Chương5 tinhdaohamtichphan

Chươ g TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 5.1 Tính gầ đú g đạo hàm: đặt vấ đề • Đị h ghĩa đạo hàm ậ hất: f ( x  h)  f ( x ) f ( x )  lim h0 h ' • Ý ghĩa hình họ : – f’ hệ số góc tiếp tu ế điể x f(x+h) f(x) • Tính gầ đú g đạo hàm: –h≠ – f’ hệ số góc cát tu ế x x+h 5.1.1 Công thứ sai phân thuậ (Forward difference) • Xây dự g công thứ : Xét khai t iể Taylor hàm f lân ậ x: h f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( ) (1) 2! Trong ξ thuộ đoạ [x,x+h] Từ (1) ta có:f ' ( x )  f ( x  h)  f ( x )  f '' ( ) h ( 2) h 2! Coi số hạ g f’’ ξ) h/2 sai số rút gọ , từ (2) suy ra: f ( x  h)  f ( x ) ' f ( x)  (3) h Là công thứ tính gầ đú g ĐH theo PP sai phân thuậ CT sai phân thuậ : Phân tích sai số • Sai số rút gọ là: f’’ ξ) h/2= O(h) Phươ g pháp có độ xác ậ hất • Sai số làm tròn: Giả sử tính f(x) f(x+h) có sai số làm tròn, công thứ tính f’: f ( x  h)(1  1 )  f ( x)(1   ) f ( x  h)  f ( x) 1 f ( x  h)   f ( x )   h h h Do | i| hỏ hơ độ xác máy tính nên sai số làm tròn tính f’ là:  ( f ( x  h)  f ( x) ) h • Sai số tổ g ộ g đạt tối thiểu khi: h  CT sai phân thuậ : Ví dụ • Xét hàm: f(x) = sin x Sử dụ g CT sai phân thuậ để tính gầ đú g f’ π/3) Phân tích sai số – Tính với h=10-k, k = ,…, – Tìm h để có sai số hỏ hất Kết uả h 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 Đạo hà 0.455901885410761 0.495661575773687 0.499566904000770 0.499956697895820 0.499995669867026 0.499999566971887 0.499999956993236 0.499999996961265 0.500000041370186 Sai số -0.044098114589239 -0.004338424226313 -0.000433095999230 -0.000043302104180 -0.000004330132974 -0.000000433028113 -0.000000043006764 -0.000000003038736 0.000000041370185 5.1.2 Công thứ sai phân gượ (Backward difference) • Xây dự g công thứ : Tươ g tự hư CT sai phân thuậ ,khai t iể Taylor với x-h thay x+h, ta có: f ( x )  f ( x  h) ' f ( x)  h (1) • Sai số: Tươ g tự hư CT sai phân thuậ – Độ xác ậ hất – Sai số hỏ hất khi: h  • Bài tập: Sử dụ g CT sai phân gượ để tính gầ đú g f’ π/3), iết f(x) = sin x 5.1.3 Công thứ sai phân trung tâm (Central difference) • Xây dự g công thứ : Xét khai t iể Taylor hàm f lân ậ x: h h f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( x )  f ''' (  ) 2! 3! h h f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x )h  f '' ( x )  f ''' (  ) 2! 3! Trong ξ+ thuộ đoạ [x,x+h], ξ- thuộ đoạ [x-h,x] Từ (1) (2) ta có công thứ tính gầ đú g ĐH theo PP sai phân trung tâm f ( x  h)  f ( x  h) f ( x)  2h ' (3) (1) ( 2) CT sai phân trung: Phân tích sai số • Sai số rút gọ : '''  f ( )h ,   x  h, x  h – CT có độ xác ậ 2; – Sai số tổ g ộ g bé hất h = 1/3 • Bài tập: Sử dụ g PP sai phân trung tâm để tính gầ đú g f’ π/3), iết f(x) = sin x So sánh với PP sai phân thuậ sai phân gượ So sánh sai số phươ g pháp h 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 Sai phâ thuậ ~10-2 ~10-3 ~10-4 ~10-5 ~10-6 ~10-7 ~10-8 ~10-9 ~10-8 Sai phâ gược ~10-2 ~10-3 ~10-4 ~10-5 ~10-6 ~10-7 ~10-8 ~10-9 ~10-8 Sai phâ tru g tâ ~10-4 ~10-6 ~10-8 ~10-10 ~10-12 ~10-11 ~10-10 ~10-9 ~10-8 5.2.1 Tính gầ đú g tích phân: Tổ g Riemann • Giả sử hàm f xác đị h [a,b] Δ phép chia đoạ [a,b] thành n đoạ g Ik=[xk-1,xk], k= ,…, , a = x0< x1