Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)

17 812 3
Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)

XA LA MA GAN GUI NGUYÊN CẢNH TOÀN Bạn thuộc đọc sau Định : thử xem hai định lí quen lÍ Trong tam giác, dường trung bình bồng nửa cạnh day Định ti Trong tam giúc, tổng bình phương hai cạnh bình phương cạnh thứ ba cộng uới hai lần bình phương trung tuyển tương ứng Quan hệ đường cạnh thật đơn giản (định trung tuyến với (định li 2) Xem nội trung bình lí 1) quan hệ cạnh phức tạp dung hai định If chẳng "bà chỉ" Nếu có xem xét chứng minh hai định lí trên, khơng thấy chứng minh định lí chẳng dùng đến định lí Nhưng xa lạ hai định lÍ bề ngồi Chỉ cần đổi cách nhìn chút cảm thấy có gần gũi Quả xem tam giác ABC tứ giác có bốn cạnh BA, AA = 0, AC, CB điểm hai cạnh đối diện ABA'C Định lí gợi ý ta tịnh tiến cạnh AB đến vị trí IP cạnh A'C đến vị trí 1Q Hai tam giác XBP KCQ bang có BP QKC quan hệ chúng với cạnh lại khác xa đến ? Ốc tò mò khoa học thúc giục ta nghiên cứu quan hệ (trong tứ giác BAA'C) cạnh đường trung bình (đoạn nối trung điểm hai cạnh đối diện) (h.1) nên P, Q, K thẳng hàng Ngoài = KQ nên IK trung tuyến : tam giác IPQ Theo định lí thì: 41K?= 20P* + 192) ~ PQ?= 2(1P? + 192) -~ứP? ++ 1Q? — 2IP 1Q.cosa) hay 47K?= IP?+ 12 + 2IP 1Qcosa = = AB? + A'C? +2AB.A”C” (A"C' tà hình chiếu vng góc A'C xuống đường thẳng AB) ta ý luôn dấu cosa AB.A"C” Nhưng: 2AB A"C = 2AB(MC’ - MA”) = 2A4B.MC’ - 2AB.MA = (AC? ~ BC?) - (AA? ~ BA) thấy "bình đẳng' đường trung bình (nối trung điểm hai cạnh đối diện BA, AC) trung tuyến (nối trung điểm hai cạnh đối diện AA, BC) Vậy = QC (AA'2) KB = KC PBR = QCR Từ suy PKB = Vậy: 4IK?“AB+A'C1+BA'2+AC?-AA'2~BC! (1) Hốn vị vai trị cặp cạnh (AA, BC) (4B, AC) ta đối điện 4MN?SAA'2+BC+BA'2+AC2~AB2—A'C2(0) Nếu A' trùng với A AA' = 0, AB AC =_ AC nên (l) cho = AB, ta ATK? = 2(AB? + ACY) - BC?; 1a nội dung dinh Hi Cdn (2) thi cho ta : = BCJ2, nội 4MN? = BC? hay MN dung định lí Như vậy, hai định lÍ xa lạ với bể ngồi thơi, thực chất chúng mẹ sinh Trong (2) nói lên : Định li bình phương đình đối 194 (doan t Gọi 7, K trung điểm hai cạnh điện AA, BC M, N trung thẳng nối Hai một trung hệ thức tứ giác, đường điểm (1) bốn trung hai cạnh lan bình dối diện cho trước) bềng tổng bình phương hai cạnh cịn lại uà hai đường chéo bình phương hai cạnh cho trước trừ tổng Hai định lí kết việc áp dụng dịnh lÍ vào hai đường trung bình tứ giác 8CAA' A' đến trùng với A Đến đây, ta hiểu thêm hai chữ tuyến "đào sâu" Định IÍ Trong tứ điểm sáu cạnh a, @ = 1, 2, 3, 4, ð, 6,) bốn lần bình phương đường trung bình Ý xuất phát thật đơn giản : Ð) g,d2, £, = -1 đổi với hai cạnh trung bình nối trung điểm cạnh AA với chứa hai đấu mút đường trung bình tị = +1 cạnh khác Coi đường trung trung điểm cạnh BC Don gian đường lại Ít nghĩ đến khơng quen nghĩ tam giác trường giác (khi có cạnh hợp đặc biệt không) tứ "đào sâu" liền với "mở rộng" Ở đây, có mở rộng tứ giác thấy sâu xa tam giác, mối quan hệ Nếu tỉnh ý chút thấy chứng minh định lí 3, khơng dùng đốn giả thiết "lối" hay "phẳng" tứ giác Vậy định lí cho tứ giác (ối, lõm, chéo, ghênh) bình hàm Hơn liên độ đài trung tục cạnh đường chéo nên định lí có đỉnh đớ liên tục di chuyển đến nằm cạnh do, chí bốn đỉnh thẳng hàng Sau ta gọi hình gồm bất kÌ sáu đoạn thẳng nối bốn đôi một, "tứ điểm" sáu đoạn nói theo thứ tự bốn điểm điểm đó, Bốn điểm gọi "đỉnh" "cạnh" tứ điểm Một cạnh nối hai đỉnh cạnh nối hai đỉnh lại gọi hai cạnh đối điện tứ điểm Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện gọi đường trung bình tứ điểm Bây ta phát biểu định lí Sau : ist Nếu bình viết biểu theo định : thức ba đường lí 3` cộng vẽ với trung vế ta Định lÍ 3”, Trong tứ diểm tổng bình phương sáu cạnh bổn lần tổng bình Phuong ba đường trung bình, Vận dụng định lí 3'' vào tứ điểm bốn đỉnh A, B, C, D thẳng hãng trục số với : hồnh độ ø, b, ¢, d ta có Định lÍ Với bốn số thực a, ð c, bất kỉ, ta ln lươn có (a - 6)? + (a ~ e} + tla - dP t(b~ ch + = độ? + (e - độ? = =4 [2-1 + (T11 2891+ 4S +d bt+e,y 7} Dinh lí anh em ruột thịt với định lí Di nhiên anh em nhà cịn nhiều, bạn tha hổ tìm Các bạn thấy khơng, học biết mười Bằng lịng với việc hiểu hai định lí học biết Thác mắc chúng xa lạ với mở rộng, ta nhiều kiến thức kiến đào sâu, tự phát thêm (ít ta), thức mà chả "bà chỉ” nhìn riêng lẻ, tưởng 105 Chương 1Í TÌM HIỂU SÂU THÊM TỐN HOC PHO THONG NOI CHUYEN VE CAI "DIEM" TRONG HINH HOC LÊ KHẮC BẢO Hoe sinh hoc hinh hoe, lam bai tập hình học, thường