Luy n gi i mônToán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) 2x Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y x a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s ã cho b) Vi t ph ng trình ti p n d c a th (C), bi t r ng ti p n c t tr c Ox, Oy l n l B cho AB t t i A, 82 OB Câu (1,0 i m) Gi i ph ng trình cos x sin x cos x.sin x Câu (1,0 i m) Gi i b t ph x ng trình Câu III (1,0 i m) Tính tích phân I (x2 x x x tan x x2 x2 , x x )e x dx e x Câu IV (1,0 i m) Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có AB a, BC a, ACB 30 , hình chi u vuông góc c a A’ m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC góc gi a AA’ t o v i m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính theo a th tích kh i a di n BCC’B’A’ kho ng cách gi a hai ng th ng B’C’ A’C Câu (1,0 i m) Cho s th c a, b, c [1;2] Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P c2 PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch A Theo ch ng trình Chu n (a b) 4(ab bc ca ) c làm m t hai ph n (ph n A ho c B) x2 y Tìm t a i m B, C thu c (E) cho tam giác ABC vuông cân t i A, bi t i m B có tung d ng Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai i m A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) x y z ng th ng (d) có ph ng trình Tìm i m M (d) cho MA.MB nh nh t Câu 9.a (1,0 i m) Có 30 t m th ánh s t n 30 Ch n ng u nhiên 10 t m th Tính xác su t có t m th mang s l , t m th mang s ch n ó ch có t m mang s chia h t cho 10 B Theo ch ng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hình thang ABCD v i hai áy AB CD bi t B (3;3), C (5; 3) Giao i m I c a hai ng chéo n m ng th ng : x y Xác nh t a nh l i c a hình thang ABCD CI BI , tam giác ABC có di n tích b ng 12, i m I có hoành d ng i m A có hoành âm x y z Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian vói h t a Oxyz, cho ng th ng d : 1 m t ph ng P : x y z G i A giao i m c a d (P) Tìm t a i m B thu c ng Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a th ng d, C thu c m t ph ng (P) cho BA Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i Oxy, cho i m A(3;0) elip (E): 2BC t i Moon.vn ABC t 600 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 12 Câu 9.b (1,0 i m) Tìm mô un c a s ph c w 3i b ci bi t s ph c z c a ph ng trình z 8bz 64c 3i i nghi m L I GI I Câu (2 ) i 4: áp án i m 2x (1) x a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s (1) ã cho TX : \ , y' 0, x ( x 1)2 Hàm s ngh ch bi n kho ng: ( ;1) (1; ) Gi i h n ti m c n: lim y ; lim y ti m c n ng: x = Cho hàm s y x lim y x lim y x 0.25 0.25 x ti m c n ngang y = B ng bi n thiên: x 0.25 + y’ + y y ; , 0; nh n giao i m ti m c n I(1; 2) làm tâm i x ng th : i qua i m 0.25 1 x b) Vi t ph ng trình ti p n d c a (C), bi t r ng ti p n c t tr c Ox, Oy l n l A, B cho AB 82 OB Ta có OA OB AB AB 82.OB 0.25 OA 9OB OB OA G i M ( x0 ; y ) ti p i m c a ti p n (d ) (C) H s góc c a ti p n hoành ( ( x0 1) V i k c tính b i k ti p i m nghi m c a ph ( x0 1) ) ( x0 1)2 0.25 / ng trình: f ( x0 ) = k hay: x0 y0 x0 y0 ti p i m 4; , ta có pt ti p n : Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i tt i t i Moon.vn t 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 y x hay y Th y x ng Vi t Hùng (0985.074.831) 25 0.25 ti p i m 2; , ta có pt ti p n: 13 y x hay y x 9 2 cos x sin x 2) Gi i ph ng trình tan x cos x.sin x V i k 2, (2 ) cos x i u ki n: Ph sin x x ng trình ã cho t cos x cos x cos x cos x V i cos x V i cos x V y, ph cos x 0.25 3cos x 6 6 x k2 x x x x2 ng trình k k2 0.25 , th a (*) 0.25 k2 x k2 x x x2 k2 k2 ng trình có nghi m: x i u ki n: x k k , th a (*) x x2 0.25 ng trình t ng x2 ng x 1 x x2 x2 x2 x2 x 1 x x2 x 1 x 2( x ( x 4)( x 1 Gi i b t ph B t ph 3sin x 3 cos x 3sin x Z (*) Khi ó: k ng v i: sin x.sin k cos x sin x sin x cos x.cos x ng 0.25 k 0.25 x2 (2 3) x 1) (x x2 x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 1) x 1) x x2 (2 x t i Moon.vn t 1) x 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 (x2 Th y 3) ( x 4)( x x2 Tính tích phân I x 1) x 0.25 ng trình x x (x x x )e dx e x 0.25 xe x ( x 1)e x dx xe x x 0.25 x.e dt ( x 1)e x dx t 1; x t e tt Suy I V y I (1 ) ( x x )e x dx x e x (2 Ta có I x x x nghi m c a b t ph 1 x 1) K t h p i u ki n (1 ) ng Vi t Hùng (0985.074.831) e xe x ( x 1)e x dx xe x t ln t e 1 (t 1) dt t e 0.25 dt t 1 0.25 e ln(e 1) Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có AB a, BC a, ACB 30 , hình chi u vuông góc c a A’ m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC góc gi a AA’ t o v i m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i a di n BCC’B’A’ kho ng cách gi a hai ng th ng B’C’ A’C 0.25 A' C' B' N A H C G M I B K T A' G ( ABC ) AG hình chi u c a AA' lên (ABC ) G i M trung i m BC T gi thi t ta có: 2a BC 2a, AG AI ; A ' AG 600 A ' G AG.t an600 3 t AC x AB AC BC 2 AC.BC.cos300 a2 x2 2a 3 4a 2 x.2 a 0.25 AC x a Nên AB AC a 3a 4a BC ABC vuông t i A '' Vì A G ( ABC ) nên A G chi u cao c a kh i l ng tr ABC A ' B ' C ' kh i chóp A' ABC Th tích c a kh i a di n BCC’B’A’ c tính b i: VBCC / B / A/ VABC A / B /C / VA / ABC S ABC A ' G 1 AB AC A ' G a.a 3 K AK BC t i K GI GI MG GI AK MA 2a 3 a ( vtt) 3 BC t i I GI // AK 1 AB AC a.a AK 3 BC 2a Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t 0.25 a c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 K GH A’I t i H (1) BC GI Do BC BC A ' G d [G , ( A ' BC )] GH Th y GH (2) T (1) (2) GH ng Vi t Hùng (0985.074.831) (A’BC) 0.25 Vì B ' C ' // BC , BC ( A' BC ) nên B 'C ' //( A ' BC ) A' C ( A ' BC ) d ( B ' C ' , A 'C ) d [ B ' C ' , ( A ' BC )] = d [ B ', ( A ' BC )] M t khác ta th y AB’ c t mp(A’BC) t i N trung i m c a AB’ Do ó: d [ B ', ( A ' BC )] d [ A, ( A ' BC )] 3d [G , ( A ' BC )] 3GH 3 A ' G.GI A'G (1 ) GI 6a 51 2a 51 V y d ( B ' C ' , A' C ) 17 Cho s th c a, b, c [1;2] Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P P P 7a, 8a (2 ) 2a a 12a 3a 36 c vi t l i d i d ng t ng ng (a b) (a b) c 4c(a b ) 4ab c 4c(a b ) (a b) 2a 51 17 c2 ( a b) 4(ab bc ca) 0.25 M 0.25 Do a , b, c [1;2] nên a b , nên chia t m u c a M cho (a b) ta c: 1 c M v it 2 a b t 4t c c a b a b V i a, b, c [1;2] t ;1 0.25 1 Xét hàm s f (t ) ;1 t 4t 2(t 2) 1 Ta có f / (t ) < 0, t f / (t ) ngh ch bi n ;1 ;1 2 4 (t 4t 1) 0.25 Do ó t f (t ) f (1) ng th c x y t (a; b; c) (1;1;2) V y Min P (a; b; c) (1;1;2) x2 7a) Trong m t ph ng Oxy , cho i m A(3;0) elip (E) có ph ng trình y Tìm t a i m B, C thu c (E) cho tam giác ABC vuông cân t i A , bi t i m B có tung d ng 0.25 Ta có A(3;0) ( E ); B, C ( E ) : AB AC G i B( x0 ; y ) C ( x0 ; y ) ( x0 3) H trung i m c a BC H ( x0 ;0) 0.25 BC y x02 ; AH x0 x0 0.25 ABC vuông cân t i A AH BC x0 x 02 9(3 x0 ) (3 x0 )(3 x0 ) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 x0 (ktm) x0 12 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 0.25 y0 12 12 ; ,C ; 5 5 8a) Trong không gian Oxyz , cho hai i m A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) ng th ng (d) có x y z ph ng trình Tìm i m M (d) cho tích MA.MB nh nh t 0.25 Ta có trung i m c a AB I(2; 3; 0) 2 MA.MB MI IA MI IB MI IA MI IA MI IA MI Vì B có tung d Suy MA.MB nh nh t ch MI nh nh t Hay M hình chi u vuông góc c a I (d) M d M ( 4t; t ; 2t ) IM ( 4t ; t; 2t ) (d) có vect ch ph ng u (4; 1; 2) 0.25 IM 0.25 u IM u M (1; 3; 1), MI 9a (1 ) 7b, 8b (2 ) ng nên B 4( 4t ) t 2( 2t ) 38 V y Min MA.MB 29 t t 0.25 c M (1; 3; 1) Có 30 t m th ánh s t n 30 Ch n ng u nhiên 10 t m th Tính xác su t có t m th mang s l , t m th mang s ch n ó ch có t m mang s chia h t cho 10 G i A bi n c l y c t m th mang s l , t m th mang s ch n ó ch 0.25 có t m th mang s chia h t cho 10 10 Ch n 10 t m th 30 t m th có: C 30 cách ch n Ta ph i ch n : 0.25 t m th mang s l 15 t m mang s l t m th mang s chia h t cho 10 t m th mang s chia h t cho 10 t m th mang s ch n nh ng không chia h t cho 10 12 t m nh v y 0.25 Theo quy t c nhân, s cách ch n thu n l i x y bi n c A là: C155 C124 C 31 0.25 C155 C124 C 31 99 Xác su t c n tìm P( A) 10 667 C 30 7b) Trong m t ph ng Oxy , cho hình thang ABCD v i hai áy AB CD bi t B(3;3), C (5; 3) Giao i m I c a hai ng chéo n m ng th ng : x y Xác nh t a nh l i c a hình thang ABCD CI BI , tam giác ACB có di n tích b ng 12, i m I có hoành d ng i m A có hoành âm 0.25 Vì I I ( t ;3 2t ), t t CI BI 15t 10t 25 Ph ng trình ng th ng IC : x Mà S ABC AC.d ( B, AC ) 12 AC 2 Vì A IC A(a;2 a ), a nên ta có a 11 a 36 a A( 1;3) a Ph ng trình ng th ng CD : y , IB : x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t (ktm) y t t i Moon.vn I (1;1) 0.25 0.25 y t 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 T a x y y i m D nghi m c a h Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) x D( 3; 3) y 0 V y A( 1;3) , D( 3; 3) x y z m t ph ng 1 G i A giao i m c a d (P) Tìm t a i m B thu c ng 8b) Trong không gian Oxyz , cho P :x 2y z ng th ng (d) : th ng (d), C thu c m t ph ng (P) cho BA 2BC ABC i m A (d ) ( P) A( 1;0;4) ; Góc gi a ( d ) (P) 30 (1) Vì B (d ) B ( 2t ; t;3 t ) AB M t khác BA 2BC 600 ABC 600 nên B( 3; 1;3) ho c B(1;1;5) 0.25 ABC vuông t i C (2) 0.25 Suy CAB 300 (3) T (1), (2) (3) C hình chi u c a B lên ( P) T a c a i m C nghi m c a h ph ng trình x y z x y z ho c x 2y z x 2y z 0.25 5 11 ho c C ;0; i m c n tìm ;0; 2 2 Suy C 9b (1 ) 0.25 12 Tìm mô un c a s ph c w trình z 8bz 64c Ta có 1 i 3i i i nghi m c a ph ng 3i 3.3i 3i 3i 3i b ci bi t s ph c 3i 3.3i 3i 3i 0.25 8 2i 12 3i 3i Do ó i i 8 Theo gi thi t ta có 16i 2i b 2i c 2b b b c c 2 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 2 i 2i i i 8b 16i 0.25 2i 16i 0.25 64c 2b i b c w ( 2) t i Moon.vn 52 29 t 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! ... p i m 4; , ta có pt ti p n : Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i tt i t i Moon.vn t 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 20 14! Luy n gi i môn Toán 20 14 y x hay y Th y x ng Vi t Hùng (0985.0 74. 831)...Luy n gi i môn Toán 20 14 Th y ng Vi t Hùng (0985.0 74. 831) 12 Câu 9.b (1,0 i m) Tìm mô un c a s ph c w 3i b ci bi t s ph c z c a ph ng trình z 8bz 64c 3i i nghi m L I GI I Câu (2 ) i 4: áp án i... TS H 20 14! Luy n gi i môn Toán 20 14 x0 (ktm) x0 12 Th y ng Vi t Hùng (0985.0 74. 831) 0.25 y0 12 12 ; ,C ; 5 5 8a) Trong không gian Oxyz , cho hai i m A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) ng th ng (d) có x y