Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-5)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-5)

ce PHUONG PHAP NGHIÊN t UU KHOA HỌC LÚC CÒN LÀ HỌC SINH, TƠI ĐÁ HỌC TỐN NHƯ THẾ NÀO ? NGUYỄN CẢNH TỒN Lúc học cấp một, tơi học sinh vào loại trung bình ít, khơng tổ có khiếu đặc biệt tốn Năm cấp hai, tơi học sinh tốn thơi, chưa có đáng cho thầy giáo, bạn bè ý Từ năm thứ hai cấp hai trở đi, bất đầu có biểu giơi tốn, thầy giáo bạn công nhận "học sinh giỏi toán" giữ danh hiệu đớ Nhiều việc làm trước vô ý thức nay, suy nghỉ lại, tơi thấy rút vài kinh nghiệm nhỏ để bạn trẻ yêu toán ngày tham khảo, may có giúp bạn tÍ : thú, bỏ câ buổi trưa để loay hoay ngồi khai hết số đến số khác, số nguyên số thập phân, phải giục đến lần chịu ăn cơm Hoặc óc tị mị khoa học bị kÍch thích, tơi thường hay tim tự học lấy kiến thức lớp trên, nhiều phải học dấu lén, sợ bạn biết chế diễu, cho làm "ta đây" Khơng có sách, phải mượn chép Nhưng tơi khơng chép máy móc Tơi đọc hiểu ghi lại vấn tắt theo cách hiểu VÍ dụ, có định lí tơi khơng ghỉ chứng minh thấy rang tu suy diễn lơgíc tìm lại chứng minh dé dé dang Hoặc thấy điểm Say mê mơn tốn Lúc chưa giỏi tốn khoa học tự nhiên nới chung đặc biệt then chốt chứng minh biết dựng thêm đường phụ (hÌnh học), thực mẹo tính (đại số, lượng tơi tơi cố gắng học toán giỏi Như ghi chép sở óc tích mơn tốn nơi riêng, có sức hấp dẫn sức hấp dẫn tăng VÍ dụ, lúc chưa học đại số, nghe bạn lớp học : "cộng nhân với cộng thành cộng, cộng nhân với trừ thành trừ v.v " thÌ óc tị mị tơi bị kích thích đặc biệt Hoặc chưa học phương trình bậc hai, mở sách thấy cơng thức : x= ~b + jðF~ 4a —— lấy làm lạ đấu + từ trước tơi thấy + - đứt khoát, chưa hế thấy +, - vào chỗ, Từ say mê đến chủ động, tự giác độc lập học tập, phát huy triệt để tỉnh thần tự lực cánh sinh chống ¥ lai Tơi nhớ lúc cịn học cấp một, người anh họ bày cho phép lấy bậc hai (không có chương trình) tơi lấy làm hứng 70 giác) tơi ghỉ điểm then chốt thơi cực làm việc lao động bàn tay cầm bút Và cách vơ tình, tơi thực điều mà ngày bạn gọi tới (tức hiểu chưa cho đủ, phải đạt yêu cầu gấp sách lại, tự mỉnh xây dựng lại từ đầu đến cuối) Tôi say mê giải tốn khó, đeo đuổi ngày qua tháng khác, kÌ cho giải thơi Nhưng tơi khơng làm nhiều tốn khơng hể dùng đến sách cho giải mẫu Lúc đơ, không tán thành số bạn để nhiều chép sách cho dep dé va đẩy đủ óc suy nghĩ bạn mở sách có "bài giải mẫu” làm hết đến khác làm mà gặp khó khăn vội mỡ giải mẫu xem 3 Học đôi với hành, tranh thủ lúc, nơi để học Ngoài việc học lớp, nhà, sách, thường hay quan tâm đến việc xảy chung quanh mình, thiên nhiên xã hội Lúc chưa làm có ý thức phục vụ sản xuất cớ đc tị thích tị mị dây thép mị khoa học thúc đẩy tìm cách giải kiện này, tượng VÍ dụ tơi muốn hiểu xem số ghỉ cột dọc hai bên đường sắt số Khơng hỏi được, tơi tự tìm hiểu lấy Chẳng hạn tơi theo đối biến thiên số từ cột qua cột khác thấy giữ nguyên giá trị khoảng hai mươi cột tăng thêm (hay giảm đi) đơn vị Từ đơ, suy số số số Hoặc thấy bóng nắng mái nhà song song với thềm nhà, nghỉ xem lại vậy, vào định lí hình học khơng gian ? Hay thấy vành trăng lưỡi liềm, cố hình dung khơng gian vị trí tương đối mặt trời, đất, mặt trăng phải để có hình trăng lưỡi liềm v.v Tranh thủ suy nghỉ toán khớ khơng phải có điều kiện ngồi vào bàn, có tờ giấy nháp trước mặt, quản bút cẩm tay Chính hồn cảnh thúc đẩy tơi đến chỗ có phải cố hình dung óc hình v.v lúc lên thấy có lẽ triển "trí phép tốn, mà khơng viết, vẽ giường nằm) Nay suy điều giúp tưởng tượng không "tập trung tư tưởng cao" nên giấy (ví dụ nghỉ lại minh phát gian", kha 'Tất điều vừa nói tạo dần khả năng, thới quen tranh thủ nhiều lúc, nhiều nơi để học tập, rèn luyện tư tốn học, khơng thiết phải ngồi vào bàn học khơng thêm Các bạn trẻ yêu toán ngày điều kiện thuận lợi trước nhiều Động thúc đẩy trước óc tị mị khoa học, say mê mơn tốn Ngồi động ra, ngày nay, chế độ xã hội chủ nghĩa, bạn cịn có lòng yêu nước, yêu chế độ thúc đẩy bạn học giỏi để phục vụ tốt Mọi việc lâm tốt bạn cổ vũ, khuyến khích, nâng đỡ Trước đây, chế độ thực dân, làm có điều Bởi vậy, chúng tơi mong tin bạn vượt xa Chỉ cần bạn cố gắng, bền bỉ, kiên nhấn Cơ thể có bạn chưa giỏi tốn bạn giỏi, tài chủ yếu rèn luyện mà có NGAY TU BAY GIO CAC BAN HAY TAP DUOT SANG TAO TRONG TOAN HOC NGUYEN CANH TOAN Các bạn trẻ yêu toán thân mến ! Với lịng nhiệt tình u mến Tổ quốc xã hội chủ nghĩa tươi đẹp chúng ta, với lòng say sưa u thích mơn tốn, hẳn bạn Tnong muốn cho đất nước ta sớm có đội ngũ đơng nhà tốn học vững trị, giỏi chun mơn, hẳn người bạn có hồi bão, ước đứng đội ngũ Để bão, ước mơ trở thành thật, bạn cố tập dượt mơ cho hồi từ sáng tạo toán học Chắc bạn hỏi : "Tập dugt ? Trình độ cịn thấp mà tập đòi làm việc cao xa ?" Sáng tạo, phát minh tốn học cố nhiên khơng phải việc dễ, làm được, việc khớ, dành riêng cho số Ít người có tài đặc biệt, khơng phải việc cao xa bạn phạm vi kiến thức bạn có suy nghĩ sáng tạo Các bạn sẵn có lịng u tốn, cần bạn biết cách tập dượt suy nghỉ sáng tao bền bỉ, kiên nhẫn tập đượt theo cách mai, bạn thấy phát xinh tốn học khơng phải điều thần bí cao xa Vậy phương pháp tập đượt ? Cơ thể người tùy theo điều kiện, hồn cảnh có phương pháp riêng thích hợp theo ý tơi, bơ qua khác tiết nêu phương pháp chung đại khái sau: Khi học hiến thức toán học mới, ngồi uiệc hiểu uận dụng biến thức đó, thử tự dét minh vao vj tri nguai phốt cố hình đó, thúc kiến dung xem người đô suy nghĩ nào, Điều làm phải bao không làm trình suy nghĩ chưa chấc trùng với trình suy nghĩ người phát minh vi người ta có nhiều đường để tới chân lí, Nhưng điều khơng vÌ mục đích khơng phải tìm cho xem người phát minh suy nghĩ ma tập đượt suy nghĩ sáng tạo thơi Dù cho suy nghỉ khơng tốt q trình suy nghĩ đó, kiến thức lực trí ta tuệ chúng vận dụng Ví dụ : Học hệ thức lượng vịng trịn : MA.MB thức đó, = MC.MD ta nên ngồi việc hiểu hệ tự đặt câu hỏi : "Người ta suy nghỉ mà khám phá hệ thứ ?" Có thể bạn suy nghỉ sau : "Chắc người ta cho cát tuyến quay quanh điểm 3M nhận xét thấy hai đoạn MA MB, kẻ đoạn dài đoạn ngắn Từ người ta đưa đốn hai đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với kiểm tra đốn cách thử cố chứng mỉnh đoán Khi chứng minh thấy đúng, người ta xướng lên định lí đó" Thật chẳng biết có phải người phát mỉnh định lí suy nghỉ không biết tập dượt suy nghĩ có tốt xây dựng thành thới quen hay 72 ý nhận xét, đoán kết quả, kiểm tra, để đến chỗ tự tÌm chân lí Khí học kiến thức toán học nên tự đặt câu hỏi sau uà cố gắng trả lời : "Kiến thức cô thể mở rộng không ? Đối uói uấn đề tương tự, có kiến thúc tương tự khơng ?", Việc làm có phần đế việc làm đòi hỏi phải có trí tưởng tượng đổi đào ví dụ : Tưởng tượng tam giác hình thang có đáy nhỏ khơng, tứ giác có cạnh khơng, hình tương tự với tứ điện không gian v.v Hoặc ta có đoạn thẳng với trung điểm nơ phải nhìn thấy hình vẽ có "hai điểm đối xứng" "hai điểm vị tự" "hai điểm chia diéu hịa đoạn thẳng" “một hình tương tự với vịng trịn tâm mặt phẳng" "một hình tương tự với tam giác trọng tâm mặt phẳng"." Trong "Nói chuyện với bạn trẻ yêu Toán" báo "Toán học tuổi Trẻ" Các số : 10 (7-1965) 21 (6-1966), tơi nêu rõ lợi ích việc xem tam giác tứ giác có cạnh khơng Dây xin nêu thêm ví dụ lợi ích việc xem đoạn thẳng với trung điểm hình tương tự với tam giác trọng tâm xem tam giác hình tương tự với tứ diện Biết cách xem định lH *Ba trung tuyến tam giác đồng quy" đưa ta tới ý nghi có lẽ khơng gian có định H sau : "Bốn đường thẳng nối bốn đỉnh tứ diện theo thứ tự với trọng tâm bốn mặt đối diện đồng quy" Tất nhiên cịn phải chứng minh xem có khơng điều phóng đốn hông học mà tập vậy, ln nêu suy nghỉ tÌm cách mở rộng câu hỏi đặt 3) Gặp bất cú uiệc xung quanh, thủ cố nghỉ xem có uấn dề dinh đến tốn học khơng, đem hiểu biết tốn học mà giải thích, mà củi tiến khơng » Vì ta xét quỹ tích điểm cách Ä gồm hai đấu mút điểm cho trước làm trung điểm đường thẳng thi điểm cho trước khoảng đoạn thẳng dài 2R nhận điểm đã giải thích, cải tiến khơng thỏa mãn, thủ cố di sâu hơn, mơ rộng thêm xem tường có cửa sổ) khơng // với liệu bớng chấn song cửa sổ có cịn // với khơng ?" Và bạn VÍ dụ : bạn học sinh nhân buổi tối đứng gần cửa sổ nhìn sang tường nhà trước mặt ý đến tượng mà lâu bạn bỏ qua : Bóng chấn song cửa sổ nhà bạn đớ in tường nhà trước mặt thành đường song song Bạn nghỉ : "Tại lại ? " tìm cách giải thích Thế óc bạn đèn nhà trở thành điểm, giải tốn Nhưng chưa hết chấn song đường thẳng bóng với thực tế sau trước yêu cẩu công tác, sản xuất có sáng tương tạo, cải tiến có tác dụng phục vụ thiết thực định đèn chấn song Một toán Các bạn trẻ yêu tốn thân mến ! Những điều tơi nơi khơng phải q khó phải khơng bạn ? Nó chẳng địi tường nhà trước mặt giao mặt tường với mặt phẳng xác hình học khơng gian đặt định H tương giao đường thắng mặt phẳng huy động, Cuối bạn giải thích bóng chấn song cửa sổ lại // Nhưng chưa thỏa mãn đến bạn nghĩ tiếp "Nếu tường trước mắt tường nhà (tức Bạn lại tiếp tục nghỉ : "Bóng chấn song mà in xuống sân thi nhi ?” va tat nhiên cố suy nghĩ để trả lời Tuy thí dụ chưa có gỉ sáng tạo cho lắm, bạn tiếp tục rèn luyện thi chắn trở nên nhạy cảm việc liên hệ Tốn học hỏi óe thơng mỉnh đặc biệt Chỉ cần có ý thức tâm rèn luyện Khi quen với nếp làm việc, suy nghỉ bạn thấy yêu mến toán cụ thể chắn bạn đạt ước mơ, hồi bao cua minh CẦN PHÁẨI GIẢI TỐN MOT CACH SAU SAC NGUYEN QUANG KINH (Vinh Phúc) Khi tơi cịn học, thày thường nhắc nhở : phải đào sâu suy nghĩ làm toán Như đào sâu suy nghỉ làm tốn ? Có phải giải tốn nhiều phương pháp cố gắng tìm phương pháp độc đáo hay không ? Tôi băn khoăn Sau hiểu : tốt chưa đủ Một điều quan trọng sau giải xong tốn cịn phải biết đế tốn cách tổng qt hóa, cách liên hệ đến trường hợp tương tự, hay nối cách đơn giản, phải biết đề câu hỏi, thắc mắc xoay quanh tốn đó, tự