Toán Hàm Số Cực trị của hàm số

Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 1.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một t

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

SƠ ĐỒ TỔNG QUAN PHẦN HỌC

3

Mục tiêu của Tôi

ĐIỂM SỐ

STT Dạng bài Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

1 Tìm Cực đại,

Cực tiểu

2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT

và thỏa mãn 1

tính chất

KẾ HOẠCH HỌC TẬP

Thành công là không ngừng nỗ lực học

tập và rèn luyện

Hàm số có cực đại tại x 0 :

¿y ' đổ i d ấ u t ừ +sang−qua x o

y '

(x o)=0

¿

hoặc 





 0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x y

x y

Điều kiện để cực trị tồn tại

Hàm số có cực tịểu tại x 0 :

¿y ' đổ i d ấ u t ừ− s ang+qua x o

y '

(x o)=0

¿

hoặc











0 0

y '(x ) 0

y ''(x ) 0

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

Cách

1

Lập bảng biến thiên

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

Sử dụng Quy tắc 2

Cách

2

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số

y x  x  x

Bài giải

Cách 1: Lập bảng biến thiên và tìm cực trị

 Tập xác định:R

Ta có:

2

x

x





 Bảng biến thiên:

x   – 1 2 

y

’

+ 0 – 0 +

y +∞

-∞

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại y CĐ

  1 19

6

y

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu y CT

  2 4 3

Cách 2 (Sử dụng quy tắc 2)

 Tập xác định:R

Ta có:

2

x

x





 y''  2x 1, ''y  1  3  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

y CĐ

 1 19

6

y

 y'' 2   3 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu

Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: y=x4−2 x2+5 với ∀ x ∈[−2 ;3]

 Tập xác định : D∈[−2 ;3]

 y'=4 x3−4 x

Cho

y'=0⇔4 x(x2−1)=0⇒ ¿ [ x=0

[ x=±1 [ ¿

y (0 )=5 ; y (−1 )=4 ; y (1)=4 ; y(−2)=13 ; y (3 )=68.

Vậy: x ∈[−2; 3 ] Max y =68⇔ x =3

và x ∈[−2; 3 ] Min y =4 ⇔ x=±1

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

=> Quy tắc 2 ( tính y” )

Ví dụ 3 :Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y=2 x3

+3 x2−12 x+1 trên [-1;5]

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

b) y=x4

−2 x2+3 trên [-3;2]

Ví dụ 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau:

a) y = x.√1−x2 c) y = |−2 x2+3 x +5|

b) y = cosx + 12cos2 x

Bài giải Sơ đồ con đường

a) y = x.√1−x2

 Tập xác định : D∈[−1 ;1]

 y’ = 1−2 x 2 √1−x2 ( với -1 < x < 1 ) y’ = 0  1 - 2x2 =0  x = −√2 2 hoặc x = √2 2

 Bảng biến thiên của hàm số: x -1 −√2

2 √2

2 1

f’(x) - 0 + 0 -

f(x) 0 1

2

−1

2 0

Vậy hàm số đạt GTLN là 1 2 tại x = √2 2

hàm số đạt GTNN là −1

2 tại x = −√2 2

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x Bước 3 : Sử dụng phương pháp  Lập bảng biến thiên b) y = cosx + 12cos2 x  Tập xác định : D= R  y’ = - sinx – sin2x = -sinx ( 1+ 2cosx ) y’ = 0  [cosx= sinx=0−1 2  [x=± x=kππ 2 π 3 +kπ 2 π ( k∈ Z¿  Ta có :y” = -cosx – 2cos2x + y”(kππ¿ = - coskππ – 2cos2kππ = ± 1−2<0 + y”(± 2 π 3 +kπ 2 π¿ = -cos 2 π 3 – 2cos 4 π 3 = 3 2 > 0 Vậy hàm số đạt GTLN tại x = kππ

hàm số đạt GTNN là tại x = ± 2 π

3 +kπ 2 π ( k∈ Z¿

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

 Quy tắc 2

c) y = |−2 x2

+3 x +5|

Bước 1: Tập xác định

 phá dấu trị tuyệt đối

Bước 2 : Tính y '1 = 0 => Tìm x

y '2 = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

 Quy tắc 2

 Hoặc Bảng biến thiên

Ví dụ 1: Cho hàm số: y x3 3(m1)x29x m , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất

cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2  2

 Ta có y ‘ = 3x2−6 (m+1) x +9

 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2

 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

 x2 2(m1)x  có hai nghiệm phân biệt là3 0 x x1, 2

  ' (m1)2  3 0  m  1 3  m  1 3 (1)

 Mặt khác :|x1−x2|≤2  (x1+x2)2−4 x1x2≤ 4(*)

Theo định lý Viet ta có : x1+x2=2(m+1) ; x1x2=3

(*)  4(m+1)2

−12≤ 4  (m+1)2≤ 4  -3 ≤ m≤ 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: 3m  1 3 hoặc

Bước 1: Tính y’¿0

Bước 2 : Tìm Đk để PT có 2

nghiệm ∆ >0

Bước 3 : Xử lí tính chất

- Định lí Viet ( dấu|

| ,Tổng,Tích)

=> Bình phương mất | |

Ví dụ 2 :Cho hàm số y=1

3x

3

−(m−1) x2+3 (m−2) x+1

3 (2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 , 2 sao cho x1  2x2  1

 Ta có: y '

=x2−2 (m−1) x+3 (m−2) Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu

 Phương trình y '=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( ∀ m¿

 Khi đó ta có:

x x11 2 23(m2( 2)1)



2

3 2

 



4

Vậy m = −4 ±√34

4 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bước 1: Tính y’ = 0

Bước 2: Xét ∆

Có 2 điểm  2 nghiệm nên

∆ >0

Bước 3 : Xử lí tính chất

Tổng => Hệ thức Viet

Ví dụ 3 Cho hàm số yx3 3mx24m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các

điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0 

0 2

x





 

 Để hàm số

có cực đại và cực tiểu thì m  0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) 2

nghiệm

 AB (2 ; 4m  m3)

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB

vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường

thẳng y = x

3

3

2



 





Giải hệ phương trình ta được

2 2

m 

; m = 0

Kết hợp với điều kiện ta có:

2 2

m 

Bước 1 : Tính y’ = 0

Bước 2 : Tìm ĐK để PT có 2

nghiệm

Bước 3 : Xử lí tinh chất

 Tính chất hình học

 1 ẩn m => 1 phương trình

⃗n ABvg ⃗n ∆  ⃗n AB ⃗n ∆ = 0 Gọi I∈ ∆thế I vào AB

Ví dụ 4 Cho hàm số yx3 3mx23(m2 1)x m 3m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng

thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ

điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Ta có: y’ = 4x3

−4 m2x = 4x(x2−m2¿=0

 [x x=02=m2 => m≠ 0 (* )

Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị

Gọi ba điểm cực trị là:

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC

là tam giác cân, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là

vuông, thì AB vuông góc với AC

 4  4  

         

Tam giác ABC vuông khi:

 

 

Vậy với m=−1 và m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1: Tính y’ = 0

Tìm ĐK m có 3 điểm cực trị

Bước 2: Tìm điểm cực trị

Bước 3: Xử lí tính chất

=> Tính chất hình học ( Vẽ hình ta thấy)

- Cạnh :AB=AC ;AB vuông AC

- Góc : ( AB, BC ) = 45°

Ví dụ 5 :Cho hàm số y=−x3+3 mx2+3(1−m2)x + m3

−m2 (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai

I

∆

y=x A

B

điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Ta có : y’ = −3 x2

+6 mx+3(1−m2) y = y’ (1

3x−

m

3 ¿ + 2x – m2

+m

 y CT = y ' CT (13x− m

3¿ + 2x CT – m2

+m PTĐT

nối cực đại cực tiểu là

 yCT = 2x CT – m2

+m ( do y ' CT=0¿ Vậy phương trình đường thẳng nối cự đại cực tiểu

là y = 2x – m2

+m

Bươc 1: Tính y’

Bước 2 : Lấy y

y ' được phần dư

y = ax + b ( ax + b là phần dư)

3

đạt cực tiểu tại x  -2.

Bước 1 : Tính y’ = 0

+) PT có 1 nghiệm ( CT) +) PT có 2 nghiệm

Bước 2 : Xử lí tính chất

x CT=−2

Ví dụ 7 :Cho hàm số : y=1

3x

3

−mx2+(m2−m+1)x+1(1).Tìm m để hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả mãn

x1 x2

1  

 Tập xác định D = R

Ta có : y '

=x2−2 mx+m2

−m+1.

Đặt t=x−1 → x=t=1 ta được

y '=g (t )=t2+2 (1−m) t+m2−3 m+2

(1) có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn 1<x1<x2

 g(t) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0<t1<t2

 {∆ '>0 S>0

P>0

{m2−3 m+2>0 m>2m−1>0

2 m−2>0

Vậy m 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x x1 , 2

thoả mãn 1 x 1 x2

Ví dụ 8 Cho hàm số yx4  2m x2 2 (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực1 trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích)

Bài giải Sơ đồ con đường

Hãy sáng tạo ra các tính chất có thể có từ 2 yếu tố

x CT ; y CT

&

x CĐ ; y CĐ

xoay quanh 2 cách xử lí dùng hệ thức Viet ( chuyển về tổng & tích ) và Hình học ( cạnh & góc )

Trong quá trình làm các bài tập các em học sinh thăc mắc hay cần đưa ra bàn luận có thể truy

cập vào group https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ để cùng nhau giải

đáp nhé !

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :

1 y= 2 x2+3 x +3

x−1 trên đoạn [0;2]

2 y=x −√x−4

3 y=x +4x trên đoạn [1;3]

4 y=1

2(x+√4−x2)

Bài 2: Tìm m để hàm số sau y = 23x3−m x2−2(3 m2−1)x +2

3 có 2 điểm cực trị x1 ; x2 sao cho

x1x2 +2(x¿¿1+x2)¿= 1

CÂU HỎI TƯ DUY

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số yx3 3mx23m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Bài 4: Cho hàm số y =1

3x

3

−2 x2+3 x (1).

Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

Bài 6: Cho hàm số y=2 x 3+9 mx 2+12 m2 x +1, trong đó m là tham số.Tìm tất cả các giá trị của

m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2 CĐ= xCT.

Khám phá bản thân :

8 LOẠI HÌNH TRÍ THÔNG MINH CON NGƯỜI

1.NGÔN NGỮ

Đối với bạn các môn NGOẠI NGỮ như tiếng anh rất đơn giản

Cảm thấy mình là người giỏi kể chuyện hoặc viết văn giỏi Trong trường bạn thích nhất các môn như tiếng anh và các môn xã hội

Bạn thường chiếm ưu thế trong các cuộc tranh luận hoặc cãi vã

Bạn thích nói chuyện để giải quyết vấn đề, giải thích cho những giải pháp cũng như đặt nhiều câu hỏi

2.LOGIC – TOÁN HỌC

Bạn thích làm việc với những con số và tính nhẩm rất tốt

Bạn có nhiều hứng thú với các tiến bộ khoa học mới nhất

Bạn thích thú với những thức thách của các trò chơi trí tuệ hoặc toán đố

Thư giãn cuối giờ

cần nhiều suy nghĩ logic

Bạn thường là người tìm ra các điểm vô lý trong những việc người nói hoặc làm Toán và các môn tự nhiên là những môn học yêu thích của bạn

3.HÌNH ẢNH – KHÔNG GIAN

Bạn thường hiểu và trân trọng các môn nghệ thuật

Bạn thường ghi nhận những sự kiện quan trọng bằng máy chụp hình và máy quay phim

Bạn thường vẽ vời khi phải ghi chép hoặc suy nghĩ

Bạn thích chơi các game về hình ảnh như ghép hình và mê cung

Bạn thường chia sẻ quan điểm của mình bằng sơ đồ hoặc hình ảnh Bạn thích đọc những tài liệu có hình ảnh minh họa

4.CẢM XÚC – VẬN ĐỘNG CƠ THỂ

Bạn tham gia thể thao hoặc tham gia biểu diễn múa thể dục, võ hoặc

những môn tương tự Bạn có xu hướng tự tay thực hiện những việc thủ

công lắp ráp Bạn thích suy nghĩ những vấn đề khi đang chạy hoặc đi

bộ Bạn không ngại nhảy trước một đám đông.Bạn thích những trò chơi

mạo hiểm tại các hội chợ/ trung tâm vui chơi giải trí Môn học thích thú

nhất tại trường của bạn là môn thể dục & thủ công kỹ thuật Bạn thích

chơi những trò chơi nghịch ngợm và phá bĩnh với trẻ con

5.ÂM NHẠC

Bạn có thể chơi một nhạc cụ Bạn thường nghe nhạc ở nhà Bạn thường hay gõ nhịp theo điệu nhạc Bạn thường hay huýt sao hay nhẩm theo một giai điệu Bạn thích có nhạc khi đang làm việc

6.QUAN HỆ GIAO TIẾP

Bạn rất tự tin làm quen với một người chưa từng gặp, đặc biệt

là bạn khác giới

Bạn thích làm việc với những người khác trong một nhóm

Bạn thích trò chơi có sự tham gia của nhiều người như cờ tỷ phú, cá ngựa

Bạn là một người thích giao tiếp bạn thích tham dự một bữa tiệc hơn là ở nhà xem ti vi một mình

7.NỘI TÂM|

Bạn viết một cuốn nhật ký hay blog để ghi lại những suy nghĩ của

mình.Bạn thường dành những thời gian yên tĩnh syu nghĩ những vấn đề

quan trọng trong cuộc sống của mình.Bạn thích tự mình đi câu cá hay

léo núi, bạn thấy thoải mái khi ở một mình.Bạn làm việc cho chính

mình hoặc rất tập trung suy ngẫm khi làm những việc của bản thân

8.TỰ NHIÊN

Bạn có hoặc thích thú nuôi trong nhà

Bạn có thể nhận ra và nhớ tên nhiều loại cây và hoa khác nhau

Bạn thích chăm sóc cây cảnh, vườn tượt

Bạn am hiểu và có hứng thú đối với những vấn đề về môi trường toàn cầu

Bạn cho rằng bảo toàn tài nguyên và đạt được sự phát triển bền vững là những vấn đề lớn lao nhất của con người hiện na