Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

17 643 3
Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

Do ö > c nên: p2 - Đac = Tém lai, t6n tai (it nh&t) lA x = +;„ tam giác cho trước tốn có lời giải (đpcm) (@+b+c)2/4- 2œ = (1/4)[(œ + b + e)2 - Bae] = > (1⁄4)[(œ + 2c)? - Bac) = (/42Áa - 2e? z Ban đọc dễ dàng chứng minh đường thẳng (đi qua M, N) phải tìm ln ln qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC (chứng minh bang phan chứng) Tức A' > Vậy (3) có nghiệm : X= (1/2)(p + ¥p? — 2ac) va x, = (1/2) - fp? — Zac) Bài Hién nhién 1a x, > va x, a) Gid sử z = zị —2ac Bài < 2c - p Vậy ta phải có 2e - p > (Nếu c < thi xét x = x,) Giả thiết e > p/2 Khi 1⁄2 —c a2 tốn Có hay giải, song tốn khơng ta chưa mặt tương tự tứ diện ABCD cho trước cho chia đơi diện tích tồn phần tứ điện thành bai phần chia đơi thể tích tứ diện thành hai phần ? (1) ©pÊ - 2me « (2e - p)? = 4c? — 4cp + p2 “=-a phẳng thiết điện cất góc tam diện Rõ ràng (1) ©(1/2)@œ + Ýp? -2a)ec eoyp* tốn dừng lại, xuất khơng gian < 2c - 3p = 2c-a-b-e VÌ khn khổ báo có hạn nên xin trỉnh bày ý cách chứng minh toán 2b Do gid thiét a > c, nén ta euy : b=c @ p/2 (*) Nên trường hợp tam giác ABC cân, đỉnh A thỏa mãn điều kiện x= (*) tốn giải, lúc xy b) Gia sử z = z„ Ta có (1) > (1/2)(p - Ơp? = 2ac) < e ô=p - 2c < Ýp? ~ 2c + Tập hợpp ~ 2c < thi (1) hiển nhiên với x = *ạ + Tập hợpp - 2c > thi (1) ©p? ~ 2ae > (p ¬ 2%)? = p2 ~ đẹp + Ạc2 -a -2p +?c = 2c-a-b-c¢ = > c (đúng giả thiét a > z c) Giả sử tứ diện ABCD có diện tích mật la S,, Sg, So, Sy(tuong tng voi cfc đỉnh A, B, C, Ð) Một cách tổng quát ta xem : 8, © S, -V7+ có lời giải thủ ba : hay "gắn bó" Ta nẩy ý nghỉ : chuyển qua lượng khác tÍ tránh chuyện : < với việc chứng minh bất đẳng thức, ta lại có ý nghỉ liên hệ khác Ta lướt qua đầu bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cô-si ? Bất đẳng thức Cơ-si phát biểu cho ếc số đương day u, v, x, y số thực mà Í Thế cịn bất đẳng thức gi ? À ! bất đẳng thức Bunhiacơpzki có lẽ được, phát biểu cho số thực ! Như ? 142 Nếu đặt A = (uy + ux), B = (vy - ux), tacé P= A+B =1 -V5 {A?+ PB” « A+B < (2 JA7+R? ©=(A +B)? < (A? + B?)? = -1 < sinfa+) -Ý2(đpem) = y(u2 + u2) + x2(w2 + u2) -JŠ< uly -x) tut) « J2 Hay : chia vế cho V2 : Nếu > P + vy? + u2x2 ~ 2xyuu = thứ : : w = cosØ ; = sing + sinfcosa Ý2 A? + B? = uty? + uÄx2 + 2xyuu + ta có sin2œ + cos2z = cosổsinz > Pa Ma: (y - x)NZ = sina ; (y + x)N2 = cosa ~l nhiên ta = (uy + ux) + (uy - ux) Vo If qué ! Nhung không lo, ta đặt É ~ x2 = sina, (y +x)j2 Tn phải chứng minh Quả Vl10@2+zx2+y?+z2 hay P = cosa Vay thi sin2a + costa = Đặt y+x Ý!.@f+z?+y?+z2Ð > dạng lượng giác cách riêng lẻ Còn Thế ! Ta giải cách B?