giải rút kết luận cần thiết Làm không bị trới chặt vào tốn có sẵn, tốn câu hỏi gợi ý cho nghỉ đến toán tổng quát hon, sâu sắc giải toán tìm kết mà đo điều kiện giới hạn chương trình thời gian thày khơng thể nói đến Hơm bạn tơi xét thí dụ tốn sau "Dạy học toán cấp 8" (Nhà xuất bân Giáo dục) : Hãy chứng minh : RRR 1) Céc 06 Ø., › g lập thành cấp số cộng (1) 2) Các giá trị hàm ae số sin2x A góc 4a'3 lập thành cấp số cộng tiến 3) Các giá trị hàm số cos7x BÓC Zig Giảng lập thành cấp số cộng lùi 73 4) Các giá trị hàm số tgx góc ers lập thành cấp số nhân tiến, ð) Các giá trị hàm e PEs bạn thể giải toán cách dễ khơng đem đến cho điều bổ Ích, làm điểm xuất phát cho suy nghỉ Trong toán này, điều đáng ý trước hết số đo góc lập thành cấp y=ra+2d lập thành cấp số nhân lùi, dàng Nhưng khơng phải mà tốn 8=a*+d số cotgr Đây khơng phải tốn khớ Các có số mà giá trị sin2z Để sin?œ, sin2Ø, sin^y lập thành cấp số cộng ta phải có : hay la: Coi ø ẩn số, thông số giải phương trình sau + sin(z + đ)] : số cộngis B sin20 gìn?Z2 , sin2z lại khơng ràng khơng : tính chất tuần hồn lâm 9x sin2z) số hạng cấp 2kz có tính cộng vào cấp số (1) ta cấp số : 7x 9x Ro rang dé sin? =e sin? sin cấp số cộng sin? cấp số cộng isin? in® - „im (lại se) có cấp số khác mà sin2œ chúng lập thành cấp số cộng hay khơng ? Thế bạn có toán để sâu giải ! Bài tốn cớ thể phát biểu sau : "Tìm góc ø, ổ, y cho chúng có số đo lập thành cấp số cộng va sin2e, sin28, sin2y lập thành cấp số cộng" Chúng ta giải toán : Dé a, Ø, y lập thành cấp số cộng ta phải có : 74 =o 2atd d sing 2sin — d cos5 = “NT = 2c0s—5— sin5 2sin —5 — cosy hay Ia: sin(2a + d)sind = sin(2a + 3d)sind : sind[sin(2z + đ) - sin (2œ + 3đ)] = (3) Nếu : sind = d=kx thi phuong trinh (3) nhan moi giá trị bất ki cha a lam nghiém Khi dé vé6i gié tri a tiy ý ta cấp số cộng Nhung bạn thắc mắc : ngồi cấp số có cách cộng thêm lượng 2km vào số hạng cấp số (1) cịn +d, cos — nghĩa : 6042 '8 197 lập thành Th biến đổi (2) nhự : [sin(a + d) - sina] [sin(2 + d) + sina] = = [sina + 2d) - sin(a +d} [sin(a + 2d) + đâu ? Chẳng hạn 0, ›z, lập thành cấp lập thành cấp số cộng Nhưng có phải trường hợp đuy khơng ? Rõ sìn2Ø - sin2z = sin’y - sin2B sin*(a +d) — sin? = sin%(a + 2d) - sina + d) (2) (và sau cos2z, tga, cotgz) lập thành cấp số Điều có phải xây hàm số sinz (và đo việc cộng thêm vào số (1) lượng cấp số chất đớ VÍ dụ ta lượng 2z 8-a=y-8=d : ø, mà bình thành : œ + km, œ + (E + l)x phương sin chúng cấp số cộng số hạng Nếu sind Cấp lập số cộng có + tức : đ z kã ta cổ : sin(2œ + ở) - sin(2œ + 8đ) = Giải phương trình ta : a=T~d + 2k +1)F tk = 0, 1,2, ) (4) Bây bạn chi việc cho đ giá trị bất ki nao dé với È số ngun Khi theo lí luận ta Số CĨ : bạn có số hạng đầu ø cơng sai cấp số phải tìm cos2ổ - eos2z = cos2y - cos2 Chẳng hạn lấy k = 0, d = bạn cấp số (1) nêu tập Để kết thúc tốn rút kết luận : Điều — kiện cấp số chúng (sin2z, sin2, sin?y) lập thành cấp số cộng số hạng đầu ø công sai cấp số ø, ổ, y liên hệ với hay y Nhưng có phải khơng ? Các bạn tự đặt câu hỏi : có phải sin2œ, sin2ổ, sin’y lap thành cấp số cộng cos2z, cos2Ø, cos2y lập thành cấp số cộng hay không ? Đúng Các bạn áp dụng cơng thức : 1, 1, va sin%z, sin2đ, sin2y (hiệu hai cấp số cộng cấp số cộng) nêu in?= ,singin?4 sins sin? = sin’ lập thành cấp khỉ số cộng tee tay tay lai lap thành cấp số nhân Điều có cho góc ø, 8, y hay không ? Chúng ta thử xét xem : Giả sử a, ổ, y khác kh 1+tge 1+tgy = _ + tg?a + tg3y — 1+ tgầu + tg3y + tgratg’y _ tg2Ø= lt teat teyt terate’y mm et ia : — „ (2+ teat tey)t (terate?y— 1) tếB= 2+ teat tey : tg2ổ = +2 tg2ztg2y ¬ 2+ tga + tg3y (5) Nhìn vào dang thitc (5) chang ta nhan thấy : tgatgy =1 ta : 6) lập thành cấp số nhân Vậy ta = sinÄy - sin28 bạn xem cos2œ, cos28, cos2y tập 1+tgØÐ8 điều kiện để tgø, tgổ, tgy thi : cos’8 ~ cos2œ = cos2y - cos2 tg2B = tga.tgy để chứng minh : Ở `1+tg8 - - cos2x hiệu hai cấp số cộng = + eg'B tim cấp số cộng a, ổ, y để cos2z, cos2, cos2y lập thành cấp số cộng để tgø, tợổ, tey, lập thành cấp số nhân, để sina, sing, siny lập thành cấp số cộng, thay tất chữ "cấp số nhân" chữ "cấp số cộng" ngược lại tập Như người ta thường nói, bạn có "đề tài nghiên cứu" (tất nhiên để tài riêng chúng ta, học sinh cấp 8) l+tga : ————— = ———x- + đẳng thức (4) Hoàn toàn tương tự bạn sin2Ø - sin2z ot _ 1+/ey cong a, ổ, y có tính chất bình phương sin sin’ 2z = (để cho tang chúng xác định) giả sử sin2œ, sin2Ø, sin^2y lạp thành cấp số cộng : sina sinf siny # kết luận : Nếu sin2ø, sin2, sin2y lập thành cấp số cộng sinđ z : tgatgy = tgœ, tøgổ, tgy lập thành cấp số nhân Trong kết luận phải thêm điều kiện : sinổ + để đẳng thức (6) có nghĩa Các bạn nên lưu ý điều cấp số nêu toán trường hợp đặc biệt cấp số nêu kết luận Đến chưa phải kết thúc đâu Chúng ta xót vấn đề : với góc a, ổ, y số đo chúng lập thành ruột cấp số mà giá trị hàm số lượng giác chúng lập thành cấp số Nhưng khơng gÌ ngăn trẻ nghỉ tới vấn dé tương 75 tự : tìm cấp số cộng mà logarit chúng lập thành cấp số cộng Các bạn giải thêm toán : Gọi số hạng đầu cấp số phải tìm x ( > 0), cong sai lA d (d > 0) Để logarit chúng lập thành cấp số cộng thÌ ta có : log(x + d) ~ logx = log(x + 2d) - log(x + d) xid (7) Đảng thức cấp số cộng tìm cịn phải cấp số nhân Điều xây số hạng cấp số nghĩa = Nếu bạn không tin bạn thử biến đổi đẳng thức (7) mà xem Chúng ta nối : "Điều cộng z,,„ kiện để logarit lập thành một cấp số cấp số cộng : uy = uy = có số hạng Các bạn thử suy nghỉ mà xem Đây tốn bình thường, ta thống ý kiến với : làm toán cần phải suy nghỉ sâu sắc sáng tạo, sáng tạo để khám phá điều mà chưa bảo cho ta Tất nhiên tÌm diều lí thú Nhưng điều quan cẩn luyện tập để có thới quen suy nghĩ sâu sắc, thối quen tị mị, thích khám phá khoa học (ban đầu riêng ta) Cái cần thiết để trở thành học sinh giỏi toán mà cịn để học giỏi bất kÌ uy mơn cấp số nhân" TÔI BẮT ĐẦU hay khơng ? Điều có cấp số nhân tốn để nấp đằng sau biết điều lí thú Đến chúng xtd (x + d)* = x(x + 2d) số nhân ? nhân (số hạng Thế logarit cấp số nhân tốn học cịn có nhiều điều tuyệt diệu khác x+2d x Gòn logarit cấp Logarit cấp số dương) cấp số cộng cấp số nhân cớ thể THÍCH học khác TỐN NHƯ THẾ NÀO ? LÊ LÊ (10D Tơi vốn học sinh bình thường tốn ; Thầy đạy tốn chưa khen tơi tốn, tơi tốn khơng lấy gÌ làm mặn mà ; mà lại thấy toán thật thú vị Xin kể lại câu chuyện sau đây, nơi lên cách học tập làm cho tơi thích tốn Để vẽ xác đồ thị hàm sé y = ax3 + bx* + cx +d tơi phải tìm giao điểm đường cong với trục hồnh tức tìm nghiệm phương trinh ax? + bx? + ex +d = Cong