Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) 2x Câu (2,0 i m) Cho hàm s y x a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s b) Tìm th (C) hai i m A, B Câu (1,0 i m) Gi i ph i x ng qua ng trình Câu (1,0 i m) Gi i b t ph ng th ng MN, bi t M sin x cos x 3(cos x ng trình x e Câu (1,0 i m) Tính tích phân I 2x2 3;0 , N 1; sin x) 2 x 10 2x x (1 ln x ) ln x dx ( x x ln x) Câu (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABC có áy tam giác vuông cân t i B, BA = a Tam giác SAC cân t i S n m m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M, N l n l t trung i m c a SA, BC; bi t góc gi a MN v i m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC kho ng cách gi a hai ng th ng AC, MN theo a Câu (1,0 i m) Cho a, b, c s th c d ng a b c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P ab bc ca PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch A Theo ch ng trình Chu n i m A(1; 0) G i M, N hai i m ph ng trình c nh MN i m M thu c P : y2 ng tròn (C ) : x y2 2x y x y z Tìm 2 ng th ng d cho m t c u (S) tâm M ti p xúc v i tr c Oz có bán kính b ng Câu 9.a (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn Câu 7.b (1,0 Oxy, cho ng tròn (C) cho tam giác AMN vuông cân t i A Vi t Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h to B Theo ch abc a b c c làm m t hai ph n (ph n A ho c B) Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a t a Oxyz, cho z 2i z ng th ng d : Tìm ph n th c c a s ph c w z2 z ng trình Nâng cao i m) Trong m t ph ng t a x Tìm (P) i m M mà t Oxy cho ók ng tròn C : x2 c hai ti p n t i y2 parabol ng tr n (C) hai ti p n t o v i m t góc b ng 60 Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h to hai i m A( 2;1;1), B( 3; 1; 2) Tìm t a Oxyz, cho i m M thu c ng th ng ng th ng x y z cho tam giác MAB có : di n tích b ng Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y Câu 9.b (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn ng Vi t Hùng (0985.074.831) Tìm s ph c z bi t z 5i t giá tri nh z z 2i nh t L I GI I Câu (2 ) 1: áp án i m a) (1,0 i m) T p xác inh D \ Gi i h n, ti m c n: lim y ; lim y x x lim y Suy ph ng trình ng ti m c n Suy ph x ng trình 0; x ; 1; x kho ng xác nh c a Hàm s c c tr B ng bi n thiên - nên hàm s ng bi n t ng 0,25 + -1 + y' 0,25 ng ti m c n ngang y = S bi n thiên: y ' x ng x 2; lim y x 0,25 + + y - th hàm s có d ng nh hình v Nh n xét: th có tâm i x ng i m I 1;2 y I 0,25 -4 O -1 x -4 b) (1,0 i m) Ph ng trình ng th ng MN : x y Xét hai i m A, B G i I th (C), ta có A a; a , B b; b , a, b a b 3 ;2 trung i m c a o n o n AB a b Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y AB Theo yêu c u c a toán ta có b a cos x t2 cos x 3sin x a b a b MN 0,25 ho c B 2;0 ; A 0; i m c n tìm +) v i t = thì: cos x +) v i t = thì: cos x cos x cos2 x 2 sin x 0,25 cos x sin x sin x sin x t t t 3t 2 3t cos x 2 x cos cos x ng trình có h nghi m: x i u ki n xác 3sin x 3 k2 ;x x x k2 ;x 0,25 k2 k2 0,25 k2 k2 , k 0,25 nh x Ta có x 2 x 10 2x x x 10 2x x 1 x 10 x x 2 x 10 x 2x x 2x 2x x 10 2x 2x x K t h p v i i u ki n ta có t p nghi m c a b t ph (1 ) e e I1 ( x ln x) dx x ln x) (x e I2 x2 (x e ( x ln x) dx x ln x )2 (x Ta có I x dx x ln x)2 x2 (x x dx x ln x )2 x 1 2x 2x x 10 0,25 0,25 ng trình S ;3 \ I1 I 0,25 0,25 e 1 dx e x x dx ( x ln x ) e 0,25 e d ( x ln x) ( x ln x ) 1 G i I trung i m AC, 0,25 e V y 0,25 x 3 2x 2 2 0,25 t2 Khi ó, (1) tr thành: t (1 ) I sin x sin x cos x V y ph AB.MN MN V y A 2;0 ; B 0; tt I a b b a 6 a b (1 ) MN ng Vi t Hùng (0985.074.831) 0,25 SAC cân t i S nên SI Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn ( ABC ) G i H trung i m AI suy t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y (1 ) MH // SI MH a2 600 Ta có S ABC ( ABC ) , ó (MN, (ABC)) = MNH Xét HCN có: a 3a NC ; HC ; NH 2 ng Vi t Hùng (0985.074.831) 5a a 10 ; NH 30 30 30 Trong MHN có MH NH tan 600 a ; SI 2MH a VS ABC SI S ABC a 12 Goi J trung i m AB, K hình chi u vuông góc c a H lên MJ t c HK MJ (1) Ta có JN BI , mà BI / / HJ JN HJ SI / / MH , mà SI JN JN , JN MHJ 1, HK MNJ d ( AC , MN ) d (H MH HJ = MH HJ HC NC 2 HC NC cos45 0,25 0,25 MH (3) HK AC , MN ) HK JN d ( H , (MJN )) a 30 a 4 = 30a 2a 16 16 HK S a 30 16 M A 0,25 K I H C J N B (1 ) Áp d ng B t ng th c: ( x y z) 3( xy yz zx) , x, y, z (ab bc ca )2 3abc(a b c) 9abc ab bc ca 3 Ta có: (1 a )(1 b)(1 c) (1 abc ) , a, b, c Th t v y: t abc 3(1 abc ) abc abc Do ó hàm s t2 ,t 3(1 t ) t 2 0;1 ng bi n 0;1 0,25 3 ( abc) abc (1 abc )3 (1) Q t ; a, b, c > nên abc Xét hàm s Q abc ( a b c) ( ab bc ca ) abc 3 abc a b c Khi ó: P ta có: a b c 2t t t Q (t ) Q Q t 0,25 t3 t2 0, t 0;1 0,25 (2) T (1) (2): P Q1 , t c và chi : a b c Ta có I(1;–2) suy IA (0;2) Tam giác AMN cân IA vuông góc MN G i (d) V y maxP = 7.a (1 ) th ng vuông góc v i IA, nên d nh n d ng: y m (1) Ph ng trình hoành IA 0;1 làm véc t pháp n, giao i m c a d (C) là: x 2x m 0,25 ng ng d có 4m (1) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 Luy n gi i môn Toán 2014 Th y (d) c t (C) t i M, N PT (1) có hai nghi m phân bi t x1 , x2 x1 Khi ó, theo Vi-et: x2 x1 x2 m V y Ph 8.a Vì M (1 ) x1 x2 x1 ng trình 0,25 4m G i M ( x1 ; m) ; N( x2 ; m ) AM AN AM m2 x2 x1 1; m ; AN 2m2 ng th ng MN : y 4m 1; y t; 2t; 2t Suy ra: OM ; k 5t 6t = M 2; 0; R = suy t 1 t 0,25 m (th a mãn (*)) m 0,25 2t ; t ;0 5t 6t OM ; k 0; 0;1 ; 0,25 5t 6t 0,25 5t 6t 0,25 5t 6t 0,25 M ; ; 5 z z z (1 2i ) z 4i (1) t z = a + bi ( a, b ) 2i (1) tr thành: a + bi + (1 – 2i)(a – bi) = – 4i a 2b 4i 2a 2a 2b w 7.b (1 ) z2 a 2 b z 0,25 0,25 i 0,25 0,25 z 3i V y ph n th c c a w b ng M 2 ; OM ng tròn (C) tâm O 0;0 , bán kính r Theo yêu c u toán ta có OM Ta d dàng gi i ct 1; t V y có b n i m M M Gi s M Ta có AB M t2 ;t P 0,25 0,25 0,25 1; , M 1; , M 2; , M 2; 0,25 M ( t ;1 3t ; 2t ) ( 1; 2;1) ; AM 0,25 (t ;3t ; 2t ) ; [ AB, AM ] (t 12; t 6; t ) 1 [ AB, AM ] (t 12)2 ( t 6)2 t 2 3t2 + 36t = t = hay t = –12 V y M (–2; 1; –5) hay M (–14; –35; 19) i m c n tìm z Ta có z z 2i , z 2i (1) z 2i t z = a + bi a , b Theo ta có S MAB 9.b (1 ) AMN vuông t i A G i R bán kính m t c u (S), ta có R = d(M; Oz) = 8.b (1 ) x2 1; m d nên M t; 2t; 2t Tr c Oz i qua i m O(0; 0; 0) có vtcp k OM 9.a (1 ) ng Vi t Hùng (0985.074.831) m 4m (1) tr thành: a b2 a2 (b 2)2 5i 2b b i 5b 10b 25 D u b ng x y b = V y GTNN c a z 5i b ng 20 t z Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i a 2b z 5(b 1)2 20 2b t 0,25 0,25 0,25 bi 0,25 20 c ch b = Khi ó z = t i Moon.vn 0,25 0,25 i c k t qu cao nh t k TS H 2014! 0,25 ... n gi i môn Toán 2014 Th y (1 ) MH // SI MH a2 60 0 Ta có S ABC ( ABC ) , ó (MN, (ABC)) = MNH Xét HCN có: a 3a NC ; HC ; NH 2 ng Vi t Hùng (0985.074.831) 5a a 10 ; NH 30 30 30 Trong MHN có MH... 4m 1; y t; 2t; 2t Suy ra: OM ; k 5t 6t = M 2; 0; R = suy t 1 t 0,25 m (th a mãn (*)) m 0,25 2t ; t ;0 5t 6t OM ; k 0; 0;1 ; 0,25 5t 6t 0,25 5t 6t 0,25 5t 6t 0,25 M ; ; 5 z z z (1 2i ) z 4i (1)... (t 12; t 6; t ) 1 [ AB, AM ] (t 12)2 ( t 6) 2 t 2 3t2 + 36t = t = hay t = –12 V y M (–2; 1; –5) hay M (–14; –35; 19) i m c n tìm z Ta có z z 2i , z 2i (1) z 2i t z = a + bi a , b Theo ta có S MAB