(Œ? + D35 {@2+25)(@—z)7+ @+z)] >P > > -{@Œ + 0Ð [ặ ~ z)2+ (y + x)] Vấn với ý nghĩ đưa lượng giác Nhưng ta tiến thêm bước Nhìn P ta thay w đứng riêng lé, ta đạt chúng ;y+x > Đặt ta vừa nơi, theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta cổ : - VÊ AC + BD Đến ta nhìn giơng giống bất đẳng thức ta ? Và ta đặt thi A = u, C =y-x,B=u,D= = V2sin(a + B ~ 7/4) Nên Hay Th có : > (AC + BD)* +»(A.1 +B.1? ¢ (A? + B21? + 12) Lại đạng Bunhiacôpxki ! Th chứng minh xong Như ta đỡ có lời giải Nhưng từ đầu đến giờ, ta chưa để ý đến vấn đề dễ nhận thấy Các số ư, u lại 0, u x, y lai y, x Nhin ki giả thiết ta thấy u, u có vai trị x, y cing không khác "địa vị" giả thiết Tức phần kết luận ta thay x cho y ngược lại ; œ cho ngược lại, chí thay cặp uw, vu cho cap x, y cing Từ cách nhìn ta lại có nhiều cách giải khác : Cách giải thứ õ : Ta ding phản chứng Giả sử uly - x) tuts +y) > ¥2 Thế vai trị z, y ta có ; ute — y) +uậ + y) > V2 (2) Cộng vế với vế (1) (2) : 2u(x + y) > 22 hay ux + vy > J2 (3) Nhưng theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki (ux + uy)? < (v2 + 02)(x? + y2) = = 22 «2 (vl -1 «uv J2 Pey2 Tuong ty: P > - ¥2 Vậy ¥2 » P =» -¥2 (dpem) Qua ba cách sau cùng, ta rút điều : cha u,v Do dé 2(uy + vy) > 2V2 > V2 (3) (uy + ux)? € (u? + vy? + x2) Vẫn dùng phản chứng Nhưng đổi vai trò 1) qa”) (@") V2 < uy tux < V2 (Ft) Vậy (3”) mau thudn véi (***) Suy Cách thứ : yotyu +>y) >2 Nhung ta có : Ket hop lai: ¥2 >z P z - V2(đpcm) Thé thivy-x)tue+y) > VF + y) > V2 Do 2uy + 2ux > 22 + y) < — VZ > V2 (dùng thuẫn Vẫn dùng phản chứng Nhưng đổi x cho 9# ngược lại, đồng thời đổi vai trị u, u, tự ta có mâu thuẫn Nên Gia st uy - x) tue+y) Vậy xây mâu (3°) va (**) > P< ¥2 Vẫn đổi vai trị w, u ta có P > -V5, Vậy V2 > P > V2 với (*®) Suy (1) không xảy ra, tức : Giá sử wỚ ~ x) +u Bunhiacôpxki) Gia st uly ~ x) + ve Hay : -¥2 < uxt+uy < ¥2 Vậy Tương tự cách giải B ta phải có ¬ Ý2 = wot yu < VF (**) (2”) (8) giải toán cần ý đến vai trò phần tử Ư tốn vai trị số Cịn có số tốn hình học khác, vai trò điểm với nhau, đường với nhau, đường điểm, v.v TRO LAI MOT BAI TOAN VỀ DAY PHIBONAXI L.TS ~ Trong "Vài mẫu chuyện thi vơ địch tốn" (THTT số 30, trang 15) có kể chuyện Balatxơ giải kì thi vơ địch tốn lắn thứ ð Matxcdva (năm 1946) có nhiều suy nghĩ sáng tạo giải toán sau : "cho dây số 0, 1,1, 2,3, 5, mối số, kể từ số thứ ba, tổng hai số đứng trước (+) Hỏi số 10” + số hạng dãy, có số tận bổn chữ số không ?" Baiatsơ tìm cách giải tốn tổng qt khó nhiều : đánh số tất số hạng tận bốn chữ số Tòa soạn nhận thư nhiều bạn đọc hỏi lời giải tốn mà Balatsa đề Tịa soạn hoan nghênh bạn cố gắng giải toán ; tà biểu rõ rệt phong cách học tập tích cực, chủ động ; với cách đọc báo toán vậy, với cách học