Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)
Trang 1XA LA MA GAN GUI Bạn đọc hãy thử xem hai định lí quen
thuộc sau đây :
Định lÍ 1 Trong một tam giác, dường trung bình bồng nửa cạnh day
Định ti 2 Trong một tam giúc, tổng bình phương hai cạnh bằng nữa bình phương cạnh thứ ba cộng uới hai lần bình phương
trung tuyển tương ứng
Quan hệ giữa đường trung bình và các cạnh thật đơn giản (định lí 1) cịn quan hệ giữa trung tuyến với các cạnh khá phức tạp (định li 2) Xem ra nội dung hai định If
chẳng "bà con chỉ" Nếu cĩ xem xét các chứng minh hai định lí trên, cũng sẽ khơng thấy rằng khi chứng minh định lí này chẳng hề dùng đến định lí kia Nhưng sự xa lạ giữa
hai định lÍ chỉ là bề ngồi Chỉ cần đổi cách
nhìn đi một chút đã cảm thấy cĩ sự gần gũi Quả vậy hãy xem tam giác ABC như một tứ giác cĩ bốn cạnh BA, AA = 0, AC, CB thì
đã thấy ngay sự "bình đẳng' giữa đường trung bình (nối trung điểm của hai cạnh đối
diện BA, AC) và trung tuyến (nối trung điểm của hai cạnh đối diện AA, BC) Vậy thì tại
sao quan hệ giữa chúng với các cạnh lại khác xa nhau đến thế ? Ốc tị mị khoa học thúc
giục ta nghiên cứu các quan hệ (trong một tứ giác BAA'C) giữa các cạnh và một đường trung bình (đoạn nối trung điểm hai cạnh
đối diện) (h.1)
đình t
Gọi 7, K lần lượt là trung điểm hai cạnh
đối điện AA, BC và M, N lần lượt là trung
194
NGUYÊN CẢNH TỒN
điểm hai cạnh đối diện ABA'C Định lí 2 gợi ý ta tịnh tiến cạnh AB đến vị trí IP và cạnh
A'C đến vị trí 1Q Hai tam giác XBP và KCQ
bang nhau vì cĩ BP = QC (AA'2) KB = KC
và PBR = QCR Từ đĩ suy ra PKB =
QKC nên P, Q, K thẳng hàng Ngồi ra : = KQ nên IK là trung tuyến của tam
giác IPQ Theo định lí 2 thì :
41K? = 20P* + 192) ~ PQ? = 2(1P? + 192) -
-~ứP? + + 1Q? — 2IP 1Q.cosa) hay
47K? = IP? + 12 + 2IP 1Qcosa =
= AB? + A'C? +2AB.A”C” (A"C' tà hình
chiếu vuơng gĩc của A'C xuống đường thẳng
AB) nếu ta chú ý rằng cosa và AB.A"C” luơn luơn cùng dấu Nhưng : 2AB A"C = 2AB(MC’ - MA”) = 2A4B.MC’ - 2AB.MA = (AC? ~ BC?) - (AA? ~ BA) Vậy : 4IK?“AB+A'C1+BA'2+AC?-AA'2~BC! (1)
Hốn vị vai trị của các cặp cạnh đối điện (AA, BC) và (4B, AC) ta được 4MN?SAA'2+BC+BA'2+AC2~AB2—A'C2(0) Nếu A' trùng với A thì AA' = 0, AB = AB, AC =_ AC nên (l) cho ta ATK? = 2(AB? + ACY) - BC? ; do 1a nội dung của dinh Hi 2 Cdn (2) thi cho ta : 4MN? = BC? hay MN = dung của định lí 1
Như vậy, hai định lÍ 1 và 2 chỉ là xa lạ
với nhau bể ngồi thơi, thực chất thì chúng
đều do một mẹ sinh ra Hai hệ thức (1) và
(2) đều nĩi lên :
Định li 3 Trong một tứ giác, bốn lan
bình phương của một đường trung bình
(doan thẳng nối trung điểm hai cạnh dối
diện cho trước) bềng tổng bình phương hai
cạnh cịn lại uà hai đường chéo trừ đi tổng
bình phương hai cạnh cho trước
Trang 2Hai định lí 1 và 2 là kết quả của việc áp
dụng dịnh lÍ 3 vào hai đường trung bình của một tứ giác 8CAA' khi A' đến trùng với A
Đến đây, ta hiểu thêm hai chữ "đào sâu" là
thế nào Ý xuất phát cũng thật là đơn giản : Coi đường trung tuyến cũng là một đường
trung bình nối trung điểm của cạnh AA với
trung điểm của cạnh BC Don gian nhưng
lại Ít ai nghĩ đến chỉ vì khơng quen nghĩ rằng
tam giác là một trường hợp đặc biệt của tứ
giác (khi cĩ một cạnh bằng khơng) và "đào
sâu" đi liền với "mở rộng" Ở đây, cĩ mở rộng
ra tứ giác mới thấy được một mối quan hệ
sâu xa trong tam giác,
Nếu tỉnh ý một chút sẽ thấy rằng trong khi chứng minh định lí 3, khơng hề dùng
đốn giả thiết "lối" hay "phẳng" của tứ giác
Vậy định lí đúng cho một tứ giác bất kì (ối,
lõm, chéo, ghênh) Hơn nữa vì độ đài trung
bình là một hàm liên tục của các cạnh và
đường chéo nên định lí 3 vẫn đúng khi cĩ một đỉnh nào đớ liên tục di chuyển đến nằm trên một cạnh nào do, thậm chí cả khi bốn
đỉnh thẳng hàng
Sau đây ta sẽ gọi một hình gồm bốn điểm bất kÌ và sáu đoạn thẳng nối bốn điểm đĩ, từng đơi một, là một "tứ điểm" Bốn điểm và sáu đoạn nĩi trên theo thứ tự sẽ gọi là
các "đỉnh" và các "cạnh" của tứ điểm Một
cạnh nối hai đỉnh nào đơ và cạnh nối hai đỉnh cịn lại sẽ gọi là hai cạnh đối điện của
tứ điểm Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện sẽ gọi là một đường trung bình của tứ điểm Bây giờ ta cĩ thể phát biểu định lí 3 như Sau : Định IÍ 3 Trong một tứ điểm cơ sáu cạnh bằng a, @ = 1, 2, 3, 4, ð, 6,) bốn lần bình phương của một đường trung bình nào 6 đĩ bằng Ð) g,d2, £, = ist chứa hai đấu mút của đường trung bình và tị = +1 đối với các cạnh khác
Nếu viết biểu thức cả ba đường trung
bình theo định lí 3` rồi cộng vẽ với vế ta
được :
Định lÍ 3”, Trong một tứ diểm tổng bình phương sáu cạnh bằng bổn lần tổng bình Phuong ba đường trung bình,
Vận dụng định lí 3'' vào một tứ điểm cơ bốn đỉnh A, B, C, D thẳng hãng trên một trục số với các hồnh độ là ø, b, ¢, d ta cĩ ngay : Định lÍ 4 Với bốn số thực a, ð c, ở bất kỉ, ta luơn lươn cĩ (a - 6)? + (a ~ e} + tla - dP t(b~ ch + = độ? + (e - độ? = -1 đổi với hai cạnh =4 [2-1 + (T11 2891+ +d bt+e,y 4S 7 7}
Dinh lí 4 cũng là anh em ruột thịt với các định lí 1 và 2 Di nhiên anh em nhà này cịn nhiều, các bạn tha hổ tìm
Các bạn thấy khơng, học một biết mười là vậy Bằng lịng với việc hiểu hai định lí 1 và 2 thì học một chỉ biết một Thác mắc tại
sao chúng cĩ vẻ xa lạ với nhau rồi đào sâu,
mở rộng, ta đã tự mình phát hiện thêm nhiều kiến thức mới (ít ra là đối với ta),
những kiến thức mà nhìn riêng lẻ, tưởng
như chả "bà con chỉ”
Trang 3Chương 1Í TÌM HIỂU SÂU THÊM TỐN HOC PHO THONG
NOI CHUYEN VE CAI "DIEM"
TRONG HINH HOC
Hoe sinh chúng ta hoc hinh hoe, lam bai tập hình học, thường gặp luơn chữ "điểm", Cĩ lẽ khơng cớ bài học, bài tập nào về hình học mà khơng cĩ chữ "điểm" Như vậy chắc
chúng ta đã hiểu rõ cái "điểm" lắm rồi
Nhưng nếu bây giờ cớ người hỏi "điểm"
là cải gì thì nhiều học sinh cịn lúng túng
Điều đĩ cũng khơng cĩ gì lạ, vì nhiều nhà
tốn học nổi tiếng đời xưa cũng như đời nay
trả lời câu hỏi đĩ cũng khơng ổn Sau đây
xin giới thiệu một số định nghĩa về "điểm" của một số nhà tốn học cớ tên tuổi
1) Điểm là cái gì khơng thể chia được
theo mọi chiếu, nhưng nĩ cĩ một vị trí
(Aristốt (Aristote) thế kỈ thứ tư trước cơng
nguyên),
2) Điểm là cái gì khơng cớ thành phần Những đầu mút của một đường là những
điểm (Ocơlit (Euclide) thế kỉ thứ ba trước
cơng nguyên)
3) Điểm biểu thị cái gì chiếm chỗ bé nhất,
chỉ cĩ vị trí đơn thuần Mọi điểm đều cĩ thể
chồng khít lên nhau (Lepnitdd (Leibnitz)
1679.)
