Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 1 Chuyên đề Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 2 LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 22 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 2 cos k k                              2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin k k                2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng:       sin sinacosb sinbcosa cos cosa cosb sinasinb tan tan tan b 1 tan tan ab ab ab a ab       m m Công thức nhân: 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin 3tan tan tan3 = 1 3tan a a a a a a a a a a a a a a aa a a            Tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(ab)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos 22 a b a b ab   sin sin 2cos sin 22 a b a b ab   cos cos 2cos cos 22 a b a b ab   cos cos 2sin sin 22 a b a b ab     sin( ) tan tan cos .cos ab ab ab   Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 2 (1+cos2a) sin 2 a = 1 2 (1cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 3 2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t       3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k           * cosu=cosvu=v+k2  * tanu=tanv  u=v+k  * cotu=cotv  u=v+k    Zk  . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c . Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a   , ta được: sinx+tan  cosx= cos c a   sinx cos  + sin  cosx= cos c a   sin(x+  )= cos c a  sin   ñaët . Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 22 ab , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c xx a b a b a b     Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin ab a b a b    . Khi đó phương trình tương đương: 22 cos sin sin cos c xx ab    hay   22 sin sin c x ab      ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t  . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 xk    . + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x          Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t  2 . sin cos 2 sin 2 cos 44 sin cos 2 sin 2 cos 44 x x x x x x x x                                      Löu y ùcaùc coâng thöùc: Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 4 Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x        cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 5 10 5 2 cos5 0 cos2 0 2 , ( , , ) 2 4 2 cos 0 22 π kπ π x xkπ x π π lπ x x kπ x k l n x ππ xkπ x nπ                                         ¢ Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2). Giải Ta có (2)  cos 6 x(2cos 2 x1) = sin 6 x(12sin 2 x)  cos2x(sin 6 x–cos 6 x) = 0  cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0  cos2x = 0  2 ,( ) 2 4 2 π π kπ xkπ x k     ¢ Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 4 8 2cos 2 2sin sin3 6 2cos 1 0x x x x    (3). Giải Ta có: 3 3 3 22 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2 2(cos2 cos2 cos4 ) 2 2 cos2 (1 cos4 ) 2 2 cos2 .cos 2 4 2 cos2 28 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx π xx                            ,( )kπk¢ Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 88 17 sin cos 32 xx (4). Giải Ta có (4) 44 42 1 cos 2 1 cos2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 xx xx                     Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 5 Đặt cos 2 2x = t, với t[0; 1], ta có 22 1 17 13 2 6 1 6 0 13 44 2 t t t t t t                 Vì t[0;1], nên 2 1 1 cos4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x tx       cos4x = 0  4 ,( ) 2 8 4 π π π xkπ x k k     ¢ Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x k πk x x x x             ¢ Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0  t 2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2( 4 t π x x x nπn t lo              ¢ ¹ i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π xnπ   ; 2 , ( , ) xkπ n k¢ Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cos x πx (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do |sin | 0,x  nên |sin | 0 1 x ππ , mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 2 0 |sin | 0 ,( ) (6) 0 | cos | 1 ,( ) kn xkπ k π n x x kπk x xnπ x nπ x x nπn                              ¢ ¢ (Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x . Giải Đặt 2 ( )=cos 2 x f x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; 2 π    thoả mãn phương trình: 2 2 sin cos 2 n nn xx   . Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x. = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 6 Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; 2     , ta có minf(x) = f 4     = 2 2 2 n Vậy x = 4  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n      2. tanx.sin 2 x2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ;2 43 x k x n         3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m              4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 xk   . 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l               với 1 sin 4   . 6. sinx4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 xk    . 7. sin 3 sin 2 .sin 44 x x x                 ; (Học Viện BCVT) ĐS: 42 xk   8. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 xk   . 9. 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x             ĐS: 4 8 5 8 xk xk xk                     10. 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x   HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x = 3 k    , 4 xk      11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 43 x k x k k          ¢ 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) 2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. 2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 .    1 1 2 cos 2 sin - 2 t x tx         loaïi …(biết giải) Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 7 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … =(4cosx–1) 2 . 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 15. Giải phương trình lượng giác:   2 cos sin 1 tan cot2 cot 1 xx x x x    Giải Điều kiện:   cos .sin2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x        Từ (1) ta có:   2 cos sin 1 cos .sin2 2sin sin cos2 cos cos 1 cos sin2 sin xx xx x x x x x x x x      2sin .cos 2sinx x x   2 2 4 cos 2 2 4 xk xk xk                   ¢ So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là   2 4 x k k      ¢ 16. Giải phương trình:   44 sin cos 1 tan cot sin 2 2 xx xx x   Giải   44 sin cos 1 tan cot sin 2 2 xx xx x   (1) Điều kiện: sin2 0x  2 1 1 sin 2 1 sin cos 2 (1) sin2 2 cos sin x xx x x x        2 2 1 1 sin 2 11 2 1 sin 2 1 sin2 0 sin2 sin 2 2 x xx xx         Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 17. Giải phương trình: 22 2sin 2sin tan 4 x x x        . Giải Pt 22 2sin 2sin tan 4 x x x        (cosx )0 2 1 cos 2 cos 2sin .cos sin 2 x x x x x              (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phương trình:     3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x       . Giải 3 2 3 2 sin2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x                 0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2  xxxxxxxx Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 8 2 2 ( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0 tan 3 3cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai) x x x x x xx x xx x                         lo , 3 2 xk k xk           Z 19. Giải phương trình: cosx=8sin 3 6 x      Giải cosx=8sin 3 6 x       cosx =   3 3sin cosxx  3 2 2 3 3 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)  32 3 3 tan 8tan 3 3tan 0x x x   tan 0 x x k      20. Giải phương trình lượng giác:   2 cos sin 1 tan cot2 cot 1 xx x x x    Giải Điều kiện:   cos .sin2 .sin . tan cot2 0 cot 1 x x x x x x        Từ (1) ta có:   2 cos sin 1 cos .sin2 2sin sin cos2 cos cos 1 cos sin2 sin xx xx x x x x x x x x      2sin .cos 2sinx x x   2 2 4 cos 2 2 4 xk xk xk                   ¢ So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là   2 4 x k k       ¢Z 21. Giải phương trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    Giải Phương trình  (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) xx x x loai vi x x                2 2 2 sin 1 sin sin ( ) 4 4 4 2 xk x x k Z xk                     22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải 3sin cos 2cos3 0x x x    sin 3  sinx + cos 3  cosx = – cos3x. Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 9  cos cos3 3 xx        cos cos( 3 ) 3 xx          32 () 3 k x k xk            Z  x = 32 k   (kZ) 23. Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8  Giải Ta có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8   cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8     22 2 3 2 cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin 2 x x x x x x       2 cos4 , 2 16 2 x x k k Z        . 24. Định m để phương trình sau có nghiệm 2 4sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0 4 4 4 x x x x x m                             Giải Ta có: *   4sin3 sin 2 cos2 cos4x x x x ; *   4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin2 cos4 4 4 2 x x x x x x                                *   2 11 cos 2 1 cos 4 1 sin 4 4 2 2 2 x x x                       Do đó phương trình đã cho tương đương:   11 2 cos2 sin2 sin4 0 (1) 22 x x x m     Đặt cos2 sin 2 2 cos 2 4 t x x x         (điều kiện: 22t   ). Khi đó 2 sin 4 2sin2 cos2 1x x x t   . Phương trình (1) trở thành: 2 4 2 2 0t t m    (2) với 22t   2 (2) 4 2 2t t m    Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ): 2 2D y m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t với 22t   . x 2 2 y’ + y 2 4 2 2 4 2 Trong đoạn 2; 2    , hàm số 2 4y t t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t  và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại 2t  . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m     2 2 2 2m    . o0o Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos2 3 1 2sin 2 xx xx x         (Khối A_2002). Giải ĐS: 5 ; 33 xx   . 2. Giải phương trình: 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x      (Khối A_2003) Giải ĐS:   4 x k k     Z 3. Giải phương trình: 22 cos 3 cos2 cos 0x x x (Khối A_2005) Giải [...]... k 2 , x   (CĐ_A_B_D_2008) 16 Thái Thanh Tùng Chuyên đề: LG 17 Thái Thanh Tùng Chuyên đề: LG 18 Thái Thanh Tùng  4 2 k , k  Z 3 15 5 23 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx Giải ĐS: x  ĐS: x    k 2 , x  2   k 2 , x   k  , 3 4 Chuyên đề: LG (Khối D_2008) k  Z 19 Thái Thanh Tùng Chuyên đề: LG 20 Thái Thanh Tùng Chuyên đề: LG 21 Thái Thanh Tùng 24 Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx... 4  4 2  Giải Chuyên đề: LG (Khối D_2004) 15 (Khối D_2005) Thái Thanh Tùng   k ,  k  Z  4 20 Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 Giải ĐS: x  ĐS: x   (Khối D_2006) 2  k 2 ,  k  Z  3 2 x x  21 Giải phương trình  sin  cos   3 cos x  2 2 2  Giải  (Khối D_2007)   k 2 ,  k  Z  2 6 22 Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2sin 2 x Giải ĐS: x  Chuyên đề: LG  k 2 , x... B_2003) Giải Chuyên đề: LG 12 Thái Thanh Tùng   k ,  k  Z  3 10 Giải phương trình 5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x Giải ĐS: x    (Khối B_2004) 5  k 2 ,  k  Z  6 6 11 Giải phương trình 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 Giải ĐS: x  ĐS: x    k 2 ; x  (Khối B_2005) 2  k 2  k  Z  3 x  12 Giải phương trình: cot x  sin x 1  tan x tan   4 2  Giải Chuyên đề: LG (Khối... sin x  1  sin 2 x ĐS: x      (Khối A_2007) Giải ĐS: x   6  4 1  sin x  k , x   2  k 2 , x  k 2  k  Z   7   4 sin   x 3  4    sin  x   2   1 (Khối A_2008) Giải Chuyên đề: LG 11 Thái Thanh Tùng   5  k , x   k , x   k ,  k  Z  4 8 8 1  2 sin x  cos x 7 Giải phương trình:  3 1  2 sin x 1  sin x  ĐS: x  (Khối A_2009) Giải ĐS: x    18 k... 4 2 3 15 Giải phương trình: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3x  2  cos 4 x  sin 3 x  ĐS: x  k ;x  (Khối B_2008) (Khối B_2009) Giải ĐS: x   42  2k   , x    2k  ,  k  Z  7 6 KHỐI D Chuyên đề: LG 14 Thái Thanh Tùng (Khối D_2002) 16 Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 Giải 3 5 7 ;x  ;x  2 2 2 2 x x  17 sin 2    tan 2 x  cos2  0 2 2 4 Giải ĐS: x   ;x  (Khối D_2003) ... Giải 5  k ,  k  Z  12 12 25 Giải phương trình 3 cos 5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0 Giải ĐS: x  ĐS: x   (CĐ_A_B_D_2009)  18  k , x  k  3 ,x  6 k  2 (Khối D_2009) , k  Z Hết Chuyên đề: LG 22 Thái Thanh Tùng . Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 1 Chuyên đề Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học Chuyên đề: LG.  Löu y ùcaùc coâng thöùc: Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 4 Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích     2 2 2 2m    . o0o Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng