Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT yên định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC

TRỊ CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện : Phạm Thị Trang Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2017

2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 3

2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 3

2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ

thị hàm số và cực trị của hàm số

4

2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực

trị thỏa mãn điều kiện cho trước

7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

2.4.2 Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Kì thi THPT quốc gia 2017 có một số điểm mới so với những năm học

trước đó là thí sinh phải làm 4 bài thi tối thiểu, trong đó có 3 bài thi bắt buộc làToán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và bài thi tự chọn là KHTN (gồm các môn Vật lí,Hoá học, Sinh học) hoặc bài thi KHXH (gồm các môn Lịch sử, Địa lí, Giáo dụccông dân) Trong đó, môn toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thứcthi trắc nghiệm Thời gian làm bài của môn toán là 90 phút với 50 câu hỏi trắcnghiệm, tức là trung bình mỗi câu làm trong 1,8 phút Với hình thức thi và thờigian thi như vậy là một áp lực không hề nhỏ đối với các thí sinh, đòi hỏi các thísinh phải chuẩn bị cho bản thân lượng kiến thức, kĩ năng nhất định và chiếnthuật làm bài phù hợp mới có thể có được kết quả cao

Trong chủ đề ‘‘Cực trị của hàm số’’ các bài toán tuy không khó, nhưng nếu

học sinh vẫn làm theo phương pháp thông thường lâu nay thì mất rất nhiều thờigian, kể cả những học sinh khá giỏi Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng tínhtoán của các em học sinh trường THPT Yên Định 3 còn hạn chế, thiếu kinhnghiệm trong quá trình làm bài trắc nghiệm nên thường dẫn tới những sai sót khilàm bài Để giúp các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài trắc nghiệmmôn toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu

và nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia” (Dành cho ban cơ bản).

Môn Toán học trong trường phổ thông là một môn học khó, học sinh thườngkhông học tốt môn này Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh gặpnhiều khó khăn về nội dung kiến thức và thời gian làm bài Để giải quyết đượctrọn một đề 50 câu trong thời gian 90 phút nếu giải theo quy trình tự luận thì rấtmất thời gian và có thể học sinh không làm hết được các câu hỏi

Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định 3 làm quen và nhanh

với dạng toán trắc nghiệm tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh

lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số’’

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức

và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số đểgiúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giảibài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn Giúp nâng cao chất lượng dạy học phầncực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích mônToán hơn

Nâng cao chất lượng dạy học bộ môn

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài đi vào nghiên cứu cách giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm phần

cực trị của hàm số (Giải tích 12 cơ bản).

Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa.

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lýthuyết Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi đưa ra một số chú ý vànhận xét quan trọng để học sinh từ đó giải nhanh bài toán trắc nghiệm.

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin : Tham khảo ý kiếncủa giáo viên và thăm dò ý kiến học sinh

Phương pháp thống kê, xử lí số liệu : Thống kê và xử lí số liệu kết quả họctập của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Học sinh phải nắm được:

- Về kiến thức:

+ Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị củahàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số,điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số + Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

- Về kĩ năng:

+ Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để tìm điểm cực trị của hàm số, cựctrị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số

+ Vận dụng kiến thức đã học để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số

2.1.1 Khái niệm cực đại, cực tiểu:

- Nếu f x  đạt cực đại (cực tiểu) tại x o thì x o được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số ; f x o được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) của hàm số, kí hiệu f CD f CT, còn điểm M x f x o;  o được gọi là

điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị Giá trị

cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung

Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x o h x; oh vơi h

> 0 Khi đó:

a) Nếu f x o  0, f x0  0 thì x0 là điểm cực tiểu;

b) Nếu f x o  0, f x0  0 thì x0 là điểm cực đại;

2.1.4 Quy tắc tìm cực trị:

Quy tắc 1:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính f x .Tìm các điểm mà tại đó f x bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Xét dấu f x và lập bảng biến thiên

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.

Quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính f x  Giải phương trình f x' = 0 và kí hiệu là xi (i = 1,2,3,, n)

Bước 3: Tính f '' x f, '' x i

Bước 4: Dựa vào dấu của f '' x i suy ra tính chất cực trị của xi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

+ Các năm trước khi chưa thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh máymóc áp dụng theo giáo viên, nhưng bắt đầu từ năm 2017 Bộ giáo dục và đào tạo

tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm Với hình thức thi này nếu học sinh vẫnmáy móc áp dụng lần lượt các bước thì vẫn có thể ra đáp số nhưng mất rất nhiềuthời gian và không có thời gian cho các câu khác

+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết của các em học sinh còn hạn chế + Phần lớn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 kỹ năng tính toán vàsuy luận chưa cao nên sẽ gặp khó khăn trong bài toán trắc nghiệm

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Theo kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi sẽ chia làm các dạng để học

sinh có thể hiểu rõ và nắm vững hơn về từng dạng, vận dụng được cho các bàitập khác

2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và cực trị của hàm số.

Phương pháp chung:

Để giúp học sinh làm tốt và làm nhanh bài toán liên quan đến cực trị trướchết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững được kiến thức liên quan đến cực trị,cách tìm cực trị và cách phân biệt điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồthị hàm số và cực trị của hàm số Ngoài ra, đôi khi trong một số bài toán giáoviên hướng dẫn học sinh một số cách loại đáp án sai tìm nhanh ra đáp án đúng

để không mất thời gian quá nhiều

- Nhiều học sinh không nắm vững lí thuyết sẽ chọn ngay đáp án A vì cứ nghĩ

nghiệm của phương trình y’ = 0 là điểm cực trị của hàm số.

- Ngoài ra học sinh cũng hay mắc phải sai lầm đó là chọn đáp án D điểm

vậy học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt được các khái niệm.

Bài tập 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị

A y x 3  3x 1 B y x 4  4x3  3x 1

C 2

3

x y

Cách giải thông thường:

hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại)

ít nhất một nghiệm nên hàm số có ít nhất một điểm cực trị (loại)

Với C: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số không có cực

trị Do đó ta chọn đáp án C

Nhận xét: Với một bài toán yêu cầu tìm hàm số không có cực trị nếu ta xét từng

đáp án thì mất rất nhiều thời gian Đôi khi ta phải nhớ được một số kết quả đã biết Ví dụ như trong bài tập 2 này nhìn vào bốn đáp án ta có thể chọn ngay đáp

án C Giáo viên có thể nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ đó là:

“Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị”

Bài tập 3: Cho hàm số y x4  2x2  1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

B Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

C Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

D Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Giải

Cách giải thông thường:

Vậy hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu Ta chọn đáp án B

a

  là hai điểm cực tiểu của hàm số

Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a < 0 đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm

số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu; a > 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W

nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Dựa vào nhận xét trên ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:

Ta có: a = -1 < 0, b = 2 , a.b < 0 nên hàm số có hai điểm cực đại và một cực

tiểu Ta chọn đáp án B.

Ghi nhớ nhận xét trên giúp học sinh giải nhanh bài toán.

Bài tập 4: Cho hàm số yf x( ) liên tục và xác định trên  \ 2  và có bảng biếnthiên sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 4

trị nhỏ nhất của hàm số Vậy ta chọn đáp án C

Nhận xét: Giá trị cực trị của hàm số chưa hẳn là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của hàm số đó.

Bài tập 5: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x ( )  1 x 2 x 2 Phát biểu nào

sau đây là đúng

A Hàm số có một điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị

C Hàm số có đúng một điểm cực trị D Hàm số không có điểm cực trị

Đến đây nhiều học sinh kết luận hàm số có hai điểm cực trị và chọn ngay đáp án

B Tuy nhiên đó là kết luận sai lầm, bởi khi đi qua x = 1 thì f’(x) không đổi dấu,bởi vì 1  x2 0 với mọi x Do vậy hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị x = 3

Vậy ta chọn đáp án C

Nhận xét: Trong đa thức, đa thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn và nghiệm

bội lẻ, còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu

Qua nhận xét này ta có thể chọn ngay đáp án C

Bài tập 6: Cho hàm số yx Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

 Hàm số có đạo hàm không xác định tại x = 0 và ta thấy đáp án

C và D ngược nhau, nên ta loại trừ ngay được đáp án A và B

Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0 , vậy theo định nghĩa x = 0

- Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân

biệt     b2  3ac 0

- Để hàm số không có điểm cực trị thì phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm kép    b2  3ac 0

Qua đây ta rút ra được kết quả: Đồ thị hàm đa thức bậc ba hoặc là có hai điểm

cực trị hoặc là không có điểm cực trị nào.

