ĐỀ 5 đề THI môn TOÁN có lời GIẢI

Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút 2x có th (C) x a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s b) Tìm giá tr m ng th ng y x m c t (C) t i A B cho tr ng tâm c a tam giác Câu (2,0 i m) Cho hàm s OAB thu c y ng th ng x y (v i O g c t a Câu (1,0 i m) Gi i ph ng trình cos x cos 3x Câu (1,0 i m) Gi i b t ph ) sin x ng trình x3 (3 x x 4) x Câu (1,0 i m) Tính tích phân I x sin x sin x dx x cos x Câu (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD hình ch nh t, AB a, AD 2 a Hình chi u vuông góc c a i m S m t ph ng (ABCD) trùng v i tr ng tâm c a tam giác BCD ng th ng SA t o v i m t ph ng (ABCD) m t góc 45 Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD kho ng cách gi a hai ng th ng AC SD theo a Câu (1,0 i m) Cho x, y, z s th c d ng x xy y yz z zx Ch ng minh r ng (y zx z )2 ( z xy x)2 ( x yz y ) PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch c làm m t hai ph n (ph n A ho c ph n B) A Theo ch ng trình Chu n Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hai ng th ng d1: x y , d2: 3x y i m I (1; 2) Vi t ph ng trình ng th ng i qua I c t d1, d2 l n l t t i A B cho AB 2 Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai i m A( 1; ;2), B( 2; 2; 1) m t ph ng (P) có ph ng trình x y z Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) m t ph ng trung tr c c a o n AB G i nh t giao n c a (P) (Q) Tìm i m M thu c Câu 9.a (1,0 i m) Gi i h ph ng trình log1 log1 x x B Theo ch ng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a xy y y 2x log y log x Oxy, cho hai cho o n th ng OM nh y x ng th ng d1: x x y i m I (1; 2) G i A giao i m c a d1 d2 Vi t ph ng trình y , d2: ng th ng i qua 1 t giá tr nh nh t AB AC Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng ( P) : x y z hai x y z x y z ng th ng d1 : , d2 : Xác nh t a i m M thu c d1, i m 1 1 N thu c d2 cho MN song song v i (P) o n th ng MN nh nh t I c t d1, d2 l n l t t i B C cho Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y Câu 9.b (1,0 i m) G i z1 , z2 hai nghi m c a ph Tìm s n nguyên d ng nh nh t cho z1n z2n ng trình z L I GI I Câu a (1,0 i m) (2,0 T p xác nh: D i m) o hàm: y ng Vi t Hùng (0985.074.831) cos z 21 5: áp án i m R\ x 0, x D c c tr Các gi i h n, ti m c n: 2x 2x lim ; lim x x x x 2x 2x lim lim x x x x B ng bi n thiên: hàm s ngh ch bi n mi n xác th hàm s nh n th hàm s nh n x nh ng x = ti m c n ng 0,25 0,25 ng y = ti m c n ngang + y’ 0,25 + y th hàm s có d ng nh hình v : 0,25 Nh n xét: + th hàm s nh n i m I(1; 2) làm tâm i x ng + th hàm s c t tr c Ox t i i m ;0 c t tr c Oy t i i m (0; 1) b (1,0 i m) 2x Ph ng trình hoành giao i m: 3x m g ( x ) x (1 m ) x m x ng th ng d c t th (C) t i A B ph Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i ng trình g(x) = có nghi m khác t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 (1 m) Th y 12(m 1) Gi s m 11 ( m 1)( m 11) g (1) (1 m) m ng Vi t Hùng (0985.074.831) m m ) giao i m, v i x1, x2 nghi m c a g(x) = x1 x2 m m G i I trung i m c a AB xI , yI xI m 2 m m G i G tr ng tâm tam giác OAB OG OI G ; A( x1 ; 3x1 m ), B ( x2 ; 3x2 m m Theo bài, G d 0,25 11 m 0,25 11 giá tr c n tìm 2cos x cos x sin x cos x cos x(2cos x 1) 2sin x cos x So sánh v i i u ki n ta c m Ph ng trình (1,0 i m) (cos2 x sin x)(2cos x 1) (cos x sin x)2 + (1) sin x x k 2cos x (cos x sin x 1) V y ph (1,0 i m) i u ki n : x t y y2 tt x y x k ;x k ; x k2 ; k x y (t 1)(t x x y c x y (t 1)(t 2)2 4t 4) x x