Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC Người đăng: Nguyễn Huyền Ngày: 24042017 Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới kí hiệu là i. Tập hợp các số này được gọi là tập hợp các số phức. Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa Mỗi biểu thức có dạng a+bi với a,b∈R,i2=−1 được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là C. Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi. a+bi=c+di ⇔ a=c và b=d. 2. Các phép toán Với a,b,c,d∈R, c+di≠0, z=a+bi (a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d) (a+bi)−(c+di)=(a−c)+i(b−d) (a+bi).(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc) a+bic+di=(a+bi).(c−di)(c+di).(c−di)=ac+bdc2+d2+i.bc−adc2+d2 |a+bi|=a2+b2−−−−−−√ được gọi là môđun của số phức z¯¯¯=a−bi được gọi là số phức liên hợp Chú ý: z+z¯¯¯=2a và z.z¯¯¯=|z|2 B. Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức Phương pháp Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có i2 thay bằng 1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp. Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức z=(3+2i)(2+5i¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯)−(3+i)3 Giải:z=(3+2i)(2−5i)−(27+27i+9i2+i3)=16−11i−18−26i=−2−37i Vậy Re(z)=−2,Im(z)=−37, |z|=(−2)2+(−37)2−−−−−−−−−−−−√=1373 Bài tập áp dụng Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018 . Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz. Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau z=(2−5i)(3+i) (1+i)z+3=2i−4z z=2+3i(4+i)(2−3i) Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i)21+i. Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯. Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Thay z=a+bi vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: f(x,y)=0. f(x,y)=0 là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó. Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=(z+i)(2+i) trong đó z là số phức thỏa |z−2|=3 Giải: Gọi số phức w=x+yi w=(z+i)(2+i)=x+yi⇔z=x+yi2+i−i=2x+y5+i−x+2y−55 Mà |z−2|=3 nên |2x+y5+i−x+2y−55−2|=3⇔(2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 Vậy (2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 là phương trình biểu diễn tập số phức w. Bài tập áp dụng Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức a) Căn bậc hai của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2=z hay (x+yi)2=a+bi Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a> 0 ⇒ w=±a√ + TH2 : a < 0 ⇒ w=±i−a−−−√ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x+yi)2=a+bi hay {x2−y2=a2xy=b b) Phương trình phức bậc hai Phương pháp Xét với phương trình phức bậc hai Az2+Bz+C=0 TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính Δ=B2−4AC + Nếu Δ≥0 thì phương trình có nghiệm thực z=−B±Δ√2A + Nếu Δ Xem hướng dẫn giải DẠNG 2: Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 => Xem hướng dẫn giải DẠNG 3: Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau z=−21+20i z=1+43√i Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức z2−4z+20=0 4z4−3z2−1=0 (iz+3z−2i)2−3.iz+3z−2i−4=0 Câu 3: Gọi z1,z2 là nghiệm của phương trình z2+2z+5=0. Tính giá trị của các biểu thức sau A=|z1|2+|z2|2 B=|z1|2+|z2|2−a|z1¯¯¯¯¯||z2¯¯¯¯¯| => Xem hướng dẫn giải
Ơn tập thi THPT quốc gia mơn Tốn chun đề SỐ PHỨC Người đăng: Nguyễn Huyền - Ngày: 24/04/2017 Ta biết phương trình bậc hai với biệt số âm khơng có nghiệm thực Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để phương trình bậc n có nghiệm, người ta đưa số kí hiệu i Tập hợp số gọi tập hợp số phức A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa • Mỗi biểu thức có dạng a+bi với a,b∈R,i2=−1 gọi số phức Trong a gọi phần thực, b gọi phần ảo Ký hiệu tập hợp số phức C • Điểm M(a,b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z=a+bi • a+bi=c+di ⇔ a=c b=d Các phép toán Với a,b,c,d∈R, c+di≠0, z=a+bi • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d) • (a+bi)−(c+di)=(a−c)+i(b−d) • (a+bi).(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc) • a+bic+di=(a+bi).(c−di)(c+di).(c−di)=ac+bdc2+d2+i.bc−adc2+d2 • |a+bi|=a2+b2−−−−−−√ gọi mơđun số phức • z¯¯¯=a−bi gọi số phức liên hợp Chú ý: z+z¯¯¯=2a z.z¯¯¯=|z|2 B Các dạng tập Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo tính mơđun biểu thức phức Phương pháp Cách 1: Tính tốn tập số thực, có i2 thay -1, chia nhân tử mẫu cho số phức liên hợp Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE để chuyển sang chế độ CMPLX Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo tính mơđun số phức z=(3+2i)(2+5i¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯) −(3+i)3 Giải:z=(3+2i)(2−5i)−(27+27i+9i2+i3)=16−11i−18−26i=−2−37i Vậy Re(z)=−2,Im(z)=−37, |z|=(−2)2+(−37)2−−−−−−−−−−−−√=1373 Bài tập áp dụng Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018 Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz Câu 2: Tính module số phức liên hợp số phức z sau z=(2−5i)(3+i) (1+i)z+3=2i−4z z=2+3i(4+i)(2−3i) Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i)21+i Tìm mơđun số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯ Dạng 2: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Thay z=a+bi vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ x y: f(x,y)=0 f(x,y)=0 phương trình đường kết luận tập hợp điểm z đường Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w=(z+i)(2+i) z số phức thỏa |z−2| =3 Giải: Gọi số phức w=x+yi w=(z+i)(2+i)=x+yi⇔z=x+yi2+i−i=2x+y5+i−x+2y−55 Mà |z−2|=3 nên |2x+y5+i−x+2y−55−2|=3⇔(2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 Vậy (2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 phương trình biểu diễn tập số phức w Bài tập áp dụng Câu 1: Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức |z−1|≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với w=(1+i3√)z+2 z ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức a) Căn bậc hai số phức Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi gọi bậc hai số phức z w2=z hay (x+yi)2=a+bi Khi b = z = a, ta có trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a> ⇒ w=±a√ + TH2 : a < ⇒ w=±i−a−−−√ Khi b ≠ 0, để tìm bậc z ta giải hệ phương trình từ đồng thức: (x+yi)2=a+bi hay {x2−y2=a2xy=b b) Phương trình phức bậc hai Phương pháp Xét với phương trình phức bậc hai Az2+Bz+C=0 TH1: Các hệ số A, B, C số thực Tính Δ=B2−4AC + Nếu Δ≥0 phương trình có nghiệm thực z=−B±Δ√2A + Nếu Δ Xem hướng dẫn giải DẠNG 2: Câu 1: Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 |z−1| ≤2 Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2 => Xem hướng dẫn giải DẠNG 3: Câu 1: Tìm bậc hai số phức sau z=−21+20i z=1+43√i Câu 2: Giải phương trình sau tập số phức z2−4z+20=0 4z4−3z2−1=0 (iz+3z−2i)2−3.iz+3z−2i−4=0 Câu 3: Gọi z1,z2 nghiệm phương trình z2+2z+5=0 Tính giá trị biểu thức sau A=|z1|2+|z2|2 B=|z1|2+|z2|2−a|z1¯¯¯¯¯||z2¯¯¯¯¯| => Xem hướng dẫn giải ... biểu diễn tập số phức w Bài tập áp dụng Câu 1: Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+z¯¯¯+3|=4 (2−z)(i+z¯¯¯) số thực |z−4i|+|z+4i|=10 Câu 2: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu... f(x,y)=0 f(x,y)=0 phương trình đường kết luận tập hợp điểm z đường Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w=(z+i)(2+i) z số phức thỏa |z−2| =3 Giải: Gọi số phức w=x+yi w=(z+i)(2+i)=x+yi⇔z=x+yi2+i−i=2x+y5+i−x+2y−55... gọi môđun số phức • z¯¯¯=a−bi gọi số phức liên hợp Chú ý: z+z¯¯¯=2a z.z¯¯¯=|z|2 B Các dạng tập Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo tính mơđun biểu thức phức Phương pháp Cách 1: Tính tốn tập số thực,