4) Những đầu mút của một đường gọi là điểm (Løgiàng (Legendre) 1794)
5) Sự tồn tại của một nguyên tử đủ để tưởng tượng một điểm tốn học (Cơsi (Cauchy) 1832.)
6) Điểm tốn học là một đạng khơng cĩ
độ lớn Điểm là cái gì được xác định bởi chính nĩ (Đenbơp (Delboeuf) 1860.)
106
LÊ KHẮC BẢO
7) Điểm là giới hạn hay đầu mút của một
dường là giao của những đường (Ruse (Rouché) va Do Combarutxo (De Comberousse) 1866 ~ 1891.)
8) Một điểm ứng với ý thức trừu tượng
ma chung ta cĩ đối với một vật thể cực kì
bé mà chúng ta chỉ để ý đến vị trí trong
khơng gian, đối với một miền khơng lớn nhưng do chính một vật thể nào đĩ giới hạn
(Méray (Méray) 1903)
Ta thấy ngay các định nghĩa trên đều
khơng ổn, vÌ người ta đã đựa vào những cái chưa định nghĩa, ví dụ : chiều, vi trí, thành phần, đường, độ lớn, dạng, v.v Nếu người ta tiếp tục hỏi : chiều là cái gỉ ? vị trí là cái gì ? v.v., thì những nhà tốn học trên sé ling túng Trong 8 định nghĩa trên cĩ những cái khơng phải là định nghĩa, ví dụ 5, 8 ; ngồi ra cĩ định nghĩa lại quá mơ hồ, ví dụ "điểm" là cái gì được xác định bởi chính nĩ
Ngày nay, người ta định nghĩa "điểm" như thế nào ? : Trong tốn học, muốn định nghĩa
một khái niệm người ta phải dựa vào những
khái niệm đã định nghĩa trước Do đĩ khơng thể định nghĩa tất cả các khái niệm, mà phải cĩ những khái niệm đầu tiên khơng định nghĩa gọi là khới niệm cơ bản Trong hình học người ta lấy "điểm" làm khái niệm cơ bản (ngồi ra cịn cĩ những khái niệm cơ
bản khác, ví dụ đường thẳng, mặt phẳng)
Người ta cũng khơng chứng minh được mọi mệnh để tốn học (mệnh đề chứng minh
được gọi là định lí) Muốn chứng minh một
Trang 4mệnh đề thÌ người ta phải đựa vào những
mệnh đế đã được chứng mỉnh trước Đi ngược mãi lên thế nào cũng phải cĩ những ménh dé đầu tiên khơng chứng minh mà
người ta gọi là ¿tên đề Các tính chất của các
khái niệm cơ bản được nêu lên trong các tiên
đề Dây là phương pháp xây dựng tốn học hiện đại mà người ta gọi là phương pháp tiên đề
Bây giờ ta trở lại câu chuyện cái "điểm" Khơng phải ngẫu nhiên mà người ta thấy cẩn thiết cĩ những khái niệm cơ bản khơng
Hai bài tốn nồi tiếng :
BÀI TỐN GƠNBÁC
Vào khoảng giữa thế kỉ thứ 17, Gĩnbác
(1690 ~ 1764) viện sĩ Viện hàm lâm
Pétecbua (Nga), trong một bức thư gửi cho Ole (1707 - 1878), cing 14 vién si Han lam
Pêtecbua, đã phát biểu một mệnh để, về sau
mang tên là "bài tốn Gơnbác" Bài tốn đĩ như sau : chứng minh rồng mỗi số lẻ, lớn hơn năm, đều cĩ thể uiết dưới dạng một tổng của bq số nguyên, tốt,
Bức thư của Gĩnbĩc viết : "Bài tốn của tơi
như sau : ta hãy lấy một cách hú họa một số
lẻ nào đĩ, 77 chẳng hạn Ta cĩ thé phan tich nĩ thành ba số hạng : 77 = B3 + 17 +7, cả ba số hạng đều là những số nguyên tố Ta lại lấy một số khác, một cách hồn tồn hú họa, 461 chẳng hạn, ở dây 461 = 449 + 7 +5, và ba số hạng lại là nguyên tố Ta cĩ thể phân tích cũng số ấy theo một cách khác, thành ba số hạng nguyên tố : 267 + 199 + 5, v.v Bây giờ tơi thấy hồn tồn rõ ràng rằng : mỗi số lẻ, lớn hơn năm, đều cĩ thể phân tích
thành một tổng của ba số hạng là những số
nguyên tố Nhưng chứng minh điều đĩ như
thế nào Phép thử nào cũng cho cùng một
kết quả như thế, nhưng cá đời người cũng chả đủ để thử lần lượt tất cả các số lẻ Cần
định nghĩa nhu "điểm", Từ khi hình học L⁄@basepski (nhà tốn học người nga, 1793 — 1856), được cơng nhận, các nhà tốn học mới đặt vấn đề xây dựng cơ sở cho hình học Họ đã dùng phương pháp tiên đề và lấy "điểm"
làm khái niệm cơ bản, từ đĩ người ta thơi
khơng định nghĩa "điểm" nữa
Như vậy "điểm" là một khới niệm cơ bản
khơng định nghĩa Ta cĩ thể nêu lên một
hình ảnh của "điểm" là một hạt bụi rất bé
Nhớ ràng đĩ chỉ là một hình ảnh chứ khơng
phải một định nghĩa
VA BAI TOAN OLE
NGO THUC LANH
(Đại học sư phạm Hà Nội
phải cĩ một phép chứng mính tổng quát nào đĩ, chứ khơng phải là những phép thử"
Ởỉe trả lời rằng mệnh đề đĩ là hồn tồn đúng đán, nhưng ơng cũng khơng thể đưa ra một phép chứng mình chặt chẽ của mệnh
đề đĩ được Mặt khác Ole lai dé ra mot mệnh đề mới, về sau gọi là "bài tốn le" : "mới
số chắn, từ bốn trỏ di, đều cĩ thể phơn tích thành một tổng của hai số nguyên tổ", Mệnh đề này ơng cũng khơng chứng minh được
Chú ý rằng, nếu giải được bài ¿ốn Ole
thì rõ ràng từ đĩ suy ra được lời giải của bài
tốn Gơnbác Thật vậy, mọi số lẻ, lớn hơn
năm, đều cĩ thể viết đưới dạng 2n + 1 = 3 + 2Œ ~ 1), trong đĩ 2(n - 1) > 4 Nếu mệnh dé Ole là đúng, thì số chẩn 2w - 1 sẽ phân tích được thành một tổng của hai số nguyên tố, lúc đĩ số lẻ 2n + I sẽ phân tích được thành một tổng của ba số nguyên tố, và ménh dé Gơnbác sẽ đúng với mọi số lẻ từ 7 trở đi Nhung dao lai thì khơng đúng, tức là nếu mệnh dé Gĩnbác là đúng thì từ đĩ khơng thể
suy ra được rằng mệnh đề Ở/e cũng đúng Như vậy, bài tốn Ởie khĩ hơn bài tốn
Gơnbác nhiều ,
Trang 5Gần hai trăm năm sau khi được đặt ra,
bài tốn Gơnbác vẫn chưa tÌm được lời giải, mặc dù nhiều nhà tốn học lối lạc trên thế giới đã đề cập đến Mãi đến năm 1930, nhà tốn học Xơ viết trẻ tuổi L.G Sniarenman,
(1905 - 1938) mới tim ra được con đường
đúng đán để tiến tới lời giải của bài tốn
Gơnbác Ơng đã chứng mính được rằng : đồn
tại nuột hàng số k, sao cho mỗi số tự nhiên
lớn hơn 1 dều cĩ thể uiết dưới dạng một lồng của khơng quá k số nguyên tố, túc là uới mọi số tự nhiên N (N >1)
N=p,+py,t+ +p,
trong đỏ p hoặc là một số nguyên tố, hoặc là bằng khơng
Nếu ta chứng minh được rằng k = 3 thì bài tốn Gơnbác được giải xong Nhờ sự nỗ lực tìm kiếm của nhiều nhà tốn học, số đĩ được xác định là 67, và bây giờ đã hạ xuống 20 Nhưng từ đĩ hạ được xuống số 3 thì đường vẫn cịn dài
Năm 1987 một sự kiện quan trọng đã xây