việc tốn nhiều thời gian lúc đầu chúng tơi khơng biết tính nghiệm (hay nghiệm gần đúng) phương trình này, lần tơi mạo hiểm đề cho tốn sau : 76 Duy Tién, Ha Nam) Tim nghiém cia phvong trinh F(x) = ax + bx? +x +d = Nếu tìm khơng - khơng có lẽ khớ q (dễ sách giáo giới thiệu tơi tìm nghiệm gần vậy, cho xác để vẽ đường cong Học tập cách giải ax2 + 6x + c = thêm w khoa mị !) đủ ƠƯ tơi bớt vào #(%) lượng thích hợp để đưa phương trình dạng (x + a)2 + = Biến đổi sau : ax? + 6x? + cx + đ = chia cho ø (vì ø # nên chia được) 472424220 a wt 34.32 3a" 24 Bx a 3aoy, a T (85) * (8g) (x* _=“ ered b Vậy < #3 (mg) phương trỉnh đồng biến VÌ hình dạng đường cong phải 1a (h.1) Nhìn vào đồ thị ta thấy đường cong cắt trục hồnh hàm tăng từ - œ khơng thể đưa dạng mong muốn được, vẽ trái có ( + mì” nên để có 3a thể dùng ẩn phụ tơi tiếp tục biến đổi b3 poo đến + œ Nghĩa phương ba bao b (+35) * (** 30) * e Ö v2 b «(5-3 (az) ] > a0* e b \2 d b V3 +——ÍÌ= (= *x[ã~-38 ®(ã) ]|*s(mm) có trình bậc nghiệm Hình Điều thật mẻ tơi Phương trình bậc hai hay phương trình trùng phương vơ nghiệm phương trình bậc ba có nghiệm ! Mãi đến học đường tiệm cận giải thích ‘Thm lai co thé dua phương trình dang = X34+pX+q=0 tượng =xt— (2) (X=2+3) Để khảo sát hình dạng đường cong hàm sốy = F(x) = ax3 + bx? + cx +d ta chi cần khảo sát hàm số y = x3 + pz + g Thật đường cong y = ax? + bx? + cx + d đường cong y = + + pz + q tịnh tiến doc theo trục hoành - 3œ đơn vị co trục tung theo hệ số a _ Đổi trục tọa độ lần a >0 phải có số hạng xã nghĩa biểu thức i 1+1 —g[@?+ kết thúc thức tích muốn xét biểu thức đối xứng có đưa biểu thức tổng x) +x, U@, + x2)? — 2x,x,] 10° biểu Ủ A hệ số ; (xịz,)* biểu thức xiz;lŒ, + x;2)ˆ — 2xix;] — 2xx; _ = Avfs§ + AxÌx2 = A@ix,)“GỀ + 8) 5k = Ba gi +x) - 2xx, _ xi17% t x2 Như muốn tính mà khơng cẩn giải phương -l Vậy: - nghiém x, +x), #;z; biểu thức hốn vị z¡ z; mà biểu thức không đổi Nghĩa biểu thức đối xứng x, va gồm tổng : =8; “ate s Ta biét tổng tích có tính chất giao hốn, vi biểu thức tổng tích trình thi điều kiện cần phải đối xứng nghiệm Nhưng đớ cớ phải điều kiện du không ? Suy nghĩ sâu chút bạn apt, + xâm — Đi, s Nhu vay van dé la biểu thức đưa dạng tổng tích hai nghiệm Cho nên 7,_; thành qd) T,_; khai triển đa thức hai ẩn (xị + x;) z¡z; T, khai triển Ta biết Tạ = x T,= x? + + =a, + x)" — 2x,x, + x, khai triển theo tổng tích nghiệm theo lí luận quy nạp 7, khai triển thành đa thức téng x, +x, tích #¡z¿ với & & = 1, 2, 3, ) Như ta giải thắc mắc kết luận : Điều kiện cần uùà đủ dể biểu thúc đại số nghiệm *ịụ, x; phương trình 0x2 + bx +c = tính mà khơng cồn giải phương trình biểu thức đối xúng T, =] +x} = @, +x)’ - Tex, x Với óc tị mị, khơng thỏa mãn tìm kết (di nhiên đối + @& +x) + 14(ix,)2@, + x;)) — đốt uới Ly Xp với chúng ta) chưa cho phép ta dừng lại kết luận có tính chất lÍ thuyết (khẳng định tính được) tính ? lại suy nghĩ thêm Như biết biểu thức đối xứng gồm số hạng dạng A(xz,)“T,, nên muốn tính giá trị biểu thức khó khăn cịn lại tính T, vi A hệ số, xzx, = ^ biết, Từ dan cha x, +x, thi: - Số mũ x, +x, giam dần đơn vị từ & xuống tới tùy theo * chân hay lẻ ~ Số mũ #¡z; tăng đần ` k từ đến [š] Nhưng theo (1) pháp tính 7, quy nạp Nghĩa ta tính 7, 7; từ suy T1 từ T;, T; ta suy Tạng Tụ — ;, Ty_ ¡ suy È ! Thật phấn khởi cơng lao khơng uổng, giải trọn vẹn toán nêu Nhưng bạn có cịn băn khoăn gÌ khơng ? Cịn ! Vì biểu thức cần tính 7, chẳng hạn theo phương pháp phải ngồi tính từ 7; đến Tạ Phương pháp rõ ràng thật tính tốn đơn giản ! Một câu hỏi lại đặt : Liệu có cách tính T, nhanh chớng không ? khai (hệ số thứ triển 7T, có tn theo quy luật khơng ? Nếu có quy luật ? số T, (theo giá trị tuyệt đối) thành bảng sau (bảng 1) Trong dịng thứ k hệ số T, cột Ta nghiên cứu vài trường hợp cụ thể : thứ ¿ hệ số số hang chứa (xz,)i Nhìn vào bảng ta thấy mối quan hệ số bảng ‡ 14 a) Cột số Bảng ï số tự nhiên b) I gồm Cột gồm toàn kể từ Số k cột số dòng thứ & : dong T, =x} +2}=@, +2) T,=xi+ + =@ dấu 1, 3, ð, dương thứ 2, 4, 6, am) Như Ta ghi hệ Các bạn thân mến 7, đan biết nhiều khai triển T7, vấn đề hệ số wD Ty với (phần nguyên 2) Ae ⁄ phương nên mm mm mm cho ta —ET.-; đơn vị _k — Các hệ số _ b T,= ~gT-¡ ví dụ ta thấy khai triển 7¿ nốu xếp theo lũy thừa giảm wo — T(x x2) (x, + 2) chúng +x2)? — 2x, hệ số khai triển Tụ e) Kể từ dòng thứ số dịng ¡ cột kí hiệu ty bang sé déng i -— cộtj : _ y — 4xj#„ X (my + x) + 2(x,x,) Ty =x) + xộ = Œị + x,)Š — — Bayx, x (x, +.x2)> + 5@,x,)*(, + 2) T, = 28 +28 = (x, +x,)° — Gx,x, x xứ +z¿)1 + 96x20 + x)? - 2,x,)3 hy cong với số đồng¡ - cot j-1: ~¡ nghĩa ta có cơng thức : tụ Đụ i—3j—r Ví dụ : Số dòng cột số dong cột cộng với số l dòng B cột S6 dòng cột số ð dòng cột cộng với số dòng cột Từ trường hợp riêng suy luận quy nạp không hồn tồn (hay tổng qt hóa) 83 ta tới nhận xét quan trọng việc khai triển T, Nhưng nhận xét + 44Gix2)2,+ x2) "— TTœ x23, + x;)Š + + 5Œ #;) Œ¡ + x2)” — 11x) Œ, + )) đến đự đốn khơng khó khăn suy luận chặt chế bạn chứng minh Chúng ta nhận xét thêm dãy hệ số toàn nhận xét hoàn Các bạn tự chứng minh kết luận toàn Với kết luận viết bảng hệ số khai triển T, nhanh chóng Ví dụ từ bảng (1) ta có loại tốn khác VÍ dụ : cho tổng x + y nguyên tích xy nguyên chứng minh đa thức bổ sung thêm với hệ số nguyên đối thể viết tiếp dòng hệ số Ty Ty Ty 10° Ty) sau : 20 16 | li Từ + 44 bảng t 77 xứng khai (x + `9 27 30 NSN NNN ~10 “35 50 35 Các bạn thân mến kết hợp với phương pháp suy luận T¡ nhanh chóng : tÌm thấy nhiều điều lạ bổ ích Các bạn theo đường chắn thấy phấn khởi tự hào thấy cịn nghèo nàn kiến thức, Ví dụ : Từ dịng có : Ty = (x2 + 23) = (x, = x,)? - kinh nghiệm non trẻ tuổi đời mà tÌm thấy điều lạ (tất nhiên ~ Geyx9(x, + x5)? + Wx.)(x, + 2y)5 - thân) tốn học Khơng cịn rèn luyện cho óc suy nghĩ ~ 800ix)Ư@, + x;)' + 9œ x;)'Œ, + xạ) sáng 11 có : tạo học tập, công tác, cầu tiến bộ, tâm rèn luyện tu dưỡng đạo đức tự tin khả mỉnh, Ty, = @t! + x;Ö) = ứị + x2) - phẩm chất quý thời đại ~ 1E#;@¡ + x2)” + REN ! Vấn từ toán, rèn luyện cho óc chịu khớ tÌm tồi khơng chịu thỏa mãn gÌ biết, tâm tìm ; nhận xét khai triển Từ dịng Thật tích dàng suy giá trị da thức nguyên + it hệ số x vày có giá trị nguyên ? da thức đối xứng x va y triển thành đa thức tổng y ; xy) mà hệ số đa thức nguyên (vì hệ số đa thức cho hệ số khai triển nguyên) dé dé `2 B55 thực chất khai triển z, + y, theo tổng z + y tích xy nên dùng khơng chi tốn phương trình bậc mà nhiều LUYEN SU LINH HOAT TRONG báu học sinh SUY NGHĨ PHAN ĐỨC CHÍNH (Trường Đại học Tổng hợp) Một điểu