Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-5)
Trang 1CONG THUC VAN NANG Trong tốn học cũng như trong các bộ
mơn khoa học khác, việc hệ thống hĩa kiến thức nới chung và việc tìm mối liên hệ giữa các vấn đề nới riêng rất cẩn thiết và vơ cùng quan trọng, bởi vì cớ làm như vậy thì chúng ta mới thấy rõ được tồn bộ vấn để và nắm chắc được kiến thức Vì vậy, mỗi khi học xong
một bài nào, một chương nào, các bạn hãy cố
gắng hệ thống nơ lại để tìm mối liên hệ giữa các vấn đề với nhau, nêu lên những điểm chủ yếu nhất, cơ bản nhất và bao quát nhất
Vừa qua, bạn Nguyễn Văn Mi, học sinh trường cấp 3 Phù Cừ (Hưng Yên) dựa vào cách tính của nhân dân ta đã tÌm ra cơng thức tính thể tích của một khối đá hoặc cát Cơng thức này liên quan tới một cơng thức mang tên là cơng thúc uạn năng vì nĩ là cơng thức tổng quát nhất để tính thể tích và diện tích của tất cả các hình quen thuộc đã học ở phổ thơng
* Ok
Các bạn đã thấy muốn tính thể tích của
một khối đá hoặc cát, người ta phải xếp khối
đá hoặc cát đĩ thành một đống gần giống hình chĩp cụt *) cĩ các đáy là các hình chữ nhật, các mặt bên là các hình thang cân (xem hình 1)
Trước hết, bạn Mi đã căn cứ vào cơng thức tính thể tich cla mét hinh dang tru léch (**) cĩ đáy tam giác, đã được chứng minh là : tata” Ves (FS zs) Hình 1 trong đĩ S là thiết điện thẳng va a, a’, a” là 3 cạnh của hình lăng trụ lệch 240 NGO HAN Sau đĩ, bạn Mi chia khối đá hoặc cát phải do thành 2 hình lăng trụ lộch là hình AAD'BB'C' và hình ADD'BCC' Ấp dụng cơng thức (l) cho hình AAD'BB'C', ta được : atat+a’ zs) Vì diện tích thiết dign thang S, = 30% v,=® ( nên : 1, V, = go'h (a + 20’) Đối với hình AD2D'BCC', ta cĩ : atata’ —8—) Vì diện tích thiết điện thang S, = Soh, V, = 5; ( nên : 1
V, = Goh (2a +a’)
Vay thể tích của khối đá hoặc cát đĩ là :
h > 1) tạ
V=V,+ Vy = G(2ab+ ab’ a'b+ 2a’b") (2)
Ta cĩ thể biến đổi cơng thức (2) thành :
h +a’, ,b+b" „ở
v~a[s+4(“E”) (*g)+ em]
Nhận xét các thành phần trong đấu mĩc, ta thấy :
aồ là diện tích đáy trên của khối đá ø'b' la điện tích đáy đưới của khối đá
(55°) (57) là diện tích của thiết
diện giữa cĩ các cạnh là các đường trung bình của các mặt hình thang
Vì vậy, nếu gọi B), B„, B; lần lượt là diện tích của đáy trên, thiết diện giữa, đáy dưới
(#) Sé di ndi gần giống hình chĩp cạt mà khơng phải là
hình chĩp cut vi cdc canh AA’, BB’, CC', DD’ kéo dài cĩ thể
khơng gặp nhau tại cing 1 diém
Trang 2và h là chiếu cao của khối đá hoặc cát thì thể tích của khối đơ là :
h
V= 5B, + 4B, +B,) (3) Đĩ là cơng thức uạn năng, bởi vì cơng thức (3) khơng những biểu thị thể tích của
khối đá hoặc cát nĩi trên mà nớ cịn dùng
để tính thể tích của bất kÌ hình nào, Các bạn hãy kiểm nghiệm xem ! Ta cĩ thể biến đổi cơng thức (3) trở về dạng các
cơng thức quen thuộc :
- Đối với hình lãng trụ, hình hộp, hình trụ, vì điện tích đáy trên, đáy dưới và thiết điện giữa đều bằng diện tích đáy B, nên ta
co:
h
Y=gŒ+4B + B) = Bh
- Đối với hình chớp, vÌ khoảng cách từ đỉnh đến thiết diện giữa bằng ; chiéu cao nên diện tích thiết điện giữa bằng 4 đáy dưới
B, ta cĩ :
h B Bh
Vag (0+41+B) =>
~ Déi véi hinh non, vi ban kinh cha thiét điện giữa bàng 3 bán kính của đáy dưới, nên ; A ri2 arth =x[0+ 6 [° + () sì +? an ] == 8 ~ Đối với hình chớp cụt, các bạn tính sẽ thấy rằng diện tích của thiết diện giữa B.,BE.VWBP : BRaqgtgt ?— Do đĩ ta cĩ : h BB VBR 4 Va g[Bta (gt ata) +B] = (B+ B + VBE’)
- Đối với hình nớn cụt, vì bán kính của thiết diện giữa bằng trung bình cộng của 2 bán kính của đáy trên và đáy dưới, nên : Vad [att ae (T7) 2t] = ae Œ2+r2+rr) ~ Đối với hình cầu, vi chiều cao bằng 2z, nên ta cĩ : 46-TCTH V= (0% 402 + 0) = 8m,
~ Đối với khối chỏm cẩu, các bạn tính sẽ thấy diện tích của thiết diện giữa 2 h B,=x (rh - +) và diện tích của B, =x (2rh ~ h?) Do đĩ : đáy — dưới vV=g[0+4z (r= wt 3) + x(2rh — 12] = (=8)
— Đối với khối đới cầu, nếu ta coi thể tích của nĩ là hiệu của 2 khối chỏm cầu tương ứng cĩ chiều cao là k; và h (xem hình 2) thÌ chiều cao của đới cầu # = hạ — hạ, diện
tích đáy trên Bị, =z (2h, — h?), điện tích đáy dưới B; = x (2rh„ ~ h?) và diện tích thiết điện giữa tị b_ ha 1 2 4 4 2 1 = a(hy— hy) [r®+ hy) a(h†+ huh„+hậ)] ; hy > Ay =[s#(r=#)]~[*#(r=3)] Các biểu thức
trong hai đấu mĩc của cơng thức trên chính là các thể tích của 2 chỏm cầu lập nên khối đối cầu đĩ Cơng thức van năng cịn được dùng để tính diện tích của các hình phẳng, nếu trong cơng thức (3)
Trang 3
- Đối với hình bình hành, hÌnh chữ nhật,
nếu gọi các đáy trên, đáy dưới và thiết diện giữa là ø, đường cao là b thì : =Š(œ +4 +a) = nở - Đối với hình tam giác, ta cĩ : Vag (044540) = - Đối với hình thang thì : yak (a+ 42s 45) on (25%)
- Đối với hình quạt, nếu coi là một tam giác cong, cĩ gĩc ở đỉnh là z và đường cao bằng r (xem hình 3a) thì cạnh giữa ry _@ iB, = Qnr—2e By = 2x (z) seo và đáy duéi B, = 2ar 55 Do đĩ : =" ¬ " V=g (0+ Am 355 + 2 369) a
- Đối với hình trịn, nếu coi nĩ là một hình quạt đặc biệt khi gĩc œ = 3609, tức là 2 cạnh của hình quạt trùng nhau (xem hình
3ð) thì :
V= (03 4 + nr) = ar?
- Đối với hình vành khăn, nếu coi nĩ là
một hình thang cong cĩ chiếu cao
h=r—r và 2 cạnh bên của hình thang trùng nhau thÌ day trén B, = 2zr, đầy dưới rt+r 5 ) B,=2ar và cạnh giữa B,= 2z ( (xem hình 3c) Do đĩ : v= ear + dar tr) + Bar] =x(?— r?)
Khơng những đối với các hình phẳng mà cơng thúc van nang con dung cho ca cdc ⁄ ` r ¿ N , \ \ \ t ' 1 8 ‘, 8 r 8 8 Hình 3a Hình 3b 242
hinh trdn xoay trong khơng gian nữa, nếu ta coi V là diện tích xung quanh của hÌnh trịn xoay, A la chiều cao và B,B„B; là các vịng”) cĩ bán kính vuơng gĩc với đường sinh và kẻ từ các đầu mút hoặc điểm giữa của đường sinh đến trục quay
— Đối với hình trụ, vÌ các bán kính của 3 vịng đều bằng bán kính đáy hình trụ nên ta cĩ: Hình $c h ˆ§ (2xr + 4.2nr + 2nr) = 2nrh - Đối với hình nĩn, nếu bán kính của vịng ở giữa (bán kính kẻ từ điểm giữa của đường sinh) bằng 7 thì bán kính của vịng ở đáy dưới sẽ là 2/ (xem hình 4a) Do đĩ :
h
=g (0+ 4.21 + 2x.21) = 2nlh
¬ Đối với hình nớn cụt, nếu bán kính của Đồng ờ giữa bằng / và bán kính của uịng ở đáy trên là x thì bán kính của uịng ở đáy đưới là 27 - x (hình 46) Th cĩ : h = g 2n + 4.2m + 2m (Ì — x)] = 2nlh Hình 4a Hình 4b
— Đối với hình cầu, vì chiều cao bằng 2r và các bán kính của 3 uịng đều bằng r (hỉnh 5a) nén :
V=- (đa + 4.2ar + Qnr) = dor?
— Đối với chỏm cầu, vì các bán kính của ba uịng đều bằng r (hỉnh ðb) nên :
h
Ve mm + 4.2rr + 2nr) = 2nrh » Các vịng này khác với các vịng trịn đáy và vịng tron giữa của các hình trịn xoay, nếu đường sinh khơng song song
Trang 4— Déi véi đới cầu cing thé (hinh 5c) tacd: = & eur + 4.2„r + 2xr) = 2xrh Hink Sa Hình Sb
That là tài tình và thú vị biết bao : Cơng thức (3) quả nhiên là cơng thức uạn năng
Nhưng các bạn đã thấy : việc tÌm ra cơng thúc van năng khơng phải là một việc dễ dàng, tự nhiên mà cĩ, mà cơng thức đĩ được đề ra từ một trường hợp cụ thể (tính thể
tích của khối đá hoặc cát) rồi nĩ được kiểm
nghiệm qua tất cả các trường hợp khác (điện tích và thể tích các hình)
Trong khi kiểm nghiệm, nhiều khi ta phải dùng đến phép biện chứng, nghĩa là đứng trên quan điểm động, để giải quyết (ví dụ coi hình quạt, hình trịn là các tam giác cong, coi hình vành khan là hình thang
cong, v.v ) hoặc phải sáng tạo ra các khái niệm mới để cho phù hợp với cơng thức trên (vÍ dụ các nịng) ở đây trên, đáy dưới và ở giữa của các hình trịn xoay) và tất nhiên là phải vận dụng các kiến thức đã học một cách rất linh hoạt, vÌ mỗi khi kiểm nghiệm một cơng thức là phải giải một bài tốn rồi (ví dụ việc tính thiết điện giữa của hình chớp cụt, diện tích các đáy trên, đáy đưới và thiết diện giữa của chỏm cẩu, đới cầu, v.v )
Vì vậy, việc tìm ra và kiểm nghiệm cơng thúc uạn năng nĩi trên rất là bổ ích Hình Se ĐƯỜNG TRỊN CHÍN ĐIỂM Với những kiến thức về hình học lớp 7,
cơ thể dễ dàng chứng mính định lí sau đây :
Trong mọi tam giác ABC, các chân của
các đường trung tuyến, các chân của các đường cao ú các trung điểm của các đoạn nối trực tam uới các đỉnh, nằm trên cùng một đường trịn gọi là đường trịn chỉn điểm Thật vậy, trước hết ta chú ý rằng vịng trịn A'B'C' đi qua chân của các trung tuyến, A NGƠ THÚC LANH
cũng đi qua chân các đường cao Ta hay chứng mình rằng nĩ đi qua # chẳng hạn Trong tam giác vuơng AHB ta cĩ AC' = C'B = C'H Mặt khác vì AB' là một đường trung bình nên A'B’ = AC’ = C’B Vay C’H = A’B’ Va nhu vậy hình thang HA'B”C' là cân, do đĩ nĩ nội
tiếp được
Bây giờ ta lại xét đến tam giác IBC, trong đĩ ï là trực tâm của tam giác ABC Chân các đường cao cia nd cing 1A H, H’, H” Vịng trịn HH'H”, qua chân các đường cao của tam giác ïBC, cũng qua chân các trung tuyến của nĩ, tức là qua trung điểm của các đoạn IB và 7C nối trực tâm 1 với các đỉnh B và C Tương tự như vậy ta sẽ thấy rằng nĩ cũng qua trung điểm của đoạn JA
Ta hãy định /đm và bán kính của đường (*) Tương đương lớp 9 hiện nay
Trang 5
8 H a’ lị
trịn chín điểm Trung điểm Ø' của đoạn OI nối tâm Ø của vịng trịn ngoại tiếp của tam giác ABC và trực tâm ï, là tâm của đường trịn 9 điểm, vÌ các đường thẳng gĩc với các
cạnh vạch từ A, BH, C' và H, H, H"” xác
định Ĩ và 1 theo thứ tự, và các đường trung
trực của các day A’H, B'H', C’H’ xác định
điểm Ĩ' Mặt khác, nếu gọi Ð là trung điểm của doan AI thi O'D la song song với OA và bằng một nửa của OA Do dé ban kính của đường trèn 9 điểm bằng một nửa bán kính của vịng trịn ngoại tiếp với tam giác ABC Đường trịn 9 điểm thoạt tiên đã được các
nhà tốn học Ole (1707 ~ 1783), Phoiebakhơ
(1800 - 1834) nghiên cứu Tiếp sau đĩ, các
nhà tốn học Anh là Ha, Hamintơn, Kedi lại
tìm ra được thêm nhiều tính chất khác của nĩ nữa Sau đây là một số tính chất đã tìm được :
Cĩ thể chứng minh rằng đường trịn 9 điểm tiếp xúc với vịng trịn nội tiếp và với ba vịng trịn bàng tiếp của tam giác ABC (Ha) ; nĩ cịn tiếp xúc với 12 đường trịn nội tiếp và bàng tiếp với các tam giác xác định bởi ba đỉnh và trực tâm ï (Hamintơn) ; nĩ cịn tiếp xúc với mười sáu đường trịn nội tiếp và bàng tiếp với bốn tam giác cĩ đỉnh
là các tâm của các đường trịn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác mà các đỉnh là các trung điểm của các đoạn nối trực tâm ï với các đỉnh A, B, C, nớ cịn tiếp xúc với những
nhớm khác gồm 16 ; 64, 256, 1024 đường trịn, suy ra từ các nhớm trên (Kedi)
BÀI TỐN "DỰNG ĐA GIÁC ĐỀU"
Chỉ dùng thước uờ compa, cé thé dung được da giác đều cơ số cạnh bất kì khơng ? - Đề nghị nĩi qua phương pháp dụng da
giác đều ea Gaoxo, Risalét, Hecmetxo
- Đề nghị cho biết cách dụng da giác đều
mà số cạnh là một số nguyên tố cơ dạng
2? +1 @hí dụ : cách dụng da giác đều 17 cạnh)
(nhiều bạn đọc) Chúng ta biết rằng mọi đa giác đều bất kì đều cĩ thể nội tiếp được trong đường trịn, và khi đĩ các đỉnh của đa giác sẽ chia đường trịn thành những cung bằng nhau Ngược
lại nếu ta đã chia được đường trịn thành
244
VĂN NHƯ CƯƠNG
