Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 i m) Cho hàm s y 2x x a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s b) G i I giao i m c a hai ti m c n c a th hàm s (C) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) bi t r ng kho ng cách t I n ti p n l n nh t sin x cos x Câu (1,0 i m) Gi i ph ng trình cos x sin x (1 tan x ) 2sin x x x x y x 11 Câu (1,0 i m) Gi i h ph ng trình Câu (1,0 i m) Tính tích phân I x2 x y2 ( x, y th ) y2 x sin x dx 2cos x Câu (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD hình ch nh t, AB = 2a Tam giác SAB u n m m t ph ng vuông góc v i áy ABCD Bi t SD AC, tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD kho ng cách gi a hai ng th ng BD SC Câu (1,0 i m) Cho a, b, c s th c d ng th a mãn a b c 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P (a b) 2 c2 ab c2 PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch c làm m t hai ph n (ph n A ho c ph n B) A Theo ch ng trình Chu n Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho tam giác ABC v i trung n phân giác c a nh B có ph ng trình l n l t d1 : x y 0; d : x y i m M(2; 1) n m ng th ng ch a c nh AB, ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kính b ng Bi t nh A có hoành d ng, xác nh t a nh c a tam giác ABC x y z Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng (d ) : 1 m t ph ng ( P) : x y z M t m t ph ng (Q) ch a (d ) c t ( P) theo giao n ng th ng cách g c t a O m t kho ng ng n nh t Vi t ph ng trình c a m t ph ng (Q ) Câu 9.a (1,0 i m) Tìm t p h p i m bi u di n s ph c z ' z i, v i z i B Theo ch zz ng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a (C2 ) : ( x 1) ( y 3) Vi t ph i m A, B tho mãn AB = ng trình Oxy, cho hai ng th ng Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz cho ph ng ( P) : x y z Vi t ph ng th ng ng trình ng tròn (C1 ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ti p xúc v i (C1) c t (C2) t i hai x y z m t 1 n m (P), vuông góc v i d có ng th ng d : kho ng cách gi a d b ng Câu 9.b (1,0 i m) Tìm t p h p i m bi u di n s ph c z ' (1 i 3) z 2, v i z Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y L I GI I Câu (2,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074.831) 7: áp án a (1,0 i m) T p xác nh: D o hàm: y i m R\ x 0, x D c c tr Các gi i h n, ti m c n: 2x 2x lim ; lim x x x x 2x 2x lim lim x x x x B ng bi n thiên: hàm s ngh ch bi n mi n xác th hàm s nh n th hàm s nh n x ng x = ti m c n ng 0,25 0,25 ng y = ti m c n ngang y’ nh + + + + 0,25 y th hàm s có d ng nh hình v : 0,25 Nh n xét: + th nh n i m I(1; 2) làm tâm i x ng + th hàm s c t tr c Ox t i i m A ;0 c t tr c Oy t i i m B(0; 1) b (1,0 i m) 2x 1 Ta có y y' x x ( x 1)2 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y G i M x0 ; C x0 Ph ng trình ti p n t i M có d ng : 1 : y x x0 2 x x0 Kho ng cách t i m I(1; 2) x0 d I; x0 2 x0 1 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 d 1 x0 2 x0 ng th c Cô-si ta có x0 D u '' '' x y x0 x0 y x0 2 x0 x0 x n ti p n Theo b t ng Vi t Hùng (0985.074.831) x0 x0 x0 d max sin x i u ki n cos x (*) V i i u ki n (*) ph 0,25 (sin x cos x )(2sin x 1) 2sin x (1) tan x (2) (cos x sin x)(1 cos x) i u ki n y x t: u x x 3; v y (u v) 2uv 13 uv +) V i +) V i V yh u v u v 0,25 ng: x2 cos x sin x cos x y ã cho t (1) sin x cos x (2) ng tan x cos x x ng v i: k x ( x2 ( x2 x 3) y y2 0,25 k2 ,k 13 0,25 u v 13 ng trình tr thành: uv u v uv u u ho c v v nghi m c a h 0; 11 , nghi m c a h Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i ã cho có nghi m 0; 0,25 ) k2 k ,x x 3)2 (k 1; 0,25 11 0,25 x cos x sin x ng trình x 7, v Khi ó h ph x x2 sin x cos x sin x (sin x cos x) cos x 0,25 (u v )2 uv y2 ng x x k ,k Khi ó h ng trình ã cho t y y sin(1 tan x ) So v i i u ki n (*) suy h nghi m c a ph (1,0 i m) 3sin x 4sin x cos x 3cos x 2sin x cos x sin x x0 0,25 cos x 2 V i x0 y ta có ph ng trình ti p n ( ) : y 1.( x 2) V i x0 y ta có ph ng trình ti p n ( ) : y 1.( x 0) V y có hai ti p n th a mãn yêu c u y = x y = x (1,0 i m) 0,25 ;4 , ; 0,25 11 , 1; 11 , t i Moon.vn t ;4 , ; c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i (1,0 i m) môn Toán 2014 Th y x sin x dx cos x Ta có I 4 dx Khi ó: J1 dt J1 +) Xét I x sin x dx cos x J1 J2 t 4 ;x t t sin( t ) d ( t) cos ( t ) t sin t dt 2 cos t x sin x dx 2 cos x 4 J2 dx cos x 4 dt tan u 4 J2 tan x I2 I2 0,25 x sin x dx 2cos x tt x sin x dx 2cos x i c n: x L i I1 t tt dx cos x x sin x dx 2cos x Suy I1 4 +) Xét I1 t x x sin x dx cos x ng Vi t Hùng (0985.074.831) du 1 cos2 x dx cos x dx cos x i c n: x t dt 0,25 3(1 tan u )du u 3 V y I 1; x i c n: t I1 I2 = t I2 u ;t 1 t2 u dt 0,25 0,25 6 (1,0 i m) 0,25 G i H trung i m c a AB, ( SAB) ( ABCD) AB ( SAB ) ( ABCD ) SH Tam giác SAB Ta có u c nh 2a nên SH AC SD AC SH AC SHD Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i SH ( ABCD ) AB AB AC 2a a HD t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) G i E giao i m c a AC HD, suy E tr ng tâm c a tam giác ABD HE HD 1 HD AH ( AH AD ) 3 1 2a3 AH AD AD HA a VS ABCD SH S ABCD a 3.2a.a ( vtt) 3 Trong m t ph ng (ABCD), qua C d ng ng th ng song song v i BD, c t ng AB, HK l n l t t i I J Khi ó BD // (SIJ) hay BD // (SIC) Suy d ( BD; SC ) d ( BD;( SIJ )) Trong tam giác vuông AHD ta có AH HM IJ IJ HM BD F Trong (SHM) ta d ng HN K ( SMH ) HM AH HE.HD (1,0 i m) HN ( SIJ ) d ( H ;( SIJ )) 2 a b (a b) Ta có P a ( a b) : a2 b2 (a Th t v y, (*) (a b )( c Áp d ng (*) ta Do ó P c P c2 c2 c2 d2 (a bc a b a ( a b) ( a b c) Do ( a b c) a b c b )(c b )( c ( a b) a 2b2 0,25 c2 c2 d 2) (a c ) d ) ( ac bd ) 2 b a c2 c2 c b (a b c ) 81 16( a b c)2 81 16(a b c) c2 c2 (b d ) ( ad bc) 0,25 c d ng th c Cô-si ta có ( a b c) (a b c ) a b (b d ) , (*) d ) (a ac bd 0,25 2 (a b )2 (a c ) b ) (c d 2) c2 b c2 D u '' '' x y ad Theo b t 18a 3a a HN ng th a mãn a b c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P ( a b) Xét b 9a 3a , HJ Cho a, b, c s th c d 0,25 d ( BD;( SIJ )) d ( F ;( SIJ )) 2a 1 2 HM HI HJ 1 1 M t khác HN HM SH 3a 3a 3a 2 a T ó suy d BD, SC HN 3 Ta có HI d ( H ;(SIJ )) HN ( a b c) a b c a b c a b c 81 (a b c ) 1215 16( a b c) 81 ( a b c) 16(a b c ) 2 1215 16(a b c) Suy P 1215 135 16 135 17 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 0,25 t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 17 V y P 7.a (1,0 i m) Ta có d1 P d2 Th y 17 , t a B t ng Vi t Hùng (0985.074.831) y 0,25 c a b c 2x i m B th a mãn h x B (1;1) x y y Khi ó, ng th ng AB c ng ng th ng BM BM (1;0) nBM (0;1) ( BM ) : y Ta có A ( BM ) A(a;1) G i N i m i x ng c a M qua phân giác (d2) c a góc B N ( AC ) ng th ng MN có véc t pháp n nMN G i K ( MN ) d2 t a (1; 1) i m K th a mãn K trung i m c a MN nên G i I trung i m c a AC x y x y xN xK xM yN yK yM 1 Khi ó ( BN ) ( BC ), BN (0; 1) Ta có C ( BN ) C (1; c) I nBN ( MN ) : x (1;0) 0,25 y 2 x y K ; 2 0,25 N (1;0) ( BN ) : x 1 a c ; Do I c ng thu c trung n nên 2a + c 2 = 0, (1) Ta có AB a;0 BC 0; c Do ó R IB AB.BC a T (1) (2) ta có h ph hay ABC vuông c ng trình B 0,25 20, (2) a c 20 2a c Gi i h ta V yt a 8.a (1,0 i m) G i H, I l n O lên (P) Ta có d (O, Do ó d l c a = 3; c = A(3; 1) ; C(1; 3) nh c a tam giác ABC A(3; 1), B(1; 1), C(1; 3) 0,25 Q t hình chi u vuông góc c a O ) OI OH ( không OH x y I H (d) i) 0,25 I H P x t ng th ng OH i qua O(0; 0; 0) nh n vtpt c a (P) vtcp OH : y z ( P ) : x y z (2) T (1) (2) suy 6t t T (1) H (1; 2;1) Khi ó (Q) m t ph ng ch a (d) i qua H Ta có M (1;1;2) (d ) , VTCP c a (d ) u (1;1; 2) , HM Suy véc t pháp n c a (Q) nQ Do ó (Q ) : 1( x 1) 1( y 1) 1( z 1) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i u , HM x 2t (1) t 0,25 (0; 1;1) ( 1; 1; 1) ,(Q) i qua M (1;1;2) y t i Moon.vn z t 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i 9.a (1,0 i m) môn Toán 2014 Gi s ta có z a bi, a, b z' x Theo bài, z i x yi 9a zz ( y 1) (2 a 3) (2b 1)i 3b ( y 1) 2 a2 b2 ( x 3) 4a y (C1) có tâm I1 (1; 2) bán kính R1 Ta có: d ( I1; ) G ih x y 0,25 3b 0,25 a x 2a y 2b b 4b 73 16 V y qu tích i m bi u di n s ph c z ' hình tròn tâm I 3; 7.b (1,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074.831) yi, x, y Khi ó z ' z i ( x 3) Th y 0,25 ,R 73 0,25 5; (C2) có tâm I ( 1; 3) bán kính R2 = 0,25 5, (1) d ( I ; ), ta có: AB R22 h2 h 0,25 (2) c a I1I2 Vì M n m (C1) nên không x y kh n ng qua M, ó // I1I2 suy ph ng trình m m có d ng x y m 0, ó d ( I1 ; ) 5 m 10 V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u toán x – 2y = x – 2y – 10 = T (1) (2) suy 8.b (1,0 i m) ud u (2;1;1); n( P ) nP , ud song song v i I1I2 ho c (1; 2; 1), ó (3; 3; 3) ch n u G i (Q) m t ph ng ch a Ph ng trình (Q ) : y z ng i qua trung i m M 0; có m t vect ch ph ( P) 0,25 (1; 1; 1) u , ud song song v i d, ta có: n(Q ) m Ch n A (1; 2;0) d , ta có: d ( A,(Q )) x y z 1 x 2y z (Q ) nên i qua B(3; 0; 0), ph x 2y y z x 2y z x y z (0;1; 1) m m 0,25 ng uMN ng trình : I (5;0;2) G i M(1; 2; 0) m t i m b t kì thu c d D ng MN xu ng (P) ng th ng MN có m t véc t ch ph (P) IN hình chi u vuông góc c a d nP (1; 2; 1) x t ( MN ) : y 2t z Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn 0,25 ng x y z 1 x y z V i m = 4, ( P) (Q ) nên i qua C(7; 0; 4), ph ng trình : 1 Cách 2: (S d ng ki n th c v hình chi u ng vuông góc chung) Ta có ud nP d (P) c t t i i m I T a i m I th a mãn h ph ng trình V i m = 0,25 t t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) x t T a i m N th a mãn y 2t z t x 2y z Gi i h ta x y c z T ó IN N 2;0; 1 3;0; ng ( IN ) u IN (1;0;1) x t ng trình d ': y d ' có ph z G i H m t i m b t kì thu c d ' n m (P) nên T H ta d ng HK d' u t H (5 t ;0;2 t ) ud ; ud ' ng th ng (1; 1; 1) d, ó HK dài o n vuông góc chung c a d u d ; MH Theo HK d H ;d 3t 2 ud 9.b (1,0 i m) c n l p vuông góc v i d t x y z 1 x y z V i t = H (3;0;0) : 1 V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u toán z a bi, a, b Gi s ta có z ' x yi, x, y V i t = H (7;0;4) : Khi ó z ' (1 i 3) z x x a b y b a a x b yi (1 i 3)(a bi) x yi a b (b a 3) 0,25 y 3x y Theo bài, z (a 1) b 2 x x2 y y2 x 3x y 6x 3y 4 x2 64 ( x 3) (y y 4 y2 3x 24 x y 16 0,25 0,25 3) 16 V y qu tích i m bi u di n s ph c z ' hình tròn tâm I Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i y t i Moon.vn t 3; , R c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 ... Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 17 V y P 7. a (1,0 i m) Ta có d1 P d2 Th y 17 , t a B t ng Vi t Hùng (0985. 074 .831) y 0,25 c a b c 2x i m B th a mãn h x B (1;1)... i 9.a (1,0 i m) môn Toán 2014 Gi s ta có z a bi, a, b z' x Theo bài, z i x yi 9a zz ( y 1) (2 a 3) (2b 1)i 3b ( y 1) 2 a2 b2 ( x 3) 4a y (C1) có tâm I1 (1; 2) bán kính R1 Ta có: d ( I1; ) G ih... 2a y 2b b 4b 73 16 V y qu tích i m bi u di n s ph c z ' hình tròn tâm I 3; 7. b (1,0 i m) ng Vi t Hùng (0985. 074 .831) yi, x, y Khi ó z ' z i ( x 3) Th y 0,25 ,R 73 0,25 5; (C2) có tâm I ( 1;