x x K t h p v i i u ki n ta (1,0 i m) x2 c x V y t p nghi m c a b t ph ng trình T x2 2 Ta có I sin x sin x dx x cos x x2 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 0,25 t t x x 2 2 2 0,25 x x x x x x x x +) V i t x S x2 x x y 0,25 0, (*) x +) V i t k2 0,25 : chia hai v c a (*) cho y ta t 3t x x k x B t ph ng trình tr thành x (3 x y ) y TH1 y x : (*) nghi m úng TH2 y 0,25 0,25 y x (1) k cos x ng trình ã cho có nghi m x (cos x sin x)(2cos x 1) cos x sin x (2) x cos x + (2) cos x sin x 0,25 x x 5 2 1; 0,25 cos x sin x dx x cos x t i Moon.vn t x cos x sin x dx x cos x c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i x2 môn Toán 2014 2 (1 sin x) dx x cos x sin x Xét J Th y (1 sin x) dx x cos x ng Vi t Hùng (0985.074.831) 0,25 J d ( x cos x) x cos x ln x cos x ln 0,25 2 V y I 0,25 ln IV (1,0 i m) 0,25 G i H tr ng tâm tam giác BCD Theo gi thi t SH ( ABCD) O AC BD CH CO AC a AH AC HC 2a 3 SA có hình chi u lên (ABCD) HA nên SA; ABCD SA; HA SAH 1 S ABCD SH a.2 2a.2 a a ( vtt) 3 ng th ng Dx // AC Khi ó AC // ( SDx) d AC; SD 450 SH AH a Khi 0,25 ó ta có VS ABCD Qua D k Trong (ABCD), k HK Dx, (K Ta có Dx HK ; Dx SH Dx M t khác, HI SK HI Dx) Trong (SHK), k HI SHK Dx HI SDx HI SH (I d AC; SDx d H ; SDx SK) 0,25 d H ; SDx 0,25 1 1 2 2 2 AP AE AD a 8a 8a HK 1 11 2a 22 HI a 2 2 2 11 11 HI HK SH 8a 4a 8a a 22 V y d AC; SD HI 11 Cách (Ph ng pháp t a hóa) Ta có HK AP; Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t 8a c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Ch n h tr c t a M Th y v i A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;2 2a;0), S 5a 2a ; ; a ; AC 2a 2a ; ;2a , C ( a;2 2a;0) 3 5a 2a ; ;a ( a;2 a;0); AM 2a y 2z Xét véc t u (1,0 i m) xx ' yy ' zz ' d ( D;( ACM )) x; y; z , v x2 y2 x2 t P (y Áp d ng (*) ta có ( y zx x xy z) y 2z 2y ng t , (z yz xy x )2 C ng v theo v ta 2y z 2x 2x y 2z c P y z x2 y2 z2 z z )2 z 2y z 2x z) 2z ; (x u.v x2 y y' y2 u.v z x '2 y '2 z '2 (*) z z' 0,25 (y x z )( y z z) (x zx yz y )2 x xy y z)( y z ) 2x y 2z x 2z x 2y x x x y z y z z 0,25 2z x 2y y2 yz yx xy 2 xy xz y 2z z) y y ng trình xy zx 2x x2 xy xz L i có, x (y x x x' kv x z 2x (x y x x u u.v z zx Ta c n ch ng minh P (x yz y )2 z )( y z) y xx ' yy ' zz ' ( y y (x y T z) (x u v cos u; v 00 u; v z )2 zx (y u.v y yz (z xy x) xy zx z )2 2 nên có ph 11 z x '2 y '2 z '2 D u b ng x y cos u ; v 2; 1; 2a2 ) 2a x '; y '; z ' (2 2a ; a ; AC; AM M t ph ng (ACM) i qua i m A có véc t pháp n n 2x ng Vi t Hùng (0985.074.831) yz z2 zx zy zx xy yz 2( x 3( xy 0,25 y z )2 yz zx ) zx 1 P ng th c x y x = y = z Th y gi i thi u n em cách gi i khác cho toán c a ch trang_luv_maths (Kh ng long b o chúa – Mod Toán c a Moon.vn): Ta i ch ng minh b sau: Cho x, y, z s th c d ng Khi ó ta có: Suy P B 1: xy yz Th t v y, ta có: x 2 x2 B y2 x2 2: y Áp d ng b z2 y2 z ta zx y2 xy x2 y2 xy; y yz z2 z2 zx x2 y2 yz ; z xy yz z , (B T Bunhiacopxki cho b ba s ) x2 zx 2 xz x2 0,25 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 z2 x x y z , (B t x y z c ng Th c Cauchy – Schwarz) x2 y2 z2 y y z z x x y y z z x x x y z Suy i u ph i ch ng minh Áp d ng vào gi i toán: Cách 1: Theo B T Bunhiacopxki v i b ba s ta có: Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 y xz z y y Ch ng minh t x2 y ng t ta z z x2 Mà xy z2 yz z xy x x yz y xy y t x B Tt x xy ng z x z 2y z x x2 y x 2z x y y2 z x x2 zx yz y y2 yz x2 xz xy x y xy y2 z2 xz z z2 xz yz xy x y z x y z z2 x2 zx yz y2 ( PCM) 2 ta có: z z z 2 y zx a; y zx x z2 xy zx y z2 x2 VT y 2x 2z2 zy ng Vi t Hùng (0985.074.831) c: xy Cách 2: Áp d ng b VT x y2 xz z x x z y2 xy zx Th y z z 2 x yz y b; x yz y 2 y zx xy z z x yz y c ng: a 2b c b 2c a c 2a b a2 2ba ca b2 2bc ab c2 2ac bc a b c ab bc ca L i có: a b c a b2 c 2 ab 2bc 2ca ab bc ca V y VT Ta có i u ph i ch ng minh G i A d1 A(a; 3a 5); B d B (b; 3b 1) IA (a 1; 3a 3) 0; IB 7.a (1,0 i m) I, A, B th ng hàng N u a IB b k (a 1) 0,25 3b k ( 3a 3) AB (không th a mãn) b 3b ( 3a 3) a 3b a b N u a Theo bài, AB (b a )2 t 5t 12t k IA (b 1; 3b 1) 3( a b) 2 t2 0,25 (3t 4)2 8, (v i t b a) 0,25 t +) V i t b a b 2, a : x y 2 +) V i t b a b ,a :13x y 11 5 5 V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u toán 8.a 3 I ; ; AB ( 1; 1; 1) (1,0 G i I trung i m c a AB 2 i m) Ph ng trình c a m t ph ng (Q) x y z ng th ng i qua i m I ;0; có vtcp u (2; 1; 1) 4 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y t x Ph ng trình tham s c a y M 2t; t; 2t t z M ng Vi t Hùng (0985.074.831) t 25 12t 15t OM 12 t 100 64 0,25 5 19 t M ; ; 8 19 V y M ; ; i m c n tìm 8 OM nh nh t b ng 9.a (1,0 Gi i h ph i m) i u ki n (1) ng trình 2log1 log1 1 x y log1 x ( y 2) Th vào (2) ta x2 4x 2 t x x x i chi u v i i u ki n ta 7.b Ta nh n th y nd 1.nd (1,0 i m) A d1 d t a y 2log 2 2t x d1 log log x y y x 8.b (1,0 i m) 6, (1) 1, (2) 0,25 c x d2 y x 2t log1 2log1 4t x x y x t log1 2log y y x x x x x 0,25 x x x 6; y nghi m c a h ph ng trình ABC vuông t i A i m A th a mãn h ph ng trình 3x y x x 3y y 1 AB AH AC A( 2;1) 1 nh nh t nh nh t, t c AH l n nh t AC AH AI AH max AI H I MN (2 t ' 2t ;2 t ' t; 2t ' t ) Theo bài, MN // ( P ) t ' 2t (2 t ' t ) 2t ' t (3;3t 3;3t ) MN 2(t t 1) 2 0,25 0,25 0,25 0,25 t ' 2t t 0,25 0,25 Khi ó ng th ng I có véc t pháp n n AI ( 1; 1) 1(1;1) Ph ng trình c a ng th ng x + y + = M t ph ng (P) có véc t pháp n nP (1; 1;1) Ta có M d1 M ( 2t;1 t ;1 t ); N d N (1 t ';3 t '; 2t ') Khi ó, MN 0,25 0,25 G i H hình chi u c a A BC Do ABC vuông t i A nên AB Do AH x c log1 y 2x y x 2log1 x (1 x) y tt xy x 0,25 2 3 t M 2; ; , N 1;3; 2 2 V y i m c n tìm M 2; ; , N 1;3; 2 0,25 dài MN nh nh t b ng 9.b (1,0 Ph i m) ng trình z 2cos z (1) 21 Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn 0,25 0,25 t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i (1) có môn Toán 2014 ' cos 21 sin Th y 21 z2 cos cos cos 5 i sin 21 21 21 i sin 21 n5 21 i sin n5 21 n5 21 cos cos V y (1) có nghi m z 2n 21 5 i sin 21 21 5 cos i sin 21 21 z1 z1n i sin n n cos 5 i sin 21 21 5 cos i sin 21 21 cos n5 21 i sin n n n5 21 0,25 1 n5 n5 2cos 21 21 n5 n5 42 k cos cos k2 n (k 21 21 5 Vì n s nguyên d ng nh nh t nên t (*) suy n = cos ng Vi t Hùng (0985.074.831) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t 0,25 ) (*) 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! ... nghi m z 2n 21 5 i sin 21 21 5 cos i sin 21 21 z1 z1n i sin n n cos 5 i sin 21 21 5 cos i sin 21 21 cos n5 21 i sin n n n5 21 0, 25 1 n5 n5 2cos 21 21 n5 n5 42 k cos cos k2 n (k 21 21 5 Vì n s nguyên... Moon.vn 0, 25 0, 25 t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i (1) có môn Toán 2014 ' cos 21 sin Th y 21 z2 cos cos cos 5 i sin 21 21 21 i sin 21 n5 21 i sin n5 21 n5 21 cos cos V y (1) có nghi... t 1) 2 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 t ' 2t t 0, 25 0, 25 Khi ó ng th ng I có véc t pháp n n AI ( 1; 1) 1(1;1) Ph ng trình c a ng th ng x + y + = M t ph ng (P) có véc t pháp n nP (1; 1;1) Ta có M d1 M (