờn tich F cua hinh phng nhõn vi chu vi cua ng tron tõm C cua hinh phng vach ra: V = 2x c F (4.16) Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.8 Thi du Hinh xuyờn tao bi mụt mt tron ban kinh r, no quay quanh truc oy cung nm mt phng vi mt tron Khoang cach t tõm mt tron ờn truc oy la R Tim diờn tich va thờ tich cua hinh xuyờn Hinh 4.10 Bai giai ng tron ban kinh r quay quanh truc oy tao mt xuyờn Ap dung cụng thc (4.15) ta tim c diờn tich cua mt xuyờn F = 2R.2r = 42Rr ụng thi mt tron cung tao hinh xuyờn co diờn tich c tinh bng cụng thc (4.16) V = 2R.r = 22 Rr 4.3.6 Phng phỏp thc nghiờm tim tõm cua cac võt khụng ụng chõt co hinh dang phc tap, ngi ta co thờ tim bng phng phap cõn va phng phap treo 10 Bai giang c ly thuyờt Thi du (phng phỏp cõn) Chiờu xe ụtụ tai co lng P, khoang cach gia hai truc banh xe la l Cho banh xe sau t lờn ban cõn, biờt c ap lc N1 Tim khoang cach t tõm C cua xe ờn truc banh sau Hinh 4.11 Bi giai uur uur u r Xe ụtụ c cõn bng di tac dung cua hờ lc song song phng (N1 , N ,P) Thanh lõp cac phng trinh cõn bng cho xe Y = N + N P = m = Px + N l = o c o xc la khoang cach t tõm C cua xe ờn truc cua cp banh sau Giai hờ phng trinh trờn, ta c: xc = (P N1 ) P Thi du (phng phỏp treo) Muụn tim tõm cua mụt tõm phng co dang nh hinh ve, ngi ta co thờ dung phng phap treo nh sau: 11 Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.12 Treo tõm bng si dõy mờm tai iờm A, sau võt c cõn bng, ta u r anh dõu phng A cua dõy treo A chinh la ng tac dung cua lc P cua võt, Trong tõm C cua võt phai nm trờn ng A Ta lai treo tõm tai iờm treo B, sau cõn bng, phng cua dõy la u r ng B cung la ng tac dung cua lc P Võy giao iờm cua hai ng A va B chinh la tõm C cua tõm 4.4 Trng tõm cua mụt sụ vt ụng chõt thng gp - Thanh thng Hinh 4.13 - Tõm hinh ch nht, hinh binh hnh Hinh 4.14 - Tõm hinh tam giỏc 12 Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.15 C la giao iờm cua ba ng trung tuyờn - ng tron mt tron Hinh 4.16 - Cung tron Hinh 4.17 xc = R sin - Tõm hinh quat tron 13 Bai giang c ly thuyờt Hinh 4.18 xc = R sin - Khụi hinh chop, khụi hinh non Hinh 4.20 Trong tõm cua khụi hinh chop va khụi hinh non ờu nm trờn oan thng nụi t inh S ờn tõm O cua ay, va chia oan o theo ty lờ: CO = SO 14