Giáo trình giải tích hàm số

§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m NGUYÔN HOµNG Vµ L£ V¡N H¹P Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch hµm HuÕ - 2014 æ `.I NOI ´ D ˆU -` LO A ´ Va `o n˘ am 1932, Banach xuˆ a´t ba’n cuˆ o´n sa ´ ch “Ly ´ thuyˆ e t toa ´n ´ `e ly `om nh˜ ´ e t qua’ d¯u o c biˆ ´ vˆ ´ tu’ ”, nˆ o.i dung bao gˆ u ng kˆ e t va `o th` o i d¯o ´ thuyˆ e t ca ´ c khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n, d¯˘ a.c biˆ e.t la ` ca ´ c d¯i.nh ly ´ cu’a Banach ˜ cˆ d¯a ong bˆ o´ ca ´ c ba `i ba ´ o t` u n˘ am 1922-1929 Cuˆ o´n sa ´ ch na `y la `m o´n sa ´ ch cu’a Van der Waerden cho Gia’i tı ´ch `m co ´ mˆ o.t ta ´ c d¯ˆ o.ng nhu cuˆ `e d¯a.i sˆ vˆ o´, d¯u.o c xuˆ a´t ba’n hai n˘ am tru.´ o.c d¯o ´ Ca ´ c nha ` gia’i tı ´ch trˆ en ´t d¯ˆ `au nhˆ ´ a a.n th´ u c d¯u o c s´ ´ p m´ o i va ` u c ma.nh cu’a phu o ng pha thˆ e gi´ o i b˘ ´ap du.ng chu ´ ng va `o ca ´ c lı˜nh vu c kha ´ c nhau; ca ´ c ky ´ hiˆ e.u va ` thuˆ a.t ng˜ u `ay d¯u’ ˜ i, khˆ cu’a Banach d¯u.o c chˆ a´p nhˆ a.n rˆ o.ng ong gian d¯i.nh chuˆ a’n d¯ˆ `oi ch˘ ´ d¯u.o c go.i la ` khˆ ong gian Banach rˆ a’ng bao lˆ au, ly ´ thuyˆ e t na `y tro’ ´t buˆ `an b˘ tha `nh mˆ o.t phˆ a o.c chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c J Dieudonne ´ (1981) Gia’i tı´ch `m la` mˆo.t nga `nh cu’a gia’i tı´ch toa ´ n ho.c nghiˆen c´ u.u ca ´ c d¯oˆ´i tu.o ng ong thu.`o.ng o’ng qua ´ t ho.n ca ´ c khˆ ong gian Rn thˆ va ` cˆa´u tru ´ c toa ´ n ho.c tr` u.u tu.o ng, tˆ `eu nga ´et qua’ va ´ p cu’a no ´ thˆ am nhˆ a.p va `o nhiˆ `nh kha ´ c nhu Ca ´ c kˆ ` phu.o.ng pha ´et phu.o.ng trı`nh vi phˆ ´et ly ´ thuyˆ an thu.` o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o `m riˆeng, ly ´ thuyˆ ´en phˆ ` biˆ an, phu o ng pha ´ p tı´nh, Ra d¯o` i va `o nh˜ u ng n˘ am ca ´ c ba `i toa ´ n cu c tri va ´e ky’ 20, d¯´ˆen gia’i tı´ch ˜ y d¯u o c nh˜ u ng tha `nh tu u quan d¯`aˆu cu’a thˆ `m tı´ch lu ´en `nh chuˆ a’n mu c viˆe.c nghiˆen c´ u u va ` trı`nh ba `y ca ´ c kiˆ tro.ng va ` no ´ d¯˜a tro’ tha ´ n ho.c th´ u c toa - a.i ho.c Su pha.m, d¯u.o c viˆ ´et ´n D Gia ´ o trı`nh na `y da `nh cho sinh viˆen ca ´ c l´o.p Toa - a.i ho.c Su `m d¯˜a d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa ´n D trˆen co so’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch -ˆ ´e nh˜ `an b˘ ˜ ng la pha.m Huˆ u.ng n˘ am v` u.a qua D ay cu ` ho.c phˆ a´t buˆ o.c cuˆo´i cu`ng `e mˆon gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c chı´nh khoa vˆ ´ ´et va `an hu.´ `om chu.o.ng ly ´ thuyˆ ` co ´ phˆ o.ng dˆ a˜n gia’i ba `i Nˆ o.i dung gia ´ o trı`nh gˆ ´en th´ `nh cho viˆe.c trı`nh ba `y nh˜ u ng kiˆ u c co tˆ a.p cu`ng phu lu.c Hai chu o ng d¯`aˆu da ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly ´ quan cu’a gia’i ´en tı´nh Ca `n la.i xe ´ t ca ´ c vˆa´n d¯`ˆe cu thˆe’ ho.n nhu ca ´c tı´ch `m tuyˆ ´ c chu o ng co p ´en ong gian Hilbert va ` ca ´ c vˆa´n d¯`ˆe liˆen quan d¯´ˆen toa ´ n tu’ tuyˆ khˆ ong gian L , khˆ o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n `nh cu’a nga `nh toa ´ n ca ´c tı´nh Ca ´ c nˆ o.i dung na `y phu` ho p v´ Typeset by AMS-TEX tru.` o.ng su pha.m, d¯u.o c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆ am tinh gia’n va ` co ba’n giu ´ p sinh ´ i nhı`n thˆ o´ng nhˆ a´t d¯oˆ´i v´ o.i nga `nh gia’i tı´ch viˆen co ´ d¯u.o c ca ´en th´ `an gia’i tı´ch ´e th` ` pha ´ t triˆe’n ca ´ c kiˆ u.c cu’a ca ´ c ho.c phˆ Mˆ on ho.c na `y kˆ u.a va `an oˆn la.i ca ´en th´ `e khˆ o c d¯´o Do d¯´o sinh viˆen cˆ ´ c kiˆ u c vˆ ong gian mˆetric, tˆo pˆ o, tru ´ ´et d¯oˆ d¯o, tı´ch phˆ ˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ ang tı´nh toa ´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’ ly ´ thuyˆ an cu - ˆe’ giu ´en th´ d¯iˆe’n D ´ p sinh viˆen tˆa.p vˆ a.n du.ng kiˆ u.c d¯˜a ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co ´ mˆo.t sˆo´ `an cuˆ ´ ng Phˆ o´i co ´ hu ´ o ng dˆ a˜n va ` gia’i mˆo.t sˆo´ ca ´ c ba `i tˆ a.p nhu la ` ba `i tˆ a.p tu o ng u ´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n nh˜ u.ng go i ´y d¯ˆe’ sinh viˆen co ´ m o.n ca ´ c d¯`oˆng nghiˆe.p o’ Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa ´ n, Ca ´ c ta ´ c gia’ xin d¯u.o c ca ´e d¯˜a d¯´o ng go ´en va `eu kiˆe.n d¯ˆe’ gia o ng d¯a.i ho.c Su pha.m Huˆ ´ p ´y kiˆ ` ta.o d¯iˆ ´ o trı`nh Tru ` `an in ´ ng tˆ oi mong nhˆ a.n d¯u o c nh˜ u ng phˆe bı`nh, go ´ p ´y d¯ˆe’ nh˜ u ng lˆ na `y d¯o` i Chu ´en tˆ o’ sung va ` ca’i tiˆ o´t ho.n sau gia ´ o trı`nh d¯u.o c bˆ Chu.o.ng ˆ ˆ´N T´INH D ˆ’ N - I.NH CHUA KHONG GIAN TUYE Kh´ niˆe.m khˆ ong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆ ong gian vecto.) l` a mˆo.t nh˜ u.ng kh´ niˆe.m quan tro.ng v` a co ba’n cu’a to´ an ho.c hiˆe.n d¯a.i C´ ac vˆa´n d¯`ˆe cu’a d¯a.i sˆo´ y thuyˆe´t d¯i.nh th´ u c, ma trˆ a.n, hˆe phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, tuyˆe´n t´ınh nhu l´ at biˆe’u v` a tr`ınh b` ay mˆo.t c´ach nhˆ a´t qu´ an trˆen ngˆon ng˜ u v` a cˆa´u tr´ uc cu’a d¯u.o c ph´ n ung ta am to´ an trˆen c´ac tˆa.p R hay R ch´ khˆ ong gian vecto Trong gia’i tı´ch, l` uc sˆo´ ho.c cu’a tˆ a.p n` ay Tuy nhiˆen bu ´ o c v`ao c´ac l˜ınh kha ´ quen thuˆ o.c v´o i cˆa´u tr´ ’ ac, ch˘ ang ha.n l´ y thuyˆe´t phu o ng tr`ınh vi phˆ an, phu o ng tr`ınh t´ıch phˆ an, vu c kh´ `an xˆ o ng xuyˆen l` am viˆe.c trˆen tˆa.p c´ ac h` am sˆo´, ta cˆ ay du ng c´ ac cˆa´u pha’i thu ` ´en tı´nh d¯ˆe’ thu c hiˆe.n ca ´ c phe ´ p toa ´ n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am tr´ uc khˆ ong gian tuyˆ - `ˆ am to´ an gia’i t´ıch d¯u.o c trˆen c´ac khˆ ong gian aˆ´y mˆo.t sˆo´ d¯o´ D ong th` o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l` ung ta pha’i d¯u a cˆa´u tr´ uc mˆetric v`ao cho ch´ ung Tuy nhiˆen nˆe´u c´ach tu nhiˆen ch´ uc khˆ ong gian vecto v` a cˆa´u tr´ uc khˆ ong gian mˆetric th`ı nghiˆen c´ u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´ ` ng v´ `eu g`ı m´o i Chu ´ ng ta hy vo.ng r˘ a o.i su kˆe´t ho p nhˆ a´t ta s˜e khˆ ong thu d¯u o c d¯iˆ a´u tr´ uc n` ay th`ı c´ac vˆa´n d¯`ˆe nghiˆen c´ u u c` ung nh˜ u ng kˆe´t qua’ m´o.i d¯.inh gi˜ u a hai cˆ `an lu.o t tr`ınh b` `eu ho.n C´ ac nˆ o.i dung d¯o´ s˜e d¯u.o c lˆ ay qua c´ ac s˜e xuˆ a´t hiˆe.n nhiˆ ao tr`ınh n` ay Mo’ d¯`aˆu, mu.c §1 da `nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ niˆe.m chu o ng cu’a gi´ ´et liˆen quan d¯ˆe´n khˆ ´ c mu.c kha ´ c la` nˆ o.i dung v` a t´ınh chˆ a´t d¯˜a biˆ ong gian vecto Ca `y m´o.i cu’a chu.o.ng na ˆ ˆ´N T´INH §1 KHONG GIAN TUYE - i.nh ngh˜ıa Mˆ ´en tı´nh hay khˆ 1.1 D o.t khˆ ong gian tuyˆ ong gian vecto X trˆen o.ng K l` a mˆo.t tˆ a.p ho p kh´ ac trˆ o´ng X, c´o trang bi hai ph´ep to´ an cˆo.ng (+) mˆo.t tru.` o ng) nghiˆe.m d¯u ´ ng c´ac tiˆen d¯`ˆe sau: v` a ph´ep nhˆan ngo` (nhˆ an vˆ o hu ´ `an tu’ (x, y) ∈ X × X 1) (X, +) l` a mˆo.t nh´ om Abel, ngh˜ıa l` a: v´ o.i mˆo˜i c˘a.p phˆ `an tu’ cu’a X k´ o.i mˆo.t phˆ y hiˆe.u x + y, go.i l` a tˆ o’ng cu’a x v` a y, thoa’ m˜an cho u ´.ng v´ a x + y = y + x v´ o.i mo.i x, y ∈ X b (x + y) + z = x + (y + z) v´ o.i mo.i x, y, z ∈ X `an tu’ khˆ `on ta.i phˆ `an tu’ ∈ X, go.i l` a phˆ ong cho c Tˆ ∀x ∈ X, x + = + x = x `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’ k´ `an tu’ d¯ˆ d V´ o.i mo.i x ∈ X tˆ y hiˆe.u −x, go.i l` a phˆ o´i cu’a x cho x + (−x) = o.ng trˆen X, t´ u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u ´.ng 2) X c` ung ph´ep nhˆan vˆ o hu.´ `an tu’ cu’a X, k´ y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an v´ o.i mˆo.t phˆ a α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X b (α + β)x = αx + βx v´ o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X c α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X d ∀x ∈ X, 1x = x `an tu’ cu’a X go.i l` a c´ac vecto., α ∈ K go.i l` a vˆ o hu.´ o.ng Trong gi´ ao C´ac phˆ o ng K l` a R (tru ` o ng c´ ac sˆo´ thu c) ho˘a.c C (tru `o ng tr`ınh n` ay ta chı’ l` am viˆe.c v´o i tru ` c´ac sˆo´ ph´ u c) V´ı du o.i c´ac ph´ep to´ Tˆ a.p ho p K n = K × × K v´ an cˆo.ng v` a nhˆ an vˆ o hu.´o.ng: `an n lˆ x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ), αx = (αx1 , , αxn ) d¯o´ α ∈ K, x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ K n l` a mˆo.t khˆ ong gian -˘ a.c biˆe.t n = th`ı K l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto trˆen ch´ınh n´ o vecto D ac d¯a th´ u.c mˆo.t biˆe´n thu c trˆen R, k´ y hiˆe.u l` a P v´ o.i ph´ep cˆo.ng hai Tˆ a.p ho p c´ o.t sˆo´ v´ o.i d¯a th´ u.c d¯u.o c x´ac d¯i.nh theo c´ ach thˆ ong thu.`o.ng d¯a th´ u.c, ph´ep nhˆan mˆ c˜ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto a´t ca’ c´ac h` am sˆo´ thu c ho˘ a.c ph´ u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆ a.p A kh´ ac Tˆ a.p ho p tˆ an trˆ o´ng v´ o i c´ac ph´ep to´ ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto., ta k´ y hiˆe.u l` a F(A) Tˆa.p ho p c´ ac d˜ay sˆo´ thu c (ho˘ a.c ph´ u.c) v´ o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v` a ph´ep nhˆ an o.ng d¯u.o c x´ac d¯.inh theo c´ ach thˆ ong thu.` o.ng lˆ a.p th` anh khˆ ong gian vecto., k´ y vˆ o hu.´ o i N l` a tˆ a.p c´ ac sˆo´ tu hiˆe.u l` a s Thˆ a.t ra, theo k´ y hiˆe.u o’ v´ı du 3, ta c´o s = F(N), v´ nhiˆen -ˆ 1.2 D o.c lˆ a.p tuyˆ e´n t´ınh-Co so’ a c´ac vecto a mˆo.t khˆ ong gian vecto v` a x1 , x2 , , xn l` 1.2.1 Gia’ su’ X l` thuˆ o.c X Tˆ o’ng n α1 x1 + · · · + αn xn = αi xi , i=1 d¯o´ c´ac αi ∈ K d¯u.o c go.i l` a mˆo.t tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac vecto x1 , , xn v´ o.i c´ac hˆe sˆ o´ α1 , , αn Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p cu’a X Ta go.i M l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh `an tu’ {x1 , , xn } ⊂ M va ´ c phˆ ` ca ´ c sˆo´ α1 , , αn ∈ K, nˆe´u mo.i tˆ a.p h˜ u.u ha.n ca ´eu nˆ n αi xi = th`ı αi = 0, i = 1, , n, i=1 d¯o´ n l` a sˆo´ tu nhiˆen bˆ a´t k` y Tru.