Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu (2,0 i m) Cho hàm s y x x2 3x 3 a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s b) Tìm m ng th ng : y mx c t th (C) t i ba i m phân bi t A, B, C cho i m A c nh di n tích tam giác OBC g p hai l n di n tích tam giác OAB, v i O g c t a Câu (1,0 i m) x 3 cos x cos x Tìm nghi m thu c kho ng (0; ) c a ph ng trình sin 2 Câu (1,0 i m) Gi i h ph 2( x 2) x ng trình y y x ( x 2) y ( x, y R) 4x x ln(2 x 1)dx 2x Câu (1,0 i m) Tính tích phân I Câu (1,0 i m) Cho hình l ng tr ABC A ' B ' C ' có áy ABC tam giác cân, AB = BC = 3a, AC a Các m t ph ng ( B ' AB), ( B ' AC ), ( B ' BC ) t o v i m t ph ng (ABC) góc 600 Tính th tích kh i l ng tr ABC A ' B ' C ' theo a Câu (1,0 i m) Cho x, y, z s th c d x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P z(z Câu (C ) : x 7.a y y2 x ) PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch A Theo ch ng x( x (1,0 i m) Trong x y 21 m t ph ng cho kho ng cách t B n (C ) : x y y( y z ) 2( x y2 z ) h t a y Xác Oxy, nh t a cho ng tròn nh c a hình d x y ng th ng d i qua i m A c t Oxyz, cho ng trình ng th ng : z hai ng th ng ng th ng d l n nh t? nh nh t? Câu 9.a (1,0 i m) Tìm s ph c z th a mãn z 7.b v i ng th ng d : x i m A(1; 2; 1), B(3; 1; 5) Vi t ph y ) c làm m t hai ph n (ph n A ho c ph n B) Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Câu ng trình Chu n vuông ABCD ngo i ti p (C) bi t A B Theo ch z2 z z ng trình Nâng cao (1,0 i m) Trong m t x y 23 Vi t ph ph ng ng trình v i h ng th ng t a cho ng tròn i qua i m A(7 ; 3) c t ng tròn (C) t i hai i m B, C cho AB = 3AC Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m A(2; 0; 0), H(1; 1; 1) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) i qua A, H cho (P) c t Oy, Oz l n l t t i B, C th a mãn di n tích c a tam giác ABC b ng Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Câu 9.b (1,0 i m) Gi i ph Th y ng trình log x 2log16 4( x 3) 4x L I GI I Câu (2,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074.831) log (2 x) 3: áp án a) (1,0 i m) T p xác nh: D i m x x Hàm s ng bi n ( ; 1) (3; + ); hàm s ngh ch bi n (1; 3) Hàm s t c c i t i x = 1; y = t c c ti u t i x 3; y Gi i h n, i m u n: 1 lim y lim x x 3x ; lim y lim x x 3x x x x x 3 3 Ta có y '' x y '' x U 2; B ng bi n thiên: x + o hàm: y ' x2 4x y' y’ + 0 0,25 + + y 0,25 0,25 th hàm s có d ng nh hình v : 0,25 (1,0 i m) Ph x ng trình hoành 6x x 3mx giao i m c a x( x (C) x x2 x x 3m) x2 3x A 0; mx 3 0,25 x 3m 0, (1) ng th ng c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C ph ng trình (2) có hai nghi m phân , 3m m 0 bi t x1; x2 khác , (*) m m 3m Khi ó g i t a B, C l n l t B x1 ; mx1 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i , C x2 ; mx2 t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Theo bài, SOBC x2 x1 x2 x1 Th y d (O, ).BC 2 SOAB m2 ( x2 x12 x1 ) x2 x12 x1 x2 x1 x2 3m cos x 18 x cos 