nguy hiểm việc học tốn - học mơn khác - học thuộc cách cứng nhắc, không tiếp 84 thu chịu suy trở nghĩ để thành kiến kiến thức thức sống, linh hoạt, sẵn sàng vận dụng trường hợp Có thể nơi linh hoạt suy nghỉ điều kiện cần thiết để tốt việc đạt học toán kết Rèn luyện để suy nghĩ linh hoạt việc học toán trỉnh phải thường xuyên phấn đấu, phải kết hợp với việc đào sâu suy nghĩ, phân tích tổng hợp vấn ÁB Vi du ~ Cho tam giác ABC người ta lấy điểm M hệ với kiến thức cũ, v.v mà học sinh trình độ phải làm được, cấp Có lần chúng lớp tốn sau tơi cho số bạn digntichAMN _ dd & la mét diện tíchAMN _ diện tích AM điện tich ABC ~ điện tích AMC * điện tích AMC tốn ra, tiết dấu trên, cuối phải nói tốt khảo sát biển đổi kết quả, không bình tỉnh để cua a thi véi phép đến phép biến đổi Kể Phân tích nguyên nhân thất bại ban ấy, chúng tơi nghĩ có lẽ bạn bị công thức mạnh ấn tượng a? +2 +1=(a+ 12, va nhớ công thức cách máy mớc, giải dễ dàng bạn sử dụng phép biến đổi 142 1\2 (@+2)-(g) 142,3 = (s +3) +1 bạn quan niệm đáy tam giác ABC cạnh BC nằm ngang trước mắt, quên cạnh AB cạnh AC đếu coi đáy tam giác Ví dụ - Cho a va hai góc Chứng minh cosz + cosổ + cosa cosổ > Ô cosa + cosổ > (6) D Bài toán xem tốn lượng giác, lớp học nhiều giác, nên nhiều bạn đem để giải toán nên quan niệm đơn "ø /à a”, mà phải nghỉ số a đồng thời 0), atti Trong kì thi trình độ lớp 8, nhiều bạn bị bế tác tốn hình học đơn giản sau kiện vế phải có giá trị nhỏ hay kho vũ khí cơng thức biến đổi lượng giác nơi đến số ø, ta không —(—8), (4 #8) — b,e0 uới giá Hãy xác định điểm X cạnh AC cho đề, tiếp thu kiến thức có phê phán, liên Trên cạnh Thật ra, tốn đại số, gặp biểu thức có dạng A+B+AB, nghĩ A+B+AB=1+A+B+AB-1= =(1+A)(1+B)-1 bất đẳng thức (6) tương đương với bất đẳng thức (1 + eoaø) (1 + cosổ) Mat khac vi + cosa > 0, + cosổ > 0, lớp tất bạn biết : a>0vàô >0thỉ a+b 2 Vab, 85 (1 ++ cosa) +++ (1 cows) 2 Phương trình có nghiệm y nằm _ V¥(1 + cosa) (1 + cogf) = va từ suy bất đẳng thức (7) Chúng ta xét thí dụ khác lớp 10: Vi du 4- Tìm gió trị lớn uờ giá trị nhỏ ham 3b YS Bài tốn wt aet3 =—=——— (8) axel giải trước bạn học đạo phương hàm Trong hồn cảnh ấy, tức khơng dùng đạo hàm, làm để giải ? Ở cần phải có suy nghĩ linh hoạt phân tích sâu sắc tốn, cụ thể nhận xét a) Mẫu luôn sau : số vế phải hệ thức (8) dương với giá trị x, vay miền xác định hàm số y tồn trục số : x lấy giá trị Đồng thời giá trị x định giá trị y, tức y lấy giá trị tùy ý mà y có giá trị phạm vi định ; b) Ngay từ lớp 9, học hàm số ngược ; miền xác định hàm số ngược miền giá trị hàm số xuất phát ! Vi vay ching ta thử tìm hàm số ngược hàm số cho, tức từ hệ thức (8) rat x theo y Ta cd giá trị lớn y Nếu bạn học đạo hàm, bạn cớ thể thử lại kết quả, thấy cách giải gọn nhiều so với cách giải đạo hàm Cần nơi thêm để giải toán cực đại cực tiểu hàm số, phương pháp dùng đạo hàm phương pháp "vạn năng", lúc phương pháp phương pháp thuận tiện nhất, đặc biệt ta gặp hàm số phức tạp Trên chúng bạn vài kinh nghiệm trao suy nghĩ đổi với học toán làm toán việc rèn luyện linh hoạt suy nghỉ Vấn để phong phú, bao gồm nhiều mặt, có lẽ nói khơng hết Mong bạn suy nghĩ phong cách học tập mình, đúc rút thích hợp tốt q x nghiệm phương trình (- De? +H - 8x+@_— 3)=0 PHAP nên ta thấy ring