Bài tập tích vô hướng

BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG I.Lý thuyết : 1.Định nghĩa : Tích vơ hướng vecto a ; b số thực ký hiệu a b cho cơng thức : ( ) a b = a b cosa ; b 2.Tính chất : a.b = b.a a (pb ) = (pa ).b = p(a.b ) a.(b ± c ) = a b ± a.c a ⊥ b a.b = a = a (a ± b ) 2 = a + 2a.b + b Nếu a ; b hướng thìa.b = a b 2 (a + b )(a − b ) = a − b Nếua ; b ngượchướng thìa.b = − a b 3.Biểu thức tọa độ tích vơ hướng : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) a.b = a1 b1 + a2 b2 Một số cơng thức cần nhớ : a ⊥ b a1 b1 + a2 b2 = ( ) cosa; b = a = a12 + a22 a1 b1 + a2 b2 (a )( +a b +b 2 2 ) AB = ( x B − xA ) + ( xB − xA ) Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp: ( ) -Áp dụng cơng thức a , b = a b cos(a; b ) góc tạobởi vecto a; b -Tính a ; a Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB ⊥ AC = >AB.AC = AC,CB = −CA.CB = CA.CB cos45 − a2 2 = −a2 BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.TínhAB.AC suyracosA b.GọiG làtrọng tâm tamgiác TínhAG.BC c.TínhGA.GB + GB.GC + GC.GA d.GọiD giaiểm phân giác trongcủa góc A với BC TínhAD theoAB ; AC rồisuyra AD HD: cosA = − 1 b.AG = AM = AB + AC = >AG.BC = AB + AC AC − AB 3 29 c.ĐS: − AD = BC = AC − AB bìnhphương vế : ĐS : - ( ) ( )( ) ĐS : Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA BC + MB.CA + MC.AB = 2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA + MB + MC = 3MG + GA + GB2 + GC2 2 3.Suy GA + GB + GC = ( a + b2 + c2 ) với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh VT = MA (MC − MB) + MB(MA − MC) + MC(MB − MA ) = = MA MC − MA MB + MB.MA − MB.MC + MC.MB − MC.MA = ( 2.MA = MA = MG + GA ( ) = ( MG + GC) ) = MG + GA + 2MG.GA MB = MB = MG + GB = MG + GB2 + 2MG.GB MC = MC 2 = MG + GC2 + 2MG.GC ( ) = >VT = 3MG + GA + GB2 + GC2 + MG.GA + MG.GB + MG.GC ( ) = 3MG + GA + GB2 + GC2 + 2MG GA + GB + GC = =3MG + GA + GB2 + GC2 3.M ≡ A = >AB + AC = 4GA + GB2 + GC2 M ≡ B = >BA + BC = 4GB2 + GA + GC2 M ≡ C = >CB2 + AC = 4GC2 + GB2 + GA ( ) = >6 GA + GB2 + GC2 = 2(a2 + b2 + c2 ) = >GA + GB2 + GC2 = ( a + b2 + c2 ) BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : a)MA MB = MI − AB b)MA + MB = 2MI + AB 2 c)MA − MB = 2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB − BC + CD2 − DA = 2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a√3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM , BC = TínhAB AC ĐS: AB = a AC = a 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI AM = AI AB ; BI.BN = BI.BA :b,Từ tính AI AM + BI.BN theo R 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA = BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP ⊥ BC MA MC = MB.MD Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp : − Tính AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) BC = ( x3 − x2 ) + ( y3 − y2 ) CA = ( x1 − x3 ) + ( y1 − y3 ) –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB√2 => Tam giác ABC vng cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB = ( − 1) + (−1 − 5)2 = 40 ( − 3) + (0 + 1)2 BC = = 10 CA = (1 − ) + ( − ) = 50 CA = 50 ; AB + BC = 40 + 10 = 50 = >CA = AB + BC = >∆ABC vuông B = >S = BA.BC = 10đvdt 2 2 2 Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB = 20 BC = 10 ; CA = 10 = >AB = BC = >∆ABC vng cân A S=5đvdt ( Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 ) Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : OA = OB = AB = ( − 4) + ( 3−0 ) =4 = >OA = OB = AB = = >∆OAB  3  Trựctâm H tamgiác OAB trọng tâm tamgiác OAB = >H 2;    Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vng A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vng A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vng từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vng C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vng cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp :  x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3  ;  –Trọng tâm G  3   Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH = ( x − x1 ; y − y1 ) Tính AH.BC Tính BH = (x − x2 ; y − y2 ) ; BH.CA AH.BC = Do H trực tâm   Giải hệ tìm x ; y BH.CA = Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI  5+ - + −   10  a)GọiG làtrọng tâm tamgiác ABC = >G ;  = G ;    3  GọiH(x; y ) làtrựctâm tamgiác ABC AH = ( x − 5; y − ) ; BC = (−4;−8) AH, BC = −4(x − 5) − 8(y − 4) = −4x − 8y + 52 BH = ( x − 2; y − ) ; CA = (7;5) BH, CA = 7(x − 2) + 5(y − 7) = x + 5y − 49 11  x=  4x + 8y = 52    11 14  H làtrựctâm tamgiác ABC   = >H ;  3 3 7x+ 5y = 49 y = 14  Gọi I(x;y)làtâm đường tròn ngoạitiếp tamgiác ABC  x = AI = BI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x − 2)2 + (y − 7)2 − 6x + 6y = 12     AI = CI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x + 2)2 + (y + 1)2 − 14x − 10y = −36 y =   2  2 b, IG = 1;  IH = ( 3;2 ) = 31;  = 3IG = >I; G; H thẳng hàng  3  3 BÀI TẬP:  8 = >I  ;   3 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC  164 15  ;−  ĐS:   31 31  3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam  −1  giác ABC ĐS: I  ;   2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  169 47  ;  ĐS I   66 33  5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC ĐS:  21 25  H ;   11 11  A Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC J B D C Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC = >DB = kDC = > tọa độ D –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B => JA = k' JD =>tọa độ J 1  Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B  ;0  C(2;0) 4  Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC GIẢI AB = 15 AB ; AC = = > k = − =− AC GọiD giaiểm phân giác trongcủa góc A BC = >DB = − DC 1  − x = − ( − x) x = = >  = >D(1;0) y = − y = − ( − y))  15 BA = ; BD = = > k'= −5 4 GọiJ giaiểm phân giác trongcủa góc B AD = > JA = −5JD  x = − − x = −5(1 − x) = > = > 3 − y = −5(0 − y) y =  = >J  ;    2 2 Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0)  − 15  ;2  B(12;15) C(0;−3) Tìm tâm J đương tròn nội tiếp Trong mpOxy cho tam giác ABC với A    tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y) − TínhAA ' = (x − x1 ; y − y1 ) ; BC = (x3 − x2 ; y3 − y2 ) BA ' = (x − x2 ; y − y2 ) (x − x1 )(x3 − x2 ) + (y − y1 )(y − y3 ) = AA'.BC =  − Giảihệ x − x2 = t(x3 − x2 )  BA' = tBC y − y = t(y − y )  Tìmx; y theot , Thayvào (1) tìm t từđó = x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: GọiB'(x; y) : BB' = (x − 3; y + 1) CA = (−5;5) AB' = (x − 1; y − 5) − 5(x − 3) + 5(y + 1) = BB'.CA =  B' làchân đường caokẻ từ B lên AC  x − = −5t AB' = tAC y − = 5t   t= −  x = − 5t   = >y = + 5t x = = >B'(5;1) − x + y = −4 y =    BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H  ;  5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao  37 156   kẻ từ A lên BC ĐS:A’  − ;−  53 53  Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp : − Tính AB ; AC − CosA = − TínhAB vàAC ; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB = (2;−1) = >AB = AC = (−6;−2) = >AC = 40 = 10 AB.AC = −12 + = −10 cosA = AB.AC − 10 = =− = >A = 135 AB.AC 10 II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp: ( ) -Áp dụng cơng thức a , b = a b cos(a; b ) góc tạobởi vecto a; b -Tính a ; a Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB ⊥ AC = >AB.AC = AC,CB = −CA.CB = CA.CB cos45 − a2 = −a2 BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.TínhAB.AC suyracosA b.GọiG làtrọng tâm tamgiác TínhAG.BC c.TínhGA.GB + GB.GC + GC.GA d.GọiD giaiểm phân giác trongcủa góc A với BC TínhAD theoAB ; AC rồisuyra AD HD: BC = AC − AB bìnhphương vế : ĐS : - cosA = − 1 b.AG = AM = AB + AC = >AG.BC = AB + AC AC − AB ĐS : 3 3 29 c.ĐS: − AD = ( ) ( )( ) Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA BC + MB.CA + MC.AB = 2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA + MB + MC = 3MG + GA + GB2 + GC2 2 2 2 3.Suy GA + GB + GC = a + b + c với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh ( ) 10 VT = MA (MC − MB) + MB(MA − MC) + MC(MB − MA ) = = MA MC − MA MB + MB.MA − MB.MC + MC.MB − MC.MA = ( 2.MA = MA = MG + GA ( ) = ( MG + GC) ) = MG + GA + 2MG.GA MB = MB = MG + GB = MG + GB2 + 2MG.GB MC = MC 2 = MG + GC2 + 2MG.GC ( ) = >VT = 3MG + GA + GB2 + GC2 + MG.GA + MG.GB + MG.GC ( ) = 3MG + GA + GB2 + GC2 + 2MG GA + GB + GC = =3MG + GA + GB2 + GC2 3.M ≡ A = >AB + AC = 4GA + GB2 + GC2 M ≡ B = >BA + BC = 4GB2 + GA + GC2 M ≡ C = >CB2 + AC = 4GC2 + GB2 + GA ( ) = >6 GA + GB2 + GC2 = 2(a2 + b2 + c2 ) = >GA + GB2 + GC2 = ( a + b2 + c2 ) BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : AB AB a)MA MB = MI − b)MA + MB = 2MI + c)MA − MB = 2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB − BC + CD2 − DA = 2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a√3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM , BC = TínhAB AC ĐS: AB = a AC = a 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI AM = AI AB ; BI.BN = BI.BA :b,Từ tính AI AM + BI.BN theo R BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP ⊥ BC MA MC = MB.MD 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA = Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp : − Tính AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) BC = ( x3 − x2 ) + ( y3 − y2 ) CA = ( x1 − x3 ) + ( y1 − y3 ) –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC 11 –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB√2 => Tam giác ABC vng cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB = ( − 1) + (−1 − 5)2 = 40 ( − 3) + (0 + 1)2 BC = = 10 CA = (1 − ) + ( − ) = 50 CA = 50 ; AB + BC = 40 + 10 = 50 = >CA = AB + BC = >∆ABC vuông B = >S = BA.BC = 10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB = 20 BC = 10 ; CA = 10 = >AB = BC = >∆ABC vng cân A S=5đvdt Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : ( OA = OB = AB = ( − 4) + ( ) 3−0 ) =4 = >OA = OB = AB = = >∆OAB  3  Trựctâm H tamgiác OAB trọng tâm tamgiác OAB = >H 2;   Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vng A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vng A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vng từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vng C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vng cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp :  x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3  ;  –Trọng tâm G  3   12 Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH = ( x − x1 ; y − y1 ) Tính AH.BC Tính BH = (x − x2 ; y − y2 ) ; BH.CA AH.BC = Do H trực tâm   Giải hệ tìm x ; y BH.CA = Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI  5+ - + −   10  a)GọiG làtrọng tâm tamgiác ABC = >G ;  = G ;    3  GọiH(x; y ) làtrựctâm tamgiác ABC AH = ( x − 5; y − ) ; BC = (−4;−8) AH, BC = −4(x − 5) − 8(y − 4) = −4x − 8y + 52 BH = ( x − 2; y − ) ; CA = (7;5) BH, CA = 7(x − 2) + 5(y − 7) = x + 5y − 49 11  x=  4x+ 8y = 52   11 14  H làtrựctâm tamgiác ABC   = >H ;  3 3 7x+ 5y = 49 y = 14  Gọi I(x;y)làtâm đường tròn ngoạitiếp tamgiác ABC  x = AI = BI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x − 2)2 + (y − 7)2 − 6x + 6y = 12  8  = > I  ;     AI = CI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x + 2)2 + (y + 1)2  3 − 14x − 10y = −36 y =   2  2 b, IG = 1;  IH = ( 3;2 ) = 31;  = 3IG = >I; G; H thẳng hàng  3  3 BÀI TẬP: 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC  164 15  ;−  ĐS:   31 31  3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam  −1  giác ABC ĐS: I  ;   2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) 13 a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6)  169 47  ;  b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS I   66 33  5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC  21 25  ĐS: H ;   11 11  Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC A Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC = >DB = kDC = > tọa độ D J –Tính BA BD =k’= –BA/BD B C –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B D => JA = k' JD =>tọa độ J 1  Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B  ;0  C(2;0) 4  Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC GIẢI 15 AB AB = ; AC = = > k = − =− AC GọiD giaiểm phân giác trongcủa góc A BC = >DB = − DC 1  − x = − ( − x) x = = >  = >D(1;0) y = − y = − ( − y))  15 BA = ; BD = = > k'= −5 4 GọiJ giaiểm phân giác trongcủa góc B AD = > JA = −5JD  x=  − − x = −5(1 − x)  = >J  ;  = > = >   2 2 3 − y = −5(0 − y) y =  Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0) 14  − 15  ;2  B(12;15) C(0;−3) Tìm tâm J đương tròn nội tiếp Trong mpOxy cho tam giác ABC với A    tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y) − TínhAA ' = (x − x1 ; y − y1 ) ; BC = (x3 − x2 ; y3 − y2 ) BA ' = (x − x2 ; y − y2 ) (x − x1 )(x3 − x2 ) + (y − y1 )(y − y3 ) = AA'.BC =  − Giảihệ x − x2 = t(x3 − x2 )  BA' = tBC y − y = t(y − y )  Tìmx; y theot , Thayvào (1) tìm t từđó = x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: GọiB'(x; y) : BB' = (x − 3; y + 1) CA = (−5;5) AB' = (x − 1; y − 5) − 5(x − 3) + 5(y + 1) = BB'.CA =  B' làchân đường caokẻ từ B lên AC  x − = −5t AB' = tAC y − = 5t   t= −  x = − 5t   = >y = + 5t x = = >B'(5;1) − x + y = −4 y =    BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H  ;  5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao  37 156   kẻ từ A lên BC ĐS:A’  − ;−  53 53  Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp : − Tính AB ; AC − TínhAB vàAC ; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A − CosA = 15 AB = (2;−1) = >AB = AC = (−6;−2) = >AC = 40 = 10 AB.AC = −12 + = −10 cosA = AB.AC − 10 = =− = >A = 135 AB.AC 10 ************************************************************************************** BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ Chứng minh :   2 2 2   2 2  2    2  2  =  a + b − a − b  =  a + b − a − b  =  a + b − a − b        2.Cho hai vectơ , có = , = 12 = 13.Tính tích vơ hướng ( + ) suy góc hai vectơ + 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) b) c) 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) b) c) Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính b) Gọi M trung điểm AC tính Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính suy giá trị góc A b)Tính c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính 8.Cho hai vectơ thỏa mãn || = , || = (,) = 120o Với giá trị m hai vectơ + m – mvng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt = k.Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : = OM2 – OA2 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) = IA2 – IB2 b) = (AB2 + AC2 – BC2) c) = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) b) c) + + d) Chứng minh : + + = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 16 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : + + = 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : a) = b) = c) + = 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : + + = b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM ⊥BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN ⊥ DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM ⊥ MN 23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC ⊥ BD b) IA ⊥ IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính b)Tính theo ⇒ độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL ⊥ BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính theo ,x c)Tìm x để AN ⊥ BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC Chứng minh HK ⊥ IJ 28.Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM ⊥ A’B’ 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) = b) MA2 + + = c) MA2 = d) (+ ).(+ ) = e) ( – ).(2 – ) = 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng ∆, H hình chiếu A ∆.Với điểm M ∆, ta lấy điểm N tia AM cho = AH2 Tìm quĩ tích điểm N 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP ⊥ BC ⇔ = 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: 17 (.) + (.) +(.) = 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vng cân 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh 2.= MA(MA – MA’) 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vng M.Tính diện tích tam giác c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : a) + = + b) = c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + = 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : I a) (+ ).= b) (+ + ).= D c) + + = H d) + + = A 39.Cho tam giác ABC vng A, ABE = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N điểm cạnh AB cho BN = 2AN a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AMB ⊥ CN C 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Tổng qt tốn cho đa giác n cạnh 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) điểm M thay đổi đường tròn Chứng minh : ˆ A =F0 ˆ A + cos MO ˆ A + …+ cos MO a) cos MO G b) MA12 + MA22+ …+ MA62 số ( = 12R2) 42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) ,M điểm đường tròn a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b)Chứng minh : MA2 + = 3R2 c)Suy M cung nhỏ BC MA = MB + MC 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M trung điểm BC a)Tính độ dài đoạn AM độ dài đường phân giác góc A 44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: (.)+ (.)+ (.) = 18 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính b)AH đường cao tam giác ABC.Tính theo c)Chứng minh IE ⊥ CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC AD Đặt = ,= ,= a)Chứng minh : = ( + – ) ; = ( + – ) b)Chứng minh :nếu MN = PQ AB ⊥ CD.Điều ngược lại có khơng? 47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a ,b ,c Gọi D trung điểm AB I điểm thỏa + – = a)Chứng minh BCDI hình bình hành b)Tính theo a ,b ,c c)M điểm tùy ý, chứng minh : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ 48.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a)Chứng minh vectơ = + – khơng phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vng cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 19 ... ĐS : - ( ) ( )( ) ĐS : Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý... = 10 AB.AC = −12 + = −10 cosA = AB.AC − 10 = =− = >A = 135 AB.AC 10 II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp: ( ) -Áp dụng cơng thức a , b = a b cos(a; b ) góc tạobởi... c.ĐS: − AD = ( ) ( )( ) Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý