1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Ôn tập thi THPT quốc gia môn toán chuyên đề số PHỨC

6 286 1

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 148,83 KB

Nội dung

Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC Người đăng: Nguyễn Huyền Ngày: 24042017 Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới kí hiệu là i. Tập hợp các số này được gọi là tập hợp các số phức. Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa Mỗi biểu thức có dạng a+bi với a,b∈R,i2=−1 được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là C. Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi. a+bi=c+di ⇔ a=c và b=d. 2. Các phép toán Với a,b,c,d∈R, c+di≠0, z=a+bi (a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d) (a+bi)−(c+di)=(a−c)+i(b−d) (a+bi).(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc) a+bic+di=(a+bi).(c−di)(c+di).(c−di)=ac+bdc2+d2+i.bc−adc2+d2 |a+bi|=a2+b2−−−−−−√ được gọi là môđun của số phức z¯¯¯=a−bi được gọi là số phức liên hợp Chú ý: z+z¯¯¯=2a và z.z¯¯¯=|z|2 B. Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức Phương pháp Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có i2 thay bằng 1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp. Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức z=(3+2i)(2+5i¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯)−(3+i)3 Giải:z=(3+2i)(2−5i)−(27+27i+9i2+i3)=16−11i−18−26i=−2−37i Vậy Re(z)=−2,Im(z)=−37, |z|=(−2)2+(−37)2−−−−−−−−−−−−√=1373 Bài tập áp dụng Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018 . Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz. Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau z=(2−5i)(3+i) (1+i)z+3=2i−4z z=2+3i(4+i)(2−3i) Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i)21+i. Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯. Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Thay z=a+bi vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: f(x,y)=0. f(x,y)=0 là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó. Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=(z+i)(2+i) trong đó z là số phức thỏa |z−2|=3 Giải: Gọi số phức w=x+yi w=(z+i)(2+i)=x+yi⇔z=x+yi2+i−i=2x+y5+i−x+2y−55 Mà |z−2|=3 nên |2x+y5+i−x+2y−55−2|=3⇔(2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 Vậy (2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 là phương trình biểu diễn tập số phức w. Bài tập áp dụng Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức a) Căn bậc hai của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2=z hay (x+yi)2=a+bi Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a> 0 ⇒ w=±a√ + TH2 : a < 0 ⇒ w=±i−a−−−√ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x+yi)2=a+bi hay {x2−y2=a2xy=b b) Phương trình phức bậc hai Phương pháp Xét với phương trình phức bậc hai Az2+Bz+C=0 TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính Δ=B2−4AC + Nếu Δ≥0 thì phương trình có nghiệm thực z=−B±Δ√2A + Nếu Δ Xem hướng dẫn giải DẠNG 2: Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 => Xem hướng dẫn giải DẠNG 3: Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau z=−21+20i z=1+43√i Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức z2−4z+20=0 4z4−3z2−1=0 (iz+3z−2i)2−3.iz+3z−2i−4=0 Câu 3: Gọi z1,z2 là nghiệm của phương trình z2+2z+5=0. Tính giá trị của các biểu thức sau A=|z1|2+|z2|2 B=|z1|2+|z2|2−a|z1¯¯¯¯¯||z2¯¯¯¯¯| => Xem hướng dẫn giải

Trang 1

Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán

chuyên đề SỐ PHỨC

Người đăng:  Nguyễn Huyền  - Ngày: 24/04/2017

Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới kí hiệu là i Tập hợp các số này được gọi là tập hợp các số phức.

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa

 Mỗi biểu thức có dạng a+bi với a,b∈R,i2=−1 được gọi là một số phức Trong đó a được gọi

là phần thực, b được gọi là phần ảo Ký hiệu tập hợp các số phức là C

 Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi

 a+bi=c+di ⇔ a=c và b=d

2 Các phép toán

Với a,b,c,d∈R, c+di≠0, z=a+bi

 a+bic+di=(a+bi).(c−di)(c+di).(c−di)=ac+bdc 2 +d 2+i.bc−adc 2 +d 2

 |a+bi|=a2+b2−−−−−−√ được gọi là môđun của số phức

Trang 2

 z¯¯¯=a−bi được gọi là số phức liên hợp

Chú ý: z+z¯¯¯=2a và z.z¯¯¯=|z|2

B Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức

Phương pháp

 Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có i2 thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp

 Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX 

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức z=(3+2i)(2+5i¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯)

−(3+i)3

Giải:z=(3+2i)(2−5i)−(27+27i+9i2+i3)=16−11i−18−26i=−2−37i

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018  Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

3 z=2+3i(4+i)(2−3i)

Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i) 2 1+i Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Thay z=a+bi vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: f(x,y)=0

f(x,y)=0 là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=(z+i)(2+i)  trong đó z là số phức thỏa |z−2|

=3

Giải: Gọi số phức w=x+yi

Trang 3

Mà |z−2|=3 nên |2x+y5+i−x+2y−55−2|=3⇔(2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 

Vậy (2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225  là phương trình biểu diễn tập số phức w

Bài tập áp dụng

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

1 |z+z¯¯¯+3|=4

2 (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong

đó |z−1|≤2

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số  ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+ 32 −i∣∣∣=2

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z

nếu w2=z hay (x+yi)2=a+bi

 Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a> 0 ⇒ w=±a√

+ TH2 : a < 0 ⇒ w=±i−a−−−√

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

(x+yi)2=a+bi hay {x2−y2=a2xy=b

b) Phương trình phức bậc hai

Phương pháp

Xét với phương trình phức bậc hai Az2+Bz+C=0

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực Tính Δ=B2−4AC

+ Nếu Δ≥0 thì phương trình có nghiệm thực z=−B±Δ√2A

Trang 4

+ Nếu Δ<0 thì phương trình có nghiệm phức z=−B±i.Δ√2A

Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức Tính Δ=B2−4AC=a+bi=(x+yi)2

Khi đó phương trình có nghiệm z=−B±(x+yi)2A

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng

máy tính)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau z=−5−12i

Giải: Gọi w=x+yi(x,y∈R) là căn bậc hai của số phức z

Ta có w2=(x+yi)2=−5−12i⇔{x2−y2=−52xy=−12

Với y=0 không là nghiệm của hệ phương trình

Với y≠0 ta có x=−6y nên (−6y)2−y2=−5⇔[y2=9y2=−4⇔y=±3

Nếu y=3 thì x=−2 ta có w=−2+3i

Nếu y=−3 thì x=2 ta có w=2−3i

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 

2 (z2+i)(z2−2iz−1)=0

3 z3−8=0

Giải

1 Ta có Δ′=−4=4i2 nên z=−1±2i

2. (z2+i)(z2−2iz−1)=0 ⇔z2+i=0 hoặc z2−2iz−1=0

TH1: z2=−i=(1−i2√)2 ⇔[x=5x=2

TH2: z2−2iz−1=0⇔z2−2iz+i2=0⇔(z−i)2=0⇔z=i

3 Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm z=2 Ta có 

Trang 5

B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:

Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018   Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz.

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

1. z=(2−5i)(3+i)

2. (1+i)z+3=2i−4z

3. z=2+3i(4+i)(2−3i)

Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3 , z2=1+2i−(1−i) 2 1+i Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯

=> Xem hướng dẫn giải

DẠNG 2:

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

1. |z+z¯¯¯+3|=4

2. (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực

3. |z−4i|+|z+4i|=10

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|

≤2

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số  ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+ 32 −i∣∣∣=2

=> Xem hướng dẫn giải

DẠNG 3:

Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau

1. z=−21+20i

2. z=1+43√i

Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

1. z2−4z+20=0

2. 4z4−3z2−1=0

3. (iz+3z−2i)2−3.iz+3z−2i−4=0

Câu 3: Gọi z1,z2  là nghiệm của phương trình z2+2z+5=0 Tính giá trị của các biểu thức sau

A=|z1|2+|z2|2

B=|z1|2+|z2|2−a|z1¯¯¯¯¯||z2¯¯¯¯¯|

Trang 6

=> Xem hướng dẫn giải

Ngày đăng: 10/12/2018, 19:11

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w