vậy, chắn bạn đạt kết tốt Tòa soạn xin giới thiệu với bạn đọc lời giải tốn Ta kí hiệu số hạng day @, @ = 0,1, 2, n): a,=0,¢,= 1,4, = 1,e, = 2,4, = 8, nhu vay a, la 25 hang thứ ¡ + dây Theo định nghĩa, ta có, với m > : a =O, to, q) Th tìm công thức liên hệ a, với số hạng khác đứng trước Vì a, =a==1, nên (1) viết : đm = 62 đạc tới đu5 2) (*) Day số gọi “day Phibônawi” (Phibơnaxi nhà tốn học Ý kỉ 16) 148 Ấp dụng công thức (1) cho đ„_¡ > 3) ta : m a, = 2,(a,,.+ 4,5) (giả sử số trường +e, a,5 @, = 4,4, ,+a,4a,5 Tiếp > tục áp dụng (3) (1) cho ø„_; 4), thay vào (giả sử (3) ta đun = 0y đụ (4) So sánh (2), (3), (4), ta dự đoán đụ = Can tk T8 | đụ công thức tổng quát : (5) dé m số tự nhiên tùy ý m = vAk số tự nhiên < m(l < Èk < m) Ta chứng minh (5) ¿ruy toán theo & : Với bất kÌ số tự nhiên m (m z 2), công thức (6) với k = Thực vậy, thay # = vào (5), ta mạm = Gì a, te, ayy đẳng thức vị a,=1,a, Giả sử (5) tức hợp độc biệt Trước hết, ta xét số dư phép chia = (a, t+a,a,,t+a,a, m Ta tìm số hạng chia hết cho 2" (va cho 5") cách mị mắm dựa có bảng sau : i 0123456789 10 11 12 Na 11 theo i, ma a, = a, = Ra.) = tinh don gian hon 1, nên R¿(a) 1; sau dé via, R,{a,) = ; tương tự vậy, R„(œ¿) Se tek = Fmek * Om ~ + — +1) a,, = & Gy + đại — K+ 1) ta mk q+ Oy) +O an, (p số tự nhiên tùy Oy Fy nén a i 0123456789 10 11 12 9112310112 3:1 (lập tương tự : R.z(ø;) chẳng hạn số đư phép chia tổng = Oy Công với số tự nhiên k < m, dpem thức (ð) công thức mà ta sử dụng nhiều Chú ý với m = 2p + lấy k = p + 1, công thức với (5) trở thành Or) = Bay + a 6) Ta biết điều kiện cần đủ để số tận œ chữ số (chia hết cho 10") đồng thời chia hết cho 5" thay = Ra) =R pa.) 0, tức ẹp = = Tiếp tục lập bảng xét trên, ta có ơ, ¡ 23, tổng quát la ag, im = Fe Omek + Soe (Ket) (5) Ra) = 1) = Re) chứng tỏ (5) cho & + Nhu vay 144 2) Để tìm số hạng chia hết cho 22 = 4, ta lập bảng Ez(œ,), tức số dư Ta đại — KH Ma va l Rye,) + Rp(e,) = 2+ = cho 2%, tic đo 2” = = 0+1 cho 2, v.v Qua bảng, ta thấy R;(œ;) = = Ra.) = Rylay) = = 0, tức ay, dụ, Ry@)| ~ 1, nên m = nén dé số dư phép chia Đ.(0;) + R.(œ„) = —& > 2, nên ta áp dụng cơng thức (1) cho @ mink? k < m = a, +a, tính R„(ø,) ta lấy số dư phép chia tổng phép chia a, cho 22 Ta cd Thực vậy, = 0, R,(a,) + Ra.) = +1 = cho 2, tức đạn m = By@mt 1-k Fy Oak Ta chứng minh công thức với k +1 : via, = 0, Rafa.) ý) chia hết cho (ta viết đạc : - 1, Để lập bảng này, không cần phải tinh a, Gp, tổng quát la a, = với &, l « k « m a, cho Ta kí hiệu R;(ø,) số du dé Ta 23,a¡„! Từ chứng minh Định lí I tự nhiên tùy 2', tổng quát up 24 kết đó, dự đoán Nếu rthia,, r(p lasé ý) Thực vậy, rõ ràng định lí với p = Giả sử định lí với p, tức q r, ta ching minh thite (5) : a, S(P + yp? r, Ta cd, theo công Boy +1) = Asp +145 + Sep ay ma rvà đạp ior, nén đực +) ï r (đpem) Trở lại kết Ta : 8y? 2, da Í 22, a: 23, 24 hay @, 9! a3 Ba, ni Pa, at Ba, at Ma theo (6) thi Oy 594 = OFgn FF pay = Quy luật ? Chú ý ta có 23, a,,: 24, nen co thé vist : va 93 20! Ba, i Ba,oi Ba, vỉ ĐI Ta chứng minh truy toán Rõ ràng kết với ø = I Giả sử kết với ø, ta chứng minh với = 8y s3 mạ ¡ F@y sry) ort yy Ty m1 _ 1) 2", Do dé mà đạn +1 = Aen Lazear apt Osa Vậy ta có Gọi biểu thức dấu [] Plaga, đạn „ ¡), ta od rỉ 2, đạn + = đun P (Bạn đạn ta co thé dé va ching minh dé dang định lÍ sau : Dinh WIV 5%, từ đốn a„¡ tìm cách chứng mỉnh b) Giả sử @&ạai Gent} = on „ũ Ta lap bang : £ |0 123 (5) để biểu 6789 Ria@yfo.ia23o0331404 Quan sát bảng, ta thay day đ,(œ) tuần hoàn, chu là 20, nghla A Re(ayy , )) = Re(a,), 1Q" TCTH gt) phải tìm số dư phép chia đạn ,¡ cho ð tức tìm Re Rõ ràng : diễn 10H 5) Theo biểu thức (7) vừa tìm được, để chứng minh điều này, ta phải chứng minh P(@„œ„ „¡) chia hết cho 5, Muốn ta õ", Để S81 TOs Oy on BR, ð", ta chứng minh aati: điều truy toán, ta dùng công thức Gti theo ag Ta cd (7) a) Kết đứng với ø = (a5: 2%\n > 2) Bay ta chuyển sang việc tìm số hang chia hét cho 5° Các ban hay lập bảng R,(a;), Ryla,) va dé dang thay rang a,: 5, 1) Bây ta chứng minh 0ạn : @, p27 x X (đổ: ¿¡ + Đuậy + gần _ )] 2” (n số tự nhiên Nếu ý G =ứy 23, địy =ay + + (đân ¿¡ † dân)? + 2P*1 (dpem) tùy ý) = = Aso(asay pt ago )(a5o, ¡+ 2a3s+ adn) dấu ngoặc chia hết cho 2, từ đ suy đ;y „1! = Bq shhh Oy smo ong pt Oy sn] Oy go = R,(ay, 1) = (theo bang 1), tổng Dinh i: Gen _ Còn 3, Og go“1 Gy any, y= Gg 20-1 4g oI Øy 2n! Den Tim + (Gấn,¡ tan)? z + Theo (5), Theo giả thiết truy tốn đị n1£ cịn Øy „n1,¡ có dang 2y Gy ấn = Aen 4) t+ an)? = Gsn(Qsn yy + den_ 4) Tiên đ¿ s+1= đấ(đẹn, ¡+ đơn, pt từ cớ thể dự đoán : Ø; „1i 2° ? = Gy poly ot (ay RA.) 12 1M 45 = l6 022 H7 18 19 20 101 2L 23 1D tổng quát (đe +) = Bla), dop số tự nhiên tùy ý Thực vậy, ta có 145 Relay) = Rela) = số hạng thứ R,(a),) = Rs(a,) = 1, 98.225%.M + = TB00M + 1, nghĩa số hạng thứ 7B01 (M = 1), 15001 (M = 2), tận bốn chữ số Relay) = Re(Ay9) + Relay) = = R,(a,) + R,(a,) = R,(a,), R5(a,,) = R,la,,) + Re(a,)) = = R,(a,) + B,(a,) = R,(a,), vv Vi vay, 5) = 5.651 = ð(4 + 1)! = B(AM + D = 20M +5, nên Rela.) = Rr a (5 1) Rola5,) = = RP (Gà ae VD] = R,I02(8 + 8)2 + + (8? + 02)? + 3(8 + 3)(8? + 2.02 + 82) = = R,[ +18] = R47 +3?) = R,(25) = minh duge (đpem) Ta chứng Dinh li HH: đai ð” với số tự nhiên ø tùy ý Từ định lí I, II, IT, Oy grtgm VOI tất số hạng có dạng IH, suy số tự nhiên ta làm số hạng chia hết toán tổng đề (tức hết cho 104), Để giải tốn tổng qt đó, cịn phải chứng mỉnh có số hạng Lưng chia hết