chuyên đề lương giác ôn tâp thi thpt quốc gia

LƯƠNG GIÁC : CHUYÊN ĐỀ LƯƠNG GIÁC II/ PHẦN 2: BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sin x + = 6sin x + cos x Giải sin x + = 6sin x + cos x ⇔ (sin x − 6sin x) + (1 − cos x) = ⇔ 2sin x ( cos x − ) + 2sin x = ⇔ 2sin x ( cos x − + sin x ) = sin x = ⇔ sin x + cos x = 3(Vn) ⇔ x = kπ Vậy nghiệm PT x = kπ , k ∈ Z Bài Giải phương trình: cos x + sin x − = : Giải cos x + sin x − = ⇔ 2(1 − sin x) + sin x − = ⇔ sin x − sin x + = π    x = + k 2π sin x = (lo¹i ) ⇔ ⇔ (k ∈ Z)  x = 5π + k 2π sin x =     Bài Giải phương trình sau: cos x − cos2 x + s inx = : Gii + Phơng trình tơng đơng với phơng trình ( sin x + cos x ) ( − cos x + sin x ) = + sin x + cos x = ⇔ x = − π + kπ , k ∈ Z sin x + cos x = ⇔ sin x − cos x + =  x = k 2π π  ⇔ ( k∈Z) + sin x − cos x + = ⇔ sin  x − ÷ = −  x = 3π + k 2π 4   Bài 4: Giải phương trình: sin x + cos3 x − 2sin x = Giải a sin x + 3cos3x − 2sin x = ⇔ π  sin x + cos3x = sin x ⇔ sin  x + ÷ = sin x 3 2  Suy phương trình có nghiệm: x = − Bài 5: Giải phương trình: π π π + kπ ; x = + k (với k ∈ ¢ ) 6 sin x − 2(s inx+cosx)=5 Giải Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ ) ⇒ sin2x = t2 - ⇔ t − 2t − = ⇔ t = − (t/m) π +Giải phương trình sinx + cosx = − … ⇔ cos( x − ) = −1 + Lấy nghiệm Kết luận : x = 5π + k 2π ( k ∈ Z ) dạng khác Bài 6: Giải phương trình: Giải − cos x 7π  + sin x = sin  x + tan x   ÷  − cos x 7π   + sin x = sin  x + ÷ (1) tan x   kπ sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ ( k ∈¢) Đk: cos x ≠ { (1) ⇔ ( − cos x ) cos x + sin x = sin x ( sin x − cos x ) cos x = π ⇔ cos x ( cos x + sin x − 1) = ⇔   sin  x + ÷ = 4   π kπ +) cos x = ⇔ x = + ( k ∈¢)  x = k 2π ( l ) π π kπ  ⇔ +) sin  x + ÷ = Vậy (1) có nghiệm x = + π ( k ∈¢)  x = + k 2π ( l ) 4 2   Bài 7: Giải phương trình sau: sin x − cos x = 4sin x − Giải sin x − cos x = 4sin x − ⇔ sin x cos x + − cos x − 4sin x = ⇔ sin x cos x + 2sin x − 4sin x = ⇔ 2sin x ( ) cos x + sin x − = sin x =  x = kπ sin x =  ⇔ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢ sin  x + π  =  x = π + k 2π cos x + sin x =  ÷   3    Bài 8: Giải phương trình cos x cos x + cos x = sin x sin x Giải Bài 9: Giải phương trình: cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = Giải PT cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ⇔ ( sin x − cos x ) (cos x − sin x + 1) =  π  π   sin  x −  =  x = + kπ sin x − cos x =   ⇔ ⇔ ⇔  π  cos x − sin x + =  x = π + k 2π , x = π + k 2π  sin  x −  =   Vậy phơng trình đà cho cã nghiÖm: x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π ( k ∈ Z) Bài 10 Giải phương trình cos x = − sin x + sin x : Giải Điều kiện: sin x ≠ −1 (*) cos x = PT tương đương với cos x = cos x ⇔  cos x = sin x =  Hay sin x = −1 (l ) cos x =  Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài 11: Giải phương trình π + k 2π ; x = k 2π , (k ∈ ¢ ) 4sinx + cosx = + sin2x Giải a) 4sinx + cosx = + sin2x (1) ⇔ 4sinx + cosx = + sinx.cosx ⇔ 2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = ⇔ (2 – Cosx) ( 2Sinx -1) = π  2 − Cosx = (VN )  x = + k 2π  ⇔ ⇔ (k ∈ z )  x = 5π + k 2π  Sinx =    Kết luận Bài 12 Giải phương trình cos x cos x + cos x = sin x sin x : Giải Bài 13: Giải phương trình cot x = − tan x + tan x π  sin x ≠ x ≠ k   ĐK: cos x ≠ ⇔   tan x ≠ −1  x ≠ − π + kπ    π  π  − x ÷ = tan  − x ÷ 2  4  Với ĐK pt ⇔ tan  ⇔ π π − x = − x + kπ Kết hợp ĐK, ta có nghiệm: x = π + kπ , k ∈ ¢ Bài 14: ) Giải phương trình : sin x − cos x + sin x = (x ∈ R) Giải sin x − cos x + sin x = (1) (1) ⇔ (sin x − cos x)(1 + sin x − cos x) = π  x = + kπ sin x − cos x = ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) 1 + sin x − cos x =  x = 2k π ∨ x = 3π + 2k π   π π  2 Bài 15: 10.cos  x + ÷+ 7.cos  x + ÷− = 3 3   Giải π  b) Đặt t = cos  x + ÷ , điều kiện : −1 ≤ t ≤ Ta có : 10t + 7t − = ⇔ 3  π  Với t = ta có cos  x + ÷ 3   π π  x = k 2π  x + = + k 2π π = = cos ⇔  ⇔ ( k∈Z)  x = − 2π + k 2π π π  x + = − + k 2π   3   t = 1/ 2( nhan)  t = − / 5(loai )  Bài 16: 2cos 2 x + 3cos x + cos x + 3cos x = Giải Khi , phương trình tương đương với : ⇔ cos2 x ( cos x + 3cos x + ) =  π  x = + kπ π  x = + k 2π   cos2 x = ⇔ ⇔ ⇔  cos x = − ⇔  cos2 x + 3cos x + =  2cos x + 3cos x + =     cos x = −  π 2π + k 2π Vậy nghiệm phương trình là: x = + kπ ; x = ± Bài 17:  π  x = + kπ  (k ∈ ¢ )  x = kπ  2π  x = ± + k 2π  π  sin  x + ÷ = 3sin x + cos x + 4  Giải PT (1) ⇔ sin x + cos x = 3sin x + cos x + ⇔ 2sin x cos x − 3sin x + cos x − cos x − = ⇔ ( cos x − 3) sin x + ( cos x + 1) ( cos x − 3) = ⇔ ( sin x + cos x + 1) ( cos x − 3) =   cos x = (VN ) ⇔  sin x + cos x = −1 π  π   x = − + k 2π (k  ) sin x + ữ = − ⇔  4   x = π + k 2π π Phương trình có nghiệm: x = − + k 2π , x = π + k 2π (k  ¢ ) Bài 18: Giải phương trình: cot x = − tan x + tan x Giải π  sin x ≠ x≠ k    ĐK: cos x ≠ ⇔   tan x ≠ −1  x ≠ − π + kπ    π  π  Với ĐK pt ⇔ tan  − x ÷ = tan  − x ÷ 2  4  ⇔ π π − x = − x + kπ Kết hợp ĐK, ta có nghiệm: x = π + kπ , k ∈ ¢ Bài 19: Giải phương trình: (sinx + cosx)2 = + cosx Giải Ta có: (sinx + cosx)2 = + cosx ⇔ + 2sinxcosx = + cosx ⇔ cosx(2sinx-1 = )  π x = + kπ  cosx =  π ⇔ ⇔  x= + k2π (k ∈ Z) sinx=     5π  x = + k2π  Bài 20: Biết cos α = cot α + tan α 00 < α < 900 Tính giá trị biểu thức A = cot α − tan α Giải cos α − 25 + Thay cos α = , ta A = sin α , suy tan α , cot α , thay vào A Lưu ý HS tính + Biến đổi A = Bài 21: Biết cos α = cot α + tan α 00 < α < 900 Tính giá trị biểu thức A = cot α − tan α Giải tan α sin α P= = cos α sin α + 3cos3 α tan α + (1 + tan α ) tan α (1 + 2 )2 10 = = = tan α + +3 11 Bài 22: Cho tan α = Tính A = Giải A= = 3sin α − cos α 5sin α + cos3 α 3sin α − cos α tan α − = 3 5sin α + cos α cos α tan α + ( ) tan α − 70 + tan α = tan α + 139 ( ) Bài 23: Cho sin a +cosa= 1,25 π π < a < Tính sin 2a, cos 2a tan2a Giải Ta có: sin a +cosa= 1,25 Þ + sin 2a = Þ sin 2a = 25 16 16 Þ cos 2a =- 1- sin a =Þ tan 2a =- 16 (vì p < 2a < p ) 35 cos3 α − sin α + cosα Bài 24: Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính A = cos α − sin α Giải A= − tan α + (1 + tan α) cos3 α − sin α + cosα = 2(1 + tan α) − tan α cos α − sin α = − tan α + tan α − 2.23 + 2 −3 = = 2(1 + tan α ) − tan α 2(1 + 2 ) − 23 cos2a p < a < p sin a = Tính A = 1- cosa Bài 25: Cho góc a thỏa mãn Giải Ta có A = cos2a 1- cosa = 1- 2sin2 a 1- cosa cos2α = − sin2 α = − Thay sinα = Bài 26: Cho góc 16 3 π = ⇔ cosα = ± ⇒ cosα = − (do < α < π ) 25 25 5 ,cosα = − vào ta A = − 5 40 π π Tính sin( α + ) α ∈ ( ;π ) mà sin α = Giải cos α = − sin α = π Do α ∈ ( ;π ) nên cosα 0; cosα < 2 ta có sin α + cos α = ⇒ cos x = 25 a) Vì ( cosα < )  5 sin α +  − ÷ 1+ + tan α   25 cos α = = = Suy A =   72 sin 2α 2sin α cos α  − ÷  5 lại có cos x = − Bài 28) Cho góc α thỏa: 3π π  < α < 2π cos α = Tính cos − α  3  Giải 3π = < α < 2π nên sin α < ⇒ sin α = − Vì 16 16 π π 3 − 21 π  cos − α  = cos cos α + sin sin α = − = 3 4 3  cos α + sin α = ⇔ sin α = −