ra làm chấn động dư luận của giới tốn học trên tồn thể giới Nhà bác học Xơ viết viện si J.M Vinégradép (sinh năm 1891) chứng minh được mệnh đề Gĩnbác với những số lẻ
đủ lớn : mọi số lẻ, kể từ một số dủ lớn nào
đỏ, dều là tổng của ba số nguyên tố
Nĩi cách khác, trong các số tự nhiên, tồn tại một số N, đủ lớn, sao cho sau số đĩ mọi
số lẻ đều là tổng của ba số nguyên tố Vinơgradốp đã chứng mình được định lí
trên đây bằng một đường lối rất phức tạp, địi hỏi vận dụng những cơng cụ rất tỉnh ví
của tốn học hiện đại
Vấn đề đặt ra là : số N,, là bao nhiều ? Nhà tốn học Xơ viết K.G Barơdohin đã
chứng minh rằng
Na eons
trong do e sé co s6 logarit tu nhién, e = 2,7182 Muốn chứng minh được mệnh đề Gơnbác
một cách hồn tồn, cẩn ha số N, xuéng nhiều hơn nữa, rồi thử nghiệm với tất cÀ các
số nhỏ hơn Nhiều nhà tốn học đã thử
nghiệm trực tiếp, và đã đi đến kết luận là
với tất cả các số tự nhiên tới 9.000.000 mệnh
đề Gơnbác là đúng
Phương pháp của Vínơgrađốp chưa đủ để giải bài tốn Ole Cho dén nay bai toan nay vẫn chưa tim được lời giải Bài tốn Gơnbác với các sé chin, ma bản thân Gơnbác khơng để ra, cho đến nay cũng chưa giải
được, mặc dù, từ dinh li Vinégradép suy ra
rằng mỗi số chẫãn đủ lớn là tống của bốn sổ nguyên tố
MIỀN TRONG, MIỀN NGỒI CỦA ĐA GIÁC 1) Bạn đã làm quen với các hình đa giác
từ lớp 5, lớp 6 Nhưng xin hỏi bạn : hình 1
và hình 2 cớ phải là hình đa giác khơng ? Hình 1 108
Chắc các bạn trả lời ngay được rằng hình 1 là hình đa giác, tuy cĩ vẻ "lạ" một chút Càn về hình 2, thì chắc nhiều bạn cịn do dự Để trả lời câu hỏi, bạn phải trở lại định
nghĩa của hÌnh đa giác, tức là xem xét hình 3 cĩ phải là một đường gấp khúc kin khong
Muốn vậy, bạn hãy cho một chú kiến bị từ
một điểm nào đĩ trên hình 2, điểm A chẳng hạn, bị theo các đường nét đã kẻ (theo chiều
mũi tên chẳng hạn) và khĩng bao giờ được
quay lại dường cũ, Bạn sẽ thấy rằng chú kiến sẽ bị qua (ế‡ cd các đường nét da ké
Trang 62) Đối với các hình đa giác quen thuộc,
hoặc đối với hình đa giác như hỉnh 1, bạn cĩ thể trả lời ngay được rằng điểm M là điểm ở ngồi đa giác, cịn điểm P là điểm ở /rong đa giác Nhưng bạn khĩ cớ thể trả lời ngay được câu hỏi : trên hình 2, điểm P là điểm
ở trong hay ở ngồi đa giác ? Để trà lời câu
hỏi này, bạn cĩ thể cho một chú kiến bị từ một điểm rõ rằng là ở ngồi hình đa giác
(như điểm N) để đi đến P Cĩ hai trường
hợp cĩ thể xây ra :
1) Chú kiến tìm được một đường đi đến P ma khơng phải vượt qua "đường biên giới" cạnh của đa giác) Trong trường hợp này, P là một điểm ở ngồi da giác
2) Chú kiến nhất thiết phải vượt qua
dường biên giới một lần mới đến được P
Trong trường hợp này, P là một điểm ở trong đa giác
6 đây ; bạn hãy cho chú kién di tit N theo
mũi tên (hỉnh 2) và bạn sẽ thấy rằng chứ kiến cĩ thể đến được P trong trường hợp thứ
nhất, nghia là P là một điểm ở ngồi đa giác (xem hình 3)
Cách cho kiến bị như trên đây khá phức tạp tuy rằng nĩ cho bạn thấy con đường đi từ ngồi vào đến điểm P (mà khơng vượt qua "biên giới" lần nào) Bạn cĩ thể xác định P-là điểm ở trong hay ở ngồi đa giác một cách đơn giản hơn dựa vào nhận xét sau đây : nếu chú kiến bị từ một điểm ở ngồi da giác mà vượt qua biên giới một lần thì chú đi vào trong đa giác, nếu chú vượt qua
biên giới lần thứ hai thì chứ lại ra ngồi đa
giác, nếu vượt qua biên giới lần thứ ba thì
vào trong đa giác v.v nghĩa là nếu từ một
điểm ở ngồi đa giác mà chú kiến vượt qua
biên giới một số chẵn lần thÌ chú vẫn ở
ngồi đa giác, cịn nếu vượt qua biên giới một số !¿ lần thì chú đã đi vào trong đa giác Nhận xét này giúp bạn xác định được P là
điểm ở ngồi đa giác một cách nhanh chĩng : bạn cho chú kiến đi từ N, theo mũi tên, đi
thẳng "vào trong" và chỉ cần vượt qua biên giới hai lần là chú kiến đến được P
Do đĩ, ta cĩ một cách đơn giản để xác
định một điểm P nào đĩ là ở trong hay ở
ngồi đa giác cho trước : chỉ cần ¿ừ P kẻ một nửa đường thẳng khơng di qua mét dink
nào của du giác ; ta đếm số giao diểm của nửa dường thẳng này uới cĩc cạnh của da
giác : nếu số giao diểm là chdn thi P là
điểm ở ngồi đa giác, nếu số giao điểm là
lẻ thì P là diém 4 trong
3) Bạn đọc tính ý cĩ thể thấy ràng những
điều vừa nĩi trên đây là dựa vào (rực giác
Những dịng in nghiêng ở trên (về cách xác định P ở ngồi hay ở trong đa giác) là một
định lí cần phải chứng mình, T5 khơng nêu
chứng minh đĩ ra ở đây
Hơn thế nữa, ngay cả khái niệm "điểm ở trong, ở ngồi đa giác" cũng phải nĩi chính xác hơn,
Các hình đa giác lồi, các A hình 1 và 2 đều là các hình
đa giác đơn Hình đa giác ợ đơn là hÌnh tạo nên bởi một € đường gấp khúc dơn kín Đường gấp khúc đơn là đường gấp khúc trong đĩ mỗi điểm của nĩ thuộc nhiều nhất là hai cạnh Hình 4 là một đường gấp
khúc khơng đơn, hay là tự cảt (trong đĩ các điểm C, B, A thuộc ba, bốn cạnh) Một đường
gấp khúc tự cắt kín tạo nên một đứ giác
hình sœo (hình 5 chẳng hạn)
Người ta chứng minh được định lí sau đây
(gọi là định lÍ Giooc-dăng) : Mọi hình da giác don chia một phẳng ra làm hai miền :
một miền chúa hồn toờn những dường thằng (gọi là miền ngồi của đa giác), miền
Trang 7
Hình 6
Một đa giác hình sao chia mặt phẳng ra
nhiều miền Dựa vào cách xác định miền
trong và miển ngồi của đa giác đơn (nĩi ở điểm 2), người ta định nghĩa miền trong và
miền ngồi của đa giác hình sao như sau :
Lấy một điểm tùy ý trong miền Từ điểm đĩ, vạch nửa đường thẳng tùy ý, &hĩng di
qua diểm chung của các cạnh khĩc nhau của đa giác ; đếm số giao điểm của nửa đường thẳng với các cạnh của đa giác ; nếu số dé
là số chăn thì điểm thuộc miền ngồi, nếu số đơ là số lẻ thì điểm thuộc miền trong của
đa giác Trong hình 6, ?\ điểm ở ngồi, P, là điểm ở trong đa giác Như vậy, miền trong
của đa giác là miển gạch gạch (Tất nhiên,
phải chứng minh rằng tính chẵn lẻ của số
giao điểm của nửa đường thẳng với các cạnh
của đa giác chỉ phụ thuộc vào điểm đã chọn,
mà khơng phụ thuộc vào nửa đường thẳng ta kẻ từ điểm đĩ Ta khơng nêu chứng minh
đĩ ở đây)
TH.C (sưu tầm)
CÁC MƠ HÌNH KHƠNG GIAN VEC-TỢ TRONG TỐN HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG
Trên báo Tốn học và tuổi trẻ đã giới
thiệu về "cấu trúc đại số" (số 5/1967), "lí
thuyết nhĩm (số 8/1967) và cấu trúc trường qua bài "Ấm hiệu giải trí" (số 2/1964) Bài này sẽ giới thiệu cấu trúc khơng gian vec-tơ, một cấu trúc đĩng vai trị "trung tâm" trong
tốn học hiện đại Một tập hợp V gồm các phần tử x, y, z sẽ gọi là một &hơng gian uec-tơ trên trường số 9 nếu : a) Trong V cớ xác định một phép tốn trong, mà ta gọi là phép cộng, kí hiệu là o, và tập hợp V là một nhĩm đối với phép cộng đĩ, tức là 4 tính chất sau đây được thỏa mãn 1 Phép cộng cĩ tính chất kết hợp, nghĩa là
xo(woz)= Goyoz véi moix, y,z EV;
2 Trong V cĩ phần tử trung hịa e, nghĩa là cĩ e sao cho e ox = xo e = x véi moix € V; 3 Với mọi x € V đều cĩ phần tử đối xứng
x’ € Vsao choxox’=x'ox =e;
4 Phép cộng cĩ tính chất giao hốn, nghĩa làxoy =yox với mọi e, y € V
110
TRẦN THÚC TRÌNH
b) Trong V cĩ xác định một phép tốn
ngồi mà ta gọi là phép nhân một phần tử thuộc Ý với một số thuộc S, (kết quả của phép
nhân đĩ là một phần tử thuộc W) kí hiệu là Phép nhân thỏa mãn 4 tính chất sau đây :
ð Phép nhân phân phối được đối với phép cong trong V, tic AR * (roy =k *xok*y,
trongdd RES; x,y EV ;
6 Phép nhân phân phối được đối với phép
cộng trong 8, tức là ( ø J *x = k *xol*x với k, €8;
7 Phép nhân kết hợp được đối với phép nhân số, tức là ¿ * & * x) = ( * k) *x, với k,LES;xeEv;
8.1 * x =x (1 Ja phfn tu don vj cua S) Tím tính chất vừa liệt kẽ là tám tiên để của cấu trúc khơng gian vec-tơ ; các phẩn tử z, y, Z gọi là các "vec-td" Các bạn nên
chú ý rằng từ "vec-tơ" ở đây cớ nội dung trừu tượng chứ khơng phải chỉ mang nội
Trang 8sách tốn ở trường phổ thơng Bất kì một tập hợp V nào với các phần tử z, y, z , phép tính trong, phép tính ngồi cùng trường số 8 được hiểu một cách cụ thể như thế nào đấy mà thỏa mãn 8 tiên để nơi trên sẽ được
gọi là mơ hình của khơng gian vec-tơ trên
trường số S
Ta hãy xét một số ví dụ lấy trong sách
tốn trường phổ thơng
1) Hãy xem V là tập hợp các số thực đR,
8 là trường số hữu tỉ Q, các phép cộng và
nhân trong V như trong E, các bạn sẽ thấy
rằng với cách hiểu như vậy thì tám tiên để đã nêu đều được nghiệm đúng, tức irường số thực h là khơng gian uec-t0 trên trường
số hữu tỉ Q
Nếu lấy V = S = R, v6i phép cong và phép nhân hiểu như trong R (phép todn
ngồi trở thành phép tốn trong), thì tám
tiên đề đã nêu cũng được nghiệm đúng, đức trường số thục R là khơng gian uec-td trên chính nĩ Trong hai ví dụ này, số thực là "vec-tơ" 2) Hay để ý đến tập hợp P các đa thức bậc hai chứa biến x p; = øx” + bạ + e,, với a, 6, c, ER, Phép cộng các đa thức thuộc P và phép nhân đa thức với số thực được xác định như Sau : P.oP (ax? + bx +e) + x2+b +o) = = NHA tes k*p, =k Gx? +b2 40) = = (ha; x2 + (hb )# + (he, Ù›
Các bạn hãy lần lượt thử nghiệm từng tiên đề một Kết quả là tám tiên để kể trên đều được nghiệm đúng, tức là ¿ớp hợp P các da thúc dạng ax? + bx +c; la mot khong gian vec-to trén trường số R (a,, b,, ¢, G R) 3) Hay xét tap hop H cdc ham s6 vong dang h; = (a, sint + b; cost, với đi, bE R Phép cong va phép nhân được xác định như sau :
ho hị = (aginf + b/cos#) + (asint + bicost) = = (a+ a) sint + (6, + 5) cost ;
k"hị = & (ai sint + b, cosf) =
= (ka,) sint + (kb cost, voi k © R
Dễ dàng thấy rằng đập hợp H các ham số
veng dang a; sint + b,cost là một khơng gian
uec-tơ trên trường số thực R
6 day ham số a; sin ¢ + b.cost 1a "vec~tơ",
4) Tập hợp V cĩc uec-tơ theo nghĩa thơng
thường của vec-tơ (đoạn thẳng định hướng) với phép cộng các vec-tơ và phép nhân vec—tơ với số thực là khơng gian uec-tơ trên trường
s6 thuc R (hoặc trên đường thẳng, hoặc trong mặt phẳng, hoặc trong khơng gian)
ð) Chiều dài, diện tích, thể tích là các đại lượng vơ hướng mà các bạn đã từng gặp trong giáo trình hình học Nơi chung cấu trúc những đại lượng vơ hướng (kể cả chiều dương hoặc âm) là tập hợp L [ o, *, >] gồm những phần tử #,ð,e trong đĩ cĩ xác định phép tốn trong, gọi là phép cộng kí hiệu là ø và phép tốn ngồi, gọi là phép nhân một phần tử thuộc 7, với số thực thuộc
đ, kí hiệu là *, đồng thời cĩ quan bệ lớn hơn, lấy kí hiệu là >, thỏa mãn 5 tinh chat sau đây œ) Trong L cĩ đại lượng ừ sao cho luơn luơn cĩ x*#o=o; 8) Ứng với mỗi £ > ocd anh xa mot-mot fgitax€ RvaaGL,saochoa=x*e; y) Luơn luơn cĩ x*£o y *£= (xoy)* e ð) Luơn luơn cĩ xz** e) = (x *y)* e _E) x, "2 >y *ø tương ứng với x > y
(o,e, aGL;xy ER)
Ảnh xạ ƒ là phép do các đại lượng vơ hướng ; số z gọi là độ đo các đại lượng vơ hướng (x cĩ thể dương, âm hoặc bằng 0)
Từ õ tính chất này cĩ thể suy ra đẩy đủ
8 tính chất của cấu trúc khơng gian vec-tơ
(đề nghị các bạn tự chứng minh) tức là ép hợp L các dại lượng 0ơ hướng là một khơng gian uec-tơ trên trường số thục R
Trong trường phổ thơng hiện nay chúng
ta khơng để ý đến chiều của các đại lượng,
nên lấy |x| làm độ đo hoặc của chiếu dài,
hoặc của diện tích, hoặc của thể tích 6) Nếu lấy tập hợp V gồm các "vec-tơ"
*, ÿ, Z, và các điểm A, BH, €, trong đĩ
các vec-tơ, với phép tốn cộng và phép nhân
với số thực, thỏa mãn 8 tiên để của cấu trúc
khơng gian vec-td, đồng thời thỏa mãn thêm 6 tiên để sau đây nữa thì ta cĩ &hĩng gian Ociit Sáu tiên đề đĩ là :
Với hai vec-tơ x, y bất kì thuộc V cho
tương ứng với một số thực khơng Am, gọi
là tích vơ hướng giữa x và y, kí hiệu là xy
sao cho :
Trang 99 xy = yx véi moixz,y EV;
10 @o yiz = xz +y2 voi moixnyz EV;
ll (ek * x) y = kíxy) v6i moix,y EV; RER;
12 xx 2 0 v6i moix € V; xx = 0 khi va
chi khi x la vec-to "khơng" ;
13 Véi moi diém A va moi vec-to + tồn
tại một điểm 8 duy nhất sao cho AB =# ;
14 Luơn luơn cĩ AB +BC= AC moi điểm A,B,C, eV
Xuất phát từ 14 tiên đế này cĩ thể xây dựng tồn bộ hình học Ớclit hiện đang học ở trường phổ thơng "Thực chất của truyền thống hình học Ởclit là sự kế thừa khái niệm
khơng gian vec-tơ cĩ tích vơ hướng mà Ĩclit đã để lại cho ta",
PHUONG TRINH SAI PHAN
Phương trình sai phân là một loại phương trình cĩ rất nhiều ứng dụng trong khoa học
cơ bản và đặc biệt là trong khoa học thực hành Nĩ là cơng cụ đắc lực để giải các bài
tốn phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng trên máy tính điện tử và giải các phương trình đại số cấp cao, cùng nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực khác nhau Nội dung của bài này là giới thiệu sơ lược về phương
trình sai phân và ứng dụng của nĩ trong lĩnh
vực tốn phổ thơng như đốn nhận quy luật
biểu diễn các đây số, tính tổng các dãy
SỐ v.V
Để cĩ thể giới thiệu phương trình sai
phân, trước hết ta cẩn biết sai phân là gì ?
Thực ra mà nĩi thì cĩ hai loại sai phân : sai
phân hữu hạn và tỈ sai phân Trong bài này
ta dùng khái niệm sai phân hữu hạn và chữ
sai phân trong bài này xin hiểu theo nghĩa
sai phân hữu hạn
Định nghĩa : Giả sử ta cĩ hàm số y = fix) Giả sử rằng các giá trị cia ffx) tại các điểm
#ơ Xa th, xu + Qh x,t nh, (h = const) tương ứng là Yor Ypres ta goi Ay, = x7
— y,— 1 là sai phân cấp 1 của ham f, V, =1,2, ,
nyo My, = Ay, ~ bY, = 9; - Wherry, la
sai phân cấp 2 của hàm ƒ với ¡ = 2,.,n - 1 Tương tự như thế ta định nghĩa sai phân các
cấp cao hơn
Sai phân cĩ một số tính chất cơ bản rất thuận tiện trong việc giải các bài tốn phổ thơng Các tính chất đĩ là : 112 LÊ ĐÌNIE THỊNH 1) Mọi sai phân đều cĩ thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số Thật vậy Ay, = y,- y,_, 3 A’y, = Ay, - Ay, = ¥, — 29, + ¥2 vv tiép theo cĩ thể chứng minh bằng quy nạp
2) Sai phân mọi cấp cĩ tính chất tuyến
tính tức là AF + ø) = ARƒ + Akg (Suy ra
từ 1)
3) Sai phân cấp k của một đa thức bậc ø - bang 0 khi & > n,
~ bằng hằng số khi # = n,
— là đa thức bậc n - bè khi & < n
Tinh chất này chứng minh bằng quy nạp "
4) 5) Ay, =yy~yety; “It Ag ~I py =
1
—
Dựa vào các tính chất đơ ta giải hàng loạt
các bài tốn quen thuộc,
Thí dụ 1 : Cho dãy số 3, 5, 10, viết tiếp
vào dãy số đĩ để hiệu các số kề nhau tăng
lên một số như nhau Giả thiết trong đầu
bài cd nghia là sai phân cấp 2 khơng đổi Bởi
vậy theo tính chất 3) dãy số này là các giá
trị của một đa thức bậc 2 theo đối số là số
Trang 103
Từ đĩ suy rea = 2 ,b =2, c= 8, Vậy những số viết tiếp phải tuân theo quy luật
1
22 + 2% + 3 Chang han cho x = 3, 4, 5, ta sẽ được các số tiếp theo là 18, 29, 43, Thí dụ 2 : Cho dãy số 1, ~ 1, -1, 1, B, 11, 19, 29, 41, 55 Tim quy luật biểu diễn dãy số đĩ Để tìm quy luật biểu diễn ta lập bảng sai phân : y=f 1 -1 -l 1 5 11 19 29 41 55 Ay -2 0 24 6 8 10 12 14 Aty 22222 22 2
Ta thấy sai phân cấp hai khơng đổi, vậy dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai
az? + bx + c, trong đĩ x là số thứ tự của các
s6 trong day s6 Cho x = 0, 1, 2 (đánh số thứ tự từ 0), ta nhận được hệ phương trình c=l œ+b+l1=~l 4a+26+ 1= —1 Ti dé ta cd a = 1, b = ~3 Vậy dãy số đã cho tuân theo quy luat x? - 8x + 1, trong đĩ x là số thứ tự của các số, bát đầu từ 0 Thí dụ 3 : Tính tổng n số hạng của cấp số nhân đọ, 88, đu q1 Tổng n số hạng trên cĩ dạng
ø,(1+g+ +a"Ù), Bởi vậy ta tính tổng
trong ngoặc đơn là đủ Ta co 1 ko gk gk a gk fy 1 ừ đĩ Agk = gk - gq q ạ ạ): Từ để = AF 4 gk l1-lgq q—1 m1 n~1 Boi vay 3 gk = W Agt &=l k=] ep =F @ y= = £4 (theo 4) q~1 Bởi vậy m1 n-1 »ự = Xư+i= =0 k= 8 TCH Vậy tổng n số hạng của cấp số nhân đã cho là q@ 1 S,=%, TT: A " Thí dụ 4: Tính Sx , > x? xed x=] Ta cd Ax? = x? ~ (x - 1)? = 2x - 1 Boi vay n a D @x-1) = Fa? =n? - 02 = v2 x=l x=1 (theo 4) " Rn " » z~z- X1 = 2h x-n=n? x=1 x=l x= Ta dé "- 15 De age x=1 (Tổng đ số nguyên đầu tiên) n Để tính tổng > x? ta xuất phát từ x=1 Ax3 = x3 - @ - 13 = 8x? - 8x +] Do dé " " Ð (2 ~8x+D) = 3 Ar) = n x=1 x=] " > @? - 8x + 1) = x=l n " " =85x) -85x +1 = x=l xel ~=1 ~ n(n + 1) =o YP 8 tna Từ đĩ S c¿_ nứt + 1)(2n + 1) ae 6 x=1
(Tổng bình phương nø số nguyên đầu tiên) Bài tập : Theo mẫu của thí dụ 4, hãy tính
Trang 113 xi k= 3,4, 6 Thi du 5: Tinh téng sinx + sin2x + + + sinnx Ta cĩ A cos ( att s}* = = Sam (1+ TW segfg— Ư\» - = cos ( a )* cos( 3 )* = = ~ 2sindzsin 5 Tu dé sinkx = - theo 4) ta cĩ : n >, sinkx =- ôm(5+1)z= ơ Qsine C1 2 1 1 x =-— [cos(n + 5 )x — cosy | = 2sing 2 —2sin- xeinD + =- 2 = 2sing atl n _ Sin 3 +sin2 + ~ sing m
Bài tập : Tinh téng coax + cos2x + + cognx
“Trên đây ta đã nghiên cứu các tính chất của sai phân và nhân tiện áp dụng chúng để
giải một số bài tốn quen thuộc Bây giờ ta
chuyển sang làm quen với phương trÌnh sai phân Vậy thì phương trình sai phân là gì ? Phương trình sai phân là một hệ thức giữa
sai phân các cấp :
Fy, Ay, d2y, , Sky, ) = 0 qa) É xem như sai phân cấp 0)
Vì sai phân các cấp đều cơ thể biểu diễn
theo các giá trị của hàm số (tính chất 1) nên (1) tương đương với
Wari terri TF GY, | +O, =F (2) 114
Nếu các hệ số #¿„ ữ, , là các hàng số
thì (2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n
Nếu f = 0 thì ta gọi (2) là phương trình sai phân thuần nhất Nếu cả G,, @, , a, 1a
hằng số và ƒ = 0 thi ta goi (2) là phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp n
Để giải (2) ta cần cho trước n giá trị ban
đầu y„ Ÿp°› Yạ ¡ rổi theo cơng thức truy
tốn ta tính tất cả các giá trị Ip Vp pe BGI vậy (2) gọi là phuong trinh sai phan c&p n Để tÌm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp nø ta dựa vào các định lÍ sau : Định l1: Nếu y,, -s3„ đÀ nghiệm của phương \ trình sai phân tuyến tính thuần nhất, 9% cũng là 3+: Vier Vita nghiệm của phương trình đơ thi
ytưy, % + lap +“ Jian + Yan cing là nghiệm của phương trình thuần nhất
Chúng mình : Do Iria pers Vian và % Ty Span là nghiệm nên ta cĩ :
Wirnt tay; = 0
Suy” đc tay, = 0
"- -+4,6, + 6, ty) =0
Từ đĩ suy ra y, +H Yp - st Yan tsp là nghiệm của phương trình
Định lí 2 : Nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất cớ dạng vị = Si + cá + cẤi trong dé c,,¢,, cịn ¡, Ages Ân là ø nghiệm phân biệt của phương trình afta, ATi + › c„ là các hằng số tùy ý, =0 @) Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của (2) (Ta khơng xét trường hợp
Trang 12thiệu ở dưới ta chi dùng trường hợp nghiệm
thực) Nếu (3) cĩ nghiệm 4¡ bội s chẳng hạn thì = i i i $ — lại Y= ey Ay Heya + e324) ++ og ‘a+ Se ey + Gd, Chứng minh : Thay 3, vào phương trỉnh (2) và chú ý (3)
Định lí 3 : Nếu y, là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất
thì nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất cĩ dạng
y= ey, + ¥
Chúng mình Thay y, vào (2) và chú ý VY là nghiệm riêng cịn 7, là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Thí dụ 6 : TÌm cơng thức số hạng tổng
quát a„ của cấp số nhân với cơng bội là q Theo dinh nghia o,=a,, +9 Data, =y, ta cĩ phương trình sai phân Ya ~ Way = 0 Phương trình đặc trưng của nĩ cĩ dang
4-q = 04 = q Vay nghiém téng quat
của phương trình sai phân cĩ dạng Yq = eg" Do y, = sa nén cq = ø, Từ đĩ e = #;/q và Yq = 2,9°"' Vay số hạng tổng quát của cấp
số nhân cơng bội q cĩ dạng đa =ai gì
Thí dụ 7 : Tìm cơng thức của số hạng tổng quát #„ của cấp số cộng với cơng sai ở,
Theo định nghia a, = a, +d Goia, =y,
ta cĩ phương trình sai phân Yn = Vy +a Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân thuần nhất cĩ dạng 4 - 1 = O hay
4=1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y„= c Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng Y„ = km Thay vào phương trình
sai phân ta cĩ
kn = k(n — 1) + đ, suy ra š = d Bởi vậy nghiệm tổng quát của phương trình sai phân khơng thuần nhất l Ơ, =Â+dn Do yy =a, néne+d = a,> ¢ =a, - d Vay 36 hang téng quát của cấp số cộng là Gn “7a =
=a,-d+dn = ai tú - l}d,
Xem vậy thì cấp số cộng và cấp số nhân chỉ là trường hợp đạc biệt của phương trình
sai phân mà thơi
Thí dụ 8 : Trong THTT số 9 - 10 nam 1973
cổ bài tốn như sau : Biết rằng các số đầu tiên của dãy sé wu, Byki 1a uy = 0, u, = Ì và với n > Pthiu = Guy, + Buy» 2, 8 là các số thực tùy ý và Ø > Ơ Tìm dang
tổng quát của u,
_Xem 4, = au, ¡ +Ổa,_; là phương trình
sai phân
Phương trình đặc trưng tương ứng cĩ
dạng
32a T8 = 0> = (a+ {a?+ 483/0 Do ổ > 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt, Vậy
4, =e ((@ + Yar +4B)2)" +0,((a~ Ya? + 48/2)",
Khin = 0 van = 1 taco ce, te,=0 (a+ Va? 48/2)c,+(@ - «7+ 48)/2)c,= 1 Từ đĩ ta cĩ =U\{aF+ 48) Vậy wal 1 {a7 + 48) x (Ca + {a2+ 48)/2)"~ (-a+ 4B)/ 2)" Thí dụ 9 : Trong số báo THTT 11 - 12 năm 1973 cĩ bài tốn : Tìm dãy số biết 1 Wut Suns u,= 0,4, = 1,4, = 3, Phương trình đặc trưng tương ứng cĩ dạng 43 ~ TA? + 1-5 =0 hay @- 1? @ - 5) = 0 Trdo a, = 1 boi 2 va A, = 5 Boi vay u, = ¢, + con +c, 5" Khi c, te, =0 ce, +e, + Be, =1 ct 2e,+ 25e, =3 = c, = -1/16, c, 3/4 1/16 Vậy ư„ - (5° - 19/16 + 3n/4
Trên đây là một số ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân vào các bài tốn
chúng ta quen biết Tất nhiên ta cùng cĩ thể
đùng để giải nhiều bài tốn quen thuộc khác
và cũng cố thể đi xa hơn nữa Để kết thúc
mời các bạn giải thử các bài tốn sau đây
bằng phương pháp sai phân :
n= 0,1, 2, ta cd
c=
Trang 131 Tìm dãy số uy bist uu, = 4u,_) - Su, +2 va w= u, = 0, Mạ =1, 2 2 Viết biểu thức các đa thức Trébusep Tụ {) với n = 4, 5, 6 biết rằng TW) = 21.) — Tụ y6), TQ fx) = 1, Tia) = x 3 Cơng thức sau day gọi là cơng thức lấy tổng từng phần : n > vdv = u(nyu(n) — uoyu(o) x=1 " - > 0(x—T)Au(%) „ x=1 Ap dung cong thức đĩ : a) Tính > xa* =1 b) Chứng mình rằng ” »(/ãin = x=1 2sinx — 2~"| 2sin(w + 1)x — sinnx| .¬- a n Í 1 + 8sin2(x/2) PHƯƠNG TRÌNH PELL
1 Bài tốn mở dầu
Nam 1974, trong kì thi tuyển vào lớp bổi
dưỡng của Bộ Giáo dục tổ chức để chuẩn bị thi tốn quốc tế lần thứ 16 cớ bài tốn sau đây :
Tìm tất cả các nghiệm nguyên đương
(x, y) của phương trình
x? — dy? = 1 a)
thỏa mãn điều biện 80 < x < 120,
Do điều kiện hạn chế : 80 < x < 120, ta cĩ thể mường tượng một cách giải thơ thiển
như sau Tinh 2? véi x = 81, 82, 83 119,
sau đĩ kiểm nghiệm trong 39 số chính phương đã tính được, xem số nào cĩ dang
1 + 2yŸ (y nguyên đương), th tìm ra lời giải
Cách giải này địi hỏi cả thây 39 phép thử, hoặc nếu tỉnh ý hơn, cĩ thể rút xuống 20 phép thử (cho các số x = 8l, 88, 117, 119) Như vậy cách giải ấy hồn tồn cĩ thể thực hiện được, miễn là cĩ thời gian rộng rãi, nhất là cố trong tay một bảng bình phương của các số từ 1 đến 120
Nhưng trong phịng thi, đâu cĩ điều kiện
thuận lợi ấy Thành thử đã cĩ nhiều học sinh
phải bỏ bài tốn trên
Sau đây là một cách giải khá gọn Trước hết, ta hãy để ý rằng nếu cặp số nguyên dương (, ÿ) là một nghiệm của phương 116 PHAN ĐỨC CHÍNH trinh (1), thi x phai là một số 2é và (1) tương đương với (@ - l@ + 1 = 2? (2) Xét các số x — 1 và x + 1, Đây là hai số chẵn liên tiếp vì vậy ước chung lớn nhất của chúng bằng 2, nếu xz — 1 > 0
Ta hay xét chang han x — 1, với giả thiết
#— 1> 0 Goi p là một ước nguyên tố lẻ
của z — 1, thì từ (2) suy ra rằng p là một
ước của y2, mà p nguyên tố, vậy p là một ước của y, do dé y* chia hết cho p2 Lại từ (2) suy ra rằng # — l)@ + 1) phải chia hết
cho Ð?, nhưng p đã là ước của x — 1 rồi nên
p khơng thể là ước của x + 1, thành thử
+ — 1 phải chia hét cho p?
DĨ nhiên lập luận trên cũng áp dụng được chox + 1
Tu dé ta thay rang néu (x, y) la một nghiệm nguyên dương của phương trình (1), hay (2), và nếu z > 1, thÌxz — lvàzx + 1 là hai số chẵn liên tiếp, cĩ cùng tính chất
sau : nếu một số ấy chia hết cho một số
nguyên tố lẻ p, thì nĩ phải chia hết cho p2 Trong các số chãn từ 80 đến 120, chỉ cĩ
3 số chẵn cĩ tính chất đã nêu : 98, 100, 108, Số 90 khơng cĩ tính chất ấy vì 90 chia hết
Trang 142 số chẵn liên tiếp với tính chất đã kể ; vì vậy chỉ od một giá trị x = 99 (để cĩ x - I = 98, +z+ 1= 100) may ra mới cĩ thể chấp nhận được Thử lại ta thấy rằng với x = 99 ta cĩ ( - 1)@ + 1) = 98.100 = 2(70)2 Thanh thử bài tốn đã cho cĩ trột nghiệm đuy nhất là x = 99, y = 70
Cách giải trên là một ví dụ minh họa cho
nhiều bài tốn (khơng những chỉ trong tốn
học mà cịn trong nhiều lĩnh vực khác) giải được bằng phép thử : cần biết sử dụng suy luận để đưa những phép thử phức tạp về những phép thử đơn giản hơn, cũng như để giảm bớt một cách đáng kể số các phép thử cần thiết Đến đây bạn đọc cớ thể đồng tỉnh thống nhất với chúng tơi rằng cĩ thể áp dụng cách giải ở trên để giải bài tốn :
(A) Tim tét cả các nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình (1) thỏa mơn diều
kiện 1 < x < 1.000.000.000 Nhưng thật ra
ở đây khả năng thực hiện chỉ là về mặt
nguyên tác, bởi vỉ số phép thử cần thiết vẫn nhiều quá ! Cũng như đối với trường hợp bài tốn : tÌm tất cả các số nguyên tố
P < 1.000.000.000 ! Và mặc dù cĩ máy tính
điện tử, các nhà tốn học vẫn khơng thích
giải bàng phép thử bài tốn (A), cùng như
bài tốn tÌm các số nguyên tố
Nhà tốn học Vander Corput đà cĩ lần nơi đùa rằng : khi khơng giải được một bài tốn dễ và cụ thể, thì người làm tốn lai hi vọng tìm được lời giải cho một bài tốn khĩ
hơn và trừu tượng hơn !
Ít ra câu nĩi đĩ cĩ thể ứng dụng vào trường hợp bài tốn (A) đang xét Vậy thì ta
hãy để cập đến bài tốn khĩ hơn : Tìm ¿ốt
cả cĩc nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình (
Nhưng để giải được bài tốn khĩ này, ta
cần phải lập luận theo kiểu khác 2 Phuong trinh Pell
Phương trình (1) là một trường hợp riêng của phương trình số học tổng quát
z2 - Dy? =1 (3)
trong đĩ D là một số nguyên dương cho trước Giải phương trình số học (3) là tìm tất cẢ các cặp số nguyên (+, y) thỏa mãn phương trình ấy VÌ x và y cĩ mặt ở vế trái
của (3) dưới dạng bình phương, nên ta cĩ thể hạn chế ở việc tìm các nghiệm (x, y) nguyên và khơng âm
Hiển nhiên rằng x = I, y = 0 là một
nghiệm, gọi là nghiệm tẩm thường của
phương trình (3), Vì vậy, ta chỉ cịn phải tim
tất cả các nghiệm khơng tầm thường (tức là với *, y nguyên dương) của phương trình ấy Nếu trong phương trình (3) Ð là một số
chính phương Ð = &? với nguyên dương, thì (3) chỉ cĩ nghiệm tầm thường Quả vậy
khi đĩ phương trình (3) cĩ dạng
x? — (hy? = 1
mà hiệu của hai số chính phương chỉ cĩ thể
bằng 1 khi hai số chính phương ấy là 1 và 0, bởi vậy ta cĩ x? = 1, (ky? = 0 x=ly=0 Như vậy ta cĩ thể kết luận rằng điều kiện cần đã phương trình số học (3) cĩ nghiệm khơng tầm thường, là D khơng phải là một số chính phương
Phương trình số học (3) với D khơng phải
là một số chính phương, được gọi là phương trinh Pell
Người ta chứng minh rằng phương trình Pell (3) tới D khơng phải là một số chính phương) luơn luơn cĩ nghiệm khơng tầm thường Cĩ nhiều cách chứng minh kết quả này, một trong các cách ấy là sử dụng H
thuyết liên phân số cĩ lần đã được trình bày trên Báo Tốn học và Tuổi trẻ") Vì vậy
trong khuơn khổ bài báo này, đề nghị với
bạn đọc chấp nhận sự tồn tại của ít nhất một nghiệm khơng tầm thường của phương
trình Pell (3) với D khơng phải là một số
chính phương
Dựa trên sự tổn tại ấy, bằng những lí
luận hồn tồn sơ cấp, ta cĩ thể xác định
được cấu trúc của tất cả các nghiệm của phương trình Pell (3), ứng với một số Ð cố định (D nguyên đương và khơng phải là số chính phương)
Để kết thúc đoạn này và cũng để các bạn
đọc yên tâm chấp nhận sự tồn tại của
nghiệm khơng tầm thường của phương trình
(*) Bài "Liên phân số" của Lại Dức Thịnh và Nguyễn
Tiển Tài, TH va TY s6 45, thang 11 - 12 năm 1968
Trang 15Pell (3) chúng tơi xin chi ra một nghiệm
khơng tầm thường của (3) ứng với các giá trị nhỏ của D (cụ thể là D < 12) Bảng 1 | D Phuong trinh x x 2 x - weal 3 2 3 x- 3y) =Ị 2 1 5 x ~ Sy? =1 9 4 | 6 x - by = 1 5 2 7 x?- aed 4 3 fog xÌ~ 8y? =Ị 3 1 10 x= loy? = 1 19 6 ret e- yea 10 3 , 2 x?-12~1 7 2
Đây là các nghiệm nhớt nhỏ (theo nghĩa Sẽ nêu trong hệ quả 2 mệnh đề 3, mục 3)
của phương trình Pell tương ứng Việc tìm
các nghiệm này, với các giá trị nhỏ của D khơng cĩ gì khĩ khăn : nếu Œ, ?) là một
nghiệm nguyên dương của phương trình (3), thì ta cĩ
1+ Dy = x2
nén ta od thé thir dan véi céc gid triy = 1, 2,
3 Cấu trúc của các nghiệm
Giả thiết rằng (x, y) là một nghiệm của phương trình Pell (3), tức là ta cớ 1 =z? - DĐ? = œ + yÐ)& - „\34) Vì D khơng phải là số chính phương, nên YD la mot số vơ tỉ, do đĩ số a=xt+ WD