cung bằng nhau ; nối liên tiếp các điểm chia ta sẽ được đa giác đều cạnh Vì thế việc dựng đa giác đều ø cạnh tương đương với việc chia đường trịn bất kì thành zø phần bằng nhau Bài tốn "dựng đa giác đều" do đĩ cịn cĩ tên gọi là bài tốn "chia đường trịn"
Trang 6Chang han, vi da dựng được đa giác đều 4, 5, 6 cạnh nên cũng cĩ thể đựng được đa giác đều 8, 10, 12, 16, 20, 24, cạnh, Dùng thước và compa ta cũng cĩ thể dựng được đa giác đều 15 cạnh, Thực vậy, vi ta od 1 2 1
và vì đã biết cách chia đường trịn thành ð phần và 3 phần bằng nhau, nên từ một điểm
A trên đường trịn ta đặt theo cùng một
chiều hai cung AM và AN cĩ độ đài lần lượt
2 1 —
la giả 3 độ dài đường trịn (h.!1) Cung MĐ 1
cĩ độ đài bằng Is độ dài đường trịn Nhự vậy ta đã tìm được cách chia N
đường trịn thành 1ð phẩn #
bằng nhau, A
Nĩi tổng quát từ định lí
số học "nếu m uờ n là hai
nguyên tố uới nhau, thì luơn luơn cĩ hai số nguyên + uờ
+y sao cho ;
Hình 1
1 1x #
mon mn
ta cố kết quả sau đây :
"Bang thude va compa, néu ta dé dung duge nhitng da giéc déu m van cạnh, trong đĩ m vin la hai 86 nguyen tố uới nhau thì ta cĩ thể dụng được da giác dều m.n cạnh", 2 Nhà tốn học nổi tiếng người Đức Gaoxo (1777~1855) đã chứng minh rằng : "Nếu p là một số nguyên lố cĩ dạng
2" +1 (n la 86 nguyen khơng am) thi ding
thước va compa ta cĩ thé dung duge da giác đều p cạnh ; cịn nếu p là một lay thừa (uới Số mũ > 2) của một số hguyên tố dạng trên hay p là một số nguyên tố khơng thuộc dạng trên thì dùng thước uà compo, khơng thể dụng được đa giác dều p cạnh"
Ấp dụng phần đầu của định If Gaoxo, ta thấy ràng vì 3, ð, 17 đều là những số nguyén tố cĩ dạng
27 +1(8=22 + L6 = 22+ 1/17 =2 + D)
nên ta cĩ thể dựng được đa giác đều 3, 5 và 17 cạnh Nếu ø = 8 thì p = 22+] ~ 257; số này cũng là số nguyên tố nên cĩ thể dựng được đa giác đều 257 cạnh Năm 1832, ở phần phụ lục một tác phẩm của Gaoxơ, nhà
tốn học Risơlốt đã trình bày cách dựng đa giác này
Nếu n = 4 thÌ p= 2' + 1 = 65.837 cũng
là số nguyên tố Chính Gaoxơ đã nêu lên phương hướng dựng đa giác đều 65.537 cạnh và Hecmetxơ theo phương hướng đĩ đã tìm ra phép dựng, bản thảo của lời giải xếp đầy một va li to V6i n = 5, 6, 7 thi số p=# ”+l khơng phải số nguyên tố
Từ phần thứ hai của định lí Gaoxơ ta thấy rằng dùng thước và compa khơng thể dựng được đa giác đều 9 cạnh hay 25 cạnh (vì 9 = 8?, 2ư = 52, 3 và 5 lại là số nguyên tố dang 27° + 1) cũng khơng thể dựng được đa giác đều 7 cạnh, 11 cạnh, 13 cạnh, 19 cạnh vÌ đĩ là những số nguyên tố nhưng khơng cĩ dạng 3` + 1, 3 Nhờ định lí của Gaoxơ và do các nhận xét ở phần 1 ta đi đến kết luận tổng quát : "Dùng thước uà compa cĩ thể dụng được va chỉ dụng được các da giác đều N cạnh, nếu N là số cĩ dạng N = 2, PyP2-P,, trong đĩ À là số nguyên khơng âm, PpPy Pp, fe
những số nguyên t6 cé dang 27 +1 va
khong tring nhau
“Theo kết luận này, chẳng hạn đa giác đều 170 cạnh cĩ thể dựng được bằng thước và compa vì 170 = 2,B.17
4 Để kết thúc, ta sẽ nêu lên phép dựng đa giác đều 17 cạnh, Phép đựng này do Gaoxo tim ra khi ơng 19 tuổi, và cũng do thành cơng này Gaoxơ đã quyết định đứt khốt rằng mình sẽ quyết tâm trở thành một nhà tốn học Sự thực ơng đã là một nhà tốn học lớn Trên hình 2, ta cĩ một đường trịn đã được chia thành 17 phần bằng nhau bởi các điểm Ay Ay oa Aig Ayz chọn một hệ trục tọa độ
Đêcac vuơng gĩc Oxy, gốc O tại tâm đường trịn, trục Ĩx
đi qua điểm A,; và đơn vị dài trên trục bằng bán kính đường trịn Nếu ta xem mỗi điểm M của mặt phẳng cĩ tọa độ (a, ư) là điểm biểu điễn của số phức ø + ib thì điểm A, biểu
linh 2
Trang 74x
biểu diễn phức số cos 7 + isin tức là số phức Z, nĩi tổng quát điểm A, biểu diễn số phức Z* ; đặc biệt điểm A,; biểu điễn số
phức :
z7= cos 2% + isin 2% = 17 17
Vậy số phức z là một trong những nghiệm
của phương trình zl— 1=0 (1) Phương trình () cĩ thể viết thành ( — 1) (416 + gỗ + + + 1) = 0, nên z là một trong các nghiệm của phương trình u16 + u]Š + + + 1= 0, tức là ta cĩ đẳng thức z!6 + zlŠ + „.+ z2 +z = —1 (2) 1, Ta rằng z=1 nên zIT? 5 thi du 26 = 2 v.v , và đẳng thức (2) cĩ dạng z-1+z 2+ ,+z758+z8+ +z22z= =1 (8), Th đặt : 0=z+z2+z2+z8# z7 là z72+ z7 4+ z8, bye P+ 2+ 264 27+ 2794 2754 278+ 277, Rõ ràng : uị † 0y = ~1 và vy 2 = 4, + 9) = —4 Vay v, va v, la hai nghiém ca phuong trình bậc hai z2 +zx — 4= 0 (4), tức là : 1 1 s~sW17
(phương trình (4) cĩ hai nghiệm khác dấu,
tại sao ta lấy Uy cĩ giá trị âm, bạn đọc hãy tự suy nghĩ và trả lời) Bây giờ ta lại đặt : Đ 1 ~s+sÝ1, = 1,1 ws2t2tte leet tu =22+z#+z72+ z8 tuạ = z3 +z2+z 3+5 tbạ=zZ6+Z7+z76 +27 Dễ thấy rằng ứị + 0y =Uy, 002 = —1, nên œứ, và ø, là hai nghiệm của phương trình : z2—uzx—1=0 (5) 246 Tuong ty w, va w, la nghiém cua phuong trinh : x2 — vg -1=0 (6) Cuối cùng ta đặt : »;=z† z1 Y= ate 4 Rõ ràng ÿ¡ † ÿ¿ = 10), Yị ‹ÿ; = 102, nén y, và y, là nghiệm của phương trình : x? — wx t uy = Ơ, D (cha y rang w, va w, là các nghiệm dương của các phương trình (5), (6), y > ¥,)- Đến đây ta chú ý rằng y„ =z'+z *= cos + isin + cos = isin ( 17 17) ( 17 8m + /# _ 8% "mi = #eos Ty = 2sin (3 - 77) = 2sin a7
Vậy y„ chính bằng độ đài của cạnh đa giác đều 34 cạnh nội tiếp trong đường trịn Biết y; cĩ thể tÌm được đễ đàng cạnh của đa giác đều 17 cạnh
Tém lại, từ những điều nĩi ở trên, để tìm giá trị của y„, ta lần lượt giải các phương trinh bac hai sau day : x?+x-4=0, hai nghiệm là 1 1 Uy) 0 = -g+sŸ1 (b, >0, 0; < 0) x— 0;x— 1 =0, hai nghiệm là w,, w, = ĐỊ Ị =gigvit4 (w, > 0, w, < 0) x4 —v.x—1=0, hai nghiém 1a w,, w, = yl pate ˆs15 u2+4 tu > 0, ty < 0) xt w,x+ w, = 0, hai nghigém 1a y,, y, = *) oe, ˆs1g wi Ws WY, > 32)
Trang 8CHU Ki CUA HAM SO VA MOT VAI UNG DUNG
6 lớp 9 khi học đến các hàm số lượng