0,25 m c m cos x sin x cos x AB m2 x12 giá tr c n tìm 3 cos x 1 cos x 2cos x 2 cos x 2cos x x1 BC 2 AB x1 ng trình (2) nên i chi u v i i u ki n (*) ta PT ng Vi t Hùng (0985.074.831) BC m2 x2 x2 x1 ,( L) Mà x1; x2 nghi m c a ph (1,0 i m) m2 x22 x1 x2 d (O, ) AB x x k , x 18 k , x cos x 2 k 3 cos x sin x sin x 0,25 k2 17 ;x 18 18 +) V i x x k2 k x 17 V y ph ng trình ã cho có ba nghi m thu c kho ng (0; ) x ;x ;x 18 18 +) V i x (1,0 i m) Gi i h ph ng trình 2( x 2) x 6 +) T (2) suy y ( x 2) c x2 tt x 6; x t i thành t Ta có pt bi n k 0; k ( x, y x I x ln(2 x 1) dx 2x R) 4x x 2( x 2) x 2 0,25 2t 16t 16t 57 (t 3)(t 1 (2 x 1) ln(2 x 1) dx 2x 1 +) Xét I1 ln(2 x 1) dx x ln(2 x 1) 0 ln x +) Xét I ln(2 x 1) dx 2x 1 T ó ta ln(2 x 1) c I 1 2x dx ln 2x 5t t 19) 0,25 2 0,25 ln(2 x 1) dx 1 ln(2 x 1) dx 2x 0,25 dx 2x 0,25 ln 1 ln(2 x 1)d (ln(2 x 1)) 20 x ln(2 x 1)dx 2x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 0,25 4x Ta d dàng ch ng minh c ph ng trình t 5t t 19 vô nghi m v i t V y ph ng trình có nghi m t = 3; suy x 3; y (1,0 i m) 0,25 0,25 x2 y k y y x ( x 2) y +) Thay vào (1) ta 18 0,25 1 ln (2 x 1) 2 ln ln ln 2 t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y B' ng Vi t Hùng (0985.074.831) C' (1,0 i m) G i H hình chi u c a B ' m t ph ng (ABC), M, N, P l n l t hình chi u c a H AC, AB BC Khi ó AC HM , AC B ' H AC ( B ' BM ) A' ( B ' AC );( BAC ) B 0,25 B ' MH C P H M N A T ng t ta có B ' MH B ' NH B ' PH 600 B ' MH B ' NH B ' PH V y H tâm ng tròn n i ti p tam giác ABC Ta có S ABC p( p a )( p b)( p c) a.a.2 a.a 2a M t khác S ABC pr r (1,0 i m) Ta có T x2 z(z 2 x ) 2a z2 x2 z( z2 x ) z2 ng t ta c ng có Suy P Xét hàm s f '( x ) 1 x y y2 x( y z z( z x ) x 2( x2 y2 2x2 , x 2x x3 4x x x2 a x ) z z x 2x y 2x 0,25 2z 2y x2 y2 2z 0,25 z2 f ( x) x2 0,25 L p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) suy f ( x) (0; f ) 3 3 2 2 ng th c x y x y z V y P 2 ng tròn (T) có tâm I(4, –3), bán kính R = Gi s AB AD ti p xúc v i (T) l n l t t i N M Khi ó AMIN hình vuông c nh b ng nên AI 2 t Do A d A(t;1 t ) AI (4 t ) (t 4) 2t 2 t +) V i t A(2; 1); B(2; 5); C (6; 5); D(6; 1) +) V i t A(6; 5); B (6; 1); C (2; 1); D (2; 5) Suy P 7.a (1,0 i m) 0,25 z z2 ; y y( y z2 ) z2 ) 0,25 a 2 3a ( vtt) z HP 0,25 2a HM tan 60 S ABC B ' H HN 2a Tam giác vuông B ' HM có B ' H Suy ra, VABC A ' B ' C ' 2a 4a S ABC p HM HM f ( x) f ( y) f ( z) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y 8.a (1,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074.831) G i d ng th ng i qua A c t M ( 2t ;3t ; t ) t iM AM ( 2t;3t 2; t ), AB (2; 3; 4) G i H hình chi u c a B d Khi ó d ( B, d ) BH BA V y d ( B, d ) l n nh t b ng BA Khi ó ta có AM AB AM AB 2( 2t ) 3(3t 2) 4t t H A M (3;6; 3) x y z G i (P) m t ph ng ch a d , ó (P) có ph ng trình x – y – z = G i K hình chi u c a B ( P) BH BK V y d ( B, d ) nh nh t b ng BK H K Lúc ó d ng th ng i qua A K x x y z K ( P) T a i m K th a mãn h y K (0;2; 2) x y z BK t.nP z 1 Ph ng trình ud AK ng th ng d x t d: y ( 1;0; 1) z 9.a (1,0 i m) Gi s s ph c z c n tìm z Khi ó, z ( x2 z y2 z x2 x yi, x; y y ) xyi 0,25 0,25 0,25 t yi) (x 0,25 x2 x y2 x yi x2 y2 0,25 x2 yi xy y2 x y x 0,25 y ta +) V i x y2 y +) V i y c y y2 y 16 x2 x 16 y x 4 y2 y2 x y2 40 y x y 5 y 0; z 5 i ng tròn (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = Do AI 52 R t i Moon.vn 0,25 0,25 i m A n m (C) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 0,25 V y có s ph c th a mãn yêu c u toán z 7.b (1,0 i m) y2 t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) G i H trung i m c a BC Khi ó HB HC AC IH BC T tam giác vuông IHB IHA ta có IH I IB C Gi s H Theo ta có IH 5a 12 ab d (I , ) a HA2 HB IA2 HA2 R2 AC IA2 AC AI R2 B (a; b), a có m t véc t pháp n n IA2 IB AC A HB b2 a2 3a 2b 0,25 AC HB 3; IH : a( x 7) b( y 3) b2 a 12 ab 4b 4( a b2 ) 0, a +) V i a = 0, ch n b = ta c : y 12 +) V i a b , ch n b = ta c a = 12 : 12 x y 69 V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u toán y 0; 12 x y 69 8.b (1,0 i m) G i B(0; b; 0); C(0; 0; c) Ph H ( P) AB b 1 c ( 2; b;0); AC ng trình m t ph ng (P) ( P) : b2 c2 ( 2;0; c ) 2 bc V i bc AB, AC 4c bc 16 Ph 21 2( x b c2 4b 4c 0,25 4(b c) 8bc 384 b c ( P) : x y z 2x y ng trình t 6t 12 t 21 x y z x (3 21) y (P ) : 12 21 21 (P) : c vi t l i thành log ( x x ) (2 x) x +) V i x > (*) 0,25 z 0,25 12 ng trình ã cho bc 21 2 bc x y z 21 21 V y có m t ph ng th a mãn yêu c u toán x x i u ki n x x x 2; x +) V i t 9.b (1,0 i m) z c bc 16 bc 12 b c 12 y b (bc;2c;2b) AB; AC b c b, c nghi m c a ph +) V i t 4b2 4bc 192 V i bc = 16 ta có x 0,25 2(b c) bc (1) Di n tích tam giác ABC S ABC Theo ta có 0,25 12 b x x (3 t i Moon.vn x 21) y 12 21) z 12 (3 21) z 12 0,25 0,25 x) log (2 x ) log (2 x) x (2 x) x x ( x 2)( x 3) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i x (3 (*) x 0,25 3x x 2, (lo i) 4x x t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 +) V i < x < (*) i chi u v i i u ki n ta Th y x2 c x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i x2 4x x 73 x2 5x nghi m c a ph t i Moon.vn t ng Vi t Hùng (0985.074.831) x 73 ng trình ã cho c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 ... (3; + ); hàm s ngh ch bi n (1; 3) Hàm s t c c i t i x = 1; y = t c c ti u t i x 3; y Gi i h n, i m u n: 1 lim y lim x x 3x ; lim y lim x x 3x x x x x 3 3 Ta có y '' x y '' x U 2; B ng bi n thi n:... + 0 0,25 + + y 0,25 0,25 th hàm s có d ng nh hình v : 0,25 (1,0 i m) Ph x ng trình hoành 6x x 3mx giao i m c a x( x (C) x x2 x x 3m) x2 3x A 0; mx 3 0,25 x 3m 0, (1) ng th ng c t (C) t i ba i... 0,25 0,25 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y 8.a (1,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074. 831 ) G i d ng th ng i qua A c t M ( 2t ;3t ; t ) t iM AM ( 2t;3t 2; t ), AB (2; 3; 4) G i H hình chi u c a B