Chuyên đề Lượng giác lớp 10

Tính giá trị các biểu thức sau: sin cos sin cos A + = − 3sin 12sin cos os sin sin cos 2 cos B = sin cos sin os C a c a = − Hướng dẫn: Để tính giá trị các biểu thức này ta phải biến đổi c

Trong quá trình biên soạn có thể vẫn còn nhiều sai xót, mong mọi người đóng góp ý kiến :

hqnhi37@gmail.com

GV: Ha Quang Nhi

Van de 1: CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN

2

kπ k

2

2

1

c

π

α

2

1

α

sin

tan

os

c

α

sin

c α α

α

=

Bài tập 1: Cho

2

π α π< < Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

a) sin 3

2π α

π α

2

π α

định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định

hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục

đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: /=+; /+=

-Giải

a)

2

2π α

Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:

a) sin 3

5

α = với

2

π α π< <

b) os 4 ,0

c α = < <α π

5 2

π

2

π

α = − < <α π

e) sin 2,0

π

α = − < <α

f) cosα =0,8 với 3 2

2π α π< <

g) tan 13,0

π

α = < <α

h) cot 19,

7 2

π

α = − < <α π

c α = − π α< < π

j) sin 2,

3 2

π

α = < <α π

k) tan 7, 0

π

α = < <α

19 2

π

Hướng dẫn:

+ Nếu biết trước sinα thì dùng công thức: sin2α +cos2α =1 để tìm cosα, lưu ý:xác định dấu

os

c

α α

α

sin

c α α

α

tan

α

α

=

+ Nếu biết trước tanα thì dùng công thức: 2

2

1

1 tan

os

c

α

α

tan

α

α

=

Giải

a) Do

2

π α π< < nên cosα <0, tanα <0,cotα <0

( )

4 os

4 25

os

5

α

α





tan

c

α

α

α

3

α = −

2π α π< < nên sinα <0, osc α >0,cotα <0

( )

2

5 os

5

os

41

c c

α







4 sin os tan

41

c

α

α

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: (Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7

hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành

vế kia)

sin α+cosα =1

2

kπ k

2

2

1

c

π

α

2

2

1

α

sin

tan

os

c

α

α =

os cot

sin

c α α

α

=

2

a b± =a ± ab b+

a b± = ±a a b+ ab ±b

a − =b a b a− +ab b+

2 2

a) sin3 os3 1 sin cos

sin cos

a c a

+ Biến đổi: sin3a c+ os3a=(sina+cosa sin a) ( 2 −sin cosa a c+ os2a) b)

1 2sin cos t ana 1

+ + Biến đổi: sin2a c− os2a=(sina+cosa) (sina−cosa), chia tử và mẫu cho cos a

sin a c+ os a−sin a c− os a=sin acos a Biến đổi:

sin a c+ os a= sin a+cos a sin a−sin acos a c+ os a

d) t ana tan tan a tan

cot cot

b

b

cot cot

t anb t ana

e) 2(sin a c6 + os6a)+ =1 3(sin a c4 + os4a)

2

f) 3 sin( 4 x c+ os4x) (−2 sin6x c+ os6x)=1

Sử dụng 2 2 ( )2

2

a +b = +a b − ab và a3+b3

tan a−sin a=tan sina a

2

2

sin

sin sin 1 tan 1 os

a

c a

+

+

2

Sử dụng 2 2

a −b

j)

2 2

2

1 sin

1 2 tan

1 sin

a a

a

+

− ( nếu sina≠ ±1)

+

k)

1 2sin cos 1 cot

sin cos

sin cos sin cos

sin

a

−

+

l) cot2a c− os2a=cot2acos2a

2

2

cos 1 sin os

os

c a

−

m) tan2a−sin2a=tan a sin2 2a

n) t ana sin cos

sin cot

a

a

a− a=

o)

2

2 2

1 sin

1 2 tan

1 sin

a

a a

−

os sin

sin os cot tan

a c a

−

Bài tập 4: Đơn giản các biểu thức sau:

