Lượng giác ôn thi tốt nghiệp quốc gia SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN TỔ TOÁN – TIN CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA Giáo viên: Phan Đức Tiến Năm học 2015-2016 Lượng giác ôn thi tốt nghiệp quốc gia Chuyên đề 1-LƯỢNG GIÁC A Kiến thức, kỹ bản Cung tròn Quan hệ độ radian Cung tròn bán kính R có số đo radian α (0 ≤ α ≤ 2π), có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 𝛼 𝑎 𝛼 𝑎 360), có độ dài l : = ℎ𝑎𝑦 = , l = Rα 2𝜋 360 𝜋 180 Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Gtlg\phần I II III IV tư cosα + + sinα + + tanα + + cotα + + Công thức lượng giác Sin 𝛼 + 𝑘2𝜋 = 𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑘2𝜋 , tan 𝛼 + 𝑘𝜋 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 , cot 𝛼 + 𝑘𝜋 = 𝑐𝑜𝑡𝛼, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 = = , 𝑐𝑜𝑡𝛼 = = , 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 1 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1, + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = , + 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 Giá trị lượng giác hai góc đối α -α cos −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼; 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼; tan −𝛼 = −𝑡𝑎𝑛𝛼; cot −𝛼 = −𝑐𝑜𝑡𝛼 Giá trị lượng giác hai góc bù α π – α 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼; cos 𝜋 − 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛼; tan 𝜋 − 𝛼 = −𝑡𝑎𝑛𝛼; cot 𝜋 − 𝛼 = −𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜋 Giá trị lượng giác hai góc chéo α − 𝛼 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑠𝑖𝑛 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼; cos − 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼; tan − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝛼; cot − 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 2 2 𝜋 Giá trị lượng giác hai góc hay π (suy từ 1., 2., 3.) Công thức cộng cos 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 sin 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 ; cos 𝛼 − 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 sin 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝛼 − 𝑡𝑎𝑛𝛽 tan 𝛼 + 𝛽 = ; tan 𝛼 − 𝛽 = − 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽 + 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽 Công thức nhân đôi 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠 𝛼 − = − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼; 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 10.Công thức hạ bậc + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ; 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 2 11.Công thức biến đổi tích thành tổng 1 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 = [cos 𝑎 + 𝑏 + cos 𝑎 − 𝑏 ] ; 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 = − [cos 𝑎 + 𝑏 − cos 𝑎 − 𝑏 ] 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 = [sin 𝑎 + 𝑏 + sin 𝑎 − 𝑏 ] cosasinb = [sin a + b − sin 𝑎 − 𝑏 ] 12 Công thức biến đổi tổng thành tích Lượng giác ôn thi tốt nghiệp quốc gia 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2𝑠𝑖𝑛 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛 ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠 13 Phương trình lượng giác 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 a Phương trình sinx = a (aR) + Nếu a > a < -1 : phương trình vô nghiệm + Nếu -1 ≤ a ≤ : α rad để sinα = a ta có công thức nghiệm 𝑥 = 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ⇔ hay 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎 ⇔ , 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝜋 𝜋 với − ≤ 𝛼 ≤ 𝑥 = 𝛽 + 𝑘3600 , 𝑘 ∈ 𝑍 Với 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ⇔ 𝑥 = 1800 − 𝛽 + 𝑘3600 , 𝑘 ∈ 𝑍 b Phương trình cosx = a (aR) + Nếu a > a < -1 : phương trình vô nghiệm + Nếu -1 ≤ a ≤ : α rad để cosα = a ta có công thức nghiệm 𝑥 = 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⇔ 𝑥 = −𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 hay 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎 ⇔ , với ≤ 𝛼 ≤ 𝜋 𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝛽 + 𝑘3600 , 𝑘 ∈ 𝑍 Với 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 ⇔ 𝑥 = −𝛽 + 𝑘3600 , 𝑘 ∈ 𝑍 c Phương trình tanx = a (aR) 𝜋 + Điều kiện phương trình 𝑥 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 + Khi α rad để tanα = a ta có công thức nghiệm 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 𝜋 𝜋 hay 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 , với − < 𝛼 < Với 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝛽 ⇔ 𝑥 = 𝛽 + 𝑘1800 , 𝑘 ∈ 𝑍 d Phương trình cotx = a (aR) + Điều kiện phương trình 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 + Khi α rad để cotα = a ta có công thức nghiệm 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 hay 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 , với < 𝛼 < 𝜋 Với 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝛽 ⇔ 𝑥 = 𝛽 + 𝑘1800 , 𝑘 ∈ 𝑍 Chú ý Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian 14 Phương trình lượng giác thường gặp a Phương trình bậc hàm số lượng giác Các phương trình dạng at2 + bt + c = (a ≠ 0), Với t hàm số lượng giác ( sinx, cosx, tanx, cotx) b Phương trình bậc hai đối hàm số lượng giác Các phương trình dạng at + b = (a ≠ 0), Với t hàm số lượng giác ( sinx, cosx, tanx, cotx) c Phương trình bậc sinx cosx Xét phương trình asinx + b cosx = c (1) Biến đổi phương trình (1) dạng 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎2 + 𝑏 sin 𝑥 + 𝛼 , 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2 , 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 2 , 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 B Bài tập vận dụng Lượng giác ôn thi tốt nghiệp quốc gia Cho 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 35, với 𝜋 2 Cho 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −45, với < 𝛼 < 𝜋 Tính cosα 3𝜋 ĐS: 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − < 𝛼 < 2𝜋 Tính sinα cosα ĐS: 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 3𝜋 41 , 𝑠𝑖𝑛𝛼 = − 41 Cho 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −0.7 với 𝜋 < 𝛼 < Tính cosα cotα ĐS: 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≈ −0.71, 𝑐𝑜𝑡𝛼 ≈ 1.01 Đơn giản biểu thức 𝜋 𝜋 a) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − + sin 𝛼 − 𝜋 ; 𝑏) cos 𝜋 − 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + Chứng minh với α ta có: 5𝜋 3𝜋 2𝜋 4𝜋 a) 𝑠𝑖𝑛 + 𝛼 = − sin − 𝛼 ; 𝑏) cos 𝛼 − = 𝑐𝑜𝑠 + 𝛼 Giả sử đường tròn lượng giác, điểm xác định số α nằm góc phần tư II hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn ( không nằm trục toạ độ) Khi điểm xác định số : 𝜋 𝜋 𝛼 + ; 𝛼 + 𝜋; −𝛼; −𝛼 + ; −𝛼 + 𝜋 nằm góc phần tư ? 3 Cho cos𝛼 = , 𝑠𝑖𝑛𝛼 > 0; 𝑠𝑖𝑛𝛽 = ; 𝑐𝑜𝑠𝛽 < Hãy tính cos2α, sin2α, cos2β, sin2β, cos(α + β), sin(α – β) 𝜋 𝛼 𝛼 𝛼 Cho 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑣à < 𝛼 < 𝜋 Hãy tính 𝑐𝑜𝑠 ; 𝑠𝑖𝑛 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝛼 𝛼 𝛼 Cho cosα = 0,6 < 𝛼 < Hãy tính 𝑐𝑜𝑠 ; 𝑠𝑖𝑛 ; 𝑡𝑎𝑛 10 Cho tanα = Tính sin2α, cos2α 𝛼 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 11 Cho 𝑡𝑎𝑛 = Tính 𝑃 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 + 4𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛 2𝑎 +𝑠𝑖𝑛𝑎 12 Rút gọn biểu thức 1+𝑐𝑜𝑠 2𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑎 13 Giải phương trình 𝑎) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − ; 𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ; 𝜋 𝑐) sin 𝑥 − =− ; 𝑑) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 14 Giải phương trình 𝑥 = −cos (2𝑥 − 300 ) ; 𝑑) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑎) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0; 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 𝑐) 3tanx + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − = 0; 15 Giải phương trình 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝜋 𝑎) 𝑐𝑜𝑠 3𝑥−1 = 0; 𝑏) 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑡 𝑥 − = 16 Giải phương trình 𝑎) 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2; 𝑏) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0; 2 𝑐) 2cos 2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2; 𝑑) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + = 17 Giải phương trình 𝑎) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1; 𝑏) 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2; 𝑐) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1; 𝑑) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 18 Giải phương trình 𝑎) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; 𝑏) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C Bài tập nhà Tình giá trị lại α, biết 3𝜋 𝜋 𝑎) 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 13 , với < 𝛼 < 2𝜋 𝑏) 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0.8 với < 𝛼 < 𝜋 2 3𝜋 3𝜋 15 𝑐) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = , với 𝜋 < 𝛼 < 𝑐) 𝑐𝑜𝑡𝛼 = −3, với < 𝛼 < 2𝜋 2 2𝑠𝑖𝑛𝛼 +3𝑐𝑜𝑠𝛼 3𝑠𝑖𝑛𝛼 −2𝑐𝑜𝑠𝛼 2.Cho tanα = Tính ; 4𝑠𝑖𝑛𝛼 −5𝑐𝑜𝑠𝛼 5𝑠𝑖𝑛 𝛼+4𝑐𝑜𝑠 𝛼 Đơn giản biểu thức Lượng giác ôn thi tốt nghiệp quốc gia 𝑎)𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝛼 + sin 𝜋 − 𝛼 − cos 𝜋 𝜋 + 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 2 2𝜋 𝜋 Chứng minh với α ta có cos 𝛼 − = −𝑐𝑜𝑠 + 𝛼 3 Giả sử đường tròn lượng giác, điểm xác định số α nằm góc phần tư III hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn ( không nằm trục toạ độ) Khi điểm xác định số : 𝜋 𝜋 𝛼 + ; 𝛼 + 𝜋; −𝛼; −𝛼 + ; −𝛼 + 𝜋 nằm góc phần tư ? −3 Cho cos𝛼 = , 𝑠𝑖𝑛𝛼 < 0; 𝑠𝑖𝑛𝛽 = ; 𝑐𝑜𝑠𝛽 > Hãy tính cos2α, sin2α, cos2β, sin2β, cos(α - β), sin(α + β) −4 3𝜋 𝛼 𝛼 𝛼 Cho 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑣à < 𝛼 < 2𝜋 Hãy tính 𝑐𝑜𝑠 ; 𝑠𝑖𝑛 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝛼 𝛼 𝛼 Cho cosα = - 0,8 < 𝛼 < 𝜋 Hãy tính 𝑐𝑜𝑠 ; 𝑠𝑖𝑛 ; 𝑡𝑎𝑛 9.Cho cosα = m (hay sin2α = m) Hãy tính 𝑐𝑜𝑠2𝛼; 𝑠𝑖𝑛2 2𝛼; 𝑡𝑎𝑛2 2𝛼 theo m ( giả sử tan2α xác định) 𝜋 𝜋 𝜋 10 Cho cosα = 0,6 sinα > Tính cos 𝛼 + , sin 𝛼 − , tan(6 − 𝛼) 11 Cho 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚 Tính 𝑃 = 𝑠𝑖𝑛3 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛𝑎 +𝑠𝑖𝑛𝛽 cos (𝛼+𝛽) 12 Rút gọn biểu thức 𝑐𝑜𝑠𝑎 −𝑠𝑖𝑛𝛽 sin (𝛼+𝛽 ) 13 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: 𝑐𝑜𝑠𝐵 +𝑐𝑜𝑠𝐶 a) 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑠𝑖𝑛𝐵 +𝑠𝑖𝑛𝐶 tam giác ABC tam giác vuông; 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 +𝑐𝑜𝑠𝐶 b) 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐶 +𝑐𝑜𝑠𝐴 tam giác ABC tam giác vuông tam giác cân 14 Giải phương trình 2𝜋 𝑎) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = − ; 𝑏)𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 ; 𝜋 𝑐) tan 4𝑥 − = 3; 𝑑) 𝑐𝑜𝑡 600 − 2𝑥 = −1 15 Giải phương trình 𝑎) 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 = 0; 𝑏) 𝑐𝑜𝑡2𝑥𝑐𝑜𝑡3𝑥 = −1; 𝑐) tanxtan2x = −1 ; 𝑑) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 16 Giải phương trình 𝑎) 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 = −1; 𝑏) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 3𝑐𝑜𝑡𝑥; 𝑐) 𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 17 Giải phương trình 𝑎) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠5𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑏) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑡𝑥 = 4; 𝑐) cotx − cot2x = tanx + 1; 𝑑)2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + = 18 Giải phương trình 𝑎) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1; 𝑏) 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = − 2; 𝑐) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = −1; 𝑑) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑒) 3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = ; 𝑓) + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 -oo000oo -