Định m để phương trình có nghiệm... Chứng minh rằng P = cosA+cosB+cosC có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị lớn nhất của P = cosA+ cosB +cosC.. Hệ thức lượn
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV Toán Lê Bá Bánh@@
A.Dùng công thức lượng giác đưa về dạng cơ bản
Bài 1 Giải phương trình :
3
x+ x−π=
π
π
d) cosx+sin 4x=0 e) 2cos 2 cosx x= +1 2sin 2 sinx x
f) sin 3 cosx x c= os3 1 sinx( + x) g) 3 os2 cos 2 1 0
2
c x+ x+π + =
x+ π + x+ π = x+ π+ x−π
6
i) (2cosx−1 sin) ( x+cosx) =1
2
x π +x= x− x
Bài 3: Giải phương trình sin4 cos4 5
8
x+ x= với 900 < <x 2700
4
Bài 5: Phương trình 3sinx+ =1 4sin2 x(sinx+2cos2x) có bao nhiêu nghiệm ∈[0; 2π]
Bài 6: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình :
sin 3x+cos3x =2cos 4x
B Phương trình lượng giác có điều kiện
x= + ∪ =π lπ x π +lπ
Bài 8: Giải phương trình tan 3 t anx 3
= +
x
x= +π kπ∪ = −x π +lπ
x
x
−
Bài 11: Giải các phương trình :
sin
x
x
1 cos 2
x
2
4
d) cos3xcos3x−sin sin3x x=cos 22 x thỏa mãn điều kiện sin 3 0
4
x π
e) 4−x2 sin 2( πx−3cosπx) =0
C Phương trình đưa về dạng tích.
Bài 12:Giải phương trình (2cosx−1 2sin) ( x+cosx) =sin 2x−sinx
ĐS: 2
x= ± +π k π∪ = − +x π lπ
Bài 13: Giải phương trình 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0
Trang 2Bài 14: Tìm x thuộc đoạn [0;14 nghiệm đúng phương trình:]
cos3x−4cos 2x+3cosx− =4 0 ĐS: ;3 ;5 ;7
Bài 15: Giải phương trình sin `32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x
ĐS:
x= π ∪ =x π
Bài 16: Giải phương trình sinx+sin 2x+sin 3x+sin 4x+sin 5x+sin 6x=0
k
Bài 17: Giải phương trình : cos3x−4sin3x−3cos sinx 2x+sinx=0
ĐS :
x= ± +π kπ∪ = − +x π lπ
Bài 18: Giải phương trình :
3
2
x= +π kπ∪ =x lπ∪ = −x π +mπ
x= π +k π x= π +l π x= π +m π
= − +
x
π
π
3
x= ± +π kπ
Bài 25: Giải phương trình : sinx+sin 2x+sin 3x=cosx+cos 2x+cos3x
ĐS: 2 2
Bài 26: Giải phương trình : 2cos3x+cos 2x+sinx=0 ĐS: 2 ;
x= +π k π x= − +π lπ
Bài 27: Giải phương trình : (2sinx+1 3cos 4) ( x+2sinx− +4) 4cos2 x=3
ĐS: 2 ; 7 2 ;
Bài 28: Giải phương trình : 2cos2`x+2cos 22 x+2cos 32 x− =3 cos 4 2sin 2x( x+1)
ĐS:
x= +π kπ
Bài 29: Giải phương trình : sin 22 os 82 1 os10
2
x= π +k π x= ± π +lπ
Trang 3Bài 30: Giải phương trình : (2sinx+1 2sin 2) ( x− = −1) 3 4cos2x
3
x k= π x= ± +π l π
Bài 32: Giải phương trình : cosx(2+cos4x)+cos2 cos3x x=0 ĐS:
2
x= +π kπ
Bài 33: Giải phương trình : 1 sin+ x c+ os3x=cosx+sin 2x c+ os2x
Bài 34: Giải phương trình :sin2 x+sin2x+sin 32 x=2 ĐS: ;
x= +π kπ x= +π lπ
Bài 35: Giải phương trình : sin3x c+ os3x=2 sin( 5x+cos5x) ĐS:
x= +π kπ
ĐS: ;
x k= π x= π +lπ
4
x= +π kπ
Bài 38: Giải phương trình : sin 4 cos 4 1 4 2 sin
4
x− x= + x−π
= +
4
= +
3
x= − π +kπ
5
x= +π k π x= +π l π x= π +m π
Bài 43: Giải phương trình : 3
2 sin
4 tan
x x
x
π
4
x= +π kπ x l= π
4
4
2 sin 2 sin 3
os
x
−
x= π +k π x= π +l π
2
x
Bài 46: Giải phương trình : 3 t anx t anx 2sin− ( + x)+6cosx=0 ĐS:
3
x= ± +π kπ
2 1 sin
x
−
2
x
2
x= +π k π x= +π lπ
Bài 49: Giải phương trình : tan2 1 cos
1 cos
x x
x
+
=
π
Trang 4Bài 50: Giải phương trình : t anx+ tan 2x−tan 3x=0 ĐS;
3
x k= π
cos
x
Bài 52: Giải phương trình : 1 cot 2 1 2os2
sin 2
x
x
−
x= +π kπ
sin 2
x
3
x= ± +π kπ
x= +π k π x= π +l π
sin 2
x
3
x= +π kπ
x= +π kπ x= π +lπ x= π +mπ
Bài 57: Giải phương trình: tanx+cotx=2 sin 2( x c+ os2x) ĐS: ;
x= +π kπ x= +π lπ
−
=
= − +
Bài 60: Giải phương trình : sin 2 cotx( x+tan 2x)=4cos2x ĐS: ;
x= +π kπ x= ± +π lπ
Bài 61: Giải phương trình : cot2 tan2 16 1 cos 4( )
cos 2
x x
x= π +kπ
D PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
c x+ x c+ x−π x−π =
ĐS:
4
x= +π kπ
3
x k= π x= ± π +l π
Bài 64: Giải phương trình cos 3 cos 22 x x c− os2x=0 ĐS:
2
x k= π
x= +π k π x= π +l π
Bài 66: Giải phương trình : 2 sin( 6 os6 ) s nx cos
0
2 2sin
x
=
5
2 4
x= π +m π
Bài 67: Giải phương trình : Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
1 2sin 2
x
+
5
;
x=π x= π
sin 2
x
3
x= ± +π lπ
x
x= +π kπ x= −π +l xπ = π +mπ
Trang 5Bài 70: Giải phương trình: tan 23 tan 2 1
4
Bài 72: Giải phương trình :
4
os 4
ĐS:
2
x m= π
Bài 73 : Giải phương trình : tan2x−tan tan 3x x=2 ĐS:
x= +π lπ
Bài 74: Giải các phương trình:
4
2 2 4 3
2 4
= +
= +
© ªª ªª ªª ªª ªª ªª«
6
x+ c x = +c x−π
7 12
x= π +kπ
d) cot t anx 2 os4
sin 2
x
x
3
x= ± +π kπ
1
1 sin 2
x
=
= +
1
x
=
−
x= +π kπ
E PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX & COSX
Bài 75: Giải các phương trình:
a) 3 sin 2x c+ os2x= 2 b) 3sin 3x− 3 os9c x= +1 4sin 33 x c) cos 7 cos5x x− 3 sin 2x= −1 sin 7 sin 5x x
5 24 3 2 8
= +
= +
e) 4sin3xcos3x+4 3 ossi x c 3x+3 3 os4c x=3 ĐS: 24 2
= − +
= +
f)Tìm nghiệm của phương trình os7c x− 3 sin 7x= − 2 thỏa điều kiện 2 6
π < < π
ĐS: 53 ;5 ;59
84 12 84
x∈ π π π
g) (2+ 3 sinx cos) − x= +2 3 ĐS:
2 2 2 2 3
= +
Trang 6i)cos2x− 3 sin 2x= +1 sin2 x j) 4 os(c 4x+sin4 x)+ 3 sin 4x=2 ĐS: 4 2
= +
= − +
h) t anx 3cot− x=4 sinx( + 3 cosx) ĐS: 3
= − +
k)4sin3 x− =1 3sinx− 3 os3c x
l) sin8x-cos6x= 3(sin 6x c+ os8 )x m) sin 2x+2cos 2x= +1 s inx 4 cos− x ĐS: 2
3
x= ± +π k π
n) 2cos3x c+ os2x+sinx 0= ĐS:
2 2 4
= +
= − +
o) 2sin 2x c− os2x=7 sinx+2 cosx−4 ĐS:
2 6 5 2 6
= +
= +
p) sin 2x c+ os2x+3sinx−cosx− =2 0 ĐS:
2 6 5 2 6 2 2 2
= +
= +
= +
= +
q) sinx sin 2+ x= 3 cos( x c+ os2x)
F PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a(sinx cos± x)+bsin cosx x c=
Bài 76: Giải các phương trình:
a) (1+ 2 sinx cos) ( + x)−2sin cosx x− −1 2 0= b) 1 sin3 os3 3sin 2
2
c) 2sin3x−sinx 2cos= 3x−cosx c+ os2x d) 2sin3x c− os2x+cosx=0 f) cos3x+sin3x c= os2x
g) cos 2x+ =5 2 2 cos( − x) (sinx cos− x) h) cos sinx x+ cosx+sinx 1= i) sinx cos− x +2sin 2x=1
j) 1 sinx− + 1 cos− x =1 k) sin 2 sinx cosx( + x) = 2 l) sin cosx x+2sinx+2cosx=2
m) cos3 sin3 1 1sin 2
2
4
x+ x−π =
Bài 77 : Giải các phương trình:
a) 5 sinx cos( + x)+sin 3x c− os3x=2 2 2 sin 2( + x) b) cos3x c+ os2x+2sinx− =2 0
c) cos3x−sin3x=sinx cos− x d) 1+cos3x−sin3x=sin 2x e) cos2x+sin3x+cosx=0
x c+ x= − π +x π −x
2
1 sinx
x x
π
G PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SINX & COSX
Bài 78:Giải các phương trình:
a) 2sin2 x+ +(3 3 sin x cos) x+( 3 1 os− )c 2x= −1 b) 2sin2x+3 3 sin x cosx c− os2x=2
c) 3 osc 2x+2sin cosx x− 3 sin2 x=1 d) sin 3x c+ os3x+2cosx=0 e) 3cos4x−4sin2 xcos2x+sin4 x=0 f)tan sinx 2 x−2sin2x=3 os2(c x+sinx cosx) g) sin2 x+sin 2x=2 h) cos2x−sin2x−2 3 sin x cosx=1 i) 3 sin2x+ −(1 3 sin x cos) x c− os2x+ −1 3 0= j) 6sinx−2cos3x=5sin 2 cosx x
k) cos3x−4sin3x−3cos sinx 2x+sinx 0= l) 2 2 os3 3cos sinx 0
4
c x−π− x− =
Trang 7n) 4 os(c 3x+sin3x) =cosx+3sinx o) sin2x(1 t anx+ ) =3sinx(cosx−sinx)+3 p) 3 sinx cos 1
cos
x
x
H PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
Bài 79: Giải các phương trình:
a) sin 2x c+ os2x+t anx 2 0− = HD đặt t =tanx b) 2cos 22 x c+ os2x−4sin 2 os2 x c 2x=0HD t =cos2x c) sin8 os8 17 os 22
16
x
x
e) 3tan2x+4 tanx+4cotx+3cot2x+ =2 0 f) sin2 12 sin4 14 27
sin
x
g) 3cot2x+2 2 sin2x= +(2 3 2 cos) x HD: cos2
sin
x t
x
= h) 2sin2 x(4sin4x− =1) cos2 7 cos 2x( 2 x+3cos 2x−4)
sin x+ x+ x+ x+ = j) tanx+tan2 x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=0
I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 80: Giải các phương trình
a) os3c x = −1 3 sin 3x b) 3sinx+2 cosx − =2 0 c) sinx−cosx +sinx cos+ x =2 d) cosx +sin 3x=0 e) Tìm nghiệm x∈(0; 2π) của phương trình sin 3 sinx sin 2 os2
x
x∈π π π π
f) 4sinx+3 cosx =3 g) 2cos2x+ sinx 1= h) 2 sin 2x−2cos2 x=2 2 2cos 2+ x
i) sin4x c− os4x= sinx + cosx j) cot t anx 1
sinx
K PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN THỨC
Bài 81: Giải các phương trình:
a) 1 sin 2+ x = 2 os2c x ĐS: 4
12
= − +
= +
b) 3 cos− x− 1 cos+ x =2 ĐS:x= +π k2π
c) sin3x c+ os3x+sin3xcotx c+ os tan3x x= 2sin 2x ĐS: 2
4
x= +π k π
d) 5cosx c− os2x+2sinx=0
4
2 12 17
2 12
= +
f) sinx+ 3 cosx+ sinx+ 3 cosx=2
sinx
x
3
= +
= +
h) cos2x+ 1 sin 2+ x =2 sinx cos+ x
ĐS: 4
2
x l
π
= − +
8
c π x− x + x+ =
ĐS: x = -7 ; x = -31
Trang 8L PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ m
Bài 82: Định m để phương trình (m2−3m+2 os)c 2x m m= ( −1) có nghiệm ĐS: m≤ ∪ =0 m 1
Bài 83:Định m để phương trình sin 2x+ 3m=2cosx+ 3 sinm x có nhiều hơn một nghiệm
thuộc khoảng (0;π) ĐS:
0
m m
≠
Bài 84: Định m để phương trình sin 2x m+ =sinx 2 cos+ m x có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng 0;3
4
π
ĐS:
2 0
2 1 3 2
m m m
≤ ≤
=
=
Bài 85: Định m để phương trình mcos 2x−2 2( m+3 os)c 2x+2m+ =2 0 ĐS: m≤ − ∪ ≥ −4 m 2
Bài 86: Định m để phương trình sin4 x c+ os4x m= có nghiệm ĐS: 1 1
Bài 87: Định m để phương trình (2sinx−1 2cos 2) ( x+2sinx m+ ) = −3 4 cos2x có đúng 2 nghiệm thuộc [ ]0;π ĐS m< − ∪ = ∪ >1 m 0 m 3
Bài 88: Định m để phương trình cos 2x−(2m+1 cos) x m+ + =1 0có nghiệm thỏa 3
π < < π
ĐS: − ≤ <1 m 0
Bài 89: Định m đẻ phương trình sin4 x c+ os2x m+ cos6x=0 có nghiệm trên khoảng 0;
4
π
Bài 90: Định m để phương trình 4 sin( 4 x c+ os4x) (−4 sin6 x c+ os6x)−sin 42 x m= có nghiệm
ĐS : 9 1
Bài 91: Định m để phương trình cos 2x m+ cosx+2m+ =1 0 có nghiệm ĐS: − ≤ ≤2 m 0
Bài 92: Định m để phương trình cos 4x+6sin cosx x m= có 2 nghiệm phân biệt trên 0;
4
π
ĐS:2 17
8
m
≤ ≤
Bài 93: Định m để phương trình (cosx+1) (cos2x m− cosx) =msin2 x có đúng hai nghiệm trên 0;2
3
π
ĐS : 1 1
2
m
− < < −
Bài 94: Định m để phương trình mcos 22 x−4sin cosx x m+ − =2 0có nghiệm thuộc 0;
4
π
ĐS: 1< <m 4
os
c x
2
π
ĐS: 1 1; 1
3< <m m≠ 2
Trang 9Bài 96: Cho phương trình 3 sin2 1sin 2
2
x+ x m= (1) a) Giải phương trình khi m = 3 b) Định m để phương trình (1) có nghiệm
cos
a
x
a) Giải phương trình khi a =1 b) Định a để phương trình (1) có nghiệm
Bài 98: Định m để phương trình cos 2x m− sin 2x=2m−1 có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
π
Bài 99: Định tham số m để phương trình m(sinx cos+ x+ =2) 2 1 sinx cos( + + x+sin x cosx) có nghiệm
Bài 100: Cho phương trình 2cos 2x+sin2xcosx c+ os sin2x x m= (sinx cos+ x) (1)
a) Giải phương trình (1) khi m =2
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0;
2
π
ĐS: a)
4 2 2 2
x l
π
= − +
=
= − +
b) − ≤ ≤2 m 2
Bài 101: Cho phương trình cos3x−sin3x m= (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = -1
b) Định tham số m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;
4 4
π π
ĐS: a) 2 2
2
= +
= − +
2 ≤ <m
a) Giải phương trình f(x) =0 khi m = - 3
b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) Từ đó định m để ( ) 2
36
f x
ĐS: a)
4 2 2 2
x l
π
= − +
= +
b) 3 4 2− + ≤ ≤m 3
Bài 103: Cho phương trình m(sinx cos+ x+ = +1) 1 2sin cosx x (1)
a) Giải phương trình (1) khi 1
2
m=
b) Định m để phương trình (10 có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
π
ĐS: 1 2 2 2
Bài 104: Cho phương trình sin2x + 4(cosx−sinx) =m (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 4
b) Định tham số m để phương trình (1) có nghiệm
Trang 10ĐS: a)
2 2 2
x k
π
=
= − +
b) 1 4 2− − ≤ ≤ − +m 1 4 2
Bài 105: Cho phương trình : 2 sinx cos( + x)+2sin cosx x m+ =0 Định m để phương trình có nghiệm ĐS: 1 2 2− − ≤ <m 2
Bài 106: Định m để phương trình sin3x c+ os3x m= có nghiệm x ;3
4 4
π π
∈ ĐS: 0≤ ≤m 1
Bài 107: Định m để phương trình sin 4x m+ (sin 2x c− os2x) =2m có nghiệm x ;
8 8
π π
ĐS: 1 2 1
x
a) Giải phương trình (1) khi 1
2
m=
b) Định m nguyên để phương trình (1) có nghiệm trong khoảng 0;
2
π
ĐS: a)
4
x= − +π kπ
b) m≤ −3;m Z∈
2
x π
ĐS: 3− ≤ ≤ −m 3 4 2
Bài 110: Cho phương trình (4 6− m)sin3x+3 2( m−1 sinx 2) + (m−2 sin) 2xcosx+ −(3 4m)cosx=0 (1)
4
π
∈
ĐS; a)
4
x= +π kπ
b) m < 3
Bài 111: Định m để phương trình 3sin4x−2(m+2 sin) 2xcos2x+ −(1 m c2) os4x=0 có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
π π
1
1 2
2
1
a) Giải phương trình khi m = 5
2 b) Định m để phương trình vô nghiệm ĐS: a)
4
x= − +π lπ
− < <
2
3
ĐS: m ≥4
Bài 114: Cho hai hàm số : f x( ) (= 2sinx+cosx) (2cosx−sinx) và g x( ) 2sin2cosx cossinx 2sin2 cosx cossinxx
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
b) Xác định tham số m để phương trình(m−3) ( )g x =3f x( )−m có nghiệm
Trang 11ĐS: a)
( ) ( )
5 ax
2 5
m inf
2
M f x x
16
m≤ − ∪ ≥m m≠
Bài 115: Cho f x( ) =3cos 26 x+sin 24 x c+ os4x m− và g x( ) =2cos 22 x 3cos 22 x+1
a) giải phương trình f(x) =0 khi m =0 b) Định m để phương trình f(x)= g(x) có nghiệm
ĐS: a)
x= +π kπ
b) − ≤ ≤1 m 0
x m
x
ĐS: 3 3 3 0
2
M Gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Bài 117: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
y
x
=
− + với x∈ −( π π; ) ĐS: Maxy =2 ; min y = 2
11
2 cos
y
x
=
3
3
x= π
min y =0 khi x= 0 hoặc x =π
c) Tìm giá trị lớn nhất của sin2
2
x
2 2
π π
π
2
x=π
d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y
+
=
2
2
4
3
e) y=sinx+ cos2x−sinx ĐS: axy =3M khi 2
2
x= +π k π
2
x= − +π l π
f) y=2sin8x c+ os 24 x ĐS: Max y = 3 khi
2
x= +π kπ
min y = 1
27 khi
1 cos 2
3
x=
4
y= x+ x+π
3 8
x= π +kπ
min y = 2− 2 khi
8
x= − +π lπ
h) y=2012sinx− cosx ĐS: Max y = 1 khi
2
x=π
min y = -1 khi x =0 i) Tìm giá trị lớn nhất của y=sinx cosx+cosx sinx Max y = 4 2 khi x = 2
4
x= +π k π
2
x= +π l π
sinx cos
y
x
2
x π
∈ ÷ ĐS: minn y = 2 2 khi
4
x=π
k
y
x
+ +
=
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y khi k =1 k
b) Định k để giá trị lớn nhất của y là nhỏ nhất k
ĐS:a) Max y =2 min y =0 b) 1
3
3
+
Trang 12Bài 119: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau;
x y
x
+
=
14 ax
7 14 min
7
M y y
=
= −
x y
x
−
=
M y y
=
c)
2
2
1 sin
y
x
+
=
ax
4
min
4
M y y
=
=
d) y=sin4x c+ os4x+sin x cosx+1 ĐS:
17 ax 8
M y y
=
e)
2
y
x
=
M y y
=
7 3 2 ax
2
7 3 2 min
2
M y y
=
=
M y y
=
17 ax 8
M y y
Bài 120: Tìm dáng điệu của tam giác ABC để M =3cosA+2 cos( B+cosC) đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: min M = 11
3
Bài 121: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của P= 3 cosB+3 cos( A c C+ os )Max P = 5 3
2
Bài 122: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng P = cosA+cosB+cosC có giá trị lớn nhất nhưng không
có giá trị nhỏ nhất Max P = 3
2 khi tam giác ABC đều.
Bài 123: Tìm Max , min của:
a) Max của y=9sin2x+9cos2x ĐS: Max y =10 b) Max của y=sin15x c+ os20x ĐS: Max y =1
c) Max của
15 2
sin
y
x
y= x+π + π −x
2 3
Bài 124: Cho A ; B;C là 3 góc của tam giác Tìm giá trị lớn nhất của P = cosA+ cosB +cosC ĐS: Max P = 3
2
N Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 125: Cho tam giác ABC
a) Chứng minh rằng cos2+cos2B c+ os2C= −1 2cos os cosA c B C
b) Tam giác ABC vuông khi chỉ khi cos2 A c+ os2B c+ os2C=1
Baì 126:Chứng minh rằng 3 cạnh AB =c ; BC = a ; AB =c của tam giác ABC lập thành cấp số cộng
khi chỉ khi cot cot 3