Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn LƯỢNG GIÁC Phần 1: Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt A Kiến thức cần nhớ Các đẳng thức a) sin x cos x d) tan x b) tan x cos x sin x cos x e) cot x c) cot x sin x cos x sin x f) tan x cot x Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối b) Hai cung bù 2 c) Hai cung khác cos( x) cos x sin( x) sin x sin( x 2 ) sin x sin( x) sin x tan( x) tan x cos( x) cos x tan( x) tan x cos( x 2 ) cos x tan( x 2 ) tan x cot( x) cot x cot( x) cot x cot( x 2 ) cot x d) Hai cung khác e) Hai cung phụ sin( x) sin x sin x cos x ; 2 cos( x) cos x tan( x) tan x cos x sin x 2 tan x cot x ; cot x tan x 2 2 cot( x) cot x B Bài tập Tìm giá trị để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ A 1 sin ; B 1 cos Xét dấu biểu thức sau: a) sin 123o sin 132o b) cot 304o cot 316o Rút gọn biểu thức sau: a) tan 540o cos1170o sin 990o cos 540o 25 13 19 tan cos c) sin 15o sin 35o sin 55o sin 75o d) cos 15o cos 35o cos 55o cos 75o 3 5 7 9 11 e) sin sin sin sin sin sin 12 12 12 12 12 12 3 5 7 9 11 f) cos cos cos cos cos cos 12 12 12 12 12 12 3 g) sin( a) cos a cot(2 a) tan a 2 2 h) A sin a cos a sin a cos a b) sin [Type text] Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a a sin cos 2 i) B a a a tan sin cos 2 2 o cos 696 tan(260 o ) tan 530 o cos 156 j) C tan 252 o cot 342 o 17 7 13 k) tan tan b cot cot 7 b 4 sin x sin x cos x cos x l) sin x cos x cos x sin x m) sin a(1 cot a) cos a(1 tan a) tan b n) tan b cot b cos a sin a o) cos a sin( x ) cos( x 2 ) sin(2 x) p) 3 sin x cot( x) cot x 2 2 3 q) sin x sin( x) cos x cos(2 x) 2 2 5 3 r) sin a tan a cos a tan( a) tan a 3 cot(5,5 a) tan(b 4 ) s) cot(a 6 ) tan(b 3,5 ) t) tan 50o tan190o tan 250o tan 260o tan 400o tan 700o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin( A B) sin C; cos(B C) -cosA c) tan( A C) tan B; cot(A B) -cotC b) sin AB C BC A cos ; cos sin 2 2 Tìm giá trị lớn hàm số: y d) tan AC B AB C cot ; cot tan 2 2 cos x sin x cos x Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng x : y Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin B sin C sin A Chứng minh A 60o b) 2(a cos A b cos B c cos C) a b c ABC c) Chứng minh: sin A sin B sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng A Kiến thức cần nhớ [Type text] cos x sin x cos x sin x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1) sin(a b) sin a cos b sin b cos a 2) cos(a b) cos a cos b sin a sin b 3) tan(a b) tan a tan b tan a tan b B Bài tập Chứng minh công thức sau: a) cos a sin a cos a sin a 4 4 b) cos a sin a cos a sin a 4 4 Rút gọn biểu thức: cos a cos a 4 a) sin a sin a 4 b) cos10o cos11o.cos 21o cos 69o.cos 79o c) (tan a tan b).cot(a b) tan a tan b Chứng minh tam giác ABC ta có: A B B C C A 2 2 2 A B C A B C c) cot A.cot B cot B.cot C cot C.cot A d) cot cot cot cot cot cot 2 2 2 tan b tan a a) Cho a b , chứng minh: tan a tan b tan a tan b b) tan tan tan tan tan tan a) tan A tanB tanC tanA.tanB.tanC b) Cho a b c) Cho , chứng minh: (1 tan a)(1 tan b) (1 cot a)(1 cot b) tan( x a) m Chứngminh: tan( x y) a b ab tan(a y ) n d) Cho tan a , tan b (0 a, b 1v) Tìm a + b e) Cho tan a ( a ) tan b (0 b ) Tìm a + b 2 2 f) Cho tan a , tan b (0 a, b 1v) Tìm a - b g) Cho tan a , tan b , tan b Chứng minh a + b + c = 45o 12 5 Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o 75o 12 12 Cho , , thoả mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn biểu thức: A tan tan tan tan tan tan Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân: [Type text] Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn cos A cos B (cot A cot B) 2 sin A sin B A c) a b tan (a tan A b tan B) a) b) sin B cos A sin C d) tan A tan B tan A tan B II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ sin 2a 2sin a cos a sin 3a 3sin a 4sin a cos 2a cos a sin a 2sin a 2cos a tan a tan 2a tan a 2 2 cos3a 4cos3 a 3cos a B Bài tập Rút gọn biểu thức sau: sin a .sin a 4 4 a) sin 3a cos a cos 3a sin a tan b) 1 tan c) cos 20o.cos 40o.cos 80o d) sin a cos a(cos a sin a) e) cos a sin a cos a sin a f) cos a sin cos a a 2 o o h) cos10 cos 20 cos 40o j) sin 4a sin 2a g) 1 8sin a cos a i) sin a cos 3a cos a sin 3a 2 l) cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o 5 m) tan a tan 2a tan 4a tan8a 16 tan16a 32 tan 32a sin a sin 3a cos a cos 3a n) o) sin a sin 3a cos a cos 3a k) cos cos Chứng minh: a) sin a sin a sin a sin 3a Áp dụng với a 3 3 b) 8sin 18 8sin 18 c) tan tan tan cot 16 32 32 o d) tan 36 tan 72 5 7 e) cos a cos a cos a cos 3a Tính: cos cos cos 18 18 18 3 3 3 tan a tan a f) tan 3a tan a o [Type text] Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn g) tan a tan a tan a tan 3a Chứng minh: tan 6o tan 54o tan 66o 3 3 1 10 ab (a, b 0) Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 ab 2a b) Cho cos Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 1 a2 c) Cho sin cos Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 a) Cho sin Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau: a) y sin x sin x 4 b) y cos x sin x 4 c) y 1 8sin x cos x a III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t tan A Lý thuyết cần nhớ cos 2a cos a cos 2a sin a sin a 2t 1 t cos a 1 t2 1 t2 tan a 2t 1 t B Bài tập Chứng minh biểu thức sau: a) sin a sin 2a a tan 2 sin a sin 2a c) (sin a sin b) (cos a cos b) cos e) sin a a cot sin a 2 ab g) sin a(sin a sin b) cos a(cos a cos b) cos h) (sin a sin b) (cos a cos b) sin a a sin sin i) (0 a ) sin a sin a sin 2a cos 2a tan a sin 2a cos 2a 4 a a d) tan cot cot a 2 b) a b f) tan o30' 1 a b 2 Rút gọn biểu thức sau: 1 1 cos (0 ) 2 2 a cot c) a cot a) [Type text] 1 1 cos (0 ) 2 2 a a cot tan 2 d) a a cot tan 4 b) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a a tan e) a a tan tan 2 cos cos 2 g) sin 2 sin tan a a tan 2 sin 2 cos h) cos 2 cos tan Tìm giá trị biểu thức a) f) sin a a biết tan cos a b) tan a sin a a Biết tan tan a sin a 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y cos x sin x b) y sin x cos x c) y sin x (sin x cos x) 4 IV Công thức biến đổi tổng tích A Lý thuyết cần nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng sin(a b) sin(a b) cos a cos b cos(a b) cos(a b) sin a sin b cos(a b) cos(a b) sin a cos b Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 ab a b sin a sin b cos sin 2 ab a b cos a cos b cos cos 2 ab a b cos a cos b 2 sin sin 2 sin a sin b sin sin( a b) cos a cos b sin( a b) tan a tan b cos a cos b sin( a b) cot a cot b sin a sin b sin( a b) cot a cot b sin a sin b tan a tan b B Bài tập Rút gọn biếu thức a) cos a cos(a b) cos(a 2b) cos(a nb) (n N) cos a cos 3a cos 5a cos 7a sin a sin 3a sin 5a sin 7a cos 2a cos 2a 6 6 d) cos a cos a b) f) cos 2a cos a cos 4a cos 2a [Type text] cos a cos 2a cos 3a sin a sin 2a sin 3a cos a cos a 3 3 e) a cot a cot c) g) cos cos cos cos Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn h) sin1o sin 91o sin 203o (sin112o sin158o ) i) cos 35o cos125o sin185o (sin130o sin140o ) j) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o Chứng minh: k) tan 20o tan 40o tan 60o tan 80o 16 sin a sin 3a sin 5a sin(2n 1)a b) tan na cos a cos 3a cos 5a cos(2n 1)a na (n 1)a sin sin 2 c) sin a sin 2a sin 3a sin na a sin na (n 1)a sin cos 2 d) cos a cos 2a cos 3a cos na a sin a) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o Chứng minh tam giác ABC ta có: A B a) sin A sin B sin C cos cos cos C A B C 2 2 2 c) sin A sin B sin C 2(1 cos A cos B cos C) d) cos A cos B cos C cos Acos B cos C A B C e) sin A sin B sin C sin sin cos 2 A B C f) cos A cos B cos C cos cos sin 2 g) sin A sin 2B sin 2C sin Asin B sin C h) cos A cos 2B cos 2C 1 cos Acos B cos C i) sin A sin B sin C sin Asin B cos C x y Chứng minh bất đẳng thức: sin (sin x sin y ) với x, y 2 b) cos A cos B cos C sin sin sin Tính giá trị biểu thức sau: 3 5 7 sin sin 16 16 16 16 o o o b) tan 67 5' cot 67 5' cot 5' tan o5' c) cos 5o cos 55o cos 65o 3 5 7 9 d) cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 a) sin sin Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 3 x a) sin x sin 2 x cos với x 4 [Type text] 2 b) cos x cos 2x cos x cos 2x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2 2 x sin x 3 3 sin B sin C Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A cos A cos B Chứng minh góc ABC thoả mãn: cos A cos B cos C tam giác bc Chứng minh cạnh góc ABC thoả mãn hệ thức: cos A cos B tam a c) cos x cos x cos x d) sin x sin giác tam giác vuông A 10 Cho tam giác ABC tan tan [Type text] B Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) ... 4 Rút gọn biểu thức: cos a cos a 4 a) sin a sin a 4 b) cos10o cos11o.cos 21o cos 69o.cos 79o c) (tan a tan b).cot(a b) tan a tan b Chứng minh tam... d) sin a cos a(cos a sin a) e) cos a sin a cos a sin a f) cos a sin cos a a 2 o o h) cos10 cos 20 cos 40o j) sin 4a sin 2a g) 1 8sin a cos a i) sin a cos 3a cos a sin 3a 2 l) cos... g) tan a tan a tan a tan 3a Chứng minh: tan 6o tan 54o tan 66o 3 3 1 10 ab (a, b 0) Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 ab 2a b) Cho cos Tìm sin 2 , cos 2 , tan