Bài tập 1: Với giá trị nào của m thì hàm số y x 3  m x2 2  4m 3x 1 đạt cực đại

Nhận xét: Nhiều học sinh mắc sai lầm trong bài tập này đó là chỉ thay x =1 vào

phương trình y’ = 0 suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -3 Khi đó học sinh

0 0

0 0

Vận dụng nhận xét trên ta có để hàm số có hai điểm cực trị thì

Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc sai lầm đó là chọn đáp án C hoặc A

+) Học sinh ngay sau khi giải điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị thì chọn ngay C

+) Hoặc học sinh không tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị mà bắt tay vào giải 1 2

Nhận xét: Đối với bài toán không chứa tham số thì học sinh có thể làm như

vậy, nhưng đối với bài toán chứa tham số thì cách làm như vậy không hiệu quả

mà đôi khi rất khó khăn trong việc tính toán Ta có thể làm như sau:

Giả sử hàm bậc ba yf x( ) ax3 bx2 cx d a   0có hai điểm cực trị là x1 và x2..Khi đó thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được:

Bài tập 6: Cho hàm số y x 3  3x2  3 1  m x   1 3 ,m giả sử đồ thị hàm số có hai

điểm cực trị Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

Ngoài ra tôi xin giới thiệu một cách bấm máy tính (sử dụng cho máy Casio fx –

570 ES PUSL) để tìm nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

của đồ thị hàm số bậc ba như sau:

Bước 1: Xác định y’, y’’

Bước 2: Chuy n máy tính sang ch ểm cực trị ế độ tính toán số phức điểm cực trị ộ tính toán số phức tính toán s ph cố phức ức

 (Công thức này học sinh thừa nhận do khuôn khổ

của sáng kiến tôi xin phép không giới thiệu vào sáng kiến).

Chú ý: Với bài toán không chứa tham số thì ta sử dụng biến X trong máy, tuy

nhiên nếu bài toán chứa tham số ta có thể sử dụng biến bất kì trong máy để biểu thị cho tham số đã cho, ta quy ước biến M

Bước 3: Gán giá trị.

Ấn

CALC

Gán X với i , gán M với 100

Lúc này máy tính xuất hiện kết quả, ta tách hệ số và i để đưa kết quả cuối cùng

Ví dụ như hai bài tập 5 và 6 ở trên:

Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Nhận xét: Đôi khi việc sử dụng máy tính thuận lợi và nhanh hơn giải theo cách

thông thường Với hình thức thi mới này học sinh không những nắm vững và rộng kiến thức mà còn phải có kĩ năng sử dụng máy tính thành thạo để tránh mất thời gian làm bài.

Bài tập 7: Xác định tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm

sauy x 3  3x2 mx đối xứng nhau qua đường thẳng x 2y 5 0  .

Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị là 2m 3x 3y m  0

Thông thường học sinh sẽ giải tiếp như sau: Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của

hàm số Theo định lí vi-et ta có

1 2

1 2

2 3

x x m

Tọa độ trung điểm I của M1M2 là I(1; m - 2)

Để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

Nhận xét: Cách làm trên đúng và cho kết quả nhưng nếu bài toán trắc nghiệm

thì lại mất rất nhiều thời gian Ta có thể sử dụng nhận xét sau để có thể rút ngắn thời gian làm bài.

Chương trình cơ bản không đề cập tới khái niệm “điểm uốn” nhưng đối với

bài thi trắc nghiệm thì ta có thể ghi nhớ để dùng khi cần.

Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là điểm có hoành độ thóa mãn y’’ = 0

d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Quay trở lại với bài toán trên ta có thể làm như sau:

Ta có y  3x2  6x m ,y  6x 6 ,y   0 x 1 Tọa độ điểm uốn I(1; m-2).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì y  3x2  6x m  0có hai nghiệm phân biệt

9 3m 0 m 3



      

Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị là 2m 3x 3y m  0

(1) 2

- Hàm đa thức bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị

- Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1) +) Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y’=0 có ba nghiệm phân biệt

2

b x

a

  là hai điểm cực đại

+) Để hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu thì 0

0

ab a

2

b x

a

  là hai điểm cực tiểu.

Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a < 0 đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm

số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu; a > 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W

nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số