giác, các bạn đã thấy một tính chất đặc biệt của chúng, đĩ là tính chất tuần hồn, nghĩa là cĩ chu kÌ xác định Chu kì đĩ gọi là chu ki cộng tính và cĩ thể định nghĩa như sau : Ham 86 y = f(x) duge gọi là cớ chu kÌ nếu
thỏa mãn hệ thức :
fix + m) = fla)
trong đĩ m là số thực đương
Dễ đàng thấy rằng nếu m là chu kì thì hm cũng là chu kÌ (& là số tự nhiên) Chẳng hạn hàm số y = sinz/2 + cos3/4x cĩ chu kì m = 8x, hàm số y = sin 2xxjm (m là số thực đương) cĩ chu kì chính là m Ngồi các hàm số lượng giác, cịn cĩ hàm số khác cũng cĩ chu kì, ví dụ như hàm s6 y = {x}* (phần lá của x) cĩ chu kì là m = 1 @) Ngồi định nghĩa chu kÌ như trên, cịn cĩ định nghĩa khác là : Hàm số y = ƒø) được gọi là cĩ chu kÌ nếu thỏa mãn hệ thức f(x) = fix) (2) Chu kì này phức tạp hơn, gọi là chu kì nhân tính, ở (1) và (2) ta hiểu m là số thực dương, các giá trị z = +rn và mx đêu thuộc
miền xác định của hàm số đã cho
Vi du ham số y =sin2xigx/igm (m là số thực dương) cĩ chu kì nhân tính là m
Một cách tổng quát, ta cĩ thể quan niệm chu kì theo ý nghĩa rộng rãi hơn, cụ thể là ham 86 y = f(x) duge gọi là cĩ chu kì nếu thỏa mãn hệ thức :
fle) = Ax) (3)
trong đĩ z là số thực thuộc miền xác định của các hàm số fix) va p(x), các giá trị của ø(z) thuộc miền xác định của hàm số /f+)
Mọi hàm số đều cĩ chu kÌ p(x) = x, do 1A
trường hợp tầm thường Rõ ràng là định
nghĩa (3) này tổng quát hơn (1) và (2) vi ta thấy rằng :
Khi p(x) = +m thi ed fz + m) = fix) (1) Khi g(x) = mx thi cd fimx) = fx) (2)
VŨ DƯƠNG THỤY
Tới đây, ta cĩ thể xét một vài ứng dụng của chu kì theo (8) trong phạm vi tốn sơ cấp, đặc biệt với những kiến thức ở phổ thơng Khái niệm chu kì theo (3) cho phép giải bằng phương pháp sơ cấp một số bài tốn về cực trị, và áp dụng vào các hàm hữu tÍ nguyên, đặc biệt là tam thức bậc hai, sẽ
được một số kết quả quen thuộc Trước hết, ta xét hàm số tam thức bậc hai ; f(x) = ax? + bx +6 chu kì của hàm số nếu cĩ sẽ thỏa mãn (8) tức là : ap?() + b@) + e = q12 + bx +e
hay a[g2(ø) — x7] + b[e(x) ¬ x] =0
loại trừ trường hợp tầm thường g(x) = x, nghia la gid thiét p(x) # x, ta duge :
ap(x) +ax+b=0
suy ra g(x) = — [(ax + b)/a] (4) Nhu vay ham s6 f(x) = ax* + bx + ¢ théa
mãn điều kiện ƒ[~(øx + ư)/œ] = f(x) theo ¥
nghĩa (3) Từ đĩ ta rút ra một loạt hệ quả thú vị sau :
1) Néu x = x, là nghiệm của phương trình fz) =0 thi x, = [~(ax, + b⁄ø † là nghiệm thứ hai Bởi vì : fŒ;) = f[~(ax + b)/a] = fœ)) = 0 Chẳng hạn phương trình 2x2 — 7x + 5 = 0 cĩ một nghiệm z¡ = ¡ Thế thi x, =[-(2.1~ ?J/2] = 9,ð
2) Néu x =x, là điểm cực trị của hàm số fx) thi x = [T—(ax, + b)/a] cũng là điểm cực trị, theo tính chất của chư kÌ Do đĩ phương trình ø(+) = z là phương trình xác định điểm
+ Hàm số này được xác định bởi
y = {x} = x - 2] trong dé [x] là hàm số phần nguyên của x, xéc dinh vdi moi x thực và cĩ nghĩa là sổ nguyên lớn
nhất khơng vượt qua x
Chẳng hạn :
IÝZ| = LỊ0,2]= 0{—15]= 2
Trang 9cực trị (chú ý rằng hàm số tam thức bậc hai
chỉ cĩ một điểm cực trị)
That vay tu x=[-(ax-b/a] suy ra x=-—(6/2a) chinh 1&8 hoanh độ của đỉnh parabơn Giải phương trình ø(z) = z ta được
z,=—(b/2a) và do đĩ y,=f,)=
= — [(b? — 4ac)/4a], nhu da biét, néu a > 0
thì đây là giá trị nhỏ nhất, nếu ø < 0 là giá trị lớn nhất của hàm sé f(x) Ví dụ : tìm điểm cực trị của hàm số ƒfŒ)=222T—x+ 83 ð đây a = 2 > 0 nên hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất tại điểm cĩ hồnh độ suy ra từ : —[(2x — 1)/2] =x tie la x, = 1/4 giá trị nhỏ nhất là y, = (1/4) = 2 3) Ta sẽ chứng minh định lí Vi-ét : Nếu x,*; là nghiệm của tam thức bậc hai thì : x, +x, = ~(6/8) *i#¿; = cÍa Thật vậy, xị +*¿ =#j[—(ax, + b)/4] = —(bia) #i#¿ = x,[-(ex, + b)a] =
= [-(axt + bx,)/a) = ofa
(chú ¥ ax? + bx, +.¢ = 0)
4) Tam thitc bac hai f(x), nếu cĩ nghiệm,
cĩ thể phân tích ra thừa số ;
f(r) = dạ ~ 4) — 4)
Thật vậy : f(x) = a(x — x,)[x + (ax, + b)/a] = ax? + axx, + bx — axx, — (ax + bx) =
= ax? +bx te
5) Như vay ham s6 p(x) = [—(ax + bya] 1a
chu kÌ của tam thức bậc hai Từ đĩ ta cĩ : Định li: DE hai giá trị khác nhau x,,x,
của đối số làm cho tam thức bậc hai cớ cùng
mot gid tri, tric 1a f(x,) = fl,) thi diéu kiện
cần và đủ là phải thỏa mãn hệ thức
x, + x, = —(b/a) hay x, = |-(ax, + bya) điểu kiện cẩn cd thé suy ra ti f(x,) = Ax) với chú ý chu ki cla ham số là p(x) =| —(ex + byl 248 Để cĩ đủ điểu kiện đủ, hãy xác định giá trị hàm số tại diém x, = [—(øxị + b)/œ], ta cĩ f@¿ = f{~(ax + bya] = fx,)
Tw day, dinh If Vi-ét được xem như là trường hợp đặc biệt của định lí trên, khi
f&) =fœ¿) = 9,
nghĩa là định lí Vi-ét là điều kiện cần và đủ
để #5; là các nghiệm của tam thức bậc hai
Định lí trên cĩ hình ảnh hình học là tung
độ của hai điểm phân biệt trên parabơn, cĩ
hồnh độ đối xứng qua trục đối xứng của parabơn sẽ bằng nhau
6) Tương tự xét hàm số
fix) = ax3 + bx? + ex +d,
cĩ hai chu kì khơng tầm thường suy ra từ phương trình bậc hai đối với @()
ag(x) + (ax + 6)(x) + ax* + bx +e =0
tức là :
p(x) = [-(ax + b)E
+ [aa bf = 4e(Gx2 + bx + O)|/2ø
và cũng tương tự, cĩ thể nêu những hệ quả
như đã xét ở trên, đặc biệt cĩ thể chứng tỏ
rằng, nếu x = z¡ là nghiệm của phương trình
bac hai f(x) = 0 thi ø@,) sẽ cho hai nghiệm
cịn lại và phương trình xác định điểm cực
trị là p(x) =x, sau khi biến đổi cĩ dạng : 8ax2 + 2bx + e = 0
Trang 10f @/6) > f (@/5) = 903/125, f(4/6) > f (@/T) = 2503/34
Do dé V= f(x) cĩ giá trị lớn nhất khi x = ø/6 Phương trình ?(xz) = + cho những điểm
cực trị khơng những đối với hàm số đại số (cĩ cực trị) mà cịn đối với một vài hàm số siêu việt Chẳng hạn ta xét trường hgp f(x) = sin Để xác định chu ki ta gidi phương trình sinp(x) = + Cĩ hai chu kì 9%) =x + Qkn, Px) = —x + (2k + 1)x Phương trình Ø¡Œ) =x vơ nghiệm cịn Ø2() =x cho nghiệm x = (2k + 1)z⁄2 là cĩ cực trị