1 sin cot 1 cot

2

2

os

sin

c a

a

b) 2cos2 1

sin cos

a B

−

=

+

os sin

cos sin sin cos

−

+

c) C= +(1 cota)sin3a+ +(1 t ana os)c 3a

d) sin22 tan22

os cot

D

−

=

−

2

2 4

6

sin

c a

a

−

cot sin cos

E

=

−

2 2

sin 2sin cos os 1 2sin cos sin

2 tan

sin

a

2

1 sin cos

sin sin

a

−

g)

2

2cos 1

sin cos

a G

−

=

+

cos sin

h) H =sin2a(1 cot+ a)+cos2a(1 t ana+ )

sin a 2sin cosa a cos a sina cosa

os os cot

cot a

sin sin tan

tan a

k)

2

2cos 1

sin cos

a K

−

=

Bài tập 5: Cho t ana 3

5

= Tính giá trị các biểu thức sau:

sin cos

sin cos

A

+

=

−

3sin 12sin cos os sin sin cos 2 cos

B

=

sin cos sin os

C

a c a

=

−

Hướng dẫn: Để tính giá trị các biểu thức này ta phải biến đổi chúng về một biểu thức theo tana rồi thay giá trị của tana vào biểu thức đã biến đổi.

a) Vì t ana 3

5

= ⇒cosa≠0 Chia tử và mẫu của biểu thức A cho cosa ta được:

t ana 1

4

t ana 1

A= + = −

−

b) Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho 2

os

c a ta được:

2

2

3tan 12 tan 1 116

B

a

c) Chia cả tử và mẫu của biểu thức C cho cos2a ta được:

2

t ana 15

C

a

−

Bài tập 6: Cho sin 3

4

2

π α π< < Tính:

a) 2 tan 3cot

os tan

A

c

−

=

cos cot tan cot

+

=

−

Do

2

π α π< < ⇒cosα <0

4

3 7

;

A= − B= −

Bài tập 7: Cho t anα −3cotα =6 và 3

2

π

π α< < Tính:

os cot

c

− +

2

π

π α< < nên cosα <0,sinα <0, tanα >0

t anα−3cotα =6 3 2

tan

α

Vì tanα >0 nên tanα = +3 2 3

4 2 3 sin os

22 12 3

c

+

21 12 3

c

Bài tập 8: Cho t ana cot a m+ = , hãy tính theo m

tan cot

tan cot

tan c ota 2 tan cot 2

Bài tập 9: Cho cota=2, hãy tính sin33 2cos33

os 3sin

A

+

=

+

Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức chỉ có cota

3 3

3 3

3

sin 2cos

1 2cot 17 sin

sin

a a

A

a

+

+

Bài tập 10: Cho 2 cos 3sin 1

4sin cos 2 2

a

−   Tính sin , cos , t ana,cota a a

4cos 6sin 4sin cos t ana

−

cot

t ana 5

2

2

a

π < <π

thì cosa<0) 5

sin cos t ana

29

Bài tập 11: Cho sin 3

5

a= Tính cot 2 tan

t ana 3cot

A

a

−

=

+

Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức A theo sin a2

cos 2sin

1 sin 2sin

sin cos

cos sin

A

+

Bài tập 12: a) Tính sin 3cos

cos 2sin

A

−

=

+ biết t ana= −3

b) Tính

2cos sin cos sin

B

=

+ − biết cota=2

Hướng dẫn: a) Chia cả tử và mẫu cho cosa b) Chia cả tử và mẫu cho sin a2

;

A= B= −

Van de 2: ĐƠN GIẢN- TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai π”

sin α+k2π =sinα cos(α +k2π)=cosα

tan α +kπ =tanα cot(α+kπ) =cotα

Bài tập 1: Đơn giản các biểu thức:

A= α+ π −α+c α−π + α π−

B= 2 sin α

Hướng dẫn: sin3 os 3 os

c) sin os( ) tan 5 tan

C= x−π +c π − +x  π −x+ x−π 

5

2

π

D= π + +x c  π +x+ π− −x x− π

c  π +x=c π + +x x= −

E= π+ −a c π −a+ π− +a  π −a

Bài tập 2: Tính:

sin 10 sin 20 sin 30 sin 80

(sin 102 0 sin 802 0) (sin 202 0 sin 702 0) (sin 302 0 sin 602 0) (sin 402 0 sin 502 0)

