Luy n gi i mônToán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu (2,0 i m) Cho hàm s y m x3 mx m x có th (Cm) a) Kh o sát s bi n thiên v th hàm s v i m = b) Tìm m ng th ng d : y 2c t th hàm s (Cm) t i ba i m phân bi t A(0 ; 2), B C cho di n tích tam giác OBC b ng 13 (v i O g c t a Câu (1,0 i m) Gi i ph ) sin x sin x 1) y y ng trình tan x tan x x(4 x Câu (1,0 i m) Gi i h ph ng trình e Câu (1,0 i m) Tính tích phân I 2x2 x2 Câu (1,0 i m) Cho l ng tr x 2 xy x x ln x x e dx x ABCD A ' B ' C ' D 'có áy ABCD hình ch nh t, AB a; AD a Hình chi u vuông góc c a i m A ' m t ph ng (ABCD) trùng v i giao i m AC BD Góc gi a hai m t ph ng ( ADD ' A ') (ABCD) b ng 600 Tính th tích kh i l ng tr ã cho kho ng cách t i m B' n m t ph ng ( A ' BD) theo a Câu (1,0 i m) Cho s th c d ng a, b, c th a mãn a b2 c2 ab 2bc 2ca Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P c2 (a b c) PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch A Theo ch ng trình Chu n c2 a b ab a b c làm m t hai ph n (ph n A ho c ph n B) Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho ng tròn (C ) : x y2 i m E(4; 1) Tìm to i m M tr c tung cho t i m M k c hai ti p n MA, MB n ng tròn (C) v i A, B ti p i m cho ng th ng AB i qua E Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai ng th ng d1, d2 có ph ng trình x y z x y z d1 : d : L p ph ng trình ng th ng d c t d1 d2 vuông 2 1 góc v i m t ph ng ( P) : x y z iz z 2i Câu 9.a (1,0 i m) Tìm s ph c z th a mãn z i 2i B Theo ch ng trình Nâng cao x2 y2 Vi t ph ng 16 trình t c c a elip (E) có tiêu i m trùng v i tiêu i m c a (H) ngo i ti p hình ch nh t c s c a (H) Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng P : x y z Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h to ng th ng (d ) : x y Oxy cho Hypebol ( H ) : z , i m A( 2; 3; 4) G i Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t ng th ng n m (P) i qua c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) giao i m c a ( d) (P) ng th i vuông góc v i d Tìm i m M cho dài o n AM ng n nh t Câu 9.b (1,0 i m) Trong s ph c z th a mãn z i 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t L I GI I Câu (2,0 i m) 1: áp án a) (1,0 i m) V i m = hàm s có d ng y T p xác nh D o hàm y ' 3x 12 x x3 ng bi n kho ng Hàm s tc c Các gi i h n: lim x x i m u n: y ' x 12 6x 0,25 x ngh ch bi n (1; 3) t c c ti u t i x = 3; y = ; lim x3 9x y '' + 6x2 x x B ng bi n thiên: x y’ x 4x ;1 ; 3; i t i x = 1; y = 2; 9x x2 y' Hàm s x2 i m 0,25 9x 0,25 U 2;0 0 + + 0,25 + y th hàm s có d ng nh hình v : 0,25 Nh n xét: + th hàm s nh n i m U(2; 0) làm tâm i x ng + th hàm s c t tr c Oy t i i m (0; 2) b) (1,0 i m) Ph ng trình hoành giao i m c a hai th : m x3 mx 2 m x x 6mx m x x m x m x mx m 0,25 A(0; 2) m x2 Hai 6mx m g ( x) th c t t i ba i m phân bi t A, B, C ph Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t ng trình g(x) = có hai nghi m 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 Th y 9m g phân bi t khác Ta có i u ki n: m g (2) m Gi s Theo x1 nh lí Vi-ét ta có Ta có S x2 13 x1 x2 i u ki n Ph m ng trình g(x) = 0,25 2.BC 13 x1 x2 cm x cos x cos x i chi u v i i u kiên ta (1,0 i m) m 6m m x2 d O; d BC OBC ng Vi t Hùng (0985.074.831) B x1 ; , C x2 ; , v i x1; x2 hai nghi m c a ph x1 x2 x1 x BC 13 13 14 13 m 14 6m m m 36 13 0,25 14 ; m 14 giá tr c n tìm 13 m 0,25 n ng trình ã cho t ng ng v i 6sin x cos x cos x(sin x sin x ) 6sin x cos x cos x(4sin x cos x cos x 2sin x cos x) 0,25 sin x(4cos x cos 2 x 2cos x cos x 6) sin x (2cos 2 x(1 cos x) cos x(1 cos x) sin x(2cos x 3cos 2 x cos x 6) 0,25 sin x(cos x 1)(2 cos x 5cos x 6) sin x x K t h p v i iêu ki n ta i u ki n: x 4, y 12 Ta có (1) Xét hàm s (*) (2 x)3 k 0,25 c nghi m c a ph x(4 x 1) y y f (t ) t t ta có f (t ) 3t x ( y 1)3 T (2) ta có x 4x Xét hàm s g ( x ) 2y xy x x(4 x 4x2 7x (2 x)3 4x t i Moon.vn 4x ng bi n 2x 7x 0,25 x 2y g ( x ) 12 x x 2(2 x 1) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 2x x(2 y ) x 2x 2x y (*) nên f (t ) f ( y 1) x2 Z x ( y 1)3 0, t f (2 x) x 2 1) x 4x3 ng trình x = k ; k 2x 0, x nên g(x) 2x M t khác ta d th y g x y 2 V y, h ã cho có nghi m nh t x ; y e e e x x ln x x Ta có I e dx xe x dx ln x e x dx x 1 x2 (1,0 i m) x sin x cos x (1,0 i m) k x2 y 0,25 2x 2x ng bi n n a kho ng [0; 0,25 ) 0,25 e ex dx x t I1 I2 I3 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 Th y e xe x dx + Xét I1 xe x e 1 e x dx ee ( e 1) e x ln x dx e x ln x e ex dx ee x e 1 e T 0,25 e + Xét I ng Vi t Hùng (0985.074.831) e ó suy I ee ee ee e ex dx ee x I3 I2 ee I3 0,25 e ex dx x ex dx ee x 1 0,25 (1,0 i m) 0,25 G i O giao i m c a AC BD, theo ta có A ' O ( ABCD) G i I trung i m c a AD Ta có OI AD ADD ' A ' ABCD AD Do góc gi a ADD ' A ' ABCD A ' IO AD A ' OI a a 3a Suy ra, th tích kh i l ng tr VABCD A ' B ' C ' D ' A ' O.S ABCD a.a ( vtt) 2 Do AB A B c t t i trung i m c a m i ng nên A B i x ng qua ( A ' BD) Ta có OI AB a 600 Suy d B;( A ' BD ) BD Do 0,25 AH BD AH A'O ( A ' BD), hay AH d A;( A ' BD) Trong tam giác vuông ABD ta có (1,0 i m) 0,25 d A;( A ' BD ) Trong (ABCD) d ng AH AH a tan 600 A ' O OI tan A ' IO AH AB AD a V y kho ng cách t B n (A BD) b ng Ta có a b c2 2bc 2ca ab a b2 c2 a b t x ;y x, y c c Theo b t ng th c Cô-si ta có x Khi ó (a b c) ab a c Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i y b c xy ab c2 t i Moon.vn xy AB AD AH AB 2ab 2bc 2ca ab AD a (a b c)2 0,25 ab 0,25 y)2 (x a b c c (x t (*) y 1) xy 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 Áp d ng (*) ta Ta có P c2 (a b c ) y 1 xy c2 a x x y y b xy x y Áp d ng b t P y 1)2 c (x x Th y y) xy a c x xy x y xy y x y 2 a c b c x a b c c a b c c y xy x y 0,25 xy x (x y) b c y)2 (x y 1)2 (x ab a b ng th c c b n xy ( x y)2 (x xy ng Vi t Hùng (0985.074.831) 2 xy ( x y )2 xy 2 ( x y)2 ( x y ) 2 xy ( x y ) x y V y minP = x = y = t c a = b = c 22 y x xy x 2 y ta xy c y xy ( x y) 2 xy P 0,25 ng tròn (C) có tâm I(4; 0), bán kinh R=2 M thu c Oy nên gi s M(0; m) Ta có IM ( 4; m) ng th ng AB 7.a (1,0 i m) có m t véc t ch ph ng u AB ( m;4) ng th ng AB i qua E(4; 1) có véc t ch ph ng u AB (m;4) nên có ph A thu c Do ng th ng AB nên có t a 4) A (C ) ( xA IA IA.MA Ta có MA IA ( mt;1 4t ) MA (4 mt ;1 4t 8.a (1,0 i m) y A2 ng trình tham s mt y 4t d ng A mt;1 4t (mt ) (1 4t ) IA.MA ( mt ) 4, (*) 0,25 mt (1 4t ) m(1 4t ) 0,25 m) (mt ) (1 4t ) m Thay (*) vào ta tìm c m = V y i m M(0; 4) i m c n tìm Vi t l i ph ng trình ng th ng d ng tham s ta c x 2t1 x t2 d1 : y t1 , d : y t2 z 2t1 z 2t2 M t ph ng (P) có m t véc t pháp n nP (2;1;5) Gi s : A d d1 A(1 2t1; t1 ;2t1 ); B d d AB (t2 Theo bài, d 2t1 1; t2 t1 1; 2t2 ( P) AB Suy A( 1; 2; 2) Ph 9.a (1,0 i m) x knP ng trình 0,25 0,25 B (2 2t2 ; t2 ;1 2t ) 0,25 2t1 1) t2 2t1 t2 t1 1 2t2 ng th ng c n tìm d : 2t1 x y 2 iz z 2i 2z (2 iz)(1 2i) ( z 2i)(2 i) 2(2 i)(1 2i) z i 2i (1) (2 4i) (2 i) z (4 3i) z Gi s z = a + bi, v i a, b R Ta có Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i 0,25 t i Moon.vn t t1 t2 z 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i mônToán 2014 (1) Th y (2 4i) (2 i)( a bi) (4 3i)( a bi) ng Vi t Hùng (0985.074.831) (2 a b) (4 a 2b)i (4a 3b) (3a 4b)i 2 a b a 3b 7.b (1,0 i m) a z i a 2b 3a 4b a b b V y s ph c c n tìm z = + i (H) có tiêu i m F1 5;0 ; F2 5;0 Hình ch nh t c s c a (H) có m t 3) x2 y Gi s ph ng trình t c c a (E) có d ng: 1, a b a b2 (E) c ng có hai tiêu i m F1 5;0 ; F2 5;0 a b2 52 (1) Do M 4;3 a 16b E T (1) (2) ta có h ph V y ph 8.b (1,0 i m) 3a 2b a 2b a ng trình nh A( 4; 0,25 b a a 16b a 2b x2 40 ng trình t c c a (E) ( E ) : 0,25 0,25 (2) y2 15 40 b 15 0,25 x 2t Chuy n ph ng trình d v d ng tham s ta c: y t z G i I giao i m c a d (P) Do I P nP t 0,25 I 2t 3;t 1;t 2t 2(t 1) (t 3) ng th ng d có vect ch ph ng ud t I 1;0;4 (2;1;1) , m t ph ng (P) có vect pháp n 1; 2; ud , nP Khi ó 3;3;3 ng th ng 1;1;1 có ph u 1;1;1 Vì M M ng trình u; u;4 u AM ng n nh t AM 16 ; ; 3 V y M AM AM a4 b4 (a bi) Khi ó z i 2a b i a2 a2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 z2 i u 0,25 2 b2 4ab z t c ab 0,25 (a (2ab 1)2 a b 4ab b (1 u ) (u 3) u b2 a2 b2 a 2b2 z 2z a b Suy ra, z max 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t R Ta có z ng th c Cô-si ta có a Theo b t AM u 0,25 i m c n tìm Gi s z = a + bi, v i a, b Theo ta có z u u; u 3; u u Trong s ph c z th a mãn z M t khác z 0,25 x u : y u z 9.b (1,0 i m) 0,25 ab b ) (2ab 1)i (a b2 ) (2ab 1)2 4ab ab z ab z 2ab 0,25 2 z a b a b a b2 V y, có hai s ph c th a mãn yêu c u toán z = + i ho c z = –1 – i Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn 0,25 t 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! ... 2.BC 13 x1 x2 cm x cos x cos x i chi u v i i u kiên ta (1, 0 i m) m 6m m x2 d O; d BC OBC ng Vi t Hùng (0985.074.8 31) B x1 ; , C x2 ; , v i x1; x2 hai nghi m c a ph x1 x2 x1 x BC 13 13 14 13 m 14 ... 2t1 z 2t2 M t ph ng (P) có m t véc t pháp n nP (2 ;1; 5) Gi s : A d d1 A (1 2t1; t1 ;2t1 ); B d d AB (t2 Theo bài, d 2t1 1; t2 t1 1; 2t2 ( P) AB Suy A( 1; 2; 2) Ph 9.a (1, 0 i m) x knP ng trình 0,25... trình g(x) = có hai nghi m 0,25 c k t qu cao nh t k TS H 2 014 ! Luy n gi i môn Toán 2 014 Th y 9m g phân bi t khác Ta có i u ki n: m g (2) m Gi s Theo x1 nh lí Vi-ét ta có Ta có S x2 13 x1 x2 i u ki