Tương tự cĩ thể xét ƒ(z) = cosr, và ngay cả một số tổ hợp tuyến tính đơn giản của
Sinxz và cosx, như sinr + cosz, sinx.cosx, hay asinbz, acosbx, asinbx + ¢ v.v
Van dé vé những hàm số siêu việt nào
(được đề cập trong chương trình phổ thơng) cĩ thể xét cực trị bằng phương pháp trên như đối với hàm số đại số, với chu kì theo ý nghĩa (3) cũng là một bài tốn lí thú Mời các bạn cùng nhau bát tay vào giải quyết vấn đề này Cần nhấn mạnh một lần nữa là, nếu phuong trinh p(x) = x cd nghiém thi
hàm số cho trước cĩ cực trị, hay nĩi một cách khác, một hàm số khơng cớ cực trị thì
p(t) = z vơ nghiệm
Vi du : ffx) = a/ x thé thi theo (3) ta cd : alp(x) = a/x v6i điều kiện x s O0; gŒ) #0 ta suy Ta @(z} = + với mọi z thuộc miền xác định của hàm số nghĩa là chỉ cĩ một chu kì tầm thường mà thơi
Hay chang han xét f(x) = tgx là hàm số khơng cĩ cực trị, ở đây ø) = + + kx nên phương trình ¿() = + vơ nghiệm
MỘT SỐ BÀI TỐN DANG CHU
TRONG KHƠNG GIAN Trước khi đề cập tới chủ dé cua bai này, đề nghị các bạn tự chứng mình (hoặc nhớ lại) một số mệnh đề khá quen biết sau đây : Mệnh đề 1 Trong tốt cả những hình bình hành cĩ chư 0í cho trước thì hình uuơng là hình cĩ diện tích lớn nhất, Mệnh đề 2 Trong tất cả những hình bình hành cĩ
chu vi va chiều dời của một đường chéo cho
trước thì hình thoi là hình cĩ điện tích lớn nhất
ĐĨ nhiên là mệnh đề 2 tương đương với mệnh để sau
Mệnh dé 2’,
Trong tét cd nhitng tam gide cé chu vi va chiều dài của một cạnh cho trước thì tam giác cân là hình cơ diện tích lớn nhất
NGUYEN HONG SON
(Lược dịch từ "Corantơ")
Mệnh đề 3
Trong tất cả những tam giác cĩ chư 0í cho trước thì tam giác đều là hình cơ diện tích lớn nhất
Các mệnh dé 1 - 3 trên đây là lời giải
của những bài tốn cực trị mà người ta thường gọi là những bài tốn đẳng chu : Trong số những hình cớ dạng xác định và cĩ chu vi cho trước hãy tìm hÌnh cớ diện tích lớn nhất Ư đây, cần chú ý rằng những mệnh để 1 và 3 là những trường hợp đặc biệt của một mệnh đề tổng quát hơn : Trong tất cả những hình n cạnh cớ chu vì cho trước thì hình n cạnh đều là hình cĩ điện tích lớn nhất Tiến tới giới hạn cĩ thể thấy một cách dễ đàng rằng trong tất cả những hinh cĩ chu ví cho trước (hình dáng cĩ thể bất kì) thì hình trịn là hình cớ điện tích lớn nhất,
Trang 11Bây giờ chúng ta hãy xét những mệnh dé trong khơng gian tương tự với các mệnh đề 1-3, trong đĩ hình bình hành được thay bằng hình hộp, tam giác được thay bàng tứ diện (hỉnh chớp đáy tam giác) cịn diện tích thì được thay bằng thể tích Bài tốn 1 Trong tất cả những hình hộp cĩ tổng chiều dài của các cạnh cho trước, hãy tìm hình hộp cĩ thể tích lớn nhốt Bài tốn 2 Trong tốt cd những hình hộp cĩ tổng chiều dài của các cạnh uà chiều dời của một đường chéo cho trước, hãy tìm hình hộp cĩ thể tích lồn nhất,
Trước khi nêu bài tốn 2 một cách khác đi, dưới dạng một bài tốn trong khơng gian tương tự như mệnh đề 2, chúng ta hãy thống nhất với nhau một số định nghĩa
Một đường gấp khúc kín gồm 4 cạnh mà những đỉnh khơng nằm trong cùng một mặt phẳng thì được gọi là một ¿ứ giác ghờnh Nếu những đỉnh của một tứ điện trùng với những đỉnh của một tứ giác ghềnh thì người ta nĩi rằng nĩ (rương tứ giác đĩ (hình 1) A Hình 1 Hình 2 Cĩ thể thấy một cách dễ dàng rằng thể tích của một tứ diện trương một tứ giác ghềnh mà các cạnh là một đường chéo và 3 cạnh kể liên tiếp của một hình hộp (hÌnh 2} 250
thi bang 1/6 thể tích hình hộp này VÌ vậy, bài tốn 2 tương đương với bài tốn sau :
Bài tốn ?,
Trong tất cả những tú giác ghềnh cĩ chu tí cho trước bằng 2p uà chiều dài của một cạnh cho trước bồng h, hãy tìm tứ giác sao cho tứ diện trương nĩ cĩ thể tích lớn nhất
Sau khi đã giải những bài tốn trên, chúng ta cĩ thể giải đễ dàng bài tốn sau :
Bài tốn 3
Trong tốt cả những tú giác ghềnh cĩ chủ 0ì cho trước bằng 3p, hãy tìm tú giác sao
cho hình tứ điện trương nĩ cĩ thể tích lớn nhất Giải bài tốn 1 Vì rằng trong tất cả những hình bình hành cĩ chiều dài của các cạnh cho trước thì hình chữ nhật là hình cĩ diện tích lớn nhất cịn trong tất cả những hình hộp cĩ chiều đài của các cạnh cho trước thì hình hộp chữ nhật là hình cĩ thể tích lớn nhất, nên khi giải bài tốn 1, ta chỉ cẩn xét các hình hộp chữ nhật Nếu gọi chiều dài các cạnh của một hình hộp chữ nhật là ø¡ø„ø; thì bất đẳng thức Cosi
Yo, a,0, < (1/8) (@, +a, +4,)
(trong đĩ dấu = chỉ đúng trong trường hợp đi =ð¿; = ø,) sẽ đẫn tới kết quả sau :
Định ii 1
Trong tất cá những hình hộp cĩ tổng cĩc cạnh cho trước thì hình lập phương lị hình
cĩ thê tích lớn nhốt
Giải bài tốn 2’
Để giải bài tốn này, chúng ta sẽ dùng bổ đề sau
Gọi P là mặt phẳng vuơng gĩc với cạnh AB của một tứ giác ghềnh ABCD (hình 3)
Trang 12
Chiéu ABCD lén mặt phẳng P, ta được
tam giác BEF
Bổ đề
Thể tích V của một tứ diện trương tứ giác ABCD duoc tinh theo cong thite
V=(1/8)hS ()
trong đĩ h là chiều dài cạnh AB
8 là diện tích tam giác BEF
Để chứng minh, chúng ta chỉ cẩn chú ý rằng các tứ diện ABCD và ABEF tương đương nhau (cĩ thể tích bằng nhau) vÌ rằng chúng đều tương đương với tứ diện ABCF
Cơng thức (1) gợi ý ngay cho ta cách giải bài tốn 2° : Cần xác định độ dài và vị trí
các cạnh BC, CD và AD (hỉnh 3) sao cho
diện tích tam giác BEF là lớn nhất
Để đạt được điều đĩ, trước nhất cần làm
sao cho chu vi của nĩ cĩ giá trị lớn nhất Ta hãy trải các mặt ABEFD, FDCE và CEB lên
trên một mặt phẳng Trên hình phẳng mà ta thu được (hỉnh 4), chiều dài cạnh B,B, bằng chu vỉ của tam giác BEF, từ đĩ ta thấy rằng chu vi đĩ sẽ lớn nhất khi các đoạn AD,
DC, CB chỉ tạo thành với cạnh AB một gĩc a = arccos [h/(2p - h)} mà thơi (hình 5) Do
đĩ tứ giác ghềnh cĩ cạnh AB = hk va chu vi bằng 2p sao cho tam giác BEF cĩ chu vi lớn nhất cĩ thể dựng theo cách sau đây : 4 2 Cc 8 £ £ & Hink 4 A dD S4 A c 8, £ £ 8 Hình 5 gấp một bình chữ nhật cĩ cạnh AB, = h va đường chéo ÁB, = 2p - h thành mặt xung quanh của một lăng trụ đáy tam giác sao cho điểm B, đến trùng với điểm B; và đoạn
AB, là một cạnh bên của nơ Khi đĩ, đường B,ADCB, trở thành tứ giác ghênh mà ta
muốn cĩ
Bằng cách đĩ, bài tốn của chúng ta đã được đưa về bài tốn đẳng chu đối với tam
giác BEF Như chúng ta đã biết, với một chu
vi cho trước, tam giác này sẽ cĩ diện tích
lớn nhất khi BR = FE = EB, do đĩ tứ giác
ABCD đáp ứng yêu cầu của bài tốn 2”, phải cĩ các cạnh AD, DC và CB bàng nhau Với
điều kiện này và điều kiện địi hỏi AD, DC
và CB tạo thành với AB chỉ một gĩc mà thơi,
tứ giác ABCD sẽ được xác định một cách duy
nhất
Và như vậy là ta đã chứng minh xong : Định lí 9 :
Trong tất cả những tú diện trương tú giác ghénh ABCD cé chu vi cho trudc bằng 2p va
chiều dài của cạnh AB cho trước bằng b thì
tứ diện cơ thể tích lớn nhất lị tú diện trương tứ giúc mà các cạnh AD, DC uà CB bàng nhau 0ù làm thành uới cạnh AB những gĩc bằng nhau
Đồng thời, chúng ta cũng cĩ được cách dựng tứ giác ghềnh trương tứ diện lớn nhất : muốn vậy, ta lấy một hình chữ nhật cĩ một cạnh bằng h và đường chéo bằng 2p - h và gấp nĩ thành mặt xung quanh của một hình
lãng trụ tam giác đều
Giải bài tốn 3
Ta hay tính thể tích cực đại nĩi tới trong định lí 2 Từ hình 5, ta thấy rằng chu vỉ tam giác BEF bằng
V@p — hy? — A? = 2 Íp( ~ h)
nghĩa là điện tích cực đại của nĩ bằng
[2Vp@ — h)/3)> V3/4 = pœ — h)/3 ã ; cuối cùng, thể tích lớn nhất của hình tứ điện được trương, theo cơng thức (1), bằng :
V= (1/3)h p(p— AVBY3 = phip— AONE (2)
Bay giờ, chúng ta cĩ thể giải bài tốn 3 một cách dễ đàng Bài tốn này khác với bài
tốn 2° là ở đây người ta chỉ cho biết chu vi
của tứ giác
Di nhiên là để giải bài tốn này, chỉ cần lấy giá trị h trong bài tốn trên sao cho vế phải của cơng thức (2) cớ giá trị lớn nhất Giá trị h đĩ được xác định từ bất đẳng thức Cosi :
hip — h) < {th + (p — h2)? = p2,
Trang 13no bang p/2 vi ring h =p —h khih = p/2 Từ đớ suy ra lời giải của bài tốn ba : Dinh li 3
Trong tốt cả những tú diện trương cúc tử giác ghềnh cĩ chu uí cho trước thì tứ diện cĩ thể tích lớn nhất là tú diện trương tú giác trong đĩ cĩc cạnh bồng nhau 0ù gĩc giữa mọi cập cạnh cũng bồng nhưu Thật vậy, nếu ¡ = p/2 thì chiều dài của mỗi cạnh cịn lại sẽ bằng (2p - h)/3 = p/2 ; co thể chứng mình sự bằng nhau của các gĩc bằng cách tính trực tiếp (vì h = p/2 nên tất cả các gĩc đều bằng arccos (1/3)) ; tuy nhiên, một cách đơn giân hơn, cĩ thể chú ý rằng trong tứ giác mà ta xét tất cả các cạnh đều cĩ vai trị như nhau
CƠNG THÚC CƠ-SIN
Trong hình học phẳng ta biết rằng cho trước hai cạnh AB = c, AC = ị của tam giác ABC và gĩc A thì cạnh thứ ba BC = a duge tinh theo cơng thức ø2 = 62 + c2 - 2becosA(1) Đĩ là cơng thức cơsin cho các lam giác Trong hình học khơng gian ta hãy xét bài tốn tương tự sau đây : Trong một gĩc tưm_
diện Oabe, cho trước hai mặt aĨb = y, aOc
= 8 uà nhị diện A cơ cạnh Oa, hãy tính mặt thit ba bOc = a Trén canh Oa ta hãy đặt một đoạn OA bang don vi réi qua A ké những đường vuơng gĩc với Ĩa trong các mặt gĨb và aOc, cat 0b 6 B, cht Oc OC (hình 1) Như vậy
gĩc BAC chính là gĩc phẳng của nhị diện canh Oa nên cĩ độ lớn bang A Ap đụng cơng
thức césin cho các tam giác BOC và BÁC ta được
BC? = OB* + OC? - 20B.0Ccosa BC? = AB? + AC? — 2AB.ACcosA
Nhung OB = l/cosy, OC = l/eœ, AB = tgy, AC = tgổ Thay vào hai đẳng thức trên, ta rút ra l/cos2 + l/cos2y — 2cosz/cosổcosy = = tg2ổ + tgy - 2tgtgycosA Từ đĩ dễ dàng đưa đến cơng thức cosfcosy + sinfsinycosA Hink i cosa = (2) 252
NGUYEN CONG QUY
Đĩ là cơng thức cĩsin cho các tam diện Cơng thức đĩ cĩ thể viết thành :
cosA = (cose - cosScosy)/singsiny (2'} Cơng thức (2’) cho phép ta tính được các
gĩc nhị diện của một tam diện khi biết các mặt của tam diện đĩ
Từ cơng thức đĩ cĩ thể suy ra rằng : nếu hai tam diện cùng huớng cĩ cĩc mặt tương
ứng đơi một bàng nhau thì chúng bằng
nhau,
Một bài tốn ngược lại được đặt ra là :
cho biết các gĩc nhị diện của một tam diện,
hãy tính cĩc mặt của tơm diện đĩ
Để giải bài tốn này cần biết khái niệm tam diện bù Giả sử ta cĩ tam diện Oabc Qua đỉnh Ĩ ta hãy dyng cdc tia Oa’, 0b’,
Ĩc) theo thứ tự vuơng gĩc với các mặt bƠc,
cƠa, œOb và sao cho cdc tia Oa, Oa’ nim cùng phia d6i véi mat 60c ; Ob, Ob’ nim cùng phía đối với mặt cĨa ; Ĩc, Oc’ nam cùng phía đối với mặt øOb (hình 2) Ta thu
ợ e
Trang 14
duge tam dién Oa’c’ goi lA tam dién bi cua tam dién Oabc
Dễ dàng chứng minh rằng nếu tam diện Oa’b’c’ là bù của Oøbe thì ngược lại tam diện Oabe cũng là bù của tam diện Oa'b'e' Hai
tam điện như vậy gọi là bù nhau
Người ta chứng minh được rằng nếu hai tam diện Oabe va Oa’b’c’ bi nhau thì với những kí hiệu tương tự trên ta cĩ
A+tz'=B+Ø=C+y=Ad+a=
=B'+8=C'+y>x (8)
(các mặt và các nhị diện được tính bằng rađian)
Trở lại bài tốn đã nêu trên ta hãy dựng
tam diện bù Øø'b'©° của tam diện Oabe cho
trước và viết cơng thức (2'} cho tam diện bù đơ cosA’ = (cosa’ - cosf’cosy’)/sing’siny’ Theo cdc hệ thức (3) ta cĩ œ' = x - A, 8' = =z—B,y` =z=-~C, A' = x- a Thay vào ta được :
cosa = (cosA + cosBcosC)/sinBsinC (4)
Cơng thức này chính là lời giải của bài
tốn trên Từ cơng thức này ta cĩ thể suy ra rằng : nếu hơi tam diện cùng hướng cĩ các gĩc nhị diện tương ứng dơi một bằng nhau thì chúng bằng nhau
Các cơng thức (2) và (4) xác định mối
quan hệ giữa các mặt và nhị diện của một tam diện Đớ là các cơng thức cơ bản của hình học các tam điện Ngồi ra các cơng thức đĩ cịn cho phép ta xác định quan hệ giữa các cạnh và gớc của một ¿em giác cầu (tức tam giác vẽ trên mặt cầu)
