Chuong 3. Tinh phan boi 2.ppt

Tích phân

Chươngư3:ưTíchưphânưbộiư2 (ưtíchưphânưhàmưnhiềuưbiến)ư 3.1 Tích phân bội 3.1.1 Khái niệm: a) Định nghĩa:ưf(x;y)ưxácưđịnhưtrênưD:ưđóngưvàưbịư chặn.ư Si (i n) M i (x i ; yi )  Si (i 1 n) di;­­d=­max{d i} n I n  f (x i ; yi )Si i 1 hh I f (x; y)dS Lim I n  f (x; y) kt / D D n   Chó­ý: I f (x; y)dS f (x; y) dxdy D ý­nghÜa­h×nh­häc: D V f (x; y) dxdy D b) Điều kiện khả tích: 3.1.2.ưTínhưchấtưcủaưtíchưphânưbộiư2:ư a) f (x; y)  g(x; y) dxdy f (x; y)dxdy  g(x; y)dxdy D b) D D kf (x; y)dxdy k.f (x; y)dxdy (k const) D D c) D D1 D ; D1  D  : f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy  f (x; y)dxdy D d) D1 D2 f (x; y) g(x; y) (x; y)  D : f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy D e) (x o ; y o )  D : f (x; y)dxdy f (x o ; y o ).S(D) D D 3.2.ưCáchưtínhưtíchưphânưbộiư2ưtrongưhệưtoạưđộư Đềưcác:ư 3.2.1.ưMiềnưlấyưtíchưphânưDư=ư[a;ưb]ưxư[c;ưd];ư f(x;y)ưliênưtụcưtrênưD b d b d   f (x; y)dy  dx  f (x; y)dx  dy Df (x; y)dxdy  a c c a   VÝ­dơ:­TÝnh­tÝch­ph©n:­ 2 2 2 dxdy dy I  dx  ( ) dx 2 (x  y) (x  y) xy 1 1 1 2  x 1    ln  dx ln x 1 x   x2 1 (3.1) 3.2.2.MiềnưDưbịưchặnưbấtưkỳ: * D (x; y) : a x b; y1 (x) y y (x)  y2 (x )    f (x; y)dy  dx Df (x; y) dxdy    a  y1 (x )  * D  (x; y) : c y d; x1 (y) x x (y) b  x ( y)    f (x; y)dx  dy Df (x; y) dxdy    c  x1 ( y)  (3.2) d (3.3) VÝ­dô­1:­TÝnh I (x y )dx dy D VớiưDưlàưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởi: a) x 1;0 y 1 b) x 1;0 y x c) y 1;0 x y Gi¶i:­ a) 1 y 2 I dx (x  y )dy (x y  ) dx 0 1 x x (x  )dx (  )  3 3 b)­­ x   y x I dx ( x  y )dy  x y   dx ( x  )dx 0 0 0 x2 x x  26      105 Víưdụ:ư(tiếp) c)ưTươngưtựưnhưưcâuưb: y2 26 I  dy (x  y )dy  105 0 * Chú ý: 3.2.3.ưĐổiưbiếnưsốưtrongưtíchưphânưbộiư2 a)ưĐổiưbiếnưsốưtrongưhệưtoạưđộưĐềưcác: I f (x;y)dx dy; f lt / D D  x x(u; v) g: ;  y y(u; v) g : D'  D (u; v)  (x;y) J x y ' u ' u x y ' v ' v 0 / D'  I  f[x(u; v);y(u; v)] J dudv D' (3.4) VÝ­dơ:­TÝnh­tÝch­ph©n I   ( x  y )dxdy D VớiưDưgiớiưưhạnưbởiưcácưđườngư yư=ư-x;ưyư=ư-xư+3;ưyư=ư2xư-1;ưyư=2x+1 Đặtưuư=x+ưy;ưvư=ư-2xư+yưnên Dư=ư[0;3]ưxư[ư-1;ư2]ưvàưJư=ư1/3 Vậy: 1 I   ( x  y )dxdy  udu dv 30 D b)ưĐổiưbiếnưsốưtrongưtoạưđộưcực x r cos  ; r  0;0  2   x r sin  I  f (x;y) dx dy  f (r cos ;r sin )rdrd D VD : I   D /2   0 D' dx dy  x2  y rdrd 1r (3.5) /2 2  ; D  ( x ; y ) : x  ; y  ; x  y  1  d  0 rdr   (  1) 2 1r 3.3.­øng­dơng­cđa­tÝch­ph©n­béi­2: a)­TÝnh­thĨ­tÝch­vËt­thĨ: V  f (x;y)dx dy (3.6) D Víưdụư:ưThểưtíchưvậtưthểưgiớiưhạnưbởiưx=ư0;ưyư=0;ưzư=0,ư xư+ưyư=1ưvàưzư=ưx2ư+ưxyư+ư1 Giải:ưV (x xy  1)dx dy;D  (x;y) : x 0;y 0;x  y 1 D 1 x  dx (x  xy  1)dy   x3 x       dx  2   S  dx dy b)ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳng: (3.7) D Víưdụư1:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiư cácưđườngưyư=ưxưvàưyư=ư2ưx2 Giải: D (x;y) :  x 1;x y 2  x  2 x2  S  dx dy  dx  dy  (2  x  x)dx y x 2 Víưdụư2:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiưđư ờngưLemưưnixưưcat:ư (x2+ưy2)2ưư=ư2a2ư(x2ưưy2)ư(1) Giải:ưchuyểnưsangưtoạưđộưcực:ưư r 2a 2cos2;D (x;y) :   ; r a 2cos     a 2cos S 4 d  rdr a / c)­TÝnh­diƯn­tÝch­mỈt: S   (f x' )2  (f y' )2 dx dy (3.8) D Víưdụ:ưTínhưdiệnưtíchưmặtưcủaưphầnưmặtưParabolôitư trònưxoayưzư=ưx2ư+ưy2ưđượcưchứaưtrongưhìnhưtrụư x2ư+ưy2ưư=ư1 Giải:ưưD (x;y) : x  y 1 ; z f (x;y) x  y ;f x' 2x;f y' 2y Khiưđóưchuyểnưsangưtoạưđộưcực:ư 2 S 4(x  y )dx dy  d  D 0   4r rdr  (5  1) ... y rdrd 1r (3.5 ) /2 2  ; D  ( x ; y ) : x  ; y  ; x  y  1  d  0 rdr   (  1) 2 1r 3.3 .­øng­dơng­cđa­tÝch­ph©n­béi­2: a)­TÝnh­thĨ­tÝch­vËt­thĨ: V  f (x;y)dx dy (3.6 ) D Víưdụư:ưThểưtíchưvậtưthểưgiớiưhạnưbởiưx=ư0;ưyư=0;ưzư=0,ư... I  dx  ( ) dx 2 (x  y) (x  y) xy 1 1 1 2  x 1    ln  dx ln x 1 x x2 (3.1 ) 3.2 .2.MiềnưDưbịưchặnưbấtưkỳ: * D  (x; y) : a x b; y1 (x) y y (x)  y2 (x )    f (x;... d; x1 (y) x x (y) b  x ( y)    f (x; y)dx  dy Df (x; y) dxdy    c  x1 ( y)  (3.2 ) d (3.3 ) VÝ­dô­1:­TÝnh I (x  y )dx dy D VớiưDưlàưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởi: a) x 1;0 y 1 b) x