là một số vơ tỈ Goi a’ 1a 86 v6 ti lién hop (toan phương) của ø, tức là ø = x — y¥D, thi theo (49), ta cĩ
ad = 1
Ngược lại, giả thử rằng œ là một số vơ tỉ
cĩ dạng a =z + yÝÐ với x, y nguyên dương va sao cho aa’ = 1, thÌ rõ ràng (z, y) là một
nghiệm nguyên đương của phương trình (3)
Nhờ sự tương ứng này, ta thấy rằng thay cho việc tìm tất cả các nghiệm nguyên dương
(x, y) cha phương trình (3) ta chỉ việc tim
tất cả các phần tử của tập hợp
P= {a =x + yD, voi x nguyén dugng
va sao cho aa’ = 1} 118 Cần nhớ lại ta đã chấp nhận rằng P cơ Ít nhất một phần tử, tức la P khơng rỗng Mệnh dé 1, Gi thie =x + WDEPwf=u + WD € P Thé thi a = 8 khi va chi khiz = uv Chúng mình Vì z2 — Dy? = 1 =u? ¬ Dư? nên ta cố x2 ~ u? = DỢ? — uÐ () Néux = u, thì từ (6) suy ra yŸ = 02, hay y =u Vivaya =x+ WD =u + WD = 6 Ngược lại, nếu œ = Ø, tức là nếu x + yVÐ =u + WD với VÕ vơ tỈ và x, y, u, ø nguyên dương, thì ø'= #!, vậy x = se ta)ạ=0 =8 +) <« Mệnh dé 2 Gia st a =x + WDE P va B =u + WD & P Thé thi af 6 P Ching minh Ta cĩ 48 = œ + y(Ð)@& + uÝÐ) =
~ (xu + Dyu)+(xo + yu)jÐ
với xu + Dyu và xu + yu nguyên dương Đồng thời
(ef) = (xu + Dyv) — (av + yuWD = @ - „(D3 - wD) = a's’, vi vay
(aB) (aB) = af a’B’ = (aa’) 86’) = 1 Diéu do chitng té ring af € P
Hé qua 1 Tập hợp P cĩ vơ số phần tử, nĩi cách khác, phương trình Pell (3) cĩ vơ số nghiệm nguyên đương,
Trang 16Chứng mình {a) = (b) Từ (5) suy ra rằng nếu z < x thì y < 0, do đĩ ø = a+ WD < ut wD =p (b) = (c) Giả thử ø < Ø Thế thì vì aa’ = 1, nên y = Bla = Ba’ = (u + WD)@ — WD) = (ux — vyD) + (ux — uy ND, v6i ux — 0yD và ux — uy là những số nguyên Hơn nữa, rõ ràng u > 0D vax > yD Vi véy ux > vyD, hay ux — uyD là một Số nguyên dương Mat khác y= (ux — uyD) — (ux ~ uyVD = (u — oYD) + WD) = f'a’, bởi vậy vy = Ba’ Ba = (aa’) Bp’) = 1
Vig > a, nény > 1, ti dé suy ray’ < 1 Néu ux - uy < 0, thi từ các biểu thức của ể và 7, ta suy ray < y’, điều này vơ lí Thành thử vx — uy là một số nguyên dương, và y € P {c) = (a) Giả thử B = ay, voi y=p + WD eP Thế thi u + WD = (x + y[P)(p + 4Ð) = = @p + Dyq) + (xq + ypND, tit dé suy ra u = xp + Dyq, vay u > x Hệ quả 2 Tap hgp P co s6 nhé nhất
Chứng mình Do sự tương đương giữa (a) và
() đã nêu lên trong mệnh đề 3, để so sánh hai
sốø =x + yjÐ €PvàØ=u + u(Ð eP, ta chỉ cần so sánh các số nguyên đương x va
mà ta gọi là "phần đầu" của các số ấy Xem các phần đầu của tất cà các số thuộc P : Ta được một tập hợp những số nguyên dương Tập hợp này cĩ số nhỏ nhất *, Khi đĩ số
a, =a, + ¥,VD & P tuong ting với x¡, là số
nhỏ nhất của P
Khi do ta cing cd thé noi rang (x, yp la nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương
trình Pell (3)
Mệnh đề 4 Mọi số œ € P đều là một lũy
thừa nào đĩ của số nhỏ nhất a, EP
Ching minh Via, > 1 nên day 2 q3
đi, đị, đị, a eh, "
tăng vơ hạn Bởi vậy, nếu ø là một số tùy ý của P, thÌ tổn tại một số nguyên dương n sao cho
dị Sa < aprt
Nếu a† < œ < aj * Ì, thì theo mệnh đề 3,
ai? € P, nhưng ailai < ai, điều này trái với giả thiết œ, là số nhỏ nhất của P
Vi vay ta phai cé a = ai
Mệnh đề 4 cho ta thấy cấu trúc của các
nghiệm của phương trình Pell (3) Quả vậy, gọi Œị, yị) là các nghiệm dương nhỏ nhất
của phương trình ấy Th cĩ thể sắp xếp tất
Trang 17KHAI NIEM TRONG TAM
VA UNG DUNG TRONG HiNH HOC
Chúng ta đã biết cách chứng minh hệ
thức Ole : d? = R? — 2Rr, trong dé R, la bán kính các đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp va d = Ớï là khoảng cách giữa các tâm O va Ï của các đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp
một tam giác bằng khái niệm phương tích
của một điểm đối với một đường trịn Trong
bài này sẽ đưa ra một cách chứng mỉnh khác khá ngắn gọn, đồng thời nêu lên một số ứng dụng khác quan trọng bàng cách sử dụng khái niệm trọng tâm của một hệ chất điểm
Cho một hệ m chất điểm Ap 1 A, Voi các khối lượng tương ứng là ay
O duge xac dinh bdi :
=> —
= a,MA, + + tu MA
MO = a,ta,+ +a, œ)
-› 8 Điểm
trong đĩ 4 là một điểm tùy ý được gọi là
trọng tâm của hệ chất điểm này Hệ thức (1) cĩ thể viết gọn là : m MồỒ = Ÿ a/MA, với i=l a, =afa,+ a, + + a) (2) m Với cách đặt như vậy, ta cĩ > a = 13) i=l Từ (1) lấy M = O ta cĩ a0A, + .+0,0A, = 0° (4) Ngược lại với M tùy ý, từ (4) ta cĩ — = —>, — = a,(OM + MA,)+ +4,(OM+ MA) = 0 — —> (a, + + @,)OM + aMA, + + — = + 0,MA,, = 0
Vậy (1) và (4) tương đương với nhau lõ ràng định nghĩa trọng tâm như trên là duy nhất Thực vậy giả sử cịn cĩ trọng
tâm O' # O nữa Từ (1), lấy M = Ĩ' ta cĩ : cà Ø0 = 3 a/OAjJ 5) a, Về trái hệ thức này ¿ml TA VAN TY — > 2 > khéc 0 cdn vế phải bằng 0 do) øØƠA = 0 fst
vi theo (4) mà Ở là trọng tâm Vậy vơ lí
Tính chất sau đây cho ta cách thực hành
xác định trọng tâm của một hệ chất điểm
bất kì
Gọi 5, là trọng tâm của mm chất điểm Ai, A„ với khối lượng tương ứng a, a, Goi 0, là trong tam cia n chất điểm
B, B,, v6i các khổi lượng tương ứng b,, 6