Trước hết cần hiểu biết sơ lược về hình
học cầu Trên một mặt cầu nếu cho trước
hai điểm A, B8 khơng đối xứng qua tâm mặt cầu, thì cĩ thể vẽ được một và chỉ một đường trịn lớn qua A và B mà thơi (hinh 3) VÌ vậy trên mặt cầu đường trịn lớn đĩng vai trị tương tự như đường thẳng trên mặt phẳng Gĩc của hai đường trịn lớn cất nhau ở một điểm ă, ta Hình 3 sẽ hiểu là gĩc œ giữa hai tiếp tuyến của mặt cầu tạ M Gĩc đĩ cũng chính là gĩc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng của hai đường trịn lớn Cho ba điểm A, B, C trên một mặt
cầu, trong đĩ khơng cĩ hai điểm nào là xuyên tâm đối Như vậy thì qua méi cap điểm (B, C), (C, A), (A, B) cĩ một đường trịn lớn Hình tạo bởi ba cung trịn lớn 8C,
CA, AB gọi là tam giác cầu ABCO) (hình 4)
Nếu gọi a, b, e là độ dài các cung BC, CA,
AB, R là bán kính cầu, z = BOC, 8 = COA, y = AOB thi a = a/R, 8 = b/R, y = c/R (cdc gĩc ø, 8, y được đo bằng rađian) Nếu hiểu các gĩc A, B, C của tam giác cầu là gĩc tạo bởi các cung nĩi trên qua các điểm đĩ, thì các gốc này chính là gĩc nhị diện của tam diện OABC Ấp dụng cơng thức (2) cho tam
dién nay ta duge cos(a/R) = cos(b/R)cos(c/R) + + sin(6/R)sin(c/R)cosA (5) Đĩ là cơng thức cơsin cho cĩc tam giác cầu Từ cơng thức này ta rút ra cosA = [cos(ø/R) - cos(b/ft)cos(e(R)/sin(b/R) sin(¢/R) (B)
Nếu áp dụng cơng thức (4) cho tam điện
OABC thì ta lại được
cos(a/R) = (cosA + cosBcosC)/sinBsinC (6) Các cơng thức (5) va (6) 1a nhitng cong thúc cơ bản của lượng giác cầu Chúng xác định các quan hệ giữa các cạnh và gĩc của một tam giác cẩu
Từ các cơng thức đĩ cĩ thể suy ra các tiêu chuẩn bằng nhau của hai tam giác cầu Bên cạnh những tiêu chuẩn như đối với tam giác thẳng, ta cịn thấy thêm : Nếu hai tam giác cầu cĩ 3 gĩc tương ứng đơi một bằng
nhau thì chúng bằng nhau
Như vậy, ta đã thấy các cơng thức cơsin cho các tam giác phẳng, các tam diện và các tam giác cầu Các cơng thức đĩ cố quan hệ mật thiết với nhau như chúng ta đã thấy trong cách xây dựng ở trên Đặc biệt, cơng
Hinh 4
(1) Thật ra qua 2 điểm 4, 8 cĩ 2 cung của đường trịn lớn Sau này ta sẽ chỉ lấy cung nhỏ hĩn
Trang 15thức cơsin trên mặt phẳng cĩ thể coi là một trường hợp giới hạn của cơng thức cơsin trên mặt cầu khi bán kính của mặt cầu lớn vơ cùng Thật vậy khi # — œ thì sin(2/R) —>
a/R do dé l
cos(a/R) — ¥1 — (@/R)* = [1 - (/R)2J⁄2
= 1-a7/2R
Tương tự như vậy đối với sin(0/R), sin(c/R), cos(b/B) và cos(c/f?) Cơng thức (5) bây giờ trở thành 1 ~ a2/2R? = (1 - È2/8R2)(1 - c2/2R?) + (bc/R)cosA (7) Dé ¥ rang khi R — ©, theo cơng thức tính gần đúng (1 ~ 67/2R?)(1 - c2/2R2) = 1 ~ 67/2R? ~ c2/2R?
Thay vào (7) sau một vài biến đổi đơn giản cuối cùng ta được
a? = 67 + ¢? - 2becosA
tức là ta lại tìm thấy cơng thức cơsin trên mặt phẳng
Bây giờ ta xĩt thêm trường hợp đặc biệt khi tam giác cầu cĩ gĩc vuơng ở A chẳng hạn Lúc đĩ cosÁ = cos(z/2) = 0 và cơng
thức (5) trở thành
cos(a/R) = cos(b/R) cos(c/R) (8) Cơng thức này được gọi là cơng thức Pitago trên một cầu, khơng phải vì được Pitago phát hiện ra, mà vì một lí do sâu xa
hơn, bản chất hơn Thật vậy nếu cho đt ~> œ
thÌ (8) trở thành
1- 822W? = (1 — 67/2R2)(1 - 07/22) = 1 - ð2/2R2 — c2/2R?, Tit dé a* = b2 + c2
tức là ta lại trở về cơng thức Pitago trên mặt phẳng Thực chất của tên gọi trên là ở chỗ đĩ
BẤT ĐĂNG THÚC EC-ĐƠ-SƠ
TU DU DOAN DEN KHANG DINH
Một số các bạn, trong khi làm tốn, cĩ
thể đã gặp bài tốn sau đây : "Chứng minh rằng tổng cĩc khoảng cách từ một điểm M trong một tam giác ABC dến cĩc định tam giác đĩ khơng nhỏ hon hai lần lổng cĩc khoảng cách từ diểm đĩ đến các cạnh (hay phần kéo dài của cạnh)"
Đây là một bài tốn khá đơn giản Nếu
dat MA = R,, MB = R,, MC = R, va goi
a, dy d, theo thứ tự là các khoảng cách từ
M đến các cạnh BC, CA, AB, thì điều cần chứng mình trong bài tốn trên là
R,+R, +R, = Ud, +d,+d.) (EF)
Cách đây gần bốn chục năm, nhà tốn học nổi tiếng Hung-ga-ri P Ecđơsơ, trong khi nghiên cứu các tính chất của tam giác, lẩn đầu tiên đã nêu lên bất đẳng thức trên, mà sau này người ta vẫn quen gọi là bất đẳng thức Ecđơaơ Bị lơi cuốn bởi tính giản
đị của bài tốn, nhà tốn học lao vào chứng minh ; song vinh dy giải được bài tốn đĩ
khơng thuộc về ơng, mà thuộc về nhà hình 254
NGUYÊN CƠNG QUỲ
học nổi tiếng người Anh tên là Moocden Tuy nhiên chứng mỉnh của Moocđen (dựa vào lượng giác) chỉ cĩ ý nghĩa lịch sử, vì nĩ khá phức tạp và rườm rà
Mãi đến năm 1945 (tức là mười năm sau khi Eeđơsơ phát biểu bài tốn trên), nhà tốn học Ma Cadarinốp mới đế xuất được một lời giải thuần túy hình học cĩ thể chấp nhận được Tiếp theo đĩ nhiều nhà tốn học trên thế giới đã nêu lên được những lời giải ngắn gọn của bài tốn đã đặt ra
Thật ra việc chứng minh bất đẳng thức (ŒE) khơng khĩ lắm, và cĩ thể nơi là thích hợp với trình độ của các bạn (ngay cả các bạn ở lớp 8 đã làm quen với việc chứng minh bất đẳng thức) Thật vay, gid st A,, B,, C, là các hình chiếu của M trén cdc canh BC = a, CA = b, AB = c Lấy điểm M đối xứng của M qua đường phân giác gĩc Á và gọi
Bì, C¡ là các hÌnh chiếu của Af' trên CA, AB,
Gọi D là giao điểm AM' x BC và H, K là các hình chiếu của B, C trên AM' Th cĩ (hình vẽ) :
Trang 16
ø = BC = BD + DC > BH + CK (đẳng thức
chỉ xảy ra khi H = K = D, hic dé AM’ la
đường cao của tam giác) Từ đĩ cĩ a.M”A >
BH.M’A+ CK.M’A = 2S(M’AB) + 2S(M’CA
cM'C|+bM’B), tic A oM’A > cMC,+bMPBỊ
Nhưng vì M và Aƒ' đối xứng với nhau qua phân giác gốc Á nên MA = MA, M’C, = MB,, M’B, = MC,, nén ta cĩ thể viết aMA > cMB, + 6MC, hay cR, > ed, + bd,, tức là R, > (cla)d, + ®ia)d, @) Tương tự đ, > (a/6)đ, + (clb)d,, R, > (bled, + (ale)d, va cong lai ta duge R, +R, +R, > be e 8y > (g?g) đ + (†2)%4+ ab * (54a) 4
Nhưng các tổng trong dấu ngoặc là tổng hai số đảo ngược nên chúng đều khơng nhỏ hơn 2 (các bạn lớp 8 cố gắng chứng minh tính chất này), do đớ :
R,+R, +R, 2 2d, +d, +d)
Đẳng thức chỉ xảy ra khi M'" là trực tâm của tam giác ABC, đồng thời ø = b = c, nĩi cách khác M' (và do đĩ cả M) là tâm của tam giác đều ABC
Trên đây là một trong những lời giải tương đối ngắn gọn của bài tốn đặt ra
NHUNG C6 GANG DE MO RONG BÀI TỐN
CUA ECDOSO
Sau khi chứng minh được bất đẳng thức (E) người ta cịn chứng minh được những bất đẳng thức sau đây
RRR, > 8d,d,d, (2)
VR, + VR, + VR, > V2(Vd, + Vd, + ¥d,)(3)
UR, + UR, + UR, < (id, + 1d, +12 (4)
Đẳng thức xây ra khi và chi khi tam giác đã cho là đều và M là tâm của tam giác đơ Các bạn thích đi sâu cĩ thể tự mình chứng minh các bất đẳng thức trên : (2) và (3) cĩ thể xuất phát từ (1), rồi áp đụng các bất đẳng thức Cơsi hoặc Bunhiacốpxki ; để chứng minh bất đẳng thức (4) cĩ thể áp dựng bất đẳng thức Œ) cho điểm M và tam giác mà các đỉnh là ảnh của A, Bị, C, trong phép nghịch đáo cực M phương tích bằng đơn vì Thế thì những bất đẳng thức trên cĩ liên quan gÌ đến việc mở rộng bài tốn của Bcdơsơ Muốn biết điều đĩ, trước hết ta cẩn biết thế nào là giá trị trung bình của các số dương cho trước Trong đại số học, người ta gọi giá trị trung bình bậc & (* là một số thực) của các số dương #ịụ #;; *n là số
My ly, X55 0 XQ) = Đx + xe + + ah) in Người ta cũng chứng minh được rằng khi È dần tới 0 thì M, Œ¡, Xo) 4 X,) đẩn tới trung bình nhân của các số #; #ạ ¿ xạ, tức là
MG q, Ky oy XQ) = Yaz, + tf
Cịn giá trị trung bình quen thuộc như trung bình cộng, trung bình tồn phương, trung bình điều hịa theo thứ tự ứng với các giá trị của & bang 1, 2 và ~1, tức là
M(x, Kay vey x,) = @, +x; + tava
May, Xp 04 t,) = VR tae + +2 in
4M 1Œp X;y %,) = n/Qa + Ly + + 1ã) Bây giờ nếu ta viết lại các bất đẳng thức (2),
(8), (4) dưới các dạng khác như sau Ä R RRJ8 > dda /8 VARI + RỊ + RV /3 > a2 Wats a+ aya 3 22 3 YR,+ VR,+ UR, lid,+ Vd,+ ld, thì các bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (E) cĩ thể tớm tất trong cách viết sau MR, Ry RI > 2M (4, dụ độ) (5) voi k = -1, 0, 1/2, 1
(Đằng thức xây ra khi tam giác đã cho là đêu và M là tâm của tam giác đỏ)
Một giả thuyết được đặt ra là bất đẳng thức (ð) cĩ thể mở rộng cho mọi số thực & tùy ý Nhưng chẳng bao lâu giả thuyết đĩ đã 4) (8) 4)
Trang 17bị bác bỏ vì người ta đã chứng mình được bất đẳng thức (thật sự) 2 RỆ + RỆ + R > (2dđ2 + dệ + d2) tic M(R,, Ry, R.) > 2M,(d, +d, +d) va ti sd M(R,, Ry RIIM(,, d,, d.) cĩ thé dần tới 2 bao nhiêu cũng được nhưng khơng thể đạt được giá trị 2
Tất nhiên là việc chứng minh được bất
đẳng thức này đã phủ định hồn tồn giả thuyết trên Tuy nhiên đến đây bài tốn vẫn chưa chấm đứt Năm 1958, nhà hình học người Áo tên là Fơlơrian đã chứng mỉnh được rằng bất đẳng thức (ð) đúng với những giá trị k thỏa mãn điều kiện -1<k«1, và đồng thời cũng chứng minh được rằng với những giá trị của k > 1 và < -1 thì Ik MAR, Ry R) > "V2Md,,d,,4,)
Nhu vậy là việc mở rộng bài tốn của Eed6so da dugc giải quyết Tuy nhiên, người ta khơng bao giờ chịu bằng lịng với những kết quả đã thu được Nhiều nhà tốn học đã nghỉ đến việc mở rộng những kết quả đĩ vào một đa giác lồi tùy ý Năm 1948 nhà tốn hoc Fegio Tot người Hung-ga-ri đã chứng minh được bất đẳng thức
Rịụ, R¿ R„ > d, dy d,fcos%x/n), tức là
MR, Ry om Ry) 2 Mody dy
ở )/icos (tín) trong đĩ J và d, theo thứ tự là các
khoảng cách từ một điểm ở trong một đa giác lổi ø cạnh đến các dỈnh và các cạnh của đa giác đĩ (Đẳng thức chỉ xây ra khi đa giác đã cho la đều và điểm đã cho là tâm của đa giác đĩ)
Đồng thời Fegiơ Tot lại nêu lên giả thuyết
MOR, Ry, By) > Mid, dy
đ,)/cos"(jm) với k = 1 và —1
Trường hợp & = 1 đã được Fơlơrian và một số nhà tốn học khác chứng mỉnh là đúng
Việc mở rộng những kết quả đã tìm được vào hình học khơng gian (cụ thể là vào tứ diện) cũng được các nhà tốn học quan tam Người ta đã chứng minh được bất đẳng thức
RRR Ry > 81d,d,dd,
tức là
Mu, R.,R, TP) > 3M (d, dd, d) (trong để Ry Và po lÀ các hoảng cách từ một điểm trong một tứ điện đến các đỉnh
và các mặt của tứ diện đớ) Tất nhiên người
ta nghỉ đến việc thay M, bằng M, với k tùy
ý, nhưng nhà tốn học NI Cadarinốp đã bác
bỏ giả thuyết đĩ bằng những ví dụ cụ thể Và tiếp theo đĩ, sự nghiên cứu của các nhà
tốn học Liên Xơ VI, Rabinơvích và J.U
lagolơm đã dẫn đến kết quả đúng là
Uy Ry Ry Ry Ry) > 3M (dy dy dy dy)
với mọi số & khéng am : Trên đây chúng ta đã thấy rằng việc phát hiện, chứng mình và phát triển bài tốn của Ecdéso qua là một quá trình gay go phức tạp Việc chứng minh những kết quả đã tìm được thì khơng khĩ lắm, mà thật ra chỉ địi hỏi những kiến thức ở bậc phổ thơng Tuy nhiên lồi người đã tốn bao nhiêu cơng sức, bao nhiêu thời gian, dị dẫm từng bước, dự đốn rồi khẳng định, người nọ tiếp sức cho
người kia, thế hệ này kế tục thế hệ khác,
cuối cùng mới tÌm đến chân lí khoa học Nhưng dẫu sao, chân lí đĩ vẫn chưa phải là
đỉnh cuối cùng Lồi người luơn luơn suy nghỉ làm cho tẩm mắt của mình càng mở rộng, vốn hiểu biết của mình ngày càng thêm phong phú, để đạt tới chân lí khoa học ở mức độ cao hơn
LÀM QUEN MỘT CHÚT VỚI LIÊN PHÂN SỐ
1 Ư lớp đầu cấp III, ban đã học về căn
số và biết rằng căn bậc hai của các số khơng
chính phương là số vơ tÍ và cĩ thể biểu diễn bằng một số thập phân uơ hạn khơng tuần hồn Tất nhiên, đối với số thập phân vơ hạn 256
HỒNG CHÚNG
khơng tuần hồn ta chỉ cĩ thể biết được một, số chữ số thập phân của nĩ mà thơi Thí dụ :
¥2 = 1,41421 x = 8,141592