cho 2“ có số hạng đạp chia hết cho 5“ (ngoài khơng cịn số hạng khác) Muốn vậy, điều đơn giản (nhưng đòi hỏi kiên nhãn !) lập bảng Ry(@;) R„(a)) xét khoảng Và ta có tức P chia hết cho Chú ý ~ Trên đây, việc lép cho 10! chưa giải quát mà Ba¬lai=sơ tốt số hạng chia tùy ý, chia hết cho 2.5" = 10" (n : tự nhiên tùy ý) ; tất số hang cd danga,, + 2n—z oo déu chu kÌ dãy (Một cách tổng qt, chứng # (a,) Các thấy hạng tuẩn hoàn, chu kì khơng lớn #2), bạn thử làm xem, qua đó, bạn tốn mà Ba-lat-sơ tự để toán phong phú - Trên đây, ta chứng mỉnh số thứ 7501 tận bốn chữ số Tất nhiên, bạn đặt câu hỏi : để ra, lại hỏi : "trong số 108 + số hạng dãy ” mà không lấy số 7500 + hay 10000 ? Con số 10 + có quan hệ chia hết cho 101, uới n > với toán ? Để trả lời câu hỏi này, bạn đọc lời giải tốn số 16 (§6) sách "Rèn luyện khả sáng số hang dang ay, ; „+ chia hết cho Chúng (Nhà xuất Giáo duc, 1967) Nơi riêng trường hgp n = 4, thi tat 103, tức tận bốn chữ số ; VỀ MỘT VÀI PHƯƠNG LÍ thuyết phương trình Đi-ơ-phăng (cịn gọi giải tích Đi~ơ-phăng) nghiên cứu việc giải phương trình hệ phương trình (với hệ số nguyên, phương trình đại số), phạm vi số có dạng xác định : số hữu tỉ, số nguyên, số tự nhiên, số ngun tố Trong tốn giải tích Đi-ðơ-phăng, số ẩn số thường nhiều số phương trình, nên phương trình thường gọi phương trình 0ơ định Phương trình vơ định gặp nhiều đời sống, nhiều vấn đề thực tế Chúng ta 146 tạo tốn học trường phổ thơng" Hồng Đăng Viễn va H.C TRÌNH ĐIƠPHĂNG biết giải số phương trình vơ định tốn "trăm trâu, trăm bố "Hàn Tín điểm binh", Việc giải 4/52 số báo đưa ta đến giải phương trỉnh vơ định qua cổ”, tốn việc Ngay từ thời thượng cổ, nhà toán học quan tâm giải phương trình vơ định Chẳng hạn từ khoảng kỈ thứ 17 trước cơng lịch, nhà tốn hoc Ba~bi~-lon biết giải phương trỉnh x?'+ y2 = z2 (phương trình pi-ta~go) phạm vi số nguyên Một phần thuyết số cố lớn thành thể đưa tựu giải lí tích Đi-ơ-phăng Chẳng hạn định lí tiếng Vi-nơ-gơ-ra-đếp : "mọi số lẻ đương đủ lớn viết dạng tổng ba số nguyên tố" thuộc giải tích Đi¬ơ-phăng : phương trình lẻ dương đủ SỐ ngun tố thi If thuyết phương trình nguyên Người x + y +z= W W số lớn giải phạm vi Theo nhà toán học Sê-bư-sép số khoa học giải vơ định phạm vi số nghiên chứng minh đơn giàn đớ Sau nhiều lần chứng minh dài đồng, có tối nghĩa sai lầm, cuối Gôn-bách đến chứng minh đơn giản đẹp định lí Ĩ-le phương trình (2) khơng có nghiệm số tự nhiên Chứng minh Gơn-bách sau : Giả sử (2) có nghiệm 4m ảnh hưởng lớn đến phát triển lí thuyết số nghiên cứu phương trình vơ định số tự Cơ-si, nhiên), Cu-me, Trong Ĩ-le, v.v lịch sử La-gơ-răng, tốn học, Gao-xơ, giải tích : Thực œ =m vài toán, liên quan đến nhà toán học tiếng Ó-le : Trong nghiên cứu để đến phát định lÍ lí thuyết số, O-le ý đến phương trÌnh vơ định 4yT—-x—y=22 qd) Trong thư viết cho bạn Gơn-bách, năm 1741, Ĩ-le cho biết chứng minh phương trình (1) phương trình 4xy-x—1=z2 (2) khơng có nghiệm số tự nhiên x, y, z Để chứng minh điều phải dựa vào định lí Phéc-ma (mà Ĩ-le Gôn-bách chứng thấy minh được) chứng O-le va minh phức tạp nghỉ chứng minh đơn giản hai tìm cách n vào hai vế (8) ta số tự nhiên, Gộng (4) (5) vậy, có ø = m, vÌ vế phải (3) chia hết cho m định số a giá trị tự nhiên thỏa mãn (2) (Chú ý nhỏ nhấ? z từ (4) Ja ~ 2m| giá trị z thẻa mãn (2), ddx =m, y = n — q + mì, Bây ta chứng minh tiếp 4n T—1>9a giải va vế trái khơng chia hết cho zm Cịn ø >m thÌ n— +m a —= oS => > chứng tỏ : đường tròn điểm ảnh đường tròn š qua phép vị ty tam H tl s6 1/2 Vậy đường trịn điểm có bán kính nửa bán kính đường trịn #, tâm 0, thẳng hàng với O va H Bây ta lại thực phép vị tự tâm G (trong tam tam giác ABC), tl s6 - 1/2 thi ba diém A, B, C bién diém tuong ting : Ly lS AH, = 4H,; BH, = BH,; CH, = CH, (Bạn đọc tự chứng minh) Hình M, N, P tức đường đường trịn điểm Hình AH, BHy, CHỳ› đường đường trịn (š) tâm trung bình tam giác HHH, ma MD AH 46 AH,H, = 909 suy AH,„ đường kính () Tương tự chứng mỉnh + Ta lai co : BH, CHp AH, HyHp = AABC (do tính đối xứng qua tam Ở đường tròn š) HA =2.OM; HB =2.ON; HC = 2.OP Gọi E, S, 7T trung điểm Aïi, BH, CH R6 rang phép vị tự tâm H tl a6 1/2 biến điểm A, B,C, H,, Hy Hy Hyp Hyp Hp céc diém tuong tng R, S, T, D, E, F, M,N, 152 P thành G thẳng hàng với O, Ó, “Từ bai kết ta suy : kính Thực : đường & biến 0,G:GO=1:2 + Về điểm Hụ, Hy, Hp, ta có : MD trịn Bốn điểm : Trực O đường tâm ï, tròn ngoại trọng tâm tiếp, tâm G, O, đường tròn điểm tam giác nằm đường thẳng Đường thẳng gọi đường thẳng gle (hình 3) Thế từ việc nghiên cứu hai tính chất đặc trưng trực tâm, tìm lại hai tính chất biết tam giác (đường tròn điểm) - đường thẳng ơle - xem báo Toán học tuổi trẻ số 1-1964) Khơng thế, hai tính chất vừa phát cịn cho phép giải nhiều tốn khác Ví dụ : Chứng minh : Nếu điểm đối xứng với điểm điểm 7ï thuộc đường cao CF tam giác ABC qua cạnh BC, CA (hoặc qua trung điểm cạnh đó) nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC H trực tâm tam giác Cho diém A, B, € đường trịn TÌm quỹ tích trực tâm tam giác ABC A, B cố định, C thay đổi đường tròn Dựng tam giác ABC biết : a) Truc tam va cdc điểm đối xứng với trực tâm qua trung điểm cạnh tam giác b) Trực tâm điểm đối xứng với trực tâm qua cạnh tam giác Dựng a) chân b) trung tam biết giác ABC Trực tâm tâm đường cao đường tròn qua Trực tâm tâm điểm cạnh đường trịn qua ©) Trực tâm, đỉnh C trung điểm cạnh AB đ) Trực tâm, trung điểm cạnh BC chân đường cao cạnh BA VỀ TAM GIÁC PITAGO NGUYÊN ĐỨC DÂN Các bạn biết định li Pitago : Trong tam giác vng bình phương tổng bình phương hai cạnh huyền cạnh kía : a? = 6? + cŸ Người ta thường gọi tam giác vuông mà fam giác cạnh Pitago số Chang nguyên han, vi 5? = 4? + 3? nén ta od tam gide Pitago [5, 4, 3) Bây thử tìm tam giác Trước hết, có tam giác [5, 4, 3] dễ dàng tìm tam giác đồng đạng với : [10, 8, 6], [15, 12, 9], [20, 16, 12], Trong số tam giác đồng dạng với này, tam giác [B, 4, 3] có cạnh nhỏ ; gọi £zm giác Piago gốc tam giác Piiago nguyên thủy Trong tam giác gốc rõ ràng cạnh phải đôi nguyên tố nhau, nghĩa hai cạnh tam giác gốc không cớ ước số chung với Thật thế, tam giác la, b, c] có œ b chia hết cho œ ta suy c phải chia hết cho ñ Thật vậy, gia sti a = n a’, = nb’ thé thi, từ đ2 = b2 + c2 ta suy : n2,a'2= n2 + c2, từ ta thấy c phải chia hết cho thế, [ø, b, c] tam giác Pitago gốc Cho nên để tÌm tam giác Pitago, ta chi cin tim cée tam giác Piago gốc dù TH, Một vài tam giác Pitago gốc đặc biệt Đầu tiên xét tam giác gốc mà cạnh nhỏ hết số lẻ Chúng ta tìm số tam giác sau : [8, 4, 5], [5, 12, 8], [7, 24, 25], [9, 40, 411, Quy luật tìm tam giác ? Quan sát tam tính chất sau : [84,5] giác này, thấy 82=9=4+65 {5, 12, 18] 52 = 9ð = 12 + 13 ’ (7, 24, 25] = 49 = 24425 (9, 40, 41] 92 = 81 = 40 +41 IH Gọi p, q số nguyên dương, ta có : Từ (+ 422 = (p2 — a2)? + (2pg)? hệ thức chúng tam giác Pitago sau ta Ib? + q?, 20g, p? - g?] Ð, q tam thành tam giác [1] ? hệ [2] giác [2] trở Chúng ta có khả sau : a) Coi p2 — q2 cạnh nhỏ nhất, : (2 — qĐŸ = (ø ~ q} (p + q)? = = (p? + 9?) + 2pq = (p + 9)? p — g= p=g+ b) Coi 2pg cạnh nhô nhất, : (2pq)? = (p? + 4?) + (p? — q2) = 2p2 153 Bây lại lưu ý rằng, [4] p số lẻ lại trở tam giác 2q? = Diều xảy vÌ q số nguyên đồng dạng với tam giác [3] Thật thế, giả sử p= 2n +1, tam giác [4] trở thành c) coi p? + q2 cạnh nhỏ Điều khơng thể xảy p2 + g2 > g2 — g2, Tớm lại, ta có khả p =g + 1, lúc tam giác [2] trở thành [2g” + 94 + 1,24 (+ 1),2g+11 đơn vị, ta rút [3] quy tắc để tÌm tam giác [3] sau : rổi với chẵn Ta [n2 + 1, 4n, 4n2 — 1] 112 + 121 =60, 61 hết cho 4, cạnh 18? — 160 — 84, 85 giác nêu [1] có cạnh số chẵn Ví dụ [8, 15, 17] Có quy tắc để tìm tam giác hay khơng ? Từ [2] ta suy quy tắc để tìm số tam giác loại : Quy tác : Lấy 42+ Ở [2] đặt = 14] Quan hệ cạnh tam giác [4] sau : (2p)? = 4p? = 2p? + 1) + 2p? ~ 1) [B] [ð] rút quy tắc tÌm tam giác [4”] sau : số chia hết cho giác vuông Mật nửa bình phương cạnh cạnh huyển với cạnh góc vng đơi nửa bình phương cạnh đơ, đem trừ cộng thêm ta lần cạnh kể cạnh huyền tam phải tÌm cạnh số chẩn (và chia hết cho 4) Rõ ràng tam giác vuông khác mà DUONG chúng nguyên tố nhau, cạnh huyền lớn cạnh kế hai đơn vị Quan sát đẳng thức làm cạnh tam {p? + 1,2p, p2 — 1] 14] Đó tam giác gốc, có cạnh một tam giác vng đem bình phương trừ 1, nửa kết cạnh kế khác, nửa kết cộng cạnh huyền cần tìm DUNG giác gốc, [4], p số số chia Quy tắc : Lấy số lê bất kÌ làm cạnh Các tam @ Nhân đôi cạnh tam giác [3] ta tam giác [4') Như thế, để tạo tam Đó tam giác gốc có cạnh nhỏ số lẻ Các cạnh nguyên tố Trong tam giác [3] hai cạnh lớn [2(n2+ 3m+ 1), 2/2n(n+ D), 2(2n + D| 16+8 => 3,5 tổng Chia kết lượt giác [5, 4, 3) 8? + 64-+ 82-+ 15, 17 [17, 15, 8] 12? + 144 +72 — 35, 37 [37, 85, 12] 162 — 2ð6 — 128—> 63, 65 [65, 68, 16] Ngoài [3] [4'°], cdn tim duge tam giác gốc khác TRON APOLONIUT DE GIAI MOT SO BAI TOAN CUC TRI NGUYEN CONG QUY Chúng ta biết : cho trước hai điểm A, B, quỹ tích điểm M trịn gọi mà tỉ số khoảng cách đến A uà B lớn mặt phẳng cho tỈ số MA ; MB tà nhỏ b, cụ thể : uới k < 1, diểm M' ngồi œ M'A : M’B > k, diém Cần ý dường trịn Apơlơniút œ chia mặt phẳng thành hai miền diểm Chứng minh điểu khơng có khó That vậy, giả sử & < Thế điểm A nằm số k z đường trịn Apơlơniút 154 đường M' œ MỊA ngược lại : M'B < k;uới Đ > ... đường trịn, hai điểm đầu đường kính đường hypécbơn ngược lại VỀ MỘT BÀI TOÁN LÊ THỐNG NHẤT Trong toán thi vào Đại học năm 1972 khối Á có chứng minh bất đẳng thức Đớ số : “Cho bốn số thực u, 0,... Balatsa đề Tịa soạn hoan nghênh bạn cố gắng giải toán ; tà biểu rõ rệt phong cách học tập tích cực, chủ động ; với cách đọc báo toán vậy, với cách học vậy, chắn bạn đạt kết tốt Tòa soạn xin giới... trực tâm, tìm lại hai tính chất biết tam giác (đường tròn điểm) - đường thẳng ơle - xem báo Toán học tuổi trẻ số 1-1964) Khơng thế, hai tính chất vừa phát cịn cho phép giải nhiều tốn khác Ví dụ :

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:21

Hình ảnh liên quan

Bị C¡) (xem hình vẽ). Đặt : ĐAJ/DA = lu, DBJDB  =  1y,  DCJ/DC  =  1z.  - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

xem.

hình vẽ). Đặt : ĐAJ/DA = lu, DBJDB = 1y, DCJ/DC = 1z. Xem tại trang 1 của tài liệu.
Hình 2 - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

Hình 2.

Xem tại trang 3 của tài liệu.
có bảng sau đây : - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

c.

ó bảng sau đây : Xem tại trang 7 của tài liệu.
Â;(đy ẤJ) =1 (theo bảng 1), cho nên tổng - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

y.

ẤJ) =1 (theo bảng 1), cho nên tổng Xem tại trang 8 của tài liệu.
TRỰC TÂM CỦA HÌNH TAM GIÁC - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)
TRỰC TÂM CỦA HÌNH TAM GIÁC Xem tại trang 14 của tài liệu.
Hình 2 - Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-4)

Hình 2.

Xem tại trang 15 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan