Xác suất chương 2.PDF

Xác suất chương 2

Chu’ ong ’ ˆ˜ NHIEN ˆ VA ` PHAN ˆ PHOI ˆ´ XAC ´ SUAT ˆ´ NGAU ¯DA.I LU’ONG ’ ˜ NHIEN ˆ ˆ ¯DA I LU’ O ’ NG NGAU 1.1 a˜u nhiˆ en Kh´ niˆ e.m d ¯a.i lu’ o.’ng ngˆ ’ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen l`a d¯a.i lu’o.’ng biˆe´n d¯ˆ o’i biˆe’u thi gı´ a tri kˆe´t qua ’ mˆ cua o.t ph´ep thu’’ ngaˆ˜u nhiˆen Ta d` ung c´ac chu˜’ c´ai hoa nhu’ X, Y, Z, d¯ˆe’ k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c Go.i X l`a sˆ o´ chˆ a´m xuˆ a´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t x´ uc xa˘´c th`ı X l` a mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nhˆ a.n c´ ac gi´ a tri c´ o thˆe’ l`a 1, 2, 3, 4, 5, 1.2 `’ ra.c a˜u nhiˆ en roi ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ `’ ra.c a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ a˜u nhiˆ en roi `’ ra.c nˆe´u n´o chi’ nhˆa.n mˆo.t sˆ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a roi o´ ˜’ ha.n ho˘ huu a.c mˆo.t sˆo´ vˆo ha.n d¯ˆe´m d¯u’o.’c c´ ac gi´ a tri `’ ra.c x1 , x2 , , xn ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi Ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri cua Ta k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X nhˆa.n gi´a tri xn l`a X = xn v`a x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri xn l`a P (X = xn ) • V´ı du Sˆo´ chˆa´m xuˆa´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t x´ uc xa˘´c, sˆ o´ ho.c sinh va˘´ng m˘ a.t mˆo.t `’ ra.c buˆ o’i ho.c l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ’ b) Bang phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ ’ d¯a.i lu’o.’ng Bang phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t d` ung d¯ˆe’ thiˆe´t lˆa.p luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua ’ ´ ´ ˜ ` `’ ra.c, n´o gˆom h`ang: h`ang thu’ nhˆat liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri c´o thˆe x1 , x2 , , xn ngˆau nhiˆen roi ´’ p1 , p2 , , pn ’ cua d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a h`ang thu´’ hai liˆe.t kˆe c´ac x´ac suˆa´t tu’ong ’ ung ’ c´ac gi´a tri c´o thˆe’ d¯o´ cua 27 Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 28 x2 p2 X x1 P p1 xn pn ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X gˆo`m h˜ Nˆe´u c´ac gi´a tri c´o thˆe’ cua uu ha.n sˆo´ x1 , x2 , , xn th`ı c´ac biˆe´n cˆo´ X = x1 , X = x2 , , X = xn lˆa.p th`anh mˆo.t nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ d¯ˆa`y d¯u’ xung `’ d¯ˆoi kha˘´c tung n X Do d¯´o pi = i=1 • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c d¯ˆo`ng chˆ a´t Go.i X l`a sˆ o´ chˆ a´m xuˆ a´t hiˆe.n trˆen m˘ a.t ´ ´ ´ ˜ ’ `’ ra.c c´ x´ uc xa˘c th`ı X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen roi o phˆ an phˆ oi x´ac suˆ at cho boi: ’ X P 6 6 6 a˜u nhiˆ en liˆ en tu.c v` a h` am mˆ a.t d ¯ˆ o x´ ac suˆ a´t ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ 1.3 a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ a˜u nhiˆ en liˆ en tu.c ’ ¯Di.nh nghi˜a ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a liˆen tu.c nˆe´u c´ac gi´a tri c´ o thˆe’ cua ’ trˆen tru.c sˆo´ n´ o lˆ a´p d¯aˆ`y mˆo.t khoang • V´ı du `’ d¯iˆe’m n`ao d¯´ - Nhiˆe.t d¯ˆo khˆong kh´ı o’’ mˆo˜i thoi o `’ mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng vˆ - Sai so ˆ´ khi d¯o lu’ong a.t l´y ´’ cua `’ gian giua ˜’ hai ca cˆa´p cuu ’ mˆ ’ thoi o.t bˆe.nh viˆe.n - Khoang b) H` am mˆ a.t d ¯ˆ o x´ ac suˆ a´t ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a H`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆ a´t cua a˜u nhiˆen liˆen tu.c X l`a h`am ´’ mo.i x ∈ (−∞, +∞) thoa ’ m˜ khˆ ong ˆam f(x), x´ac d¯.inh voi an P (X ∈ B) = Z f (x)dx B ´’ mo.i tˆa.p sˆo´ thu.’c B voi T´ınh chˆ a´t H`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞) ii) +∞ Z f (x)dx = −∞ ´ nghi˜a cua ’ h` Y am mˆ a.t d ¯ˆ o `’ d¯.inh nghi˜a cua ’ h`am mˆa.t d¯ˆo ta c´o P (x ≤ X ≤ x + 4x) ∼ f (x).4x Tu Do d¯o´ ta thˆa´y x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri thuˆo.c lˆan cˆa.n kh´a b´e (x, x + 4x) gˆa`n nhu’ ´’ f(x) ti’ lˆe voi ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ 1.4 29 H` am phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a H`am phˆan phˆ o´i x´ac suˆ a´t cua a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u F(x), l` a h`am d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau F (x) = P (X < x) `’ ra.c nhˆ * Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi a.n c´ ac gi´ a tri c´ o thˆe’ x1 , x2 , , xn th`ı X X ´’ pi = P (X = xi )) F (x) = P (X = xi ) = pi (voi xi th`ı F (x) = Zx f (t)dt = −∞    Vˆa.y F (x) =   2.1 0 x − 5x23 x  x =1− 5x3 ; x1 ˜ ´ THAM SO ˆ´ ¯DA ˆ ’ ¯DA ˘ C TRUNG ’ CAC CUA I LU’ O ’ NG NGAU ˆ NHIEN K` y vo.ng (Expectation) ¯Di.nh nghi˜a `’ ra.c c´o thˆe’ nhˆa.n c´ac gi´a tri x1 , x2 , , xn * Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ c´ac x´ax suˆa´t tu’ong ´’ p1 , p2 , , pn K`y vo.ng cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ voi a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u ’ ung ’’ E(X) (hay M(X)), l`a sˆo´ d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi ’ d ˘c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ E(X) = n X 31 xi pi i=1 * Gia’ su’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t d¯ˆ o x´ ac suˆ a´t f (x) K`y vo.ng ˜ ’ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X d¯u’o.’c x´ cua ac d¯.inh boi ’ E(X) = Z∞ xf (x)dx −∞ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ’ phˆ • V´ı du T`ım k`y vo.ng cua a˜u nhiˆen c´o bang an phˆ o´i x´ac suˆ a´t sau X P 10 11 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´o 2 1 + 12 + 12 + 12 + 12 + 10 12 + 11 12 = E(X) = 12 93 12 = 31 = 7, 75 • V´ı du Cho X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen liˆen tu.c c´ o h` am mˆ a.t d¯ˆ o f (x) = ( 2.e−2x nˆe´u < x < nˆe´u x ∈ / (0, 2) T`ım E(X) ’ Giai E(X) = Z∞ xf (x)dx = −∞ T´ınh chˆ a´t Z2 x3 x.( x)dx = Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 34 ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a ¯Dˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u l`a σ(X), ˜ d¯u’o.’c d¯.inh nghia nhu’ sau: σ(X) = 2.4 q V ar(X) Mode ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a Mod(X) l`a gi´a tri cua a˜u nhiˆen X c´o kha’ n˘ ang xuˆ a´t hiˆe.n ´ ´ ’ n´ lon at mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d¯´o cua o ’ nhˆ ´’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ voi ´’ x´ac suˆ ´’ `’ ra.c mod(X) l`a gi´a tri cua ’ X ung o´i voi a´t lon ¯Dˆ ´ ´ ´ ˜ ’ X ta.i d¯´ nhˆ at, c`on d¯ˆ oi voi o h`am ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen liˆen tu.c th`ı mod(X) l`a gi´a tri cua mˆ a.t d¯ˆ o d¯a.t gi´a tri cu.’c d¯a.i Ch´ uy ´ Mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o thˆe’ c´o mˆo.t mode ho˘ a.c nhiˆe`u mode `’ th`ı mod(X) l`a ’ sinh viˆen tru’ong • V´ı du 11 Gia’ su’’ X l`a d¯iˆe’m trung b`ınh cua ’ ´ ` d¯iˆem m`a nhiˆeu sinh viˆen d¯a.t d¯u’o.’c nhˆat • V´ı du 12 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen d¯ˆ o   f (x) =  x − x2 e ´’ h`am mˆa.t tu.c c´o phˆan phˆ o´i Vˆay−bun voi nˆe´u x ≤ nˆe´u x > H˜ ay x´ac d¯.inh mod(X) ’ Giai ’ phu’ong mod(X) l`a nghiˆe.m cua ’ tr`ınh x2 x2 x2 f (x) = e− − e− = x2 ’ phu’ong Suy mod(X) l`a nghiˆe.m cua = Do mod(X) > nˆen ’ tr`ınh − √ mod(X) = = 1, 414 2.5 Trung vi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ’ X chia phˆan ¯Di.nh nghi˜a 10 Trung vi cua a˜u nhiˆen X l` a gi´a tri cua ´ ´ ´ ´ ` phˆ oi x´ac suˆat th`anh hai phˆan c´o x´ac suˆ at giˆ ong K´ı hiˆe.u med(X) Ta c´ o P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) = `’ d¯.inh nghi˜a ta thˆa´y d¯ˆe’ t`ım trung vi chi’ cˆa`n giai ’ phu’ong ⊕ Nhˆ a.n x´ et Tu ’ tr`ınh F (x) = 12 ´’ du.ng, trung vi l`a d¯a˘ c trung Trong ung y vo.ng, ’ ca’ k` ’ vi tr´ı tˆo´t nhˆa´t, nhiˆe`u tˆo´t hon ’ nhˆa´t l`a sˆo´ liˆe.u c´o nhiˆe`u sai s´ot Trung vi c`on d¯u’o.’c go.i l`a phˆ an vi 50% cua ´ phˆ an phoˆi ’ d ˘c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 35 • V´ı du 13 T`ım med(X) v´ı du (12) ’ Giai ’ phu’ong med(X) l`a nghiˆe.m cua ’ tr`ınh med(X) Z f (x)dx = 0, hay − e− [med(X)]2 = 0, Suy med(X) = 1, 665 Ch´ uy ´ N´oi chung, ba sˆo´ d¯a˘ c trung y vo.ng, mode v`a trung vi khˆong tr` ung ’ k` ’ `’ c´ac v´ı du (12), (13) v`a t´ınh thˆem k` Cha˘ng ha.n, tu y vo.ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) = ´ ´’ v`a chi’ c´o mˆo.t mode th`ı 1, 414 v`a med(X) = 1, 665 Tuy nhiˆen nˆeu phˆan phˆo´i d¯ˆo´i xung ca’ ba d¯a˘ c trung ung ’ d¯´o tr` 2.6 Moment ¯Di.nh nghi˜a 11 ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ * Moment cˆa´p k cua a˜u nhiˆen X l` a sˆ o´ mk = E(X k ) ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X l`a sˆ * Moment qui tˆam cˆa´p k cua o´ αk = E{[X − E(X)]k } ⊕ Nhˆ a.n x´ et ’ X l`a k` ’ X (m1 = E(X)) i) Moment cˆa´p cua y vo.ng cua ’ X l`a phu’ong ’ X (α2 = m2 − m21 = V ar(X)) ii) Moment qui tˆam cˆa´p hai cua ’ sai cua iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m31 2.7 H` am moment sinh ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a 12 H`am moment sinh cua a˜u nhiˆen X l` a h`am x´ac d¯.inh ’’ (−∞, +∞) cho boi tX  X tx  e p(x)   φ(t) = E(e ) =    x +∞ R −∞ `’ ra.c nˆe´u X roi etx p(x)dx nˆe´u X liˆen tu.c T´ınh chˆ a´t i) φ (0) = E(X) 00 ii) φ (0) = E(X ) iii) Tˆo’ng qu´at: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 36 ´’ Chung minh ! d d tX i) φ (t) = E(etX ) = E (e ) = E(XetX ) dt dt 0 Suy φ (0) = E(X) ! d d d (XetX ) = E(X etX ) ii) φ (t) = φ (t) = E(XetX ) = E dt dt dt 00 00 Suy φ (0) = E(X ) Ch´ uy ´ i) Gia’ su’’ X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p c´o h`am moment sinh tu’ong ’ ´’ l`a φX (t) v`a φY (t) Khi d¯´o h`am moment sinh cua ’’ ’ X + Y cho boi ung φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t) ´’ gˆa`n cuˆo´i c´o d¯u’o.’c etX v`a etY d¯oˆ c lˆa.p) (¯ da˘’ ng thuc ´’ 1−1 giua ˜’ h`am moment sinh v`a h`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua ’ d¯a.i ii) C´o tu’ong ’ ung ˜ lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X ˆ T SO ˆ´ QUI LUA ˆ T PHAN ˆ PHOI ˆ´ XAC ´ SUAT ˆ´ MO 3.1 ´’ (Binomial Distribution) Phˆ an phˆ o´i nhi thuc `’ ra.c X nhˆa.n mˆot c´ac gi´a tri 0,1,2, ,n ¯Di.nh nghi˜a 13 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´ ´ ´ ´’ Bernoulli voi ac x´ ac suˆat tu’ong ’ c´ ’ ung ’ d¯u’o.’c t´ınh theo cˆong thuc Px = P (X = x) = Cnx px q n−x (2.1) ´’ tham sˆ ´’ voi o´ n v`a p K´ı hiˆe.u X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)) go.i l`a c´o phˆan phˆo´i nhi thuc ´’ Cˆ ong thuc ´’ h nguyˆen du’ong Voi ’ v`a h ≤ n − x, ta c´o P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + + Px+h (2.2) ’ phˆ ’ phˆ • V´ı du 14 Ty’ lˆe phˆe´ phˆa’m lˆo san a’m l`a 3% Lˆ a´y ngˆ a˜u nhiˆen 100 san a’m d¯ˆe’ kiˆe’m tra T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ d¯´ o ’ ´ i) C´ o phˆe phˆam ii) C´ o khˆong qu´a phˆe´ phˆa’m ’ Giai ’’ Do d¯´o ta c´o ’ phˆa’m l`a thu.’c hiˆe.n mˆo.t ph´ep thu Ta thˆa´y mˆo˜i lˆa`n kiˆe’m tra mˆo.t san ’’ n=100 ph´ep thu Mˆ ot sˆ o´ qui luˆ at phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t 37 ’’ Ta c´o ’ phˆa’m lˆa´y l`a phˆe´ phˆa’m th`ı mˆo˜i ph´ep thu Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ san p = p(A) = 0, 03 ’ ’ ’ phˆa’m th`ı X ∈ B(100; 0, 03) ¯Da˘ t X l`a tˆong sˆo´ phˆe´ phˆam 100 san i) P (X = 3) = C100 (0, 03)3 (0, 97)97 = 0, 2274 ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3 = C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99 +C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97 = 0, 647 ´’ th`ı x´ac suˆa´t p khˆong qu´a gˆa`n v`a Khi d¯o´ ta c´o thˆe’ ´ap du.ng Ch´ uy ´ Khi n kh´a lon ´’ xˆa´p xi’ sau cˆong thuc i) Px = Cnx px q n−x ≈ √ f (u) npq (2.3) d¯´o u2 x − np u= √ ; f (u) = √ e− ; npq 2π ´’ d¯.ia phu’ong (2.3) d¯u’o.’c go.i cˆong thuc ’ Laplace ii) P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u2 ) − ϕ(u1 ) d¯´o (2.4) u Z − t2 ϕ(u) = √ e dt (H`am Laplace); 2π x − np x + h − np u1 = √ ; u2 = √ npq npq ´’ t´ıch phˆan Laplace (2.4) d¯u’o.’c go.i l`a cˆong thuc ˘ c trung C´ ac tham sˆ o´ d ¯a ’ Nˆe´u X ∈ B(n, p) th`ı ta c´o i) E(X) = np ii) V ar(X) = npq iii) np − q ≤ mod(X) ≤ np + p ´’ ´’ voi ´’ c´ac tham sˆo´ n v`a Chung minh X´et d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X c´o phˆan phˆo´i nhi thuc ’ ´ ´ ’ ra, mˆo˜i ph´ep thu’’ c´o c` ’ biˆe´n cˆo´ A p biˆeu diˆe˜n ph´ep thu’’ biˆen cˆo A xay ung x´ac suˆa´t xay l`a p Ta c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n X nhu’ sau: X= n X i=1 Xi 38 Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ d¯´o Xi = ( ’ nˆe´u o’’ ph´ep thu’’ thu´’ i biˆe´n cˆo´ A xay nˆe´u ngu’o.’c la.i ´’ nˆen V`ı Xi , i = 1, 2, , n l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p c´o phˆan phˆo´i nhi thuc E(Xi ) = P (Xi = 1) = p V ar(Xi ) = E(Xi2 ) − p2 = p(1 − p) = pq Do d¯´o E(X) = n X (Xi2 = Xi ) E(Xi ) = np i=1 V ar(X) = n X V ar(Xi ) = npq i=1 ’ xuˆa´t d¯u’o.’c 200 san ’ phˆ • V´ı du 15 Mˆo.t m´ay san a’m mˆo.t ng`ay X´ac suˆ a´t d¯ˆe’ m´ay ’ xuˆ san a´t phˆe´ phˆa’m l`a 0, 05 T`ım sˆ o´ phˆe´ phˆ a’m trung b`ınh v`a sˆ o´ phˆe´ phˆ a’m c´o kha’ ’ m´ay d¯´o mˆo.t ng` n˘ ang tin ch´ac cua ay ’ Giai ’ m´ay mˆo.t ng`ay th`ı X ∈ B(200; 0, 05) Go.i X l`a sˆo´ phˆe´ phˆa’m cua ’ m´ay mˆo.t ng`ay l`a Sˆo´ phˆe´ phˆa’m trung b`ınh cua E(X) = np = 200 × 0, 05 = 10 Sˆo´ phˆe´ phˆa’m tin cha˘´c ng`ay l`a mod(X) Ta c´o np − q = 200 × 0, 05 − 0, 95 = 9, 05 np + p = 200 × 0, 05 + 0, 05 = 10, 05 =⇒ 9, 05 ≤ mod(X) ≤ 10, 05 V`ı X ∈ B(200; 0, 05) nˆen mod(X) ∈ Z Do d¯´o mod(X) = 10 3.2 Phˆ an phˆ o´i Poisson ´’ Poisson Cˆ ong thuc ´’ voi ´’ tham sˆo´ (n, p) v`a a = np Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o phˆan phˆo´i nhi thuc ´’ v`a p kh´a b´e d¯´o n kh´a lon Ta c´o P (X = k) = = = n! pk (1 − p)n−k (n − k)!k! n! a a ( )k (1 − )n−k (n − k)!k! n n n(n − 1) (n − k + 1) ak (1 − na )n nk k! (1 − na )k Mˆ ot sˆ o´ qui luˆ at phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t 39 ´’ v`a p kh´a b´e nˆen Do n kh´a lon (1 − a n ) ≈ e−a , n Do d¯´o P (X = k) ≈ e−a n(n − 1) (n − k + 1) ≈ 1, nk (1 − a k ) ≈1 n ak k! ´’ Bernoulli ta c´o cˆong thuc ´’ xˆa´p xi’ `’ cˆong thuc Vˆa.y tu Pk = P (X = k) = Cnk pk q n−k ≈ ak −a e k! ´’ Bernoulli boi ´’ Poisson ’’ cˆong thuc Khi d¯´o ta c´o thˆe’ thay cˆong thuc ak −a Pk = P (X = k) = e k! (2.5) `’ ra.c X nhˆ ¯Di.nh nghi˜a 14 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen roi a.n mˆo.t c´ac gi´a tri 0,1, ,n ´ ´ ´ ´ o´i voi ’ c´ac x´ac suˆat tu’ong ’ ung ’ (2.5) d¯u’o.’c go.i l`a c´o phˆan phˆ ’ d¯u’o.’c t´ınh theo cˆong thuc ´’ tham sˆo´ a K´ı hiˆe.u X ∈ P(a) (hay X ∼ P(a)) Poisson voi Ch´ uy ´ ´’ Pk = P (k ≤ X ≤ k + h) = Pk + Pk+1 + + Pk+h voi ak −a e k! • V´ı du 16 Mˆo.t m´ay dˆe.t c´o 1000 ˆ o´ng so.’i, X´ac suˆ a´t d¯ˆe’ mˆo.t gio`’ m´ay hoa.t d¯ˆ o.ng c´o ’ ´ ´ ´ ong so.’i bi d¯ut ˆ at d¯ˆe mˆo.t gio`’ m´ay hoa.t d¯ˆ o.ng c´o khˆong qu´a ’ l`a 0,002 T`ım x´ac suˆ ´ ´ ong so.’i bi d¯ut ˆ ’ ’ Giai ´’ hay khˆong mˆo.t gio`’ m´ay hoa.t d¯oˆ ng l`a mˆo.t Viˆe.c quan s´at mˆo.t ˆo´ng so.’i c´o bi d¯ut ´ ’ ph´ep thu ’ M´ay d¯ˆe.t c´o 1000 ˆong so.’i nˆen ta c´o n = 1000 ph´ep thu’’ d¯ˆo.c lˆa.p ´’ v`a X l`a sˆo´ ˆo´ng so.’i bi d¯ut ´’ mˆo.t gio`’ m´ay hoa.t Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ˆo´ng so.’i bi d¯ut d¯oˆ ng th`ı p = P (A) = 0, 002 v`a X ∈ B(1000; 0, 002) ´’ v`a np = khˆong d¯ˆo’i nˆen ta c´o thˆe’ xem X ∈ P(a) V`ı n = 1000 kh´a lon ´’ mˆo.t gio`’ l`a Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o khˆong qu´a ˆo´ng so.’i bi d¯ut P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 P0 = P (X = 0) = 20 −2 e 0! P1 = P (X = 1) = 21 −2 e 1! P2 = P (X = 2) = 22 −2 e 2! Do d¯´o P (0 ≤ X ≤ 2) = (1 + + 2)e−2 = 5(2, 71)−2 = 0, 6808 Chu’ong ’ ¯Da.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en v` a phˆ an phˆ o´i x´ ac suˆ a´t ’ 40 ˘ c trung