` o.ng ho p M khˆ ong pha’i l` a d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l` a phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh 1.2.2 Cho B l` a mˆo.t tˆ a.p kh´ ac trˆ o´ng cu’a khˆ ong gian vecto X Tˆa.p B a mˆo.t co so’ ( hay co so’ Hamel ) cu’a X nˆe´u: d¯u.o c go.i l` a) B l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh a mˆo.t tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a b) B sinh X, ngh˜ıa l` a v´ o.i mo.i x ∈ X, x l` `an tu’ cu’a B : ac phˆ mˆo.t sˆo´ h˜ u.u ha.n c´ n ∀x ∈ X ∃ α1 , , αn ∈ K; ∃ x1 , , xn ∈ B : x= αi xi (1.2) i=1 `e Gia’ su’ B l` 1.2.3 Mˆ e.nh d ¯ˆ a mˆ o.t co so’ cu’ a khˆ ong gian vecto X Khi d¯´ o ac d¯.inh mˆ o.t c´ ach nhˆ a´t biˆe’u diˆ˜e n cu’ a vecto x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o c x´ ` ng tˆ o.c r˘a o’ng (1.2) Ch´ u ´y Trong ph´ at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯`ˆe n` ay ta qui u.´ ac t` u ng d¯oˆi mˆo.t; khˆ a ong co ´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’ da.ng 0xj v` c´ac vecto xj kh´ u.a, tı´nh chˆ a´t giao hoa ´ n cu’a phe ´ p + nˆen ta khˆ ong quan tˆ am d¯ˆe´n th´ u tu ho.n n˜ cu’a c´ac ha.ng tu’ ˜e n kh´ Ch´ u.ng minh Gia’ su’ c´o hai c´ ach biˆe’u diˆ ac nhau: x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym , v´ o.i αi = 0, βj = 0, i = 1, , n, j = , m Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’ αj xj v` a βk yk o’ hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v` a xj = yk L´ uc a βk yk c`on la.i o’ hai vˆe´ s˜e xa’y ho˘ a.c nˆe´u a.c xj = yk ho˘ d¯o´ c´ac ha.ng tu’ αj xj v` `e mˆo.t vˆe´ v` ac ha.ng tu’ d¯o´ vˆ a viˆe´t la.i th` anh xj = yk th`ı αj = βk Chuyˆe’n c´ µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, < r ≤ n + m - iˆ `eu n` Do B l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = D ay a αj ho˘ a.c βk thı` kh´ ac khˆ ong ho˘ a.c αj − βk = vˆ o l´ y v`ı mˆo˜i µk pha’i l` Bˆay gi` o gia’ su’ B l` a mˆo.t co so’ cu’a khˆ ong gian vecto X v` a B l` a tˆ a.p h˜ u.u ha.n `an tu’ `an tu’ Khi d¯o´ mo.i tˆ a.p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆ o´i d¯a k phˆ c´o k phˆ `eu d¯o´ nhu la ´en th´ ´en tı´nh!) ` ca ´ ch ˆ on la.i kiˆ u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆ (H˜ ay ch´ u.ng minh d¯iˆ `eu, sˆo´ phˆ `an tu’ cu’a B gˆ `om k phˆ `an tu’ L´ uc n` ay ta n´ oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆ `eu cu’a X v` d¯u.o c go.i l` a sˆ o´ chiˆ a k´ y hiˆe.u l` a dim X = k Nˆe´u X khˆ ong pha’i l` a khˆ ong `eu th`ı ta go.i n´ `eu v` o l` a khˆ ong gian vˆ o ha.n chiˆ a viˆe´t dim X = ∞ gian h˜ u u ha.n chiˆ - ˆe’ nhˆ Cho B l` a tˆ a.p cu’a X D a.n biˆe´t B l` a co so’ cu’a khˆ ong gian vecto X, ta c`on c´o: - i.nh l´ ong gian vecto X v` a 1.2.4 D y Tˆ a.p ∅ = B ⊂ X l` a co so’ cu’ a khˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh tˆ o´i d¯a.i (ngh˜ıa l` a B d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v` a chı’ B l` a tˆ a.p ho p d¯ˆ nˆe´u M B th`ı M phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh) Ch´ u.ng minh - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an Cho M a D B Gia’ su’ x ∈ M v` ax∈ / B Khi d¯o´ theo d¯i.nh ngh˜ıa co so’., pha’i c´o x1 , , xn ∈ B, α1 , , αn ∈ K cho n n x= αi xi − 1x = αi xi hay i=1 n=1 Hˆe {x1 , , xn , x} phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh - iˆ `eu kiˆe.n d¯u’ V´ b D o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x Nˆe´u x ∈ / B th`ı `on ta.i mˆo.t tˆ B ∪ {x} phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh α1 x1 + · · · + αn xn = ` cho tˆa´t ca’ c´ac α1 , , αn khˆ ong d¯`oˆng th` o.i b˘ a ng khˆ ong Trong c´ac vecto xi n` ay pha’i c´o m˘a.t vecto x, ch˘ a d¯o´ α1 = v`ı nˆe´u khˆ ong pha’i a’ng ha.n x = x1 v` a.y th`ı B s˜e phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh Do d¯o´ nhu vˆ −1 x = x1 = −(α−1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ) Vˆ a.y B l` a mˆo.t co so’ cu’a X - inh l´ a mˆ o.t khˆ ong gian vecto v` a M l` a mˆ o.t tˆ a.p ho p d¯ˆ o.c 1.2.5 D y Gia’ su’ X l` `on ta.i mˆ lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh X L´ uc d¯´ o tˆ o.t co so’ B cu’ a X cho B ⊃ M y hiˆe.u F l` a tˆ a.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p ho p N d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Ch´ u.ng minh K´ u tu trˆen X ch´ u.a M Khi d¯o´ F = ∅ v`ı M ∈ F Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe th´ F nhu sau: v´ a chı’ N1 ⊂ N2 Gia’ su’ A ⊂ F l` o.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 v` a ` ng ho p cu’a tˆ a a´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆ o.c mˆo.t tˆ a.p s˘ a´p th˘ a’ng cu’a F Ta d¯a˘ t N0 b˘ a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆ o’ d¯`ˆe A L´ uc d¯o´ N0 l` `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’ tˆ Zorn nˆen F tˆ o´i d¯a.i B Vˆ a.y B l` a co so’ pha’i t`ım `on ta.i co so’ 1.2.6 Hˆ e qua’ Mo.i khˆ ong gian vecto X = {0} d¯`ˆeu tˆ - i.nh l´ `oi a´p du.ng D a´y x ∈ X, x = v` a d¯a˘ t M = {x} rˆ y 1.2.5 Ch´ u.ng minh Lˆ 1.3 Khˆ ong gian vecto - i.nh ngh˜ıa Cho X l` a M l` a mˆo.t tˆ a.p 1.3.1 D a mˆo.t khˆ ong gian vecto v` an cˆo.ng v` a nhˆ an vˆ o hu ´ o ng trˆen X thu he.p kh´ ac trˆ o´ng cu’a X Gia’ su’ c´ac ph´ep to´ a la.i trˆen M c˜ ung l` am cho M th` anh mˆ o.t khˆ ong gian vecto Khi d¯o´ ta go.i M l` a´t la ` khˆ ong gian con) cu’a X mˆo.t khˆ ong gian vecto (hay go.i t˘ - i.nh l´ - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an v` 1.3.2 D y Cho M l` a mˆ o.t tˆ a.p kh´ ac trˆ o´ng cu’ a X D a anh mˆ o.t khˆ ong gian cu’ a X l` a: d¯u’ d¯ˆe’ M tro’ th` a ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M b ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an hiˆe’n nhiˆen Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´ Ch´ u.ng minh D an cˆo.ng v` a o ng l` a k´ın trˆen M Ho n n˜ u a, c´ac t´ınh chˆ a´t cu’a c´ac ph´ep to´ an n` ay vˆ a˜n nhˆ an vˆ o hu ´ `an tu’ cu’a M nˆen ta ´ m tiˆen d¯`ˆe cu’a mˆo.t khˆ ong c`on d¯u ´ ng ta l` am viˆe.c v´o.i c´ac phˆ `eu kiˆe.n d¯u’ u d¯aˆy cho ph´ep ta suy d¯u o c d¯iˆ gian vecto d¯u o c nghiˆe.m d¯´u ng T` anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆ a.p Y n` ao d¯o´ l` a khˆ ong gian Ch´ u y ´ Trong thu c h` `oi o.i ta thu.` o.ng nh´ ung n´ o v` ao mˆo.t khˆ ong gian vecto d¯a˜ biˆe´t rˆ vecto., ngu.` `eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´ kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ y trˆen 1.3.3 V´ı du ∞ `om tˆa´t ca’ c´ac d˜ ay sˆo´ thu c ho˘ a.c ph´ u.c x = (xn )n cho Tˆa.p ho p l1 gˆ |xn | < ∞ l` a mˆo.t khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian s c´ac d˜ay sˆo´ n=1 Tˆ a.p ho p c´ a ac h` am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´ y hiˆe.u C[a,b] l` mˆo.t khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian c´ ac h`am sˆo´ F([a, b]) ay sˆo´ thu c ho˘a.c Tˆ a.p ho p l∞ = {x = (xn )n ⊂ K : sup |xn | < ∞} c´ac d˜ n∈N - ´o la a.n c˜ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto D ph´ u.c x = (xn )n bi ch˘ ` khˆ ong gian cu’a ˜ y sˆo´ ´ c da khˆ ong gian vecto s ca - i.nh l´ T` u D y 1.3.2 ta c´ o mˆe.nh d¯`ˆe sau `e Giao mˆ 1.3.4 Mˆ e.nh d ¯ˆ o.t ho tu`y ´y c´ ac khˆ ong gian cu’ a X l` a mˆ o.t khˆ ong gian cu’ a X - ˘a.t Ch´ u.ng minh Gia’ su’ (Mi )i∈I l` a mˆo.t ho c´ac khˆ ong gian cu’a X D Mi Ta c´o M kh´ ac trˆ o´ng v`ı n´ o c´o ch´ u.a vecto Nˆe´u x, y ∈ M, (t´ u.c M = i∈I l` a x, y ∈ Mi , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi , αx ∈ Mi v´ o.i mo.i i ∈ I Do d¯o´ x + y ∈ M v` a αx ∈ M Vˆ a.y M l` a khˆ ong gian cu’a X - i.nh ngh˜ıa Gia’ su’ A l` 1.3.5 D a mˆo.t tˆ a.p cu’a khˆ ong gian vecto X Luˆ on ’ `on ta.i mˆo.t khˆ ang ha.n ba’n thˆ an khˆ ong gian luˆ on tˆ ong gian cu’a X ch´ u a A (ch˘ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian X) Giao cu’a ho tˆ a´t ca’ c´ac khˆ ong gian ch´ u a A c˜ ong gian n` ay d¯u.o c goi l` a khˆ ong gian sinh bo’.i A hay l` a bao ch´ u.a A Khˆ y hiˆe.u l` a A ho˘ a.c span (A) Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯aˆy tuyˆe´n t´ınh cu’a A v` a d¯u o c k´ a.p A Ta c´o: l` a khˆ ong gian b´e nhˆ a´t cu’a X ch´ u a tˆ `e Bao tuyˆe´n t´ınh cu’ a tˆ 1.3.6 Mˆ e.nh d ¯ˆ a.p A l` a tˆ a.p ho p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ o’ ho p `an tu’ thuˆ o.c A tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´ ac phˆ -˘ Ch´ u.ng minh D a.t M = n ˜ αi xi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N Ro `ng theo - i.nh l´ D y 1.3.2, M l` a khˆ ong gian cu’a X Ho.n n˜ u.a t` u A ⊂ M suy A ⊂ M n M˘ a.t kh´ ac xi ∈ A nˆen αi xi ∈ A v`ı A l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto Do d¯´o i=1 M ⊂ A v` a t` u d¯´o M = A i=1 - i.nh nghı˜a Gia’ su’ M v` 1.3.7 D a N l` a hai khˆ ong gian cu’a X Ta ky ´ hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N } L´ uc d¯o´ Z c˜ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian ˜e d` a tˆ o’ng cu’a M v` a N Ta dˆ ang suy ra: vecto cu’a X, d¯u.o c go.i l` M +N = M ∪N a tˆ o’ng tru c tiˆe´p cu’a M Nˆe´u Z = M + N v` a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o c go.i l` v` a N , k´ y hiˆe.u Z = M ⊕ N Ta c´o: - i.nh l´ 1.3.8 D y Cho M, N l` a c´ ac khˆ ong gian vecto cu’ a X va ` d¯˘ a.t - iˆ `eu kiˆe.n ˘ Z = M + N D a´t c´ o v` a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l` a v´ o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o c o.i da.ng z = x + y v´ o.i x ∈ M, y ∈ N biˆe’u diˆ˜e n mˆ o.t c´ ach nhˆ a´t du.´ Ch´ u.ng minh - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an Gia’ su’ Z = M ⊕ N v` D o.i x, x ∈ a z = x + y = x + y v´ uc d¯o´ x − x = y − y V`ı x − x ∈ M, y − y ∈ N nˆen x − x = M ; y, y ∈ N L´ a.y x = x v` ay=y y − y ∈ M ∩ N = {0} Vˆ - iˆ `eu kiˆe.n d¯u’ Ta c´o Z = M + N Gia’ su’ x ∈ M ∩ N L´ D uc d¯o´ ta viˆe´t ˜e n, ta suy x = ngh˜ıa l` x = x + = + x Do t´ınh nhˆ a´t cu’a biˆe’u diˆ a M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N ong gian vecto thu.o.ng 1.4 Khˆ ong gian vecto t´ıch–Khˆ a n khˆ ong gian vecto trˆen c` ung mˆ o.t tru.` o.ng K K´ y 1.4.1 Cho X1 , , Xn l` `an tu’ o i c´ac phˆ hiˆe.u X l` a t´ıch Descartes cu’a c´ac Xi : X = X1 × × Xn V´ o.c X v` a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) thuˆ x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ), αx = (αx1 , , αxn ) ˜e d` ` ng v´ L´ uc d¯o´ dˆ ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆ a´y r˘ a o.i hai ph´ep to´ an trˆen, X tro’ th` anh a X d¯u.o c go.i l` a t´ıch (hay t´ıch tru c tiˆe´p) cu’a n khˆ ong mˆo.t khˆ ong gian vecto v` gian vecto X1 , , Xn 1.4.2 Cho X l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto v` a M l` a mˆo.t khˆ ong gian cu’a n´ o Ta d¯.inh ngh˜ıa quan hˆe sau: ∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇔ x − y ∈ M R˜o r` ang d¯aˆy l` a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X Cho x ∈ X Nˆe´u y ≡ x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M Ngu.o c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı z − x ∈ M a tˆ a.p y hiˆe.u x ch´ınh l` hay z ≡ y (mod M ) Do d¯o´ l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´ a X/M = {x : x ∈ X} x + M = {x + m; m ∈ M } Ta k´ y hiˆe.u tˆ a.p thu.o.ng l` Ch´ uy ´ r˘ a` ng x ≡ x (mod M ) ⇐⇒ x − x ∈ M, y ≡ y (mod M ) ⇐⇒ y − y ∈ M, 131 Chu.o.ng §1 v` a §2 T` u gia’ thiˆe´t suy λµ x, y + µλ y, x = Cho.n µ ∈ R, λ = y, x yn ≤ xn ≤ T` u d¯o´ suy cˆ au a) M˘ a.t kh´ ac Ta c´o | xn , yn | ≤ xn xn − yn = xn + yn − xn , yn − xn , yn Cho n → ∞ ta suy cˆ au b a T` u d¯i.nh ngh˜ıa, ta c´ a.t kh´ ac (M ⊥ )⊥ l` a khˆ ong gian o M ⊂ (M ⊥ )⊥ M˘ d¯o´ng Vˆ a.y M ⊂ M ⊂ (M ⊥ )⊥ ⊥ `an ch´ b Chı’ cˆ u.ng minh (M ⊥ )⊥ ⊂ M Ta c´o H = M ⊕ M = M ⊕ (M ⊥ ) ´e z = x − y ∈ o.i y ∈ M , z ∈ M ⊥ nˆen nhu thˆ V´o.i x ∈ (M ⊥ )⊥ , ta viˆe´t x = y + z v´ ⊥ ⊥ ⊥ a.y x = y ∈ M (M ) ∩ M = {0} Vˆ L X´et (fn )n ⊂ C[0,1] x´ ac d¯i.nh nhu sau: ⎧ ⎪ nˆe´u x ∈ [0, ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 fn (x) = 2n(1/2 − x) + nˆe´u x ∈ [ , + ] ⎪ 2 2n ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎩ nˆe´u x ∈ [ + , 1] 2n Ta c´o fn+p − fn 1/2+1/2n = 1/2 = |fn+p (x) − fn (x)|2 dx (fn (x) − fn+p (x)) dx ≤ fn+p − fn < 1/2+1/2n 1/2 2n (n, p ∈ N) |fn |dx ≤ 2n 132 L L `e f C[0,1] Vˆ a.y (fn ) l` a d˜ ay Cauchy C[0,1] Nˆe´u fn hˆ o.i tu vˆ th`ı fn → f `on ta.i d˜ ay cu’a (fn )n c˜ ung k´ y hiˆe.u l` a (fn )n cho L [0, 1] Do d¯o´ tˆ `au kh˘ `au kh˘ (fn )n hˆ o.i tu hˆ a´p no i d¯ˆe´n f M˘ o.i tu hˆ a´p no.i d¯ˆe´n h` a.t kh´ ac fn hˆ am f : f (x) = 1, nˆe´u x ∈ [0, 1/2) 0, nˆe´u x ∈ (1/2, 1] `au kh˘ Vˆ a.y f = f Tuy nhiˆen khˆ ong co ´ `m liˆen tu.c na`o trˆen [0, 1] ma` b˘ a` ng f hˆ a´p no i d¯u o c a khˆ ong gian d¯o´ng cu’a H V`ı f = f ∈ H ∗ nˆen M = f −1 {0} l` `on ta.i x0 ∈ / M v´ o i f (x0 ) = Ta c´o x0 = y0 + z0 v´ o.i nˆen M = H Vˆ a.y tˆ y0 ∈ M ⊥ , z0 ∈ M Suy f (x0 ) = f (y0 ) = f (y) Nˆe´u y ∈ M ⊥ , d¯a˘ t λ = th`ı ta c´o f (y0 ) f (y − λy0 ) = f (y) − λf (y0 ) = Vˆ a.y y − λy0 ∈ M ∩ M ⊥ = {0} hay y = λy0 Nhu thˆe´ M ⊥ l` a khˆ ong gian mˆ o.t `eu chiˆ `an ch´ o.ng ho p x ∈ / L Khi d¯o´ x = y + z v´ o.i a Chı’ cˆ u.ng minh cho tru.` o.i u bˆ a´t k` y thuˆ o.c L, ta c´o y ∈ L, z ∈ L⊥ V´ x − u = (y − u) + z Vˆ a.y th`ı x−u = y−u M˘ a.t kh´ ac, lˆa´y u = y ta c´o x − y 2 + z ≥ z = z Nhu thˆe´ z = min{ x − u : u ∈ L} (1) Bˆay gi` o v´ a´t d¯a˘’ ng o.i u ∈ L⊥ ta c´o x, u = y, u + z, u = z, u Theo bˆ th´ u c Schwarz ta c´o: | x, u | = | z, u | ≤ z u z , ta c´o | x, u | = Vˆ a.y | x, u | ≤ z v´ o.i mo.i u ∈ L⊥ , u = Lˆa´y u = z z = z Vˆ a.y z, z z = max {| x, u | : u ∈ L⊥ , u = 1} `eu cˆ `an ch´ T` u (1) v` a (2) ta suy d¯iˆ u.ng minh (2) 133 b Gia’ su’ x ∈ L⊥ v´ o.i mo.i u ∈ L ta c´o x−u 2 = x + −u ≥ x Ngu.o c la.i, gia’ su’ x ≤ x − u v´ o.i mo.i u ∈ L Ta ch´ u.ng minh x ∈ L⊥ Ta c´o o.i x0 ∈ L⊥ , y0 ∈ L Ta s˜e ch´ u.ng minh y0 = Thˆ a.t vˆ a.y x = x0 + y0 v´ x0 = x − y0 ≥ x = x0 + y0 Suy y0 = hay y0 = ˜ y M + N cho xn + yn → z ∈ H Khi ` mˆo.t da Cho (xn + yn )n la ˜ y co ba’n Ta ´a p du.ng d¯a˘’ ng th´ ` mˆo.t da u.c Pythagore thı` co ´ d¯u.o c d¯´o (xn + yn )n la xn + yn − (xm + ym ) = xn − xm + yn − ym ´e (xn )n , (yn )n la `an lu.o t nˆen ˜ y co ba’n M va M ⊥M Nhu thˆ ` ca ´ c da ` N lˆ `e x ∈ M va hˆ o.i tu vˆ ` y ∈ N Vˆ a.y z = x + y nˆen z ∈ M + N √ a en = v´ o.i mo.i n ∈ N nˆen {en }n∈N V`ı en − em = nˆe´u n = m v` l` a tˆ a.p d¯o´ng, bi ch˘ a.n v` a khˆ ong c´ o d˜ ay n` ao hˆ o.i tu Vˆ a.y th`ı {en }n∈N khˆ ong `au d¯o´ng d¯o n vi B ⊂ H l` a mˆo.t lˆ an cˆa.n khˆ ong compact compact Suy h`ınh cˆ ong compact d¯i.a phu o ng cu’a H, t´ u c l`a H khˆ Du`ng d¯i.nh ly ´ d¯`oˆ thi d¯´o ng Gia’ su’ Thˆ a.t vˆ a.y, v´ o.i mo.i z ∈ H ta co ´ xn → x0 Axn → y0 ta ch´ u.ng minh Ax0 = y0 Ax0 , z = x0 , Az = lim xn , Az n lim Axn , z = y0 , z , n T` u d¯´o suy y0 = Ax0 10 ∀x ∈ H ta c´o x = ∞ k=1 x, ek ek Vˆa.y ∞ lim Pn (x) = n→∞ x, ek ek = I(x) k=1 M˘ a.t kh´ ac v´o.i n ∈ N v` a p ∈ N ta c´o Pn+p (en+1 ) − Pn (en+1 ) = Pn+p (en+1 ) = en+1 = 134 Vˆ a.y Pn+p − Pn = 1, ∀n, p ∈ N N´oi c´ach kh´ ac (Pn ) khˆ ong pha’i l` a d˜ ay Cauchy L(H) nˆen khˆ ong hˆ o.i tu 11 a) ∞ |λn x, en en |2 ≤ (sup |λn |)2 x n n=1 ∞ Vˆ a.y λn x, en en hˆ o.i tu n=1 -˘ b R˜ o r` ang A l` a tuyˆe´n t´ınh D a.t K = sup |λn | < ∞ Ta c´o n Ax ≤ K2 ∞ | x, en |2 ≤ K x n=1 Vˆ a.y A liˆen tu.c v`a A ≤ K M˘ a.t kh´ ac Aen = λn en = |λn |, ∀n ∈ N Do d¯o´ A = sup Ax ≥ |λn |, ∀n ∈ N Suy A ≥ K (3) (4) x =1 T` u (3) v` a (4) ta suy A = K = sup |λn | n∈N a´t d¯a˘’ ng th´ u.c 12 Tru.´ o.c hˆe´t ta mo’ rˆ o.ng A t` u M lˆen M Do bˆ Ax − Ay ≤ A x − y , x, y ∈ M, ta suy mˆ o˜i x = lim xn ∈ M , (xn )n ⊂ M, th`ı (Axn )n hˆ o.i tu Y v` a gi´ o.i ha.n anh xa A1 : M → Y chı’ phu thuˆ o.c v`ao x m`a khˆ ong phu thuˆ o.c (xn ) Do d¯o´ ta c´o ´ ⊥ ˜e thˆ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c v`a A1 M = A Dˆ a´y A1 = A M˘ a.t kh´ ac H = M ⊕ M ⊥ ˜ = A1 x1 th`ı A˜ -˘ nˆen v´ o.i mo.i x ∈ H, x = x1 + y1 , v´ o.i x1 ∈ M , y1 ∈ M D a.t Ax a.t vˆ a.y tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c v`a A˜ = A1 = A Thˆ ˜ = A1 x ≤ A1 Ax Ho.n n˜ u.a A˜ = sup x =1 = ˜ ≥ Ax sup ˜ Ax x =1, x∈M sup x∈M, x , ( x1 ≤ x ) x =1 A1 x = A1 §3 v` a §4 `on ta.i a ∈ M cho x∗ (x) = x, a v´ o.i mo.i Theo d¯i.nh l´ y Riesz th`ı s˜e tˆ x ∈ M v` a x∗ = a 135 X´et x˜ : H → K x´ ac d¯i.nh nhu sau: x ˜(x) = x, a , ∀x ∈ H Ta c´o x ˜ ∈ H ∗ v` a x ˜ = a , ho.n n˜ u.a x ˜|M = x∗ Gia’ su’ c´o y˜ ∈ H ∗ cho: y˜|M = x∗ , y˜ = x∗ = a `an tu’ n` Nhu vˆ o.i mo.i x ∈ H v` a mˆo.t phˆ a.y y˜ pha’i c´o da.ng y˜(x) = x, a , v´ a a l` ao d¯o´ cu’a H d¯`oˆng th` o i ta c´o y˜ = a = a V´o i x = m ∈ M th`ı y˜(m) = m, a = x(m) = m, a Lˆ a´y m = a, ta c´o a = a, a Suy a , a = a, a = a, a = a M˘ a.t kh´ ac a−a = a − a ,a − a = a + a − a, a − a , a = N´ oi c´ach kh´ ac a = a hay y˜(x) = x˜(x) v´ o.i mo.i x ∈ H ∞ a Ax = (ηj )j = ( ajk ξk ), ta c´o a) V´ o.i x = (ξj )j ∈ l2 v` k=1 ∞ |ηj | ≤ ( ∞ |ajk | )( k=1 ∞ |ξk | ) ≤ k=1 x 2, k=1 j = 1.2 Vˆ a.y |ajk |2 Ax ≤ j |ajk | 1/2 x k ˜e thˆ Nhu vˆ a dˆ a´y A l` a to´ an tu’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c a.y Ax ∈ l2 v` b V´ o.i y = (ξj )j ∈ l2 , ta d¯a˘ t A∗ y = (ηj )j ∈ l2 Ta c´o A∗ y, en = y, Aen , ∀n ∈ N ∞ v` a en = (0, , 1n , ) Suy ηn = ξj ajn Vˆa.y A∗ y = (ηn )j = j=1 Du`ng d¯a˘’ ng th´ u.c Ax, y = x, A∗ y , v´ o.i mo.i x, y ∈ L2 [0, 1] ∞ ajn ξj j=1 136 Nh` o d¯i.nh ly ´ Fubini, ta co ´: t 1 x(s)ds y(t)dt = Ax, y = 0 y(t)dt x(s)ds = x, A∗ y s Vˆ a.y (A∗ y)(s) = s y(t)dt, ∀ y ∈ L2 [0, 1] Gia’ su’ M l` a khˆ ong gian d¯o´ng cu’a H v` a P : H → M l` a ph´ep chiˆe´u o.i x ∈ H, x = P x + z d¯o´ P x ∈ M v` a z ∈ M ⊥ Ta c´o tru c giao V´ P x, x = P x, P x + P x, z = P x, P x ≥ a) V´ o.i x = (ξn )n ∈ l2 , Ax = (an ξn )n ta c´o M = sup |an | < ∞ n∈N ∞ |an ξn | ≤ M ∞ n=1 |ξn |2 = M x n=1 Vˆ a.y Ax ∈ l2 v` a Ax ≤ M x ˜e d` Dˆ ang kiˆe’m ch´ u.ng A l` a A ≤ M a to´ an tu’ tuyˆe´n t´ınh Vˆ a.y A ∈ L(l2 ) v` Nˆe´u M = th`ı A = Nˆe´u M > th`ı v´ o.i mo.i N > cho < `on ta.i n0 ∈ N cho N < |an0 | ≤ M X´et x0 = an0 en0 v´ o.i N < M s˜e tˆ a Ax0 = |an0 |2 Vˆa.y en0 = (0, , 1n0 , 0, ) ta c´o x0 = |an0 | v` Ax0 = |an0 | |an0 | > N x0 , t´ u.c la` A > N Vˆ a.y A = M b) Sinh viˆen tu gia’i c Ta vˆa˜n ky ´ hiˆe.u x, y nhu o’ a) Vı` A liˆen tu.c va` l2 la ` khˆ ong gian Hilbert - iˆ `eu na ` chı’ A la ` song ´a nh D `y tu.o.ng nˆen A co ´ toa ´ n tu’ ngu.o c liˆen tu.c va ´ i ca ´ ch kha ´ c, ´ nghiˆe.m nhˆ a´t vo.i mo.i y ∈ l2 No d¯u.o.ng phu.o.ng trı`nh Ax = y co ´ nhˆ a´t nghiˆe.m v´o i mo.i n ∈ N hay phu o ng trı`nh an ξn = ηn co an = 0, Khi d¯´o A−1 x = ξn an n ξn = , ηn an x = (ξn )n ∈ l2 ` ng toa o.i mo.i n ∈ N Co ´ thˆe’ thˆ a´y r˘ a ´ n tu’ A du.o.ng va ` chı’ an ≥ v´ ˜ y gia’m ca ` da ´ c tˆa.p ho p nˆen v´ o.i mo.i x ∈ H, dn (x) = d(x, En ) a) Do (En )n la ´eu `on ta.i limn→∞ dn (x) = d(x) ≤ +∞ Nˆ ˜ y t˘ la ` da ang ca ´ c sˆo´ khˆ ong aˆm Vˆa.y tˆ 137 co ´ x0 ∈ H cho d(x0 ) < +∞ thı` lu ´ c d¯´o v´ o.i mo.i x ∈ H, ta co ´ dn (x) ≤ x − x0 + dn (x0 ) Suy d(x) < +∞ b) V´ o.i mo.i y ∈ A(x, , n) thı` dn (x) ≤ y − x ≤ d(x) + Cho y1 , y2 ∈ `oi ´a p du.ng d¯a˘’ ng th´ ` chu ´ ´y tı´nh `nh cho y1 − x, y2 − x va A(x, , n) rˆ u.c hı`nh bı`nh `oi cu’a ca lˆ ´ c tˆa.p En ta suy y1 − y2 ≤ 4(d2 (x) − d2n (x) + (2d(x) + )) Suy δn → n → ∞ d¯´o δn = sup{ y1 − y2 , y1 , y2 ∈ (A(x, , n))} o.ng kı´nh cu’a tˆ a.p A(x, , n) la ` d¯u.` c) Do (En )n la ` ca ´ c tˆa.p d¯´o ng nˆen A(x, , n) la ` ca ´ c tˆa.p d¯´o ng Ngoa `i ra, v´ o.i `on ta.i yn ∈ En cho x − yn = dn (x) < d(x) + Vˆ a.y A(x, , n) = ∅ n ∈ N, tˆ -ˆ `an khˆ ˜ y ca ay la ` da ´ c tˆa.p d¯´o ng, kha ´ c trˆ o´ng va ` th˘ a´t dˆ ong gian v´ o i mo.i n ∈ N D ∞ Hilbert nˆen theo nguyˆen ly ´ Cantor, ta suy E = V´ o.i x0 ∈ ∞ En ⊃ n=1 ∞ A(x, n1 , n) = ∅ n=1 A(x, n1 , n), ta co ´ n=1 d(x, E) ≤ x − x0 ≤ d(x) + n Vˆ a.y d(x, E) ≤ d(x) M˘ a.t kha ´ c, d(x, E) ≥ d(x, En ) = dn (x), nˆen d(x, E) ≥ d(x) T` u d¯´o d(x, E) = d(x) Chu.o.ng `au d¯o.n vi l2 Vı` l2 la ` khˆ ong gian Banach Ca ´ ch Cho S la ` hı`nh cˆ `an ch´ ` hoa `n toa `n bi ch˘ a.n Cho > ` ´y Vı` nˆen ta chı’ cˆ u ng minh A(S) la ∞ ∞ `au d¯o.n vi U chuˆ o˜i hˆ o.i tu nˆen lˆ a´y n0 cho < /2 H`ınh cˆ 2 n n n=1 n=n0 +1 `on ta.i mˆo.t lu.´ a compact nˆen tˆ o.i o.i /2 h˜ u.u ha.n a∗1 , a∗2 , , a∗k ∈ Rn0 v´ Rn0 l` n0 ) Nˆe´u x = (x , x , ) ∈ S th`ı x2 ≤ t´ u.c l`a x∗ = a∗ = (a , , a m m1 mn0 a∗m n0 a∗m i=1 i ∗ -˘ R cho −x < /2 D a.t am = (x1 , , xn0 ) ∈ U Do d¯o´ c´o a mˆo.t -lu ´ o i compact cu’a A(S) (am1 , , amn0 , 0, , ) Khi d¯o´ a1 , , ak l` Ca ´ ch V´ o.i x = (x1 , x2 , , ) ∈ l2 ta d¯a˘ t An x = ( x11 , x22 , , xnn , ) Khi `eu va ` toa ´ n tu’ h˜ u.u ha.n chiˆ ` An − A → n → ∞ d¯´o An la V`ı (en )n l` a co so’ tru c chuˆa’n H nˆen v´ o.i mo.i x ∈ H ta c´o d¯a˘’ ng th´ u.c Parseval: ∞ x = n=1 | x, en |2 138 w Vˆ a.y lim x, en = hay en → Do A compact nˆen Aen → n→∞ `on ta.i / σ(A) Nhu thˆe´ (A − λI) l` a ph´ep d¯`oˆng phˆ oi nˆen tˆ a) Gia’ su’ λ ∈ m > d¯ˆe’ m x ≤ (A − λI)x - iˆ `eu n` L´ uc d¯o´ m xn ≤ (A − λI)xn → D ay vˆ o l´ y v`ı xn = v´ o.i mo.i n ∞ ∞ X v´ o.i X = B (0, n) nˆen R(A) = A(X) = A(X ) Ta c´o X = n=1 n n n=1 n `on ta.i tˆ a compact tu.o.ng d¯oˆ´i nˆen tˆ Mˆ o˜i tˆ a.p A(Xn ) l` a.p Bn d¯ˆe´m d¯u.o c tr` u mˆ a.t ∞ A(Xn ) L´ uc d¯o´ B = Bn d¯ˆe´m d¯u.o c v`a tr` u mˆ a.t R(A) n=1 `eu nˆen tˆ `on ta.i mˆo.t d˜ o ha.n chiˆ ay (xn )n d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Gia’ su’ N (Aλ ) vˆ -˘ a.t Xn = {x1 , , xn } l` a c´ac khˆ ong gian d¯o´ng cu’a X V`ı N (Aλ) D `on a Xn = Xn+1 , n = 1, nˆen a´p du.ng Bˆ o’ d¯`ˆe Riesz ta thˆ a´y tˆ Xn ⊂ Xn+1 v` `an tu’ zn ∈ Xn : zn = 1, zn − x > 1/2 v´ o i mo.i x ∈ Xn−1 V`ı ta.i c´ac phˆ Azn = λzn nˆen Azn − Azm = |λ| zn − zm > 1/2|λ| Vˆa.y khˆ ong thˆe’ c´o d˜ ay cu’a d˜ ay (Azn )n hˆ o.i tu d¯u.o c, tr´ v´ o.i gia’ thiˆe´t A compact `an `eu nˆen tˆ `on ta.i mˆo.t d˜ V`ı X l` a khˆ ong gian Banach vˆ o ha.n chiˆ ay (zn ) c´ac phˆ -˘ a´ ap du.ng Bˆ o’ d¯`ˆe Riesz (Bˆ o’ d¯`ˆe 4.5 a.t Zn = {z1 , , zn } v` tu’ d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh D `on ta.i d˜ a´y tˆ ay (yn )n cho yn = 1, yn − ym ≥ 1/2, m = n Chu o ng 1), ta thˆ o.i tu X L´ uc V`ı A compact nˆen c´o mˆo.t d˜ ay cu’a (yn )n cho (Ayn )n hˆ -˘ a.t n` ay Ayn+1 − Ayn = A(yn+1 − yn ) → 0, (n → ∞) D xn = Axn = yn+1 − yn yn+1 − yn yn+1 − yn th`ı xn = v` a A(yn+1 − yn ) ≤ Ayn+1 − Ayn Vˆ a.y Axn → n → ∞ Ta c´o H = N (A∗λ ) ⊕ R(Aλ ) `on ta.i x = cho (A∗ − a Nˆe´u R(Aλ ) = H th`ı N (A∗λ ) = {0} Suy tˆ λ I)x = hay Ax = λx v`ı A = A∗ Ho.n n˜ u.a A tu liˆen hiˆe.p nˆen λ = λ ∈ R Vˆa.y λ l` a mˆo.t gi´ a tri riˆeng cu’a A 139 b Nˆe´u R(Aλ ) = H v` a N (A∗λ ) = {0} th`ı suy Aλ l` a d¯o.n a´nh nhu.ng khˆ ong to` an a´nh Vˆ a.y λ ∈ σ(A) o l` a ph´ep d¯`oˆng phˆ oi, ngh˜ıa c Nˆe´u H = R(Aλ ) th`ı Aλ song a´nh liˆen tu.c nˆen n´ l` a λ ∈ ρ(A) 140 Phu lu.c ˜ NG KIE ˆ´N THU ´ C ON ˆ LA NHU I ´eu cu’a Phu lu.c na `y co ´ mu.c d¯´ch ı nh˘ a´c la.i mˆo.t sˆo´ kha ´ i niˆe.m va` d¯i.nh ly ´ chu’ yˆ `an tru ´ ´en `an co so’ gia’i tı´ch ma` sinh viˆen d¯˜a d¯u o c ho.c o’ ca ´ c ho.c phˆ o c Ca ´ c kiˆ phˆ `y d¯u.o c du`ng kha ´ thu.` o.ng xuyˆen gia ´ o trı`nh th´ u.c na `e Zorn Bˆ o’ d ¯ˆ Gia’ su’ G l` a mˆo.t tˆ a.p ho p bˆ a´t k` y, trˆen d¯o´ c´o mˆo.t quan hˆe th´ u tu bˆ o phˆ a.n k´ y hiˆe.u ≤, ngh˜ıa l` a ≤ thoa’ m˜an a ∀x ∈ G : x ≤ x (t´ınh pha’n xa b ∀x, y ∈ G nˆe´u x ≤ y v` a y ≤ x th`ı x = y (t´ınh pha’n x´ u.ng) `au) c ∀x, y, z ∈ G, nˆe´u x ≤ y v` a y ≤ z th`ı x ≤ z (t´ınh b˘ a´c cˆ Gia’ su’ A l` a mˆo.t tˆ a.p kh´ ac trˆ o´ng cu’a G Tˆ a.p A d¯u.o c go.i l` a tˆ a.p s˘ a´p th˘ a’ ng o.i mo.i a ∈ A, b ∈ A ta c´o (hay s˘ a´p tuyˆe´n t´ınh ) theo quan hˆe th´ u tu ≤ nˆe´u v´ `an tu’ bˆ a´t k` y cu’a A d¯`ˆeu c´ o thˆe’ so s´anh v´ o.i a ≤ b ho˘ a.c b ≤ a (ngh˜ıa l` a v´ o.i hai phˆ nhau) `an tu’ x0 ∈ G d¯u.o c go.i l` a cˆ a.n trˆen (t.u , cˆ a.n du.´ o.i) cu’a tˆ a.p A nˆe´u v´ o.i – Phˆ mo.i a ∈ A ta c´o a ≤ x0 (t.u , x0 ≤ a) `an tu’ x0 ∈ G d¯u.o c go.i l` `an tu’ tˆ – Phˆ a mˆo.t phˆ o´i d¯a.i cu’a G nˆe´u v´ o.i mo.i x ∈ G `an tu’ tˆ a mˆo.t phˆ o´i d¯a.i cu’a G v` a z ∈ G th`ı: m`a x0 ≤ x th`ı x0 = x Do d¯o´ nˆe´u x0 l` • ho˘ a.c z khˆ ong so s´anh d¯u.o c v´o.i x0 • ho˘ a.c z so s´anh d¯u.o c v´o.i x0 th`ı z ≤ x0 `e Zorn Gia’ su’ G l` Bˆ o’ d ¯ˆ a mˆ o.t tˆ a.p ho p kh´ ac trˆ o´ng, trˆen d¯´ o c´ o mˆ o.t quan hˆ.e o phˆ a.n ≤ Nˆe´u mo.i tˆ a.p s˘ a´p th˘ a’ ng cu’ a G d¯`ˆeu c´ o cˆ a.n trˆen th`ı th´ u tu bˆ `an tu’ tˆ o´i d¯a.i G c´ o ´ıt nhˆ a´t mˆ o.t phˆ o.i mˆo.t tiˆen d¯`ˆe, c´o tˆen l` a tiˆen d¯`ˆe cho.n Bˆo’ d¯`ˆe n` ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´ `e pha.m tru Ca ´c d ¯i.nh ly ´ vˆ ` Baire - i.nh ngh˜ıa D 141 • Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p cu’a khˆ ong gian mˆetric X Ta go.i M l` a tˆ a.p khˆ ong o khˆ ong tr` u mˆ a.t bˆ a´t k`ı d¯ˆ au tr` u mˆ a.t (hay c` on go.i l` a tˆ a.p ho p thu a) nˆe´u n´ `au n` h`ınh cˆ ao ca’ N´ oi mˆo.t c´ach tu o ng d¯u o ng: ◦ (M ⊂ X l` a tˆ a.p khˆ ong d¯aˆu tr` u mˆ a.t) ⇔ (M = ∅) • Gia’ su’ A l` a mˆo.t tˆ a.p cu’a khˆ ong gian mˆetric X Ta go.i A l` a tˆ a.p thuˆ o.c `on ta.i mˆo.t d˜ pha.m tr` u I X nˆe´u tˆ ay c´ac tˆa.p khˆ ong d¯aˆu tr` u mˆ a.t A1 , A2 , , ∞ Ai cho A = i=1 a thuˆ o.c pha.m tr` u II nˆe´u n´ o khˆ ong pha’i l` a tˆ a.p thuˆ o.c Tˆa.p A ⊂ X d¯u.o c go.i l` pha.m tr` u I - i.nh l´ı (Baire) Gia’ su’ X l` a mˆ o.t khˆ ong gian mˆetric d¯`ˆ ay d¯u’ Khi d¯´ o X l` a D tˆ a.p thuˆ o.c pha.m tr` u II a d˜ ay c´ ac a mˆ o.t khˆ ong gian mˆetric d¯`ˆ ay d¯u’ v` a (An )n l` Hˆ e qua’ Gia’ su’ X l` tˆ a.p cu’ a X cho X = ∞ ◦ `on ta.i n0 ∈ N cho An = ∅ An Khi d¯´ o tˆ n=1 ` Xˆ a´p xı’ h` am liˆ en tu.c b˘ a ng d ¯a th´ u.c a khˆ ong gian mˆetric c´ac h` am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´ o.i mˆetric Gia’ su’ C[a,b] l` ac d¯i.nh trˆen [a, b] c´o da.ng g(x) = d = “ max ” K´ı hiˆe.u W l` a tˆ a.p c´ ac d¯a th´ u.c g x´ n a0 + a1 x + · · · + an x - i.nh l´ı Weierstrass I Mˆ a gi´ o.i ha.n cu’ a mˆ D o˜i h` am sˆ o´ liˆen tu.c f ∈ C[a,b] l` o.t o.i tu d¯`ˆeu d˜ ay d¯a th´ u c hˆ N´ oi c´ach kh´ ac, v´ o.i mo.i f ∈ C[a,b] , ta c´o ∀ > 0, ∃ g ∈ W : d(f, g) = max |f (x) − g(x)| < x∈[a,b] `on ta.i d¯a th´ Hˆ e qua’ V´ o.i mo.i f ∈ C[a,b] v` a mo.i > d¯`ˆeu tˆ u.c g ∗ ∈ W v´ o.i hˆe sˆ o´ h˜ u.u tı’ cho d(f, g ∗ ) = max |f (x) − g ∗ (x)| < x∈[a,b] - i.nh l´ı Weierstrass II V´ `an ho` D o.i mˆ o˜i h` am sˆ o´ liˆen tu.c f trˆen R, tuˆ an theo `on ta.i mˆ o˜i sˆ o´ du o ng , s˜e tˆ o.t d¯a th´ u c lu o ng gi´ ac chu k`ı 2π v` a v´ o i mˆ 142 a0 s(x) = + n (ak cos kx + bk sin kx) k=1 cho v´ o.i mo.i x ∈ R ta c´ o |f (x) − s(x)| < - i.nh l´ı Ascoli- Azel` D a Cho A l` a mˆo.t tˆ a.p cu’a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n C[a,b] v´ o.i chuˆ a’n “max” Ta nh˘ a´c la.i c´ac kh´ niˆe.m sau d¯aˆy o K > cho v´o.i mo.i Tˆ a.p A d¯u.o c go.i l` a bi ch˘ a.n ta.i x0 ∈ [a, b] nˆe´u c´ a bi ch˘ a.n t` u.ng d¯iˆe’m (t.u , bi ch˘ a.n f ∈ A ta c´o |f (x0 )| ≤ K Tˆa.p A d¯u.o c go.i l` o.i d¯`ˆeu) trˆen [a, b] nˆe´u A bi ch˘ a.n ta.i mo.i d¯iˆe’m x ∈ [a, b] (t.u , (∃M > 0) cho v´ mo.i f ∈ A, x ∈ [a, b] th`ı |f (x)| ≤ M ) `on ta.i δ > a d¯`ˆ ong liˆen tu.c ta.i x0 ∈ [a, b] nˆe´u mo.i > tˆ Tˆ a.p A d¯u.o c go.i l` cho v´o i mo.i x ∈ [a, b], mo.i f ∈ A, nˆe´u |x − x0 | < δ th`ı |f (x) − f (x0 )| < Nˆe´u A d¯`oˆng liˆen tu.c ta.i mo.i x ∈ [a, b] th`ı ta n´ oi A l` a d¯`ˆ ong liˆen tu.c trˆen [a, b] `on ta.i Tˆ a.p A d¯u.o c go.i l` a d¯`ˆ ong liˆen tu.c d¯`ˆeu trˆen [a, b] nˆe´u v´ o.i mo.i > tˆ δ > cho v´o i mo.i x, y ∈ [a, b], mo.i f ∈ A, nˆe´u |x−y| < δ th`ı |f (x)−f (y)| < - i.nh l´ı Gia’ su’ A l` o tˆ a.p A a mˆ o.t tˆ a.p compact tu.o.ng d¯ˆ o´i C[a,b] Khi d¯´ D bi ch˘ a.n d¯`ˆeu v` a d¯`ˆ ong liˆen tu.c d¯`ˆeu trˆen [a, b] `eu an hai d¯iˆ a mˆ o.t tˆ a.p cu’ a khˆ ong gian C[a,b] thoa’ m˜ Ngu.o c la.i, cho A l` ` d¯`ˆ ong liˆen tu.c trˆen [a, b] Khi d¯´ o A l` a mˆ o.t tˆ a.p ho p kiˆe.n la ` A bi ch˘ a.n t` u ng d¯iˆe’m va o´i C compact tu.o.ng d¯ˆ [a,b] 143 ’O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI - a.i ho.c v`a Trung ho.c chuyˆen -u am, T.1, Nxb D [ 1] Phan D ´.c Ch´ınh, Gia’i t´ıch h` nghiˆe.p, H` a nˆ o.i 1978 am v` a gia’i t´ıch h` am, T.1,2 (ba’n [ 2] Cˆ onmˆ ogˆ orˆ o´p, Phˆ omin, Co so’ l´ı thuyˆe´t h` di.ch tiˆe´ng Viˆe.t), Nxb Gi´ ao du.c, H`a nˆ o.i 1971 - a.i [ 3] Dieudonn´e, Co so’ gia’i tich hiˆe.n d¯a.i, T.1, (ba’n di.ch tiˆe´ng Viˆe.t), Nxb D ho.c v`a Trung ho.c chuyˆen nghiˆe.p, H` a nˆ o.i 1973 - i.nh, Nguyˆ ˜e n D ˜e n Hoa ´en sˆo´ thu c, Nxb Gia ´ o du.c, 1999 [ 4] Nguyˆ `ng, Ha `m sˆo´ biˆ ˜e n Xuˆ [ 5] Nguyˆ an Liˆem, Gia’i tı´ch `m, NXB Gi´ ao du.c, H`a nˆ o.i, 1994 [ 6] Ho` ang Tu.y, Gia’i t´ıch hiˆe.n d¯a.i, T.2,3 Nxb Gi´ ao du.c, 1978 144 MU C LU C `au L` o.i n´ oi d ¯ˆ Chu.o.ng ´ Khˆ ong gian tuyˆ en tı ´nh d ¯i.nh chuˆ a’n ´en tı´nh §1 Khˆ ong gian tuyˆ §2 Khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n 11 ´ ´en tı´nh liˆen tu.c §3 Anh xa tuyˆ 22 `eu 31 §4 Khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n h˜ u.u ha.n chiˆ en ly ´ cu’a gia’i tı ´ch `m-Khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p Chu.o.ng Ba nguyˆ §1 Nguyˆen ly ´ bi ch˘ a.n d¯`ˆeu §2 Nguyˆen ly ´ ´a nh xa mo’ 36 38 - i.nh ly §3 D ´ Hahn-Banach 42 §4 Khˆ ong gian liˆen hiˆe.p 48 56 ´eu §5 Hˆ o.i tu yˆ Chu.o.ng Ca ´ c khˆ ong gian Lp (E, µ) §1 Ca ´ c bˆ a´t d¯a˘’ ng th´ u.c quan tro.ng §2 Ca ´ c khˆ ong gian Lp (E, µ) 59 62 65 68 69 §3 Tı´nh kha’ ly cu’a khˆ ong gian Lp (E, µ) §4 Khˆ ong gian L∞ (E, µ) §5 Khˆ ong gian liˆen hiˆe.p cu’a khˆ ong gian Lp (E, µ) Chu.o.ng Khˆ ong gian Hilbert §1 Kha ´ i niˆe.m khˆ ong gian Hilbert ´eu §2 Kha ´ i niˆe.m tru c giao-Hı`nh chiˆ 72 78 §3 Khˆ ong gian liˆen hiˆe.p ong gian Hilbert §4 Toa ´ n tu’ liˆen hiˆe.p khˆ 93 96 145 Chu.o.ng Toa ´ n tu’ compact va ` phˆ o’ cu’a toa ´ n tu’ §1 Toa ´ n tu’ compact 102 §2 Phˆ o’ cu’a toa ´ n tu’ liˆen tu.c ong gian Hilbert §3 Toa ´ n tu’ compact tu liˆen hiˆe.p khˆ ˜n va Hu.´ o.ng dˆ a ` gia’i ba `i tˆ a.p 104 108 117 T` liˆ e.u tham kha’o 142 Mu.c lu.c 143