gặp ln chữ "điểm", Có lẽ khơng cớ học, tập hình học mà khơng có chữ "điểm" Như dường giao đường (Ruse (Rouché) va Do Combarutxo (De Comberousse) 1866 ~ 1891.) Nhưng cớ người hỏi "điểm" ma chung ta có vật thể hiểu rõ "điểm" cải nhiều học sinh cịn lúng túng Điều khơng có lạ, nhiều nhà tốn học tiếng đời xưa đời trả lời câu hỏi khơng ổn Sau xin giới thiệu số định nghĩa "điểm" số nhà toán học cớ tên tuổi 1) Điểm theo khơng thể chia chiếu, có vị trí (Aristốt (Aristote) kỈ thứ tư trước công nguyên), 2) Điểm khơng cớ thành phần Những đầu mút đường điểm (Ocơlit (Euclide) kỉ thứ ba trước công nguyên) 3) Điểm biểu thị chiếm chỗ bé nhất, có vị trí đơn Mọi điểm chồng 1679.) khít lên (Lepnitdd (Leibnitz) 4) Những đầu mút đường gọi điểm (Løgiàng (Legendre) 1794) 5) Sự tồn nguyên tử đủ để tưởng tượng điểm tốn học (Cơsi (Cauchy) 1832.) 6) Điểm tốn học đạng khơng có độ lớn Điểm xác định (Đenbơp (Delboeuf) 1860.) 106 7) Điểm giới hạn hay đầu 8) Một điểm ứng mút với ý thức trừu tượng bé mà để ý đến vị trí không gian, miền không lớn vật thể giới hạn (Méray (Méray) 1903) Ta thấy định nghĩa không ổn, vÌ người ta đựa vào chưa định nghĩa, ví dụ : chiều, vi trí, thành phần, đường, độ lớn, dạng, v.v Nếu người ta tiếp tục hỏi : chiều gỉ ? vị trí ? v.v., nhà tốn học sé ling túng Trong định nghĩa có khơng phải định nghĩa, ví dụ 5, ; ngồi có định nghĩa lại q mơ hồ, ví dụ "điểm" xác định Ngày nay, người ta định nghĩa "điểm" ? : Trong toán học, muốn định nghĩa khái niệm người ta phải dựa vào khái niệm định nghĩa trước Do khơng thể định nghĩa tất khái niệm, mà phải có khái niệm không định nghĩa gọi khới niệm Trong hình học người ta lấy "điểm" làm khái niệm (ngồi cịn có khái niệm khác, ví dụ đường thẳng, mặt phẳng) Người ta không chứng minh mệnh để toán học (mệnh đề chứng minh gọi định lí) Muốn chứng minh mệnh đề thÌ người ta phải đựa vào mệnh đế chứng mỉnh trước Đi ngược lên phải có ménh dé khơng chứng minh mà người ta gọi ¿tên đề Các tính chất khái niệm nêu lên tiên đề Dây phương pháp xây dựng toán học đại mà người ta gọi phương pháp tiên đề Bây ta trở lại câu chuyện "điểm" Không phải ngẫu nhiên mà người ta thấy cẩn thiết có khái niệm khơng Hai tốn BÀI nồi tiếng : TỐN GƠNBÁC định nghĩa nhu "điểm", Từ hình học L⁄@basepski (nhà tốn học người nga, 1793 — 1856), cơng nhận, nhà tốn học đặt vấn đề xây dựng sở cho hình học Họ dùng phương pháp tiên đề lấy "điểm" làm khái niệm bản, từ người ta không định nghĩa "điểm" Như "điểm" khới niệm khơng định nghĩa Ta nêu lên hạt bụi bé hình ảnh "điểm" Nhớ ràng hình ảnh khơng phải định nghĩa VA BAI TOAN OLE NGO THUC LANH (Đại Vào khoảng kỉ thứ 17, Gónbác (1690 ~ 1764) viện sĩ Viện hàm lâm Pétecbua (Nga), thư gửi cho Ole (1707 - 1878), cing 14 vién si Han lam Pêtecbua, phát biểu mệnh để, sau mang tên "bài tốn Gơnbác" Bài tốn sau : chứng minh rồng số lẻ, lớn năm, uiết dạng tổng bq số nguyên, tốt, Bức thư Gónbóc viết : "Bài tốn tơi sau : ta lấy cách hú họa số lẻ đó, 77 chẳng hạn Ta có thé phan tich thành ba số hạng : 77 = B3 + 17 +7, ba số hạng số nguyên tố Ta lại lấy số khác, cách hoàn toàn hú họa, 461 chẳng hạn, dây 461 = 449 + +5, ba số hạng lại nguyên tố Ta phân tích số theo cách khác, thành ba số hạng nguyên tố : 267 + 199 + 5, v.v Bây tơi thấy hồn tồn rõ ràng : số lẻ, lớn năm, phân tích thành tổng ba số hạng số nguyên tố Nhưng chứng minh điều Phép thử cho kết thế, cá đời người chả đủ để thử tất số lẻ Cần học sư phạm Hà Nội phải có phép chứng mính tổng qt đó, khơng phải phép thử" Ởỉe trả lời mệnh đề hồn tồn đán, ơng khơng thể đưa phép chứng chặt chẽ mệnh đề Mặt khác Ole lai dé mot mệnh đề mới, sau gọi "bài toán le" : "mới số chắn, từ bốn trỏ di, phơn tích thành tổng hai số nguyên tổ", Mệnh đề ông không chứng minh Chú ý rằng, giải ¿oán Ole rõ ràng từ suy lời giải tốn Gơnbác Thật vậy, số lẻ, lớn năm, viết đưới dạng 2n + = + 2Œ ~ 1), 2(n - 1) > Nếu mệnh dé Ole đúng, số chẩn 2w - phân tích thành tổng hai số nguyên tố, lúc số lẻ 2n + I phân tích thành tổng ba số nguyên tố, ménh trở dé Gônbác với số lẻ từ Nhung dao lai khơng đúng, tức mệnh dé Gónbác từ khơng thể suy mệnh đề Ở/e Như vậy, tốn Ởie khó tốn Gơnbác nhiều , 107 Gần hai trăm năm sau đặt ra, Nói cách khác, số tự nhiên, tồn số N, đủ lớn, cho sau số tốn Gơnbác chưa tÌm lời giải, nhiều nhà toán học lối lạc giới đề cập đến Mãi đến năm 1930, nhà tốn học Xơ viết trẻ tuổi L.G Sniarenman, số lẻ tổng ba số nguyên tố Vinơgradốp chứng định lí tốn (1905 - 1938) tim đường đán để tiến tới lời giải tốn Gơnbác Ơng chứng mính : đồn nuột hàng số k, cho số tự nhiên lớn dều uiết dạng lồng không k số nguyên tố, túc uới số tự nhiên N (N >1) N=p,+py,t+ đỏ p không +p, số nguyên tố, Nếu ta chứng minh k = tốn Gơnbác giải xong Nhờ lực tìm kiếm nhiều nhà toán học, xác định 67, hạ 20 Nhưng từ hạ xuống số đường cịn dài Năm 1987 nỗ số xuống kiện quan trọng xây làm chấn động dư luận giới tốn học tồn thể giới Nhà bác học Xô viết viện si J.M Vinégradép (sinh năm 1891) chứng minh mệnh đề Gónbác với số lẻ đủ lớn đỏ, dều : số lẻ, kể từ số dủ tổng ba số nguyên MIỀN TRONG, tố lớn đường lối phức tạp, địi hỏi vận dụng cơng cụ tỉnh ví học đại Vấn đề đặt Nhà toán học chứng minh : số N,, bao nhiều ? Xô viết K.G Barôdohin Na eons e sé co s6 logarit tu nhién, e = 2,7182 Muốn chứng minh mệnh cách hoàn toàn, cẩn số N, xuéng nhiều nữa, thử nghiệm với tất cÀ số nhỏ nghiệm Nhiều nhà toán trực tiếp, đến hình cớ phải hình đa giác không ? học thử kết luận với tất số tự nhiên tới 9.000.000 mệnh đề Gônbác Phương pháp Vínơgrađốp chưa đủ để giải toán Ole Cho dén bai toan chưa tim lời giải Bài tốn Gơnbác với sé chin, ma thân Gônbác không để ra, chưa giải được, mặc dù, từ dinh li Vinégradép số chẫãn đủ lớn tống sổ nguyên tố MIỀN NGOÀI CỦA ĐA 1) Bạn làm quen với hình đa giác từ lớp 5, lớp Nhưng xin hỏi bạn : hình đề Gônbác suy bốn GIÁC Chắc bạn trả lời hình hình đa giác, "lạ" chút Càn hình 2, nhiều bạn cịn dự Để trả lời câu hỏi, bạn phải trở lại định nghĩa hÌnh đa giác, tức xem xét hình có phải đường gấp khúc kin khong Muốn vậy, bạn cho kiến bò từ điểm hình 2, điểm A chẳng hạn, bị theo đường nét kẻ (theo chiều mũi tên chẳng hạn) khóng quay lại dường cũ, Bạn thấy kiến bò qua (ế‡ cd đường nét da ké Hình 108 cuối hình đường gấp khúc hình da trở lại điểm A, nghĩa đường kin, cịn thÌ q rõ ràng Vậy hình giác ! 2) Đối với hình đa giác quen thuộc, hình đa giác hỉnh 1, bạn trả lời điểm M điểm đa giác, điểm P điểm /rong đa giác Nhưng bạn khó cớ thể trả lời câu hỏi : hình 2, điểm P điểm hay đa giác ? Để trà lời câu hỏi này, bạn cho kiến bị từ điểm rõ ngồi hình đa giác (như điểm N) để đến P Có hai trường hợp xây : 1) Chú kiến tìm đường đến P ma khơng phải vượt qua "đường biên giới" cạnh đa giác) Trong trường hợp này, P điểm da giác 2) dường Chú biên kiến giới thiết lần phải đến vượt qua P Trong trường hợp này, P điểm đa giác ; bạn cho kién di tit N theo mũi tên (hỉnh 2) bạn thấy kiến đến P trường hợp thứ nhất, nghia P điểm ngồi đa giác (xem hình 3) Cách cho kiến bị phức tạp cho bạn thấy đường từ vào đến điểm P (mà không vượt qua "biên giới" lần nào) Bạn xác định P-là điểm hay đa giác cách đơn giản dựa vào nhận xét sau : kiến bò từ điểm da giác mà vượt qua biên giới lần vào đa giác, vượt qua biên giới lần thứ hai lại đa điểm đa giác cách nhanh chóng : bạn cho kiến từ N, theo mũi tên, thẳng "vào trong" cần vượt qua biên giới hai lần kiến đến P Do đó, định ta có một điểm P cách đơn giản để xác hay đa giác cho trước : cần ¿ừ P kẻ nửa đường thẳng không di qua mét dink du giác ; ta đếm số giao diểm nửa dường thẳng uới cóc cạnh da giác : số giao diểm chdn thi P điểm đa giác, số giao điểm lẻ P diém 3) Bạn đọc tính ý thấy ràng điều vừa nói dựa vào (rực giác Những dòng in nghiêng (về cách xác định P hay đa giác) định lí cần phải chứng mình, T5 khơng nêu chứng minh Hơn nữa, khái niệm "điểm trong, đa giác" phải nói xác hơn, Các hình đa giác lồi, hình hình A đa giác đơn Hình đa giác đơn hÌnh tạo nên đường gấp khúc dơn kín đường gấp ợ € Đường gấp khúc đơn đường gấp khúc điểm thuộc nhiều hai cạnh Hình linh giác, vượt qua biên giới lần thứ ba khúc khơng đơn, tự cảt (trong điểm C, B, A thuộc ba, bốn cạnh) Một đường điểm đa giác mà kiến vượt qua hình sœo (hình chẳng hạn) ngồi đa giác, vượt qua biên giới số !¿ lần vào đa giác Nhận xét giúp bạn xác định P (gọi định lÍ Giooc-dăng) : Mọi hình da giác don chia phẳng làm hai miền : vào đa giác v.v nghĩa từ biên giới số chẵn lần thÌ gấp khúc tự cắt kín tạo nên đứ giác Người ta chứng minh định lí sau miền chúa hồn toờn dường thằng (gọi miền đa giác), miền kía khơng có tính chất (gọi miền đa giác) Nhờ định H mà ta nơi đến điểm (thuậc miễn ngoài) điểm (thuộc trong) miền đa giác hình 2, Hình 109 Lấy điểm tùy ý miền Từ điểm đó, vạch nửa đường thẳng tùy ý, &hóng di qua diểm chung cạnh khóc đa giác ; đếm số giao điểm nửa đường thẳng với cạnh đa giác ; số dé số chăn điểm thuộc miền ngồi, số số lẻ điểm thuộc miền đa giác Trong hình 6, ?\ điểm ngoài, P, điểm đa giác Như vậy, miền đa giác phải chứng Hình Một đa giác hình chia mặt phẳng nhiều miền Dựa vào cách xác định miền miển ngồi đa giác đơn (nói điểm 2), người ta định nghĩa miền miền đa giác hình sau : miển minh gạch gạch tính chẵn (Tất nhiên, lẻ số giao điểm nửa đường thẳng với cạnh đa giác phụ thuộc vào điểm chọn, mà không phụ thuộc vào nửa đường thẳng ta kẻ từ điểm Ta khơng nêu chứng minh đây) TH.C (sưu tầm) CÁC MƠ HÌNH KHƠNG GIAN VEC-TỢ TRONG TỐN HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG TRẦN THÚC TRÌNH Trên thiệu báo "cấu thuyết nhóm Tốn học tuổi trẻ trúc đại số" (số 5/1967), giới "lí (số 8/1967) cấu trúc trường qua "Ấm hiệu giải trí" (số 2/1964) Bài giới thiệu cấu trúc khơng gian vec-tơ, cấu trúc đóng vai trị "trung tâm" toán học đại Một tập hợp V gồm phần tử x, y, z gọi &hông gian uec-tơ trường số : a) Trong V cớ xác định trong, mà ta gọi phép cộng, kí tập hợp V nhóm đó, tức tính chất sau phép hiệu phép thỏa tốn o, cộng mãn Phép cộng có tính chất kết hợp, nghĩa xo(woz)= Goyoz véi moix, y,z EV; Trong V có phần tử trung hịa e, nghĩa có e cho e ox = xo e = x véi moix € V; Với x € V có phần tử đối xứng x’ € Vsao choxox’=x'ox =e; Phép cộng có tính chất giao hoán, nghĩa e, y € V làxoy =yox với 110 b) Trong V có xác định phép tốn mà ta gọi phép nhân phần tử thuộc Ý với số thuộc S, (kết phép nhân phần tử thuộc W) kí hiệu Phép nhân thỏa mãn tính chất sau : ð Phép nhân phân phối phép cong V, tic AR * (roy =k *xok*y, trongdd RES; x,y EV ; Phép nhân phân phối phép cộng 8, tức ( ø J *x = k *xol*x với k, €8; Phép nhân kết hợp phép nhân số, tức ¿ * & * x) = ( * k) *x, với k,LES;xeEv; 8.1 * x =x (1 Ja phfn tu don vj cua S) Tím tính chất vừa liệt kẽ tám tiên để cấu trúc không gian vec-tơ ; phẩn tử z, y, Z gọi "vec-td" Các bạn nên ý từ "vec-tơ" cớ nội dung trừu tượng mang nội dung "đoạn thẳng định hướng" sách tốn trường phổ thơng Bất kì tập hợp V với phần tử z, y, z , phép tính trong, phép tính ngồi trường số hiểu cách cụ thể mà thỏa mãn tiên để nơi gọi mơ hình trường số S Ta xét 1) Hãy xem không gian vec-tơ số tốn trường phổ thơng ví dụ V tập hợp lấy sách số thực ñR, trường số hữu tỉ Q, phép cộng nhân V E, bạn thấy với cách hiểu tám tiên để nêu nghiệm đúng, tức irường số thực h không gian uec-t0 trường số hữu tỉ Q Nếu lấy V = S = R, v6i phép cong phép nhân hiểu R (phép todn ngồi trở thành phép tốn trong), tám tiên đề nêu nghiệm đúng, đức trường số thục R khơng gian uec-td Trong hai ví dụ này, số thực "vec-tơ" 2) Hay để ý đến tập hợp P đa thức bậc hai chứa biến x p; = øx” + bạ + e,, với a, 6, c, ER, Phép cộng đa thức thuộc P phép nhân đa thức với số thực xác định Sau = : P.oP (ax? + bx +e) + NHA k*p, =k Gx? +b2 40) = x2+b tes +o) = = (ha; x2 + (hb )# + (he, Ù› Các bạn thử nghiệm tiên đề Kết tám tiên để kể nghiệm đúng, tức ¿ớp hợp P da thúc dạng ax? + bx +c; la mot khong gian vec-to trén trường số R (a,, b,, ¢, G R) 3) Hay xét tap hop H cdc ham s6 vong dang h; = (a, sint + b; cost, với đi, bE R Phép cong va phép nhân xác định sau : ho hị = (aginf + b/cos#) + (asint + bicost) = day ham số a; sin ¢ + b.cost 1a "vec~tơ", 4) Tập hợp V cóc uec-tơ theo nghĩa thơng thường vec-tơ (đoạn thẳng định hướng) với phép cộng vec-tơ phép nhân vec—tơ với số thực không gian uec-tơ trường s6 thuc R (hoặc đường thẳng, mặt phẳng, không gian) ð) Chiều dài, diện tích, thể tích đại lượng vô hướng mà bạn gặp giáo trình hình học Nơi chung cấu trúc đại lượng vô hướng (kể chiều dương âm) tập hợp L [ o, *, >] gồm phần tử #,ð,e có xác định phép tốn trong, gọi phép cộng kí hiệu ø phép tốn ngồi, gọi phép nhân phần tử thuộc 7, với số thực thuộc đ, kí hiệu *, đồng thời có quan bệ lớn hơn, lấy kí hiệu >, thỏa mãn tinh chat sau œ) TrongL có đại lượng cho ln ln có x*#o=o; 8) Ứng với £ > ocd anh xa mot-mot fgitax€ RvaaGL,saochoa=x*e; y) Ln ln có x*£oy *£= ð) Ln ln có xz** e) = (x *y)* e _E)x, "2 >y *ø tương ứng với x > y (o,e, Ảnh xạ ƒ phép đại lượng vô hướng ; số z gọi độ đo đại lượng vơ hướng (x dương, âm 0) Từ õ tính chất suy đẩy đủ tính chất cấu trúc khơng gian vec-tơ (đề nghị bạn tự chứng minh) tức ép hợp L dại lượng 0ô hướng không gian uec-tơ trường số thục R Trong trường phổ thông không để ý đến chiều đại lượng, nên lấy |x| làm độ đo chiếu dài, diện tích, thể tích 6) Nếu *, ÿ, Z, lấy tập hợp V gồm điểm với số thực, thỏa mãn = (ka,) sint + (kb cost, voi k © R Dễ dàng thấy đập hợp H ham số tương ứng = & (ai sint + b, cosf) = veng dang a; sint + b,cost không gian uec-tơ trường số thực R A, BH, "vec-tơ" €, vec-tơ, với phép tốn cộng phép nhân gian vec-td, để sau Sáu tiên đề hai vec-tơ k"hị ER) aGL;xy không tiên Ociit Với = (a+ a) sint + (6, + 5) cost ; (xoy)* e với tiên để cấu trúc đồng thời thỏa mãn thêm ta có &hóng gian : x, y thuộc V cho số thực khơng Am, gọi tích vơ hướng x y, kí hiệu xy cho : 111 xy = yx véi moixz,y 10 @o yiz = xz +y2 ll (ek * x)y RER; 12 xx = kíxy) EV; voi moixnyz EV; v6i moix,y EV; v6i moix € V; xx = chi x la vec-to "không" 13 Véi moi diém ; va A va moi vec-to + tồn điểm cho AB =# ; PHUONG 14 Ln ln có AB A,B,C, eV +BC= AC moi điểm Xuất phát từ 14 tiên đế xây dựng tồn hình học Ớclit học trường phổ thông "Thực chất truyền thống hình học Ởclit kế thừa khái niệm khơng gian vec-tơ có tích vơ hướng mà Ĩclit để lại cho ta", TRINH SAI PHAN LÊ ĐÌNIE THỊNH Phương trình sai phân loại phương trình có nhiều ứng dụng khoa học đặc biệt khoa học thực hành Nó cơng cụ đắc lực để giải tốn phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng máy tính điện tử giải phương trình đại số cấp cao, nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Nội dung giới thiệu sơ lược phương 1) Mọi sai phân biểu diễn theo giá trị hàm số Thật Ay, = y,- y,_, A’y, = Ay, - Ay, = ¥, — 29, + ¥2 vv tiép theo chứng minh quy nạp 2) Sai phân tính tức AF từ 1) cấp có tính chất tuyến + ø) = ARƒ + Akg (Suy trình sai phân ứng dụng lĩnh 3) Sai phân cấp k đa thức bậc ø - bang & > n, biểu ~ số # = n, vực tốn phổ thơng đốn nhận quy luật diễn SỐ v.V Để số, giới thiệu tính tổng phương trình dãy — đa thức bậc n - bè & < n Tinh chất chứng minh quy nạp " sai phân, trước hết ta cẩn biết sai phân ? 4) 5) Ay, =yy~yety; “It Ag ~I py = Thực mà nói có hai loại sai phân : sai phân hữu hạn tỈ sai phân Trong ta dùng khái niệm sai phân hữu hạn chữ — sai phân xin hiểu theo nghĩa sai phân hữu hạn Định nghĩa : Giả sử ta có hàm sốy = fix) Giả sử giá trị cia ffx) điểm #ơ Xa th, xu+ Qh x,t nh, (h = const) tương ứng Yor Ypres ta goi Ay, = x7 — y,— sai phân cấp ham f, V, =1,2, , Dựa vào tính chất ta giải hàng loạt tốn quen thuộc, Thí dụ : Cho dãy số 3, 5, 10, viết tiếp vào dãy số để hiệu số kề lên số Giả thiết tăng đầu cd nghia sai phân cấp không đổi Bởi theo tính chất 3) dãy số giá nyo My, = Ay, ~ bY, = 9; - Wherry, la trị cấp cao số Cho z giá trị 0, 1, (ta đánh số thứ tự từ 0), ta có hệ phương trình sai phân cấp hàm ƒ với ¡ = 2,.,n - Tương tự ta định nghĩa sai phân Sai phân có số tính chất thuận tiện việc giải tốn phổ thơng Các tính chất : 112 đa thức bậc theo đối số số thứ tự số dãy số Mọi đa thức bậc cổ dạng øx2 ~ ðx + e, z đối c=8 a+b+8=ð5 4a + 2b + = 10 Từ suy rea = ,b =2, c= 8, Vậy số viết tiếp phải tuân theo quy luật 22 + 2% + Chang han cho x = 3, 4, 5, ta Vậy tổng n số hạng cấp số nhân cho số 18, 29, 43, q@ Thí dụ : Cho dãy số 1, ~ 1, -1, 1, B, 11, 19, 29, 41, 55 Tim quy luật biểu diễn dãy số Để tìm quy luật biểu diễn ta lập bảng sai phân : y=f -1 Ay -l -2 Aty 11 246 19 22222 29 41 10 12 22 55 14 az? + bx + c, x số thứ tự s6 day s6 Cho x = 0, 1, (đánh số thứ tự từ 0), ta nhận hệ phương trình c=l œ+b+l1=~l 4a+26+ 1= —1 dé ta cd a = 1, b = ~3 Vậy dãy số cho tuân theo quy luat x? - 8x + 1, x số thứ tự số, bát đầu từ Thí dụ : Tính tổng n số hạng cấp số nhân đọ, 88, đu q1 Tổng n số hạng có dạng ø,(1+g+ +a"Ù), Bởi ta tính tổng ngoặc đơn đủ Ta co = AF l1-lgq q gk fy ạ): Từ đóđể q—1 m1 Boi vay gk &=l =F = £4 (theo 4) q~1 Bởi »ự TCH a x=l x=1 (theo 4) " Rn » x=1 Ta dé = @ y= = 2h x=l Xư+i= k= x-n=n? x= "- 15 age De x=1 (Tổng đ số ngun đầu tiên) n Để tính tổng > x? ta xuất phát từ x=1 Ax3 = x3 - @ - 13 = 8x? - 8x +] Do dé " Ð (2 ~8x+D) " = Ar) =n " > @? - 8x + 1) = n ~ Từ x=1 c¿_ x=] " -85x " +1 xel ~=1 =o YP S n-1 =n? - 02 = v2 " z~z- X1 x=l k=] ep =0 n =85x) n~1 = W Agt x? x=] Ta cd Ax? = x? ~ (x - 1)? = 2x - Boi vay x=l gk " , > xed x=1 Agk ko= gkgk - gk gq a m1 A Thí dụ 4: Tính Sx D @x-1) = Fa? Ta thấy sai phân cấp hai không đổi, dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai Ti S,=%, TT: n(n + 1) = tna nứt + 1)(2n + 1) ae (Tổng bình phương nø số nguyên đầu tiên) Bài tập : Theo mẫu thí dụ 4, tính 118 k= xi Nếu hệ số #¿„ ữ, , hàng số 3,4, Thi du 5: Tinh téng sinx + sin2x + + + sinnx Ta có A cos ( att s}* cos ( (1+TW a )* S=am dé == cos( sinkx trình sai phân tuyến tính cấp n Để giải (2) ta cần cho trước n giá trị ban segfg—Ö\» )* =- đầu y„ Ÿp°› = - Định tính ytưy, x Sin % Ty xeinD+ = ~ atl n +sin2 nhất, sai phân 9% % + lap +“ Jian + : Do = Suy”đc tay, = "- Bài tập : Tinh téng coax + cos2x + + cognx Từ suy y, +H Yp - st Yan giải trình dạng Bây ta chuyển sang làm quen với phương trÌnh sai phân Vậy phương trình sai phân ? Phương trình sai phân hệ thức sai phân cấp : É xem sai phân cấp 0) qa) Vì sai phân cấp thể biểu diễn Vian -+4,6, + 6, ty) =0 nghiệm phương trình Fy, Ay, d2y, , Sky, ) = + Yan cing “Trên ta nghiên cứu tính chất sai phân áp dụng chúng để thuộc Iria pers tay; m quen tuyến Span nghiệm nên ta có : Wirnt sing số tốn đÀ nghiệm phương trình 2sing _ phương \trình -s3„ Vier Vita phương trình thi Chúng —2sin- =- nghiệm [cos(n + )x — cosy | = Nếu y,, 3+: l1: nghiệm 2sing rổi theo công thức truy nh l sau : n >, sinkx =ôm(5+1)z= Qsine C1 Yạ¡ tốn ta tính tất giá trị Ip Vp pe BGI (2) gọi phuong trinh sai phan c&p n Để tÌm nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp nø ta dựa vào theo 4) ta có : =-— Nếu f = ta gọi (2) phương trình sai phân Nếu G,, @, , a, 1a số ƒ = thi ta goi (2) phương = ~ 2sindzsin Tu (2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp n tsp Định lí : Nghiệm tổng quát phương sai phân tuyến tính cớ vị = Si + cá + cẤi dé c,,¢,, › c„ số tùy ý, ¡, Ages Ân ø nghiệm phương trình phân biệt afta, ATi + tadata, =0 @) theo giá trị hàm số (tính chất 1) nên (1) tương đương với Phương trình gọi phương trình đặc trưng (2) (Ta không xét trường hợp Wari terri nghiệm 114 TF GY, | +O, =F (2) phức ứng dụng giới thiệu ta chi dùng trường hợp nghiệm thực) Nếu (3) có nghiệm hạn 4¡ bội s chẳng Y= = ey Ayi Heya i + e324) i ++ Se ey Chứng + minh (2) ý (3) Định lại og $ — ‘a+ Gd, : Thay 3, vào phương lí : Nếu y, nghiệm trỉnh tổng quát phương trình Y nghiệm riêng phương trình khơng nghiệm tổng có dạng y= qt phương trình Chúng Thayy, vào (2) ý VY nghiệm riêng 7, nghiệm tổng qt phương trình Thí dụ : TÌm cơng thức số hạng tổng 4-q = 04 _Xem 4, = au, ¡ +Ổa,_; phương trình sai phân Phương trình dạng 32a đặc trưng T8 = 0> tương ứng có = (a+ {a?+ 483/0 Do ổ > nên phương trình có nghiệm phân biệt, Vậy Khin = van +9 Data, =y, Ya ~ Way = có dang = q Vay nghiém téng quat đa =ai Thí dụ : Tìm cơng thức số hạng tổng quát #„ cấp số cộng với công sai ở, Theo định nghia a, = a, +d Goia, =y, ta có phương trình sai phân Yn = Vy +a Phương trình đặc trưng phương trình sai phân có dạng - = O hay 4=1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y„= c Ta tìm nghiệm riêng dạng Y„ = km Thay vào phương trình sai phân ta có kn = k(n— 1) + đ, suy š = d Bởi nghiệm tổng quát phương trỡnh sai phõn khụng thun nht l Ơ, =Â+dn Do yy =a, néne+d = a,> ¢ =a, - d Vay 36 hang téng quát cấp số cộng Gn “7a = =a,-d+dn = tú - l}d, Xem cấp số cộng cấp số nhân trường hợp đạc biệt phương trình = taco ce, te,=0 (a+ Va? 48/2)c,+(@ - «7+ 48)/2)c,= Từ ta có =U\{aF+ 48) cơng bội q phương trình sai phân có dạng Yq = eg" Do y, = sa nén cq = ø, Từ e = #;/q Yq = 2,9°"' Vay số hạng tổng qt cấp số nhân cơng bội q có dạng sai phân mà tổng quát u, 4, =e ((@ + Yar +4B)2)" +0,((a Ya? ~ + 48/2)", ey, + ¥ quát a„ cấp số nhân với Theo dinh nghia o,=a,, ta có phương trình sai phân Phương trình đặc trưng Thí dụ : Trong THTT số - 10 nam 1973 cổ toán sau : Biết số dãy sé wu, Byki 1a uy = 0, u, = Ì với n > Pthiu = Guy, + Buy» 2, số thực tùy ý Ø > Ô Tìm dang Vậy wal {a7 + 48) x (Ca + {a2+ 48)/2)"~ (-a+ 4B)/ 2)" Thí dụ : Trong số báo THTT 11 - 12 năm 1973 có tốn : Tìm dãy số biết Wut Suns u,= 0,4, Phương dạng = 1,4, trình = đặc 3, trưng tương ứng có 43 ~ TA? + 1-5 =0 hay @- 1? @ - 5) = Trdoa, = boi2 va A, = Boi vay u, = ¢, + +c, 5" Khi c, te, =0 n= 0,1, 2, ta cd ce, +e, + Be, =1 ct = c, = c= 2e,+ 25e, =3 -1/16, c, 3/4 1/16 Vậy ư„ - (5° - 19/16 + 3n/4 Trên số ứng dụng sai phân phương trình sai phân vào tốn quen biết Tất nhiên ta đùng để giải nhiều toán quen thuộc khác cố thể xa Để kết thúc mời bạn giải thử toán sau phương pháp sai phân : 115 +2 Tìm dãy số uy bist uu, = 4u,_) - Su, va w= u, = 0, Mạ " =1, {) với n = TW) = 21.) — Tụ y6), 1, Tia) 0(x—T)Au(%) x=1 Ap dung cong thức : 4, 5, biết TQ fx) = - > „ Viết biểu thức đa thức Trébusep Tụ a) Tính > xa* =1 b)” Chứng = x Công thức sau day gọi công thức lấy »(/ãin tổng phần : n x=1 > vdv = u(nyu(n) — uoyu(o) = 2sinx — 2~"| 2sin(w + 1)x — sinnx| ¬- a n Í + 8sin2(x/2) x=1 PHƯƠNG TRÌNH PELL PHAN ĐỨC CHÍNH Bài tốn mở Nam dầu 1974, kì thi tuyển vào lớp bổi dưỡng Bộ Giáo dục tổ chức để chuẩn bị thi toán quốc tế lần thứ 16 cớ toán sau : Tìm tất nghiệm (x, y) phương trình nguyên x? — dy? = thỏa mãn điều biện 80 đương a) < x < 120, Do điều kiện hạn chế: 80 < x < 120, ta mường tượng cách giải thơ thiển sau Tinh 2? véi x = 81, 82, 83 119, sau kiểm nghiệm 39 số phương tính được, xem số có dang + 2yŸ (y nguyên đương), th tìm lời giải Cách giải đòi hỏi thây 39 phép thử, tỉnh ý hơn, rút xuống 20 phép thử (cho số x = 8l, 88, 117, 119) Như cách giải hồn tồn thực được, miễn có thời gian rộng rãi, cố tay bảng bình phương số từ đến 120 Nhưng phòng thi, đâu có điều kiện trinh (1), thi x phai số 2é (1) tương đương với (@ - l@ + = 2? (2) Xét sốx — x + 1, Đây hai số chẵn liên tiếp ước chung lớn chúng 2, xz — > #— Ta hay xét chang han x — 1, với giả thiết 1> Goi p ước nguyên tố lẻ z — 1, từ (2) suy rằngp ước y2, mà p nguyên tố, p ước y, dé y* chia hết cho p2 Lại từ (2) suy # — l)@ + 1) phải chia hết cho Ð?, p ước x — nên p ước x + + — phải chia hét cho p? 1, DĨ nhiên lập luận áp dụng chox + Tu dé ta thay rang néu (x, y) la nghiệm nguyên dương phương trình hay (2), z > 1, thÌxz — lvàzx hai số chẵn liên tiếp, có tính sau : số chia hết cho một (1), + chất số thuận lợi Thành thử có nhiều học sinh ngun tố lẻ p, phải chia hết cho p2 Sau cách giải gọn Trước hết, ta để ý cặp số nguyên dương (, ÿ) nghiệm phương số chẵn có tính chất nêu : 98, 100, 108, Số 90 khơng có tính chất 90 chia hết phải bỏ toán 116 Trong số chãn cho ð từ 80 đến 120, có khơng chia hết 2ð Ta lại cần số chẵn liên tiếp với tính chất kể ; od giá trị x = 99 (để có x - I = 98, +z+ 1= 100) may chấp nhận Thử lại ta thấy với x = 99 ta có ( - 1)@ + 1) = 98.100 = 2(70)2 nghiệm, Thanh thử tốn cho có trột nghiệm đuy làx = 99, y = 70 Cách giải ví dụ minh họa cho nhiều tốn (khơng tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực khác) giải phép thử : cần biết sử dụng suy luận để đưa phép thử phức tạp phép thử đơn giản hơn, để giảm bớt cách đáng kể số phép thử thiết cần Đến bạn đọc cớ thể đồng tỉnh thống với chúng tơi áp dụng cách giải để giải toán : (A) Tim tét nghiệm nguyên dương (x, y) phương trình (1) thỏa mơn diều kiện < x < 1.000.000.000 Nhưng thật khả thực mặt nguyên tác, vỉ số phép thử cần thiết nhiều ! Cũng trường hợp tốn : tÌm tất số nguyên tố P < 1.000.000.000 ! Và có máy điện tử, nhà tốn học khơng tốn tÌm số ngun tố Nhà tốn học Vander Corput đà có lần nơi đùa : khơng giải tốn dễ cụ thể, người làm tốn lai hi vọng tìm lời giải cho tốn khó trừu tượng ! Ít câu nói ứng dụng vào trường hợp toán (A) xét Vậy ta để cập đến tốn khó : Tìm ¿ốt cóc phương nghiệm ngun trình ( Nhưng để giải dương toán (x, y) này, ta cần phải lập luận theo kiểu khác Phuong trinh Pell Phương trình (1) trường hợp riêng phương trình số học tổng quát z2 - Dy? =1 D số nguyên dương trước Giải phương trình số học (3) tất cẢ cặp số nguyên (+, y) thỏa phương trình VÌ x y có mặt vế (3) cho tìm mãn trái nghiệm tẩm thường tất nghiệm không tầm thường (tức với *, y nguyên dương) phương trình Nếu phương trình (3) Ð số phương Ð = &? với ngun dương, (3) có nghiệm tầm thường Quả phương trình (3) có dạng x? — (hy? = mà hiệu hai số phương hai số phương 0, ta có x? = 1, (ky? = x=ly=0 Như ta kết luận điều kiện cần phương khơng tầm trình số học (3) có nghiệm thường, D khơng phải số phương Phương trình số học (3) với D khơng phải số phương, gọi phương trinh Pell Người ta chứng minh phương trình Pell (3) tới D khơng phải số phương) ln ln có nghiệm khơng tầm thường Có nhiều cách chứng minh kết này, cách sử dụng H thuyết liên phân số có lần trình bày Báo Tốn học Tuổi trẻ") Vì khn bạn trình khổ báo này, đề nghị đọc chấp nhận tồn nghiệm không tầm thường Pell (3) với D phương Dựa luận khó gọi phương trình (3), Vì vậy, ta cịn phải tim tính thích giải bàng phép thử tốn (A), (3) dạng bình phương, nên ta hạn chế việc tìm nghiệm (x, y) nguyên không âm Hiển nhiên x = I, y = hoàn tồn tổn khơng phải ấy, sơ cấp, ta có với phương thể số lí xác định cấu trúc tất nghiệm phương trình Pell (3), ứng với số Ð cố định (D nguyên đương số phương) đọc Để kết thúc đoạn để bạn yên tâm chấp nhận tồn nghiệm không tầm thường phương trình (*) Bài "Liên phân số" Lại Dức Thịnh Nguyễn Tiển Tài, TH va TY s6 45, thang 11 - 12 năm 1968 117 Pell (3) chúng không trị nhỏ tầm xin chi thường D (cụ thể | | Mệnh x x x - weal x- 3y) =Ị x ~ Sy? =1 x - by = x?- aed xÌ~ 8y? =Ị x= loy? = e- yea x?-12~1 19 10 1+ Dy = x2 nén ta od thé thir dan véi céc gid triy = 1, 2, thiết (x, y) =z? - DĐ? = œ + )& nghiệm - „\34) Vì D khơng phải số phương, nên YD la mot số vơ tỉ, số WD số vơ tỈ Goi a’ 1a 86 v6 ti lién hop (toan phương) ø, tức ø = x — y¥D, thi theo (49), ta có ad = Ngược lại, giả thử œ số vơ tỉ có dạnga =z + yÝÐ với x, y nguyên dương va cho aa’ = 1, thÌ rõ ràng (z, y) nghiệm nguyên đương phương trình (3) Nhờ tương ứng này, ta thấy thay cho việc tìm tất nghiệm nguyên dương (x, y) cha phương trình (3) ta việc tim tất phần tử tập hợp P= {a =x va cho aa’ 118 + yD, = 1} 1, =u? ¬ Dư? x + yVÐ =u + WD với VÕ vô tỈ x, y, u, ø nguyên dương, ø'= #!, vậxy= se ta)ạ=0 =8 +) a, nény > 1, ti dé suy ray’ < Néu ux - uy < 0, thi từ biểu thức ể 7, ta suy ray < y’, điều vơ lí Thành thử vx — uy số nguyên dương, y € P {c) = (a) Giả thử B = ay, voi y=p + WD eP Thế thi u + WD = (x + y[P)(p + 4Ð) tit dé suy u = xp vay = @p + Dyq) + (xq + ypND, + Dyq, u = > x Do tương đương (a) () nêu lên mệnh đề 3, để so sánh hai sốø =x + yjÐ €PvàØ=u + u(Ð eP, ta cần so sánh số nguyên đươngx va "phần đầu" số Xem tất cà số thuộc P : Ta hợp số nguyên dương có số nhỏ *, Khi số + ¥,VD & P tuong ting với x¡, số ta thấy cấu trúc của phương trình Th xếp tất nghiệm phương thứ tự phần đầu chúng trình theo (Cp HPs Cy Hyde vor Gl ghee Thé thi x,+9ND = (x,+ y¥VDY" (n = 1, 2, 3, ) Vi du Trd lai phuong trinh (1) #2 — 9y? = 1, ta thấy theo bảng 1, nghiệm nhỏ phương trình (x, ¥) = (8, 2) Các nghiệm sau phương trình ⁄¿ + y;Ý2 = (3 + 223? = 17 + 124, II Chứng đề cho nghiệm phương trình Pell (3) Quả vậy, gọi Œị, yị) nghiệm dương nhỏ Hệ Tap hgp P co s6 a, =a, " giả thiết œ, số nhỏ P — uyD) = (u — oYD) mà ta gọi phần đầu tập Tập hợp a eh, ai? € P, ailai < ai, điều trái với Mat khác y= > nên day dị Sa < aprt > yD hay ux Ching minh Via, đi, đị,2 đị,q3 = (ux — vyD) + (ux — uy ND, v6i ux — 0yD ux — uy nguyên Hơn nữa, rõ ràng Mệnh đề Mọi số œ € P lũy thừa số nhỏ a, EP x, + y,V2 = (3 + 2¥2)3 = 99 + 70/2, xytyNZ = (8+ 2N2)4 = 5774 4082, nhỏ P ast yN2 = (3+ 2¥2)5 = 3363+ 2378/2, Khi ta cing cd thé noi rang (x, yp la nghiệm nguyên dương nhỏ phương Thành trình Pell (3) thử với < x < (x, ¥) = (99, 70) 120, ta có nghiệm 119 KHAI NIEM TRONG TAM VA UNG DUNG TRONG HiNH HOC TA VAN TY Chúng ta biết cách chứng minh thức Ole : d? = R? — 2Rr, dé R, hệ la bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp va d = Ớï khoảng cách tâm O va Ï đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác khái niệm phương tích điểm đường tròn Trong đưa cách chứng mỉnh khác ngắn gọn, đồng thời nêu lên số ứng dụng khác quan trọng bàng cách sử dụng khái niệm trọng tâm hệ chất điểm Cho hệ m chất điểm Ap xac dinh bdi : => MO = + tu MA a,ta,+ Voi — + a,MA, = A, -› Điểm khối lượng tương ứng ay O duge +a, điểm Hệ thức (1) viết gọn : xác Tính chất sau cho ta cách thực hành định Gọi + a) (2) m Với cách đặt vậy, ta có > i=l Từ (1) lấy M a = 13) = O ta có a0A, + +0,0A, = 0° (4) Ngược lại với M tùy ý, từ (4) ta có — = —>, a,(OM+ MA,)+ +4,(OM+ (a, + + — — @,)OM = tâm hệ chất mm chất 5, trọng tâm Ai, A„ với khối lượng a, Goi 0, tam tương ứng điểm điểm a, cia n chất điểm B, B,, v6i khổi lượng tương ứng b,, Khi trọng tâm Ở m + n chất điểm Ay B (v6ii= 1,2, ,m;j = 1,2, n) thẳng hàng với Ó,, O; chia đoạn Ó,O, theo tỉ số nom 00, : 00, = 6f> it (B) Thực vậy, theo (4) ta có : m a i=l yal —> + aMA, n ` ` > 2, 9(00, + 0,4) +5) 0(00,+ 0,8) i=l + trọng > 204, + > 03, = MồỒ = Ÿ a/MA, với a, = vi theo (4) mà Ở trọng tâm Vậy vơ lí m a, =afa,+ > fst œ) tùy ý gọi trọng tâm hệ chất điểm — khéc cdn vế phải do)2 øØƠA> — MA) m — el a => = 3) 4,00, + ¥ 20,4,+ a = n = +> 600, + = 6,0,B, = i= = = + + + 0,MA,, = Vậy (1) (4) tương đương với lõ ràng định nghĩa trọng tâm Thực giả sử cịn có trọng tâm O' # O cà Từ (1), lấy M = Ĩ' ta có : Ø0 = a/OAjJ5) a, Về trái hệ thức ¿ml VayO, O,, O, thing hàng độ dai hình học " m tao00, :00; = 5) 6/5) ø, (dpem) man ... HIỂU SÂU THÊM TOÁN HOC PHO THONG NOI CHUYEN VE CAI "DIEM" TRONG HINH HOC LÊ KHẮC BẢO Hoe sinh hoc hinh hoe, lam bai tập hình học, thường gặp ln chữ "điểm", Có lẽ khơng cớ học, tập hình học mà khơng... tốn Gơnbác chưa tÌm lời giải, nhiều nhà toán học lối lạc giới đề cập đến Mãi đến năm 1 930, nhà toán học Xô viết trẻ tuổi L.G Sniarenman, số lẻ tổng ba số ngun tố Vinơgradốp chứng định lí tốn (1905... TỐN GƠNBÁC định nghĩa nhu "điểm", Từ hình học L⁄@basepski (nhà toán học người nga, 1793 — 1856), cơng nhận, nhà tốn học đặt vấn đề xây dựng sở cho hình học Họ dùng phương pháp tiên đề lấy "điểm"

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan