Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-3)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-3)

Từ (2) có = a > ©€ LAO AAT == sa gAB?+aRt4 rẺ \2 @roy = (> aMA) = im] = a i=l ma > Vi 2.MA,MA,= °[ Với m MO? = 5) aiMa? + D aa, MA? + lei P= tiếp tứ diện (Đề số 141 ~ Bộ đề thi Bộ DH, TH DN ban hành) Giải = Pp’, Goi PO đường kínhì đường trịn ngoại tiếp O,PO, Khí dé O0,P = 909 (góc nội tiếp : Gọi M, N,PQ,R, Sia trung điểm AB, BC, DA, AC, BD, CD Khi đề : MP, WQ, RS đồng quy O, trung điểm đường (xem sách giáo khoa hình học khơng gian lớp 11), Mặt khác ÁP = BP = a V82 nên AAPB cân P = trung tuyến MP L AB Tương 125 (œ{02 + 22 b2 + a2 + 02 + Ya+ ce ofa? +027 = = b ab? + arc? = a? + b2c2 2a Khi O.ABC đường cao OH cua hinh vòng tròn nội tiếp giác ABC Gọi D tâm tiếp AOAB, Hình tu ON AOCD BC Tit dé AOAM = AOBN = = AODQ = AOAR = AOBS = OM = ON = OP = 0Q@ = OS O la tam mat cfu giả nội tiếp ABCD Khi : OM? = (1/4)MP? = (1/4)(AP? - AM?) = = (1/4/44 - a2/4) = 207/16 = OM = a V2/4, OD hình chớp Kẻ chop thi OH 1a truc (và ngoại tiếp) tam đường tròn nội tai M Vi OA cát AB AB, Thi dụ : Cho tứ diện OABC : góc tam diện đỉnh Ở ba mặt vng OẤ = a, OB = b, ĨC = c Tìm điều kiện œ, b, e để tồn OE/OH => IE = OE.AHIOH, mặt cầu giả nội tiếp OABC Xác định tâm = OB nén AM = MB va AB OM = OM di qua H va OM AB Gọi Mĩ đường kính đường trịn ngoại tiếp AMDH IDM = 909 nên ID L OM mà AB L [OMC] nên AB L ID = D trục đường tròn nội tiếp AOAB Ké JE OA; IF OB, IJ OC Vil nam trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC OAD nên ¡ cách BC, CA, Phương pháp : Dựng hai trục hai đường tròn nội tiếp hai mặt đa diện Chứng minh hai trục cát (tai 0) Chứng minh ÓØ cách cạnh đa điện t = E OA, Mat IJ » I cach = mặt tâm có Ta ĨA OB - AE déu Vậy ÓC OA = AOI = AOIE khac ï cầu giả nội tiếp OABC : AIOE = OA AAOH - AM = = JE/AH = OE (vì AE AM hai tiếp tuyến mặt cẩu Œ, 1E) xuất phát từ A) = = a ~ aV2/2 = fa(2 ~ ¥2)1/2 ; tính bán kính mặt cầu (Đề thi khối A, DHSP Vinh, 1988) AH = (2/3).(a¥2) ¥3/2 = a{2/3 ; OH? = OA? - AH? = a? - 2a7/3 = 07/3 = 0H = a3 Thay vào, ta cé IE = a(¥2 ~ 1) Bay giờ, đề nghị bạn làm số tập sau để rèn luyện kiến thức học : 1) Một hình cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ điện Tìm thể tích phần hình cầu nằm Hinh Giải : Tổn «0A a+ mặt cầu giả nội tiếp OABC + BC = ĨOB +ẤC = OC +AB Vote =b+ fate a=b=c (VÌ chẳng hạn : a+ JbŸ+ cổ =b + act Ja?+ cổ erat +b? +02 + 9gjb? + c7 = 126 phía ngồi khối tứ diện đều, biết cạnh tứ diện ø (Đề số 137, đề thi Bộ ĐH, TH DN ban hành) a*+bˆ œ 2) Giả sử tâm O cia mặt cầu giả nội tiếp hình chóp S.ABC nằm đường cao hình chớp a) Chitng minh S.ABC hình chóp b) Biết bán kính mặt cầu OS = RY3 Tính thể tích hình chớp (Dé thi tuyển sinh khối A, ĐHBK Hà Nội, 1988) UNG DUNG CUA TICH NGOAI VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN NGUYEN Thc HAO Thể tích hình tứ diện Chúng ta biết thể tích tứ diện ABCD 1/6 thể tích hình hộp vẽ chang han canh DA, DB, DC Vay thé tich Ÿ tử điện cho : 6V = [Dà DỀ pÈI —~ => a» Với già thiết tam diện { DA, DB, DC} thuận Với điểm gốc O tùy ý, ta dat GẦ = A, ÔỀ = B, ĐỀ = cðB =p Thay D vào (12), z+8+y=1 Điều kiện tương đương với (12) (13) Phương trình mặt phẳng Điểm m thuộc mặt phẳng (A, B, C) OA V= gIAB,,C] — (8, G, DỊ + tâm v6i géc O chon ngoai mat phang (A, B, C) Với 6V =[A-P,B-D,C- DỊ 2) Ta lay O tai trọng D = aA +BB+y7C (AM, AB, AC] Ta cớ + [C, D, A] - [D, A, BỊ Chú ý : 1) Ta lay O tai D thi V = 1/6[A, B, C] Th biết nơi chung ta có thé dat : = gốc Ở đớ, ta đặt =A, OM = X, AB = u,AC=0 Phuong trinh trén cho ta : (10) [X-A, u,v] = q4) Đó phương trình mặt phẳng qua A theo phương phẳng {z, v} X điểm vạch mặt phẳng G cia tứ diện th A+B+C+D=0x/c = y/ (xem hình 1) Ta đễ dàng nhận thấy quỹ tích cịn có thêm đường thẳng đường tiếp tuyến 185 với đường tiếp ngoại giác tam đỉnh trung xuất đường tròn phương độ dài hai cạnh kế, tức SB/S C = 7/62, Chitng minh tinh chat dựa nhận xét : đối ŠB _ diện tích ABS phát Đường đối trung $0 Ê phát Hình đỉnh từ xuất tam giác qua giao điểm hai đường tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác hai đỉnh (xem hinh 2) S§C ` diện tich ASC” 2be Tacs 45 AM pak cho bạn Chứng minh đành 02+ ð Tổng bình phương khoảng cách từ điểm nằm cạnh tam giác đến hai cạnh đạt cực tiểu điểm trùng với chân đường đối trung tương ứng với cạnh Chứng mính Gọi P điểm nằm cạnh BC tam giác ABC z y khoảng cách từ P đến cạnh AB AC, rõ rang ta co cx + by = 2s (e điện tích tam giác ABC) Ap dung bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta : (cx + by)? = 4s? & (c2 + b2)Œœ2 + y2) Từ suy min(x? + y2) = xy c2 + đạt điểm P cớ tính chất x/c = +/b, tức Ð = S (chân đường đối trung AS) Ba đường đối trung tam giác đồng quy điểm Dễ dàng chứng minh tính chất cách sử dụng tính chất kể đường đối trung ? Tổng bình phương khoảng cách từ điểm mặt phẳng tam giác đến ba cạnh đạt cực tiểu điểm trùng với giao điểm ba đường đối Chứng Gọi N giao điểm hai đường tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B C, gìao điểm đường phân giác AD với đường trịn ngoại tiếp ¡!' đường kính Ta phai chitng minh AN đường đối trung, tức đường thẳng AN đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD Rõ ràng hàng điểm (MNIT) hàng điểm diéu hda (vi OF = OM.ON), géc TAP = vuông, suy A7 đường phân giác góc MAN Vạy AN đối xứng với AM qua phân giác AD hay AN đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A Đường giác thành 186 đối trung hai đoạn chia thẳng cạnh tam tỈ lệ với bình trung Chứng minh tính chất tương tự chứng minh tính chất 5, Gọi giao điểm của tam giác ABC K vng góc KP, KQ, KR tam giác ABC Diểm K tam giác PQR ba đường Từ K xuống ba đối trung ba đường cạnh trọng tâm Chứng (xem hình 3) Kéo dai RK doan KQ’ = RK Do tính chất : KR/AB = KQ/AC nN hay KQ'/AB = KQIAC va QKQ’ = 4, suy hai tam giác X@!Q ABC đồng đạng với Do đố góc KQQ' = C hay KP//QQ’, XP qua điểm RQ hay KP nàm đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh P tam giác PQR Tương tự 19 Trong tất hình tam giác nội tiếp tam giác ABC tam giác PQR tam giác có tổng bình phương cạnh bé Chứng mỉnh tính chất dựa nhận xét : Tổng bình phương khoảng cách từ Hinh chứng minh KQ KR trọng tâm tam giác PQR Tam giác 1293 PQR có diện Vậy K tích s điện tích tam giác ABC ; a, b, e độ dài cạnh điểm bất kÌ đường thẳng cho trước đến hai điểm cố định cho trước đạt cực tiểu điểm trùng với chân đường vng góc hạ từ điểm hai điểm cố định xuống đường thẳng cho trước Sơ qua 10 điểm thú vị mà ngỏ bạn câu chuyện "Chung quanh đường trung tuyến", câu chuyện dài, để nghị bạn chứng minh tỉ mi ede tính chất 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10 xem tập phải hoàn thành nhà, Chúc bạn học giỏi mơn Tốn VỀ MỘT TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁ C VA TU DIE N HOÀNG ĐỨC TÂN Các bạn (và thân mến ! Việc tìm kiếm tính chất tam giác tương tự cho tứ diện) việc Câu trả lời : có ! Và sau cách chứng minh làm thú vị, song việc lam dễ đàng mà địi hỏi ta phải suy luận liên tục Chẳng hạn, cdc ban co thé dé dang thấy có vơ số đường thẳng chia chu vi tam giác thành hai phần nhau, có vơ số đường thẳng chỉa diện tích tam giác thành hai phần (việc chứng mỉnh đễ đàng) Tuy nhiên từ xuất vấn đề Bài tốn Có tổn hay không đường thẳng đồng thời chia đôi chu vi chia đơi diện tích tam giác ABC cho trước hay không ? Giả sử AARC ứng cách Mục cạnh cho có cạnh ø, 6, c (tương với đỉnh A, B, € chu vi tổng qt, ta giả thiết ø đích ta phải tìm điểm BA (tức phải tìm z = BW cạnh BC có điểm AM thỏa thức MB = p - x đoạn MN tích AABC R chia đơi diện ràng z cần tìm phải thỏa mãn điều kiện 2p Mot = > c N trén > 0) mãn hệ