(sin 102 0 cos 102 0) (sin 202 0 cos 202 0) (sin 302 0 cos 302 0) (sin 402 0 cos 402 0) 4

os10 os20 os30 os180

( os100 os1700) ( os200 os1600) ( os900 os1800)

(cos100 cos100) (cos200 cos200) (0 ( )1 ) 1

c) sin25 os9 tan4 cot19

C= π + π+c π + π+ π +π− π + π= π +c π + π − π =

d) D=tan10 tan 20 tan 70 , tan 800 0 0 0

( an10 tan 800 0) (tan 20 tan 700 0) ( an 30 tan 600 0) (tan 40 tan 500 0)

e) E c= os200+cos400+cos600+ + cos1800

os20 os160 os40 os140 os180 1

os160 os 180 20 os20

os20 os160 0

Van de 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức cộng:

cos( ) cos cos sin sin (1)

cos( ) cos cos sin sin (2)

sin(a b− =) sin cosa b−cos sin (3)a b

sin(a b+ =) sin cosa b+cos sin (4)a b

tga tgb

tgatgb

−

+

tga tgb

tgatgb

+

−

Bài tập 1: Tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo:

a) 0

12

π

c) 7 12

π

d) 11 12

π

Hướng dẫn: Phân tích thành tổng hoặc hiệu của hai cung đặc biệt

Phân tích 150 =600−450 hoặc 450−300 rồi sử dụng các công thức cộng

Phân tích 5

12 4 6

rồi sử dụng các công thức cộng 7

12 3 4

; 11

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a+ a= a+π = c a−π 

b) sin cos 2 sin

4

a− a= a−π 

c) cos sin 2 cos

4

a− a= a+π 

d) sin 3 cos 2sin

3

a+ a= a+π 

e) sin 3 cos 2sin

3

a− a= a−π 

Hướng dẫn biến đổi VP thành vế trái

f) tan 1 t ana

4 a 1 t ana

g) sin(a b+ ) (sin a b− =) sin2a−sin2b c= os2b c− os2a

1 cos a 1 cos b cos b cos a

= + − Sử dụng công thức cộng sau đó chia hai vế cho sinasinb

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức:

a)

A

=

Sử dụng công thức cộng A= 3 t ana

b) B c= os54 os40c 0−cos36 os860c 0 Sử dụng cung phụ nhau và ct cộng B c= os580 c) tan 640 0tan17600

1 tan 64 tan 356

D

+ +

=

− − D= −cotb

Bài tập 4: Cho 3( 0 0)

5

100

sin a b c+ ; os a b− ; tan a b+

Hướng dẫn: tính sin , cosa b Sau đó sử dụng công thức cộng

Bài tập 5: Tính tan x y( + ); tan x y( − ) biết t anx 1,sin 3

2

y π

< <

1

sin

y

y

= − sau đó tính tany

Bài tập 6:

a) Tính tan

3

a π

  biết

3 sin

5

a= và

2 a

π < <π

Tính cosa, tana sau đó áp dụng công thức cộng tan 48 25 3

b) Tính os

3

c a+π

  biết

3 sin

3

a= và 0

2

a π

< < (sgk)

c) Tính tan

4

a π

  biết

1 cos

3

a= − và

2 a

π < <π

Công thức nhân

sin 2a=2sin cosa a (1)

cos 2a=cos a−sin a =2cos2a− = −1 1 2sin2a (2)

2

2

tga

tg a

−

cos2a = 1 cos2a+ 2 ; sin2a = 1 cos2a− 2 ; tan2a = 1 cos2a1 cos2a−

+ (Công thức hạ bậc)

Bài tập 1: Biết sin 1

3

a= và

2 a

π < <π

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2 ;

2

α α

a) Do

2 a

π < <π

nên cos 0 cos 2 2

3

4 2 sin 2 2sin cos

9

a= a a= −

os2 os sin

9

c a c= a− a=

tan 2 ;cot

b)

2 a

2 1 cos 1 cos 3 2 2

os

t an 3 2 2;cot 3 2 2

Bài tập 2: Tính cos2 ,sin 2 , tan 2a a a biết:

a= − π < <a π

; cos 5 ,

13 2

a= − π < <a π

; cos 4, 0

a= − < <π a

a= − π < <a π

c) sin cos 1

2

a+ a= và 3

π < <π

Hướng dẫn:

a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi

12

sin

13

a= − ; sin 2 120

169

os2 os sin

169

c a c= a− a= − hoặc cos2a=2cos2a−1; tan 2 120

169

a= −

3

π < <π 3

os2 1 sin 2

4

3

tan 2

7

a= −

Bài tập 3: Cho sin 2 5

9

a= − và

2 a

π < <π

Tính sina, cosa + Vì

2 a

π < <π

nên sina>0,cosa<0 +

2 a

π < <π

2a 2

os2 1 sin 2

9

TH1: os2 2 14

9

c a=

cos

sin

TH2: os2 2 14

9

c a= −

cos

Bài tập 4: Chứng minh các đẳng thức sau:

( )2 ( )2 ( )

2

( ) 2

c

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

8 8

a c+ a= + c a

Hướng dẫn: x3+y3 = +(x y x) ( 2− +xy y2) sau đó áp dụng 2 2 ( )2

2

x +y = +x y − xy

sin cos cos sin sin 4

4

sin cosa a−cos sina a=sin cosa a cos a−sin a =sin cosa a cos a−sin a cos a+sin a =

os sin os2 sin 4 sin 2

4

Sử dụng a2− = −b2 (a b a b) ( + ) sau đó sử dụng 2 2 ( )2

2

a +b = a b+ − ab

e) os2 cos sin

1 sin 2 cos sin

−

=

2

1 2sin cos sin cos

VT

f) cot t anx 2

sin 2

x

x

Hướng dẫn: cos sinx os2 sin2

sinx cos sin x cos

+

g) cotx−t anx 2cot 2= x phân tích như trên

h) sin 2 t anx

1 os2

x

c x =

2sin cos

os

VT

c x

tan

1 os2

x

2 2

2sin

2cos

x VT

x

os a sin sin cos sin 4

4

Hướng dẫn: Tương tự như câu c

k) sin3 os3 1 sin 2

3 3

a −b

l) cos sin cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

a

Hướng dẫn: Quy đồng mẫu

m) sin 2 2sin 2

tan

+

Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng 1 cos 2sin2

2

a a

n) 1 sin 2

cot

a

π

2

a

a

0) sin 2 sin t ana

1 os2 cos

Hướng dẫn: 2sin cos2

2cos cos

VT

+

p)

2

4sin

1 os 16cos

a

c

Hướng dẫn:

2

4.4sin os

sin 2

c

a

tan 4 tan 2

a

−

2 2 2

tan 2

1 tan 2

VT

a a

−

+

−

−

r) 3 4cos 2 os4 4

tan

3 4cos 2 os4

a

HD: cos4a=2cos 22 a−1 sau đó sử dụng cos2a− = −1 2sin2a

s) sin sin 3 sin 5 tan 3

a

(sin 5os5 sinosa +cos3) sin 3

VT

+

a

−

Sử dụng công thức hạ bậc 2

1 cos 2cos

2

a a

Bài tập 5: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a

a) A=2 sin( 6a c+ os6a) (−3 sin4a c+ os4a)

Sử dụng 3 3

a +b A= −1

b) B=4 sin( 4a c+ os4a)−cos4a

Sử dụng 2 2 ( )2

2

a +b = +a b − ab và cos2a= −1 2sin2a B=3

4cos 2cos 2 os4

2

os2a=2cos 1

2

C=

ON TAP CHUONG 6

Chứng minh đẳng thức lượng giác

1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) 1 cos os2 cot

sin 2 sinx

x x

−

2sin cos sinx

x c VT

−

−

b)

sin sin

2

1 cos os

2

a

a

a c

+

=

HD:

2

2sin os sin

c VT

c

+

c) 2 cos 2 sin 4 tan2

2 cos 2 sin 4 4

a

π

2 2

2cos 2 1 sin 2 cos sin 1 t ana

tan

π

t ana tan

cos cos

a b b

a sb

−

Hướng dẫn: sin sin

cos cos

VT

e) 1 2sin2 1 t ana

1 sin 2 1 t ana

a

a

2

cos sin

sin cos

VT

−

+

f) 1 sin 4 os4 tan 2

1 os4 sin 4

a

2 2

1 2sin 2 cos 2 1 2sin 2

1 2cos 2 1 2sin 2 cos 2

VT

a

−

2

2

2cos

2 tan os

2 2sin

2

a

a

a

h) sin 2 sin t ana

1 os2 cos

2

sin 2cos 1

2cos cos

VT

+

+

sin a c− os a= −1 2 cos a

sin a c+ os a= −1 3sin acos a

k) tan2a−sin2a=sin a tan2 2a

l) cot2a c− os2a c= os cot2a 2a

m) sin 1 cos

1 cos sin

−

=

+

n) cos 1 sin

1 sin cos

−

=

+

+

+

p) sin cos 1 cos

sin cos 1 1 sin

Rút gọn biểu thức lượng giác

Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức:

os os cot

sin a+sin tana a

tana+cota − t ana cot− a

d) (1 sin− 2a)cot2a+ −1 cot2a

e)

2

2 cos 1

sin cos

a

−

+

f) t ana cos

1 sin

a a

+

+

cos tan

cos cot sin

a −

h) sin( ) sin sin( )

2

a b+ + π −a −b

c π +a c π −a+ a

Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào a

Bài tập: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b (Độc lập đối với a,b)

A= π +a−c π −a

b) 1 os2 sin 2 cot

1 os2 sin 2

=

c) C=sin 6 cot 3a a c− os6a

2sin 3 cos3 os3a/sin3a 2cos 3 1 1

d) D=(tana−tanb) (cot a b− −) tan a tanb

(tan tan ) 1 tan a tan 1

tan tan

b

−

e)

2 2

2 4sin

2cos 1

a E

a

−

=

−

f) F c= os4a+sin2acos2a+sin2a

g) G=sin4a+sin2acos2a c+ os2a

h) os2 os2 os2

H =c a c+ π +x c π −x

i) sin2 sin2 2 sin2 2

I = a+  π +x+  π −x

Tính giá trị của các biểu thức

Bài tập: Tính các giá trị của biểu thức:

a) cot t ana

cot t ana

a

A

a

+

=

− biết

3 sin

5

a= và 0

2

a π

< <

b) cot t ana

cot t ana

a

B

a

−

=

+ biết

3 cos

5

a= và 3 2

π < < π

c) cos sin

cos sin

C

+

=

− biết t ana 5=

d) 2sin cos

cos 3sin

D

+

=

− biết cota= −3

e)

sin 3sin cos 2cos

2sin sin cos os

F

=

BÀI TẬP

Bài tập 1: Tính: a) os

8

c π

b) sin 8

π

c) tan

8

π

4 os

c c

π

c)

sin

8

8 os

8

c

π π

π

Cách 2:

8

π



 



Bài tập 2: Tính các biểu thức:

a) os os3 os5

A c= π c π c π

b) B=sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0

c) os os2 os4 os8

d) sin 2sin3 sin5

Hướng dẫn:

Nếu A=cos cos 2 cos 4 cos8 x x x x nhân hai vế cho sinx rồi liên tiếp áp dụng ct:sin x cos 1sin 2

2

Nếu A=s inx os2 os4xcos8x c x c nhân hai vế cho cosx rồi liên tiếp áp dụng ct: sin x cos 1sin 2

2

a) Vì os3 os4 ; os5 os2

c π = −c π c π = −c π

A c= π c π c π

1

8

A= −

b) Vì sin 780 =cos12 ;sin 660 0 =cos24 ;sin 420 0 =cos480

sin 6 os12 os24 os48

os6 os6 sin 6 os12 os24 os48 sin 96 sin 90 6 os 6 os6

c) sin sin os os2 os